Probabilidad - Funciones Trigonométricas

Presentación
La Universidad de Ciencias y Humanidades saluda la participación
de los asesores de las diferentes instituciones educativas en el pre-
sente 18.º Conamat 2015.
La problemática de la realidad educativa nacional, y en espe-
cial de la matemática, no debe ser motivo de desaliento e indi-
ferencia, sino, por el contrario, debe incentivar a la investigación
para mejorar e innovar la calidad de la enseñanza en todos los
niveles de la educación.
Entre los objetivos de nuestra institución está el compromiso
no solo con la asesoría a través de seminarios y charlas, sino tam-
bién con la elaboración de material bibliográfico que contribuye a
cubrir los requerimientos de los estudiantes del país.
En esta oportunidad presentamos el material correspondiente
al Seminario para Asesores. Contiene tópicos sobre Matemática
realista, Probabilidad (Aritmética), Valor numérico de un polino-
mio (Álgebra), Estrategias de resolución de problemas de geo-
metría (Geometría) y Funciones trigonométricas directas (Trigo-
nometría) . La teoría sintética y los ejercicios seleccionados, que
forman parte del contenido, permiten explorar y profundizar algu-
nos de los temas más importantes de la Matemática.
Seguros de la utilidad del presente material, reiteramos nuestro
saludo por su participación, que realza el desarrollo del presente
evento académico.

SEMINARIO DE ASESORES
3
ALGUNOS PLANTEAMIENTOS BÁSICOS DE LA
MATEMÁTICA REALISTA
La Educación Matemática Realista (EMR) fue fundada por Hans Freudenthal, y tiene relación con la
perspectiva histórico social del aprendizaje de Vigostky.
Concepto1
LA EMR no pretende ser una teoría general del aprendizaje (como lo es, por ejemplo, el constructi-
vismo), sino que es más bien una teoría global (una “filosofía” según Freudenthal) que se concretiza
en un conjunto de teorías locales de enseñanza de tópicos de la matemática y que se basa en las
siguientes ideas centrales:
- Pensar la matemática como una actividad humana (a la que Freudenthal denomina matemati-
zación) y que, siendo así, debe existir una matemática para todos.
- Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos niveles donde los con-
textos y los modelos poseen un papel relevante y que ese desarrollo se lleva a cabo por el proceso
didáctico denominado reinvención guiada, en un ambiente de heterogeneidad cognitiva.
- Que desde el punto de vista curricular, la reinvención guiada de la matemática en tanto ac-
tividad de matematización, requiere de la fenomenología didáctica como metodología de in-
vestigación, esto es, la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser
organizados matemáticamente, siendo las dos fuentes principales de esta búsqueda la historia
de la matemática y las invenciones y producciones matemáticas espontáneas de los estudiantes.
Consideraciones generales de la matemática
A continuación se plantean, de manera muy resumida, las diversas formas de enseñanza de la mate-
mática a través de distintos modelos.
Empirista. Es la matemática que pretende partir de una contextualización, pero que normalmente
se limita a usar hechos del entorno para tratar de aplicarlos a la matemática y no llega a profundizar
en el aprendizaje.
• Parte de la realidad cercana al escolar.
• Enfatiza la utilidad de las matemáticas.
• No profundiza en el aprendizaje.
1 Bressan, Zolkower y Gallego. "La educación matemática realista. Principios en que se sustenta". <http: //www.gpdmatematica.org.ar/
publicaciones/articulo_escuela_invierno2.pdf> (Consulta: 18/09/2015)

18.O
CONCURSO NACIONAL DE MATEMÁTICA CÉSAR VALLEJO 2015
4
Estructuralista. En este caso, la enseñanza se basa en la deducción de las premisas matemáticas y,
por lo general, se aleja de la comprensión de los hechos naturales o cercanos a los estudiantes.
• Usa estructuras de las matemáticas como sistema deductivo para guiar su enseñanza.
• Considera que la relación con el mundo real no es relevante.
Mecanicista. Este es el método más tradicional; se basa en el aprendizaje memorístico.
• Concibe a la matemática como un conjunto de reglas que el escolar debe memorizar.
• No se parte de problemas cercanos al escolar.
• Presta poca atención a la génesis de los conceptos y procedimientos.
Realista. Intenta profundizar en el proceso de aprendizaje en una situación de logro continuo de dis-
tintos aprendizajes, cuya comprensión va evolucionando hasta la formalización. No usa la memoria
sino el cálculo, estrategias inductivas y deductivas y construcción de las teorías
• Parte de la realidad para luego profundizar y sistematizar los aprendizajes.
• Los escolares reinventan las matemáticas con la guía del docente y los materiales.
Principios de la EMR
Los principios de la EMR, que a continuación se presentan en la tabla2, permiten observar los distin-
tos procesos que ocurren para que el estudiante logre aprender.
PRINCIPIO ¿QUÉ ES? ¿CÓMO PUEDE TRABAJARSE?
De actividad
Las matemáticas son una actividad huma-
na a las que todas las personas pueden
acceder.
La finalidad de las matemáticas es ma-
tematizar (organizar) el mundo que nos
rodea, incluyendo a la propia matemática.
La matematización es una actividad de
búsqueda y resolución de problemas, tam-
bién es una actividad de organización de
un tema.
Matematizar involucra, principalmente, ge-
neralizar y formalizar.
Formalizar implica modelizar, simbolizar,
esquematizar y definir, y generalizar con-
lleva reflexión.
De realidad
Las matemáticas se aprenden haciendo ma-
temáticas en contextos reales.
Un contexto real se refiere tanto a situacio-
nes problemáticas de la vida cotidiana y si-
tuaciones problemáticas que son reales en
la mente de los alumnos.
El contexto de los problemas puede ser el
mundo real, pero esto no es necesariamen-
te así, también se incluye la fantasía. Es ne-
cesario que progresivamente se desprendan
de la vida cotidiana para adquirir un carácter
más general, o sea; transformarse en mode-
los matemáticos.
2 Alsina, Ángel. "El aprendizaje realista: una contribución de la investigación en educación matemática a la formación del profe-
sorado". <http://www.seiem.es/publicaciones/archivospublicaciones/actas/Actas13SEIEM/SEIEMXIII-AngelAlsina.pdf> (Consulta:
18/09/2015)

5
De niveles
Los estudiantes pasan por distintos ni-
veles de comprensión.
Situacional: en el contexto de la situación.
Referencial: esquematización a través
de modelos, descripciones, etc.
General: exploración, reflexión y gene-
ralización.
Formal: procedimientos estándares y
notación convencional.
Esquematización progresiva (profesor) y rein-
vención guiada (aprendiz), las situaciones
de la vida cotidiana son matematizadas para
formar relaciones más formales y estructuras
abstractas.
De reinvención
guiada
Proceso de aprendizaje que permite
reconstruir el conocimiento matemá-
tico formal.
Presentar situaciones problemáticas abiertas
que ofrezcan una variedad de estrategias de
solución.
Permitir que los estudiantes muestren sus es-
trategias e invenciones a otros.
Discutir el grado de eficacia de las estrategias
usadas.
De interacción
La enseñanza de las matemáticas es
considerada una actividad social.
La interacción entre los estudiantes con
sus compañeros y los profesores puede
provocarquecadaunoreflexioneapartir
de lo que aportan los demás y así po-
der alcanzar niveles más altos de com-
prensión.
La negociación explícita, la intervención, la
discusión, la cooperación y la evaluación son
elementos esenciales en un proceso de apren-
dizaje constructivo en el que los métodos infor-
males del aprendiz son usados como una plata-
forma para alcanzar los formales.
En esta instrucción interactiva, los estudian-
tes son estimulados a explicar, justificar, con-
venir y discrepar, cuestionar alternativas y
reflexionar.
De interco-
nexión
Los bloques de contenidos matemá-
ticos (numeración y cálculo, algebra,
geometría…) no pueden ser tratados
como entidades separadas.
Las situaciones problemáticas deberían incluir
contenidos matemáticos interrelacionados.

18.O
6
Así, pues, de forma muy reduccionista, los rasgos más significativos de la EMR son los siguientes3:
- Se trata de un enfoque en el que se utilizan situaciones de la vida cotidiana o problemas contex-
tuales como punto de partida para aprender matemáticas. Progresivamente, estas situaciones
son matematizadas a través de modelos, mediadores entre lo abstracto y lo concreto, para for-
mar relaciones más formales y estructuras abstractas (Heuvel&Panhuizen, 2002).
- Se apoya en la interacción en el aula entre los estudiantes y entre el profesor y los estudiantes.
Esta interacción, que debe ser intensa, permitirá a los profesores construir sus clases teniendo
en cuenta las producciones de los estudiantes (Fauzan, Plomp y Slettenhaar; 2002).
- Otra idea clave es que a los estudiantes se les debería dar la oportunidad de reinventar las
matemáticas bajo la guía de un adulto en lugar de intentar trasmitirles una matemática pre-
construida (De Corte, Greer y Verschaffel, 1996).
Aspectos generales de la EMR
• La matemática se aprende haciendo matemática: para aprender matemática el primer paso es
comprender, aunque esto no es suficiente, es necesario hacer.
• Tampoco se aprende matemática viendo al profesor o a sus compañeros, se necesita que el
estudiante trabaje, que se concrete su carácter de sujeto activo en el aprendizaje.
• El aprendizaje de la matemática significa que se construyen habilidades de pensamiento propias
de la actividad matemática.
• Un elemento primordial es entender el proceso de la matematización, entendida como organi-
zar y estructurar la información que brinda un problema, identificar los aspectos matemáticos
relevantes, descubrir regularidades, relaciones y estructuras.
• La matematización horizontal nos lleva del mundo real al mundo de los símbolos. Se trata de
tender puentes entre la realidad y las matemáticas.
• La matematización vertical consiste en el tratamiento específicamente matemático de las situa-
ciones. Como su nombre lo indica, se trata de profundizar en las relaciones matemáticas.
• La matematización horizontal lleva a la matematización vertical, y son los modelos los que sirven
como puentes de conexión entre los distintos niveles
• Durante la matematización se puede volver a un nivel anterior para revisar o reconfirmar algún
aspecto que no quedó totalmente claro. La flexibilidad del modelo debe permitir este tránsito
entre niveles.
NIVELES4
En este proceso de matematización progresiva la EMR admite que los alumnos pasan por distintos
niveles de comprensión (caracterizados por distintos tipos de actividades mentales y lingüísticas)
Estos niveles según Gravemeijer (2002:2; 1994:100) son: situacional, referencial, de generalización
y de formalización, están ligados al uso de estrategias, modelos y lenguajes de distinta categoría
cognitiva y no constituyen una jerarquía estrictamente ordenada.
3 Ídem.
4 Bressan, Zolkower y Gallego. Op.cit.

7
• En el nivel situacional, el conocimiento de la situación y las estrategias son utilizadas en el con-
texto de la situación misma (generalmente con recursos de fuera de la escuela).
• El nivel referencial es donde aparecen los modelos, descripciones, conceptos y procedimientos
que esquematizan el problema, pero siempre referidos a la situación particular.
• El nivel general se desarrolla a través de la exploración, reflexión y generalización de lo apareci-
do en el nivel anterior pero propiciando una focalización matemática sobre las estrategias que
supera la referencia al contexto.
• En el nivel formal, se trabaja con los procedimientos y notaciones convencionales.
La evolución entre niveles se da cuando la actividad en un nivel es sometida a análisis en el siguien-
te, el tema operatorio en un nivel se torna objeto del siguiente nivel (Freudenthal, 1971: 417).
Estos niveles son dinámicos y un alumno puede funcionar en diferentes niveles de comprensión
para contenidos distintos o partes de un mismo contenido. Más que describir en forma exacta
qué puede hacer el alumno en cada uno, sirven para monitorear sus procesos de aprendizaje.
PROBLEMA N.º 1
¿Cómo podemos medir la longitud de la som-
bra que proyecta la escalera debajo de ella?
3 m
51º51º
Resolución
Podemos utilizar una razón trigonométrica lla-
mada tangente para ángulo agudo Ø, la cual se
define como:

longitud del cateto opuesto
longitud del cateto adyacente
Considere
tan51º = 1,23
Reemplazando tendremos la siguiente ecuación:

tan51º=
3m
x
Donde x es la longitud de la sombra.
Operando tenemos
x = 2,43 m
Otras preguntas
* Si el ángulo fuese 37º, ¿cuál sería el perí-
metro del triángulo rectángulo que forma
la escalera?
* ¿Por qué la escalera no se resbala? ¿Qué
fuerza es la que lo evita?

18.O
8
PROBLEMA N.º 2
Betania y José están por casarse. El tío de ella tiene una casa de telas y, como sabe que les encanta ir
de campamento, les regaló 6,5 metros de lona de 2,5 metros de ancho para que se manden a hacer
una carpa a gusto (por supuesto que también pagó la hechura).
A ellos les encantó la idea y buscaron en Internet algunos modelos, seleccionaron los que más les re-
sultaron atractivos, pero después no sabían decidir cuál les convendría más. ¿Los podremos ayudar?
Todas las carpas tienen formas de cuerpos geométricos: prisma de base triangular, cono, pirámide, o
son combinaciones de dos cuerpos: prisma de base rectangular y prisma de base triangular, cilindro
y cono, pirámide truncada y pirámide.
El trabajo de este problema requiere de mucho tiempo. Se puede realizar en grupos, se puede pro-
poner como un problema para portafolio. Es de ese tipo de problemas en que se puede empezar a
resolver y retomar después de un tiempo. Mientras tanto se puede investigar y pensar las soluciones
óptimas.
Es un problema abierto (responde a más de una vía de solución y a soluciones diferentes), y es rico
dada la cantidad de contenidos involucrados para llegar a la solución (por ejemplo, el uso del teore-
ma de Pitágoras, cálculo de área y volumen de cuerpos, principios ergonométricos, etc.).
Los alumnos pueden comenzar estableciendo algunas medidas tentativas para cada caso, pero des-
pués tienen que comprobar que les alcance la tela. En caso de pasarse o que les sobre cantidad de
tela, tienen que ajustar algunas medidas. Luego ver qué pasó con el volumen y en caso de “sacrificar
volumen” por alguna razón, deben justificar por qué lo hicieron.
Se puede organizar toda la información en una tabla y discutir las conveniencias.

9
PROBLEMA N.º 3
Teorema de Viviani5
Un surfista se encuentra viviendo en una isla con forma de triángulo equilátero. Quiere construir
una cabaña de tal manera que las distancias a cada una de las costas sean mínimas, ya que le gusta
surfear en las tres costas por igual. Se sorprenderá al ver que es indistinto el lugar donde constru-
ya su cabaña. Desde cualquier punto interior de un triángulo equilátero, trace los tres segmentos
perpendiculares a cada lado del triángulo. Independientemente de dónde esté ubicado el punto, la
suma de las distancias del punto a cada uno de los lados es constante e igual a la altura del triángulo.
Este es el enunciado del teorema que se denomina de Viviani, en honor al matemático y científico
italiano Vincenzo Viviani, contemporáneo de Galileo Galilei (quien lo contrató como su colaborador
por su talento). ¡A demostrarlo!
PROBLEMA N.º 4
Los chismosos
Una persona se entera de un secreto a las 10 de la mañana y lo cuenta a sus tres mejores amigos
y les pide que lo mantengan en secreto. Diez minutos después ellos rompen el pacto de confianza
y se lo cuentan cada uno a otros tres íntimos amigos. Si este secreto fuera contado de este modo
hasta las 10 de la noche, siempre cada diez minutos y a tres nuevos amigos que no sabían el secreto,
¿cuántos son los últimos en enterarse a las 11 de la mañana? ¿Cuántos conocen el secreto al mediodía?
¿Cuántas personas se habrían enterado hasta la noche? Considerando que en aquel pueblo hay
650 000 habitantes, ¿se enterarán todos hasta la noche?
PROBLEMA N.º 5
Situación 1
Las servilletas son generalmente cuadradas. Cuando se doblan diagonalmente se obtiene un triángulo.
Al doblar este triángulo con habilidad es posible "parar" la servilleta. ¿Qué características especiales
tiene este último triángulo?
Situación 2
Dibuje triángulos distintos y analice en qué casos son simétricos respecto a un eje. Dibuje el eje
correspondiente.
Dibuje un triángulo isósceles. Construya la mediatriz de su base y la bisectriz del ángulo desigual.
¿Qué podríamos decir sobre el triángulo isósceles?
5 Al respecto, véase Pickover, Clifford. El libro de las matemáticas. Editorial Librero, 2009. Y también consúltese el artículo de Alfinio
Flores Peñafiel, "Extensiones del teorema de Viviani para polígonos regulares".<http://www.vaq.mx/ingenieria/publicaciones/
eureka/n21/flores01.pdf>

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PROBLEMA N.º 6
Probabilidades en triángulos
1. Un vértice de un triángulo isósceles de papel es elegido al azar y doblado hasta coincidir con el
punto medio del lado opuesto.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que se forme un trapecio?
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un trapezoide?
c. ¿Qué sucede si el triángulo es equilátero?
2. Si un vértice de un triángulo isósceles es elegido al azar y doblado haciéndolo coincidir con cual-
quier punto del lado opuesto, ¿cuál es la probabilidad de que se forme un trapecio?
3. Analice las preguntas anteriores para un triángulo escaleno.
PROBLEMA N.º 7
En la cancha de fútbol del barrio está entrenando el equipo de la universidad. El entrenador solicita
a tres jugadores (Juan, Pedro y Daniel) que practiquen los tiros de esquina. Juan tira el balón con
una velocidad de 10 m/s sobre la diagonal y con un ángulo de 37° en relación con la diagonal de la
media cancha.
Daniel se encuentra ubicado en el punto A y corre con una velocidad constante de 4 m/s en forma
paralela al ancho de la plaza. Transcurridos 3 s, ¿logrará Daniel encontrarse con el balón para rema-
tar al arco defendido por Pedro?
37º5 m
A

11
PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN
La teoría de la probabilidad se desarrolló originalmente a partir de ciertos problemas planteados en
el contexto de los juegos de azar. En muchas ocasiones nos hemos preguntado cuál es la probabili-
dad de ganar un juego de lotería; cuál es la probabilidad de que al elegir una carta de una baraja esta
carta resulte de color negro. ¿Cómo llegamos a calcular esas probabilidades? Conociendo algunas
herramientas proporcionadas por las técnicas de conteo podemos resolver estos problemas, aunque
eso no basta pues también es importante saber cómo se calcula la probabilidad. Comprendiendo
adecuadamente los principios fundamentales y las técnicas de conteo podemos abreviar pasos en la
resolución de esos problemas. Así podremos dar solución a preguntas como las ya planteadas ante-
riormente y a situaciones de diverso tipo.
Definiciones Previas
Experimento aleatorio (ε)
Es una prueba o ensayo del cual pueden conocerse los posibles resultados, pero no se puede pre-
cisar con exactitud qué resultado se obtendrá. Al volver a realizar estas pruebas o ensayos bajo las
mismas condiciones siempre obtendremos los mismos posibles resultados, pero no indicaremos con
exactitud qué resultado se obtendrá.
Ejemplos
• ε1: Lanzar un dado y observar el número que sale en la cara superior del dado.
• ε2: Lanzar una moneda y observar la figura que sale en la cara superior de la moneda.
• ε3: Lanzar un dado y una moneda y observar el número que sale en la cara superior del dado y
la figura que sale en la cara superior de la moneda.
Espacio muestral (Ω)
Es un conjunto que tiene como elementos a todos los posibles resultados de un experimento alea-
torio (se podría decir que el espacio muestral hace el papel del conjunto universal).
Ejemplos
• El espacio muestral asociado al experimento aleatorio ε1 es Ω1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• El espacio muestral asociado al experimento aleatorio ε2 es Ω2 = {cara; sello}
• El espacio muestral asociado al experimento aleatorio ε3 es

Ω3 = (1;C), (1; S), (2; C), (2; S), (3;C), (3; S), (4; C), (4; S)),(5;C),(5; S),(6;C),(6; S){ }
donde C: cara, S: sello

18.O
12
Evento
Es un subconjunto del espacio muestral. En resumen:
EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) ESPACIO MUESTRAL (Ω) EVENTO
ε1: Lanzar un dado y observar
el número que sale en la cara
superior del dado.
Los posibles resultados que se pue-
den obtener son 1; 2; 3; 4; 5 y 6. En-
tonces el espacio muestral asocia-
do a este experimento aleatorio es:
Ω1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Se definen los siguientes eventos:
A: se obtiene un número primo.
→ A = {2; 3; 5}
B: se obtiene un número menor
que 5.
→ B = {1; 2; 3; 4}
ε2: Lanzar una moneda y ob-
servar la figura que sale en la
cara superior de la moneda.
den obtener son cara y sello. En-
tonces el espacio muestral asocia-
do a este experimento aleatorio es:
Ω2 = {cara; sello}
Se define el siguiente evento:
C: sale cara.
→ C = {cara}
ε3: Lanzar un dado y una mo-
neda y observar el número que
sale en la cara superior del dado
y la figura que sale en la cara su-
perior de la moneda.
den obtener son (1; c), (1; s), (2; c),
(2; s), (3; c), (3; s), (4; c), (4; s), (5; c),
(5; s), (6; c), (6; s). Entonces el espa-
cio muestral asociado a este expe-
rimento aleatorio es:
Ω3 = {(1; c), (1; s), (2; c), (2; s), (3; c),
(3;s), (4; c) (4; s), (5; c), (5; s), (6; c),
(6; s)}
Se define el siguiente evento:
D: sale número par en la cara
superior del dado y sello en la
cara superior de la moneda.
→ D = h(2; s), (4; s), (6; s)
DEFINICIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD
La probabilidad de un evento es la razón entre el número de casos
favorables y el número total de casos posibles, considerando que to-
dos los casos son igualmente probables. Sea A un evento (es decir un
subconjunto del espacio muestral), entonces
P A
n A
n
[ ]=
( )
( )Ω
La definición clásica de la probabilidad fue dada por Pierre Simon
Laplace (1749 - 1827) en su obra Teoría analítica de las probabilidades
(1812).

13
Entonces del cuadro resumen mostrado ante-
riormente, se puede indicar que
• La probabilidad de obtener un número
primo al lanzar un dado es 1/2, porque
de los 6 posibles resultados que se puede
obtener hay solo 3 números que son pri-
mos. Es decir, de los 6 casos en total hay
solo 3 casos a favor del evento A.

P A
n A
n
P A[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω1
3
6
1
2
• La probabilidad de obtener un número
menor que 5 al lanzar un dado es 2/3,
porque de los 6 posibles resultados que
se puede obtener hay solo 4 números que
son menores que 5. Es decir, de los 6 ca-
sos en total hay solo 4 casos a favor del
evento B.
P B
n B
n
P B[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω1
4
6
2
3
• La probabilidad de que salga cara al lanzar
una moneda es 1/2, porque de los 2 posi-
bles resultados que se puede obtener hay
solo un caso en el cual resulta cara. Es de-
cir, de los 2 casos en total hay solo un caso
a favor del evento C.

P C
n C
n
P C[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω2
1
2
1
2
• La probabilidad de que salga número par
en la cara superior del dado y sello en la
cara superior de la moneda al lanzar un
dado y una moneda es 3/12, porque de los
12 posibles resultados que se puede obte-
ner hay solo 3 casos en los que resulta nú-
mero par en el dado y sello en la moneda.
Es decir, de los 12 casos en total hay solo 3
casos a favor del evento D.

P D
n
n
P D[ ]=
( )
= → [ ]=
( )D
Ω3
3
12
1
4
Algunos eventos son llamados “imposibles”
y otros son llamados “seguros”.
Nota
EVENTO IMPOSIBLE
Es el evento que nunca ocurre.
Aplicación 1
Víctor tiene 5 bolitas como las que se muestran:
1 2 3 4 5
Si él elige una de esas bolitas y observa el nú-
mero que tiene, ¿cuál es la probabilidad de que
dicho número sea mayor que 6?
Resolución
ε: Elegir una bolita y observar el número que
tiene.
Los elementos del espacio muestral asociado a
este experimento aleatorio son 1; 2; 3; 4 y 5.
Es decir, el espacio muestral asociado a este ex-
perimento aleatorio es
Ω = {1; 2; 3; 4; 5} → n(Ω) = 5
Sea C el evento.
C: El número observado es mayor que 6.
C = { } → n(C) = 0

18.O
14
Entonces la probabilidad de que ocurra el evento C es cero, debido a que

P C
n C
n
P C[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
0
5
0
En este caso se observa que el evento carece de elementos, cuando esto ocurre se dice que el evento
es imposible, y a su vez la probabilidad de un evento imposible siempre es igual a cero.
Aplicación 2
Sea el experimento aleatorio lanzar dos dados en forma simultánea y observar los números que
salen en la cara superior de los dados, calcule la probabilidad de obtener como suma un número
mayor que 13.
Resolución
ε: Lanzar dos dados en forma simultánea y observar los números que salen en la cara superior de
los dados.
Los elementos del espacio muestral asociado a este experimento aleatorio son
(1; 1); (1; 2); (1; 3); ...; (6; 6)
Es decir el espacio muestral asociado a este experimento aleatorio es
Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); ...; (6; 6)}
→ n(Ω) = 6 × 6 = 36
Una forma de visualizar todos estos posibles resultados es elaborando una tabla de doble entrada,
como se muestra:
Resultado
en el 2.o dado
Resultado
en el 1.er dado
1 2 3 4 5 6
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)

15
Sea D el evento.
D: Obtener una suma mayor que 13.
D = { } → n(D) = 0
Entonces la probabilidad de que ocurra el
evento D es cero, debido a que

P D
n D
n
P D[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
0
36
0
En este caso se observa que el evento carece
de elementos, cuando esto ocurre se dice que
el evento es imposible, y a su vez la probabili-
dad de un evento imposible siempre es igual
a cero.
EVENTO SEGURO
Es el evento que siempre ocurre.
Aplicación 3
Víctor tiene 5 bolitas como las que se muestran:
1 2 3 4 5
Si él elige una de esas bolitas y observa el nú-
mero que tiene la bolita, ¿cuál es la probabili-
dad de que dicho número sea menor que 6?
Resolución
ε: Elegir una bolita y observar el número que
tiene.
este experimento aleatorio son: 1; 2; 3; 4 y 5.
Es decir, el espacio muestral asociado a este ex-
Ω = {1; 2; 3; 4; 5} → n(Ω) = 5
Sea E el evento.
E: El número observado es menor que 6.
E = {1; 2; 3; 4; 5} → n(E) = 5
Entonces la probabilidad de que ocurra el
evento E es uno, debido a que

P E
n E
n
P E[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
5
5
1
En este caso se observa que el evento tiene
como elementos a todos los elementos del es-
pacio muestral, cuando esto ocurre se dice que
el evento es seguro, y a su vez la probabilidad de
un evento seguro siempre es igual a la unidad.
Aplicación 4
Sea el experimento aleatorio lanzar dos dados
en forma simultánea y observar los números
que salen en la cara superior de los dados,
calcule la probabilidad de obtener una suma
menor o igual a 12.
Resolución
ε: Lanzar dos dados en forma simultánea y ob-
servar los números que salen en la cara supe-
rior de los dados.
este experimento aleatorio son:
(1; 1); (1; 2); (1; 3); ...; (6; 6)
Es decir el espacio muestral asociado a este ex-
Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); ...; (6; 6)}
→ n(Ω) = 6 × 6 = 36

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16
Una forma de visualizar todos estos posibles resultados es elaborando una tabla de doble entrada,
como se muestra:
Resultado
en el 2.o dado
Resultado
en el 1.er dado
1 2 3 4 5 6
1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6)
2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6)
3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6)
4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6)
5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6)
6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6)
Sea F el evento.
F: Obtener una suma menor o igual a 12.
F = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); ...; (6; 6)} → n(F) = 6 × 6 = 36
Entonces la probabilidad de que ocurra el evento F es uno, debido a que

P F
n F
n
P F[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
36
36
1
En este caso se observa que el evento tiene como elementos a todos los elementos del espacio
muestral, cuando esto ocurre se dice que el evento es seguro, y a su vez la probabilidad de un evento
seguro siempre es igual a la unidad.
En muchos casos no es necesario describir
a los elementos del espacio muestral, si no
solo saber cuántos elementos tiene el espa-
cio muestral y a su vez cuántos elementos
tiene el evento. Para saberlo podemos recu-
rrir a las técnicas de conteo estudiadas en el
tema de Análisis combinatorio.
Nota
• La probabilidad de cualquier evento
siempre es mayor o igual que cero, pero
menor o igual que uno. Es decir, sea A un
evento.
0 ≤ P[A] ≤ 1
• Sean A y B eventos.
P [A ∪ B] = P[A]+P[B] – P[A ∩ B]
Observación

17
opeRaCiones entRe eVentos
Sean A y B eventos. Entonces
• A ∪ B: se realizan los casos favorables al
evento A, los casos favorables al evento B,
o a ambos.
• A ∩ B: se realizan los casos favorables al
evento A y al evento B, es decir los casos
favorables a ambos eventos.
• A–B: se realizan los casos favorables al
evento A pero no los casos favorables al
evento B.
• A': se realizan los casos que no son favora-
bles al evento A.
aplicación 5
Sea el experimento aleatorio lanzar un dado y
observar el número que sale en la cara superior
del dado. Calcule lo siguiente:
a. La probabilidad de que se observe un nú-
mero menor que 5 o primo.
b. La probabilidad de que se observe un nú-
mero menor que 5 y primo.
c. La probabilidad de que se observe un nú-
mero menor que 5 pero que no sea primo.
d. La probabilidad de que se observe un nú-
mero que no es menor que 5.
Resolución
ε: Lanzar un dado y observar el número que
sale en la cara superior del dado.
El espacio muestral asociado a este experi-
mento aleatorio es
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A: Se obtiene un número menor que 5.
→ A = {1; 2; 3; 4}
B: Se obtiene un número primo.
→ B = {2; 3; 5}
a.
6
A B
Ω
22
33
11
44
55
Piden P A B
n A B
n
∪[ ]=
∪
( )
=
( )
Ω
5
6
b. Ω
6
A B
22
33
11
44
55
Piden P A B
n A B
n
∩[ ]=
∩
( )
=
( )
Ω
2
6
c. Ω
6
A B
22
33
11
44
55
Piden P A B
n A B
n
−[ ]=
−
( )
=
( )
Ω
2
6

18.O
18
d. Ω
66
AA BB
22
33
11
44
55
Piden P A
n A
n
'
'



 =
( )
( )
=
Ω
2
6
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Se aplica cuando se quiere calcular la proba-
bilidad de que ocurra un evento dado que ya
ocurrió otro.
Se denota: P[A / B]
Se lee: "La probabilidad de que ocurra el even-
to A dado que ya ocurrió el evento B".
En general
P A B
n A B
n B
[ ]=
∩( )
( )
o P A B
P A B
P B
[ ]=
∩[ ]
[ ]
Aplicación 6
Si al lanzar un dado salió un número impar en
la cara superior del dado, ¿cuál es la probabili-
dad de que dicho número sea primo?
Resolución
Se sabe que al lanzar un dado tenemos seis
posibles resultados, pero para este ejem-
plo nuestro espacio muestral tiene solo tres
elementos puesto que nos informan que
al lanzar el dado salió un número impar, es
decir solo se han observado los números
1; 3 y 5 . Nos piden la probabilidad de obtener
un número primo, notamos que de los tres po-
sibles resultados solo dos son números primos
(estos son 3 y 5), por lo tanto la probabilidad
pedida es 2/3.
Otra forma:
ε: Lanzar un dado y observar el número que
sale en la cara superior del dado.
El espacio muestral asociado a este experi-
mento aleatorio es
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A: Se obtiene un número primo.
→ A = {2; 3; 5}
B: Se obtiene un número impar.
→ B = {1; 3; 5}
Gráficamente tenemos
Ω
6
A B
33
55
22
44
11
Entonces

P A B
n A B
n B
[ ]=
∩
=
( )
( )
2
3

19
Sea M el evento.
M: Elegir a dos varones.
Los casos a favor son solo los siguientes:
C y D; C y E; D y E
Es decir:
n(M)=3
Piden:
P M
n M
n
P M[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
,
Ω
3
10
0 3
otra forma
ε: Elegir a dos alumnos.
Como debemos elegir a dos alumnos de un to-
tal de cinco, en este caso solo vamos a formar
grupos, es decir no interesa el orden. Para ello
podríamos utilizar la combinatoria.
total de maneras diferentes de elegir
a dos alumnos de un tootal de cinco



 = C2
5
a dos alumnos de un tootal de cinco



=
−
5
2 5 2
!
!.( )!
∴
a dos alumnos de un ttotal de cinco



 =10
→ n(Ω)=10
Sea M el evento.
M: Elegir a dos varones
Como debemos elegir a dos varones y en el gru-
po de alumnos solo hay tres varones, solo vamos
a formar grupos, es decir no interesa el orden.
Para ello podríamos utilizar la combinatoria.
dos varones de un tottal de tres varones 2
3


 = C
PROBLEMA N.º 1
En un aula hay cinco alumnos (Ana, Betty, Car-
los, Diego y Erick). Si elegimos a dos de ellos,
¿cuál es la probabilidad de elegir a dos varones?
Resolución
ε: Elegir a dos alumnos.
Supongamos que los cinco alumnos son:
A: Ana
B: Betty
C: Carlos
D: Diego
E: Erick
Si debemos elegir a dos de ellos, podemos rea-
lizarlo de la siguiente manera:
A y B; A y C; A y D; A y E; B y C; B y D; B y E; C y
D; C y E; D y E
Aquí no interesa el orden debido a que solo nos
han indicado que debemos elegir a dos alumnos.
Entonces el total de maneras diferentes de rea-
lizar lo indicado es 10. Es decir
n(Ω)=10
PrOBLeMas resUeLtOs

18.O
20
total de maneras diferentes
de elegir a dos varones
de un ttotal de tres varones








=
−
3
2 3 2
!
!.( )!
∴
total de maneras diferentes
de elegir a dos varones
de un total de tres varones








= 3
→ n(M)=3
Piden:
P M
n M
n
P M[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
,
Ω
3
10
0 3
PROBLEMA N.º 2
Se dispone de una banca que tiene capacidad
para tres personas. Si Ángel, Beto y Carmen
quieren sentarse en dicha banca, ¿cuál es la
probabilidad de que Carmen se siente en el
centro?
Resolución
ε: Sentar a tres personas en una banca que tie-
ne capacidad para tres.
Supongamos que las tres personas son:
A: Ángel; B: Beto y C: Carmen
Ellos deben sentarse en una banca que tiene
capacidad para tres personas, esto se puede
realizar de la siguiente manera:
A
A
B
B
C
C
B
C
C
A
A
B
C
B
A
C
B
A
Aquí sí nos interesa
el orden.
Observamos que en total hay seis maneras di-
ferentes de ubicar a esas tres personas en la
banca. Por lo tanto, el total de maneras dife-
rentes de realizar lo indicado es 6. Es decir:
n(Ω)=6
Sea H el evento.
H: Carmen debe estar sentada en el centro.
Es decir, los casos a favor son los siguientes:
A
B
C
C
B
A
Es decir
n(H)=2
Piden
P H
n H
n
P H[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
2
6
1
3

21
Otra forma:
ε: Sentar a tres personas en una banca que tie-
ne capacidad para tres.
Como debemos sentar a esas 3 personas en una
banca que tiene capacidad para 3 personas,
podríamos utilizar la permutación lineal.
total de maneras diferentes de sentar
a 3 personas en uuna banca que
tiene capacidad para tres personas








=PP3
3
a tres personas en una banca que








==
−( )
3
3 3
!
!
∴
a tres personas en unna banca que








=66
→ n(Ω) = 6
Sea H el evento.
H: Carmen debe estar sentada en el centro.
Como Carmen debe sentarse en el centro, es
decir Ángel y Beto deben sentarse en los extre-
mos, podríamos utilizar el principio de multi-
plicación.
total de maneras diferentes de sentar a
Ángel y Beto en los extremos de la banca
2 1



 = ×
∴
total de maneras diferentes de sentar a
Ángel y Beto en loos extremos de la banca



=2
→ n(H)=2
Piden
P H
n H
n
P H[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
2
6
1
3
PROBLEMA N.º 3
Si realizamos todos los ordenamientos en fila
o línea con todas las letras de la palabra CASA,
¿cuál es la probabilidad de que esos ordena-
mientos empiecen y terminen con la letra A?
Resolución
ε: Ordenar todas las letras de la palabra CASA
en fila o línea.
La palabra CASA tiene cuatro letras; si utiliza-
mos todas las letras de esta palabra podríamos
obtener los siguientes ordenamientos en fila:
i. Cuando se empieza con la letra C:
C __ __ __
A
A
S
A
S
A
S
A
A
ii. Cuando se empieza con la letra A:
A __ __ __
C
C
S
S
A
A
A
S
A
C
S
C
S
A
C
A
C
S

18.O
22
iii. Cuando se empieza con la letra S:
S __ __ __
A
A
C
A
C
A
C
A
A
Observamos que en total hay 3+6+3=12 orde-
namientos diferentes que se pueden obtener
colocando todas las letras de la palabra CASA
en fila. Es decir:
n(Ω)=12
Sea J el evento.
J: Los ordenamientos deben empezar y termi-
nar con la letra A.
Es decir, los casos a favor son solo los siguientes:
A __ __ A
S
C
C
S
Es decir
n(J) = 2
Piden
P J
n J
n
P J[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
2
12
1
6
Otra forma
ε: Ordenar todas las letras de la palabra CASA
en fila o línea.
Podemos utilizar la permutación con elemen-
tos repetidos (puesto que debemos ordenar a
todas la letras de la palabra CASA en fila y hay
letras que se repiten). Para este caso la letra C
forma una clase que tiene un elemento, la letra
A forma otra clase que tiene dos elementos y la
letra S forma otra clase que tiene un elemento.
total de ordenamientos en fila
que se pueden obtener
utilizaando todas las letras
de la palabra CASA
(4:1; 2










= P ;; 1)
utilizzando todas las letras
de la palabra CASA










=
4
1
!
! . 22 1! . !
∴
utiliizando todas las letras
de la palabra CASA










=12
→ n(Ω) = 12
Sea J el evento.
J: Los ordenamientos deben empezar y termi-
nar con la letra A.
Como vamos a ordenar solo a las letras C y S
en fila, puesto que los ordenamientos deben
empezar y terminar con la letra A, podríamos
utilizar la permutación lineal.

total de maneras diferentes de
ordenar en fila a las letras C y S



 =P2
2




 =
−( )
2
2 2
!
!




 =2
→ n(J) = 2
Piden

P J
n J
n
P J[ ]=
( )
= → [ ]=
( )
Ω
2
12
1
6

23
1. Matías tiene en una bolsita cinco bolitas
de diferentes tamaños, de las cuales tres
de ellas son de color rojo y las otras de co-
lor azul. Si él elige una bolita al azar, calcule
la probabilidad de que elija una bolita de
color azul.
2. Sea el experimento aleatorio lanzar una
moneda tres veces y anotar la figura que
sale en la cara superior de la moneda.
Calcule la probabilidad de que salgan:
a. dos caras.
b. al menos dos caras.
c. a lo más dos caras.
3. Si se lanza una moneda y un dado, calcule
la probabilidad de que se observe cara en
la moneda y número par en el dado.
4. En un grupo de personas hay seis varones
y siete mujeres.
• Si elegimos una persona al azar, ¿cuál
es la probabilidad de que
a. sea varón?
b. sea mujer?
• Si elegimos a dos personas al azar,
¿cuál es la probabilidad de que
a. sean varones?
b. sean mujeres?
c. sea un varón y una mujer?
5. Cuatro autos van a ser distribuidos en dos
playas de estacionamiento que están vacías.
Calcule la probabilidad de que haya por lo
menos un auto en cada una de las playas de
estacionamiento, si se sabe que estas tienen
capacidad para más de cuatro autos.
6. Si se elige al azar un número de tres cifras
de entre todos los números de tres cifras,
calcule la probabilidad de que el número
elegido sea capicúa.
7. Dado el siguiente gráfico:

A
B
C
Se desea ir del punto A al punto B (sin re-
troceder). Calcule la probabilidad de que
esto ocurra sin que se pase por el punto C.
8. Se lanzan dos dados en forma simultánea.
Si los números que se observan en las ca-
ras superiores de los dados son números
primos, calcule la probabilidad de que la
suma de dichos números sea mayor que 8.
PROBLEMAS PROPUESTOS

18.O
24
9. Dada la promulgación de una ley que fija
un impuesto para las ganancias por los
ahorros bancarios, se aplicó una encuesta
de opinión a 600 ciudadanos, obteniéndo-
se los siguientes resultados.
Partido
Opinión respecto a la ley
Total
A favor En contra Neutral
A 120 60 20 200
B 48 42 30 120
Otro 126 112 42 280
Total 294 214 92 600
Calcule la probabilidad de que un ciudada-
no sea del partido B o no opine a favor.
A) 0,507 B) 0,510 C) 0,590
D) 0,600 E) 0,710
UNI 2008 - I
10. Para representar a un colegio en las olim-
piadas matemáticas del 2007 se han pre-
seleccionados 10 alumnos varones y 5
mujeres. El comité organizador del evento
decide que cada colegio participante envíe
solo tres alumnos. Calcule la probabilidad
de que el citado colegio envíe a todos sus
representantes del mismo sexo.
A) 1/7 B) 2/7 C) 3/7
D) 4/7 E) 5/7
UNI 2011 - I

25
VALOR NUMÉRICO
DEFINICIÓN
El valor numérico que toma una expresión ma-
temática es el resultado de evaluarla bajo cier-
tas condiciones que cumplen sus variables.
Ejemplo
Tenemos
Si P(x; y) = 3x – 2y, halle el valor de P(2; 3)
P(2; 3) = 32 – 23 = 9 – 8 = 1
→ P(2; 3) = 1
valor numérico
Aplicación 1
Si P(x) = x2 – x + 2, calcule
R = P{P[2 – P(–1)]}
Resolución
Cálculo de P(–1)
P(–1) = (–1)2 – (–1) + 2 = 1 + 1 + 2 = 4
Cálculo de P[2 – P(–1)]:
P[2 – P(–1)] = P[2 – 4] = P[– 2]
P[– 2] = (– 2)2 – (–1) + 2 = 4 + 2 + 2 = 8
Cálculo de P{P[2 – P(–1)]}
P{P[2 – P(–1)]} = P(8) = 82 – 8 + 2 = 58
R = P{P[2 – P(–1)]} = 58
Aplicación 2
Si P
x
xx( ) =
+
−
3
1
, calcule P[p(x)]
Resolución

P P x
P
P
x
x
( )[ ]=
+
−
( )
( )
3
1
Reemplazando P(x)

P P x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x( )[ ]=
+
−
+
+
−
−
=
+ + −( )
−
+ − −( )
−
= =
3
1
3
3
1
1
3 3 1
1
3 1
1
4
4

18.O
26
PROBLEMA N.º 1
P(x + 1) = P(x) + x; además P(1) = 1. Indique el valor
de P(5).
Resolución
Tenemos
Si
x = 1: P(2) = P(1) + 1 → P(2) = 2
Si
x = 2: P(3) = P(2) + 2 → P(3) = 4
Si
x = 3: P(4) = P(3) + 3 → P(4) = 7
Si
x = 4: P(5) = P(4) + 4 → P(5) = 11
Se obtuvo el resultado realizando varios reem-
plazos. Otra forma de realizarlo sería usando la
ley telescópica:
Como P(x + 1) = P(x) + x → P(x + 1) – P(x) = x
(+)
Si x = 1: P(2) – P(1) = 1
Si x = 2: P(3) – P(2) = 2
Si x = 3: P(4) – P(3) = 3
Si x = 4: P(5) – P(4) = 4
P(5) – P(1) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
→ P(5) = 11
1
Esta forma es más útil si nos pidieran resulta-
dos más altos como P(100) o P(1213).
PROBLEMA N.º 2
Si P(x2 + x) = x 4 + x2, indique el valor de P(– 1).
Resolución
Como
x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
→ x4 + x2 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)– 1
Luego

P x x
x x2
4 2
+( ) = +
-1
P x x x x−( )= + +( ) − +( )− =1
2 2
1 1 1 1
→ P(– 1) = –1
En este caso se necesitaba
x2 + x = – 1 → x2 + x + 1 =0
Se buscó el factor (x2 + x + 1) que contenga
x4 + x2; esto se calcula por división.
PROBLEMA N.º 3
Si
P x x x xx( ) = +( ) + −( ) − + −5 2 5 3 5 7 2 34 3 2
;
indique el valor de P 5 2−( ).
Resolución
Para encontrar el valor pedido se utilizará el
teorema del resto; esto es:
“El resto de dividir
P
x a
x( )
−
es P(a)”;
es decir P(a) es el resto de dividir
P
x a
x( )
−
.
PROBLEMAS RESUELTOS

27
En el problema
P 5 2−( ) es el resto de dividir
P
x
x( )
− −( )5 2
;
esta división se realizará por Ruffini:
5 2 5 3 5 7 2 3
5 2 3 5 10 5 2 2 5 6
5 2 5 10 2 2 2 5 3
+ − − −
− − − +
+ − +
resto
Luego

P 5 2
3−( ) =
PROBLEMA N.º 4
Si f(x + y) = f(x) + f(y); ∀ x; y ∈ R; pruebe que
a. f(n) = nf(1); ∀ n ∈ Z+
b. f
n
f n
n
1 1
1




( )
+
= ∀ ∈; Z
c. f
m
n
f m nm
n




( )
+
= ∀ ∈1 ; ; Z
Resolución
Como
f(x + y) = f(x) + f(y); ∀ x; y ∈ R; entonces:
Si x = y = 1
f(2) = f(1) + f(1) → f(2) = 2f(1)
Si x = 2; y = 1

f f f f f
f
3 2
2 1
1 3 13( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )= + → =

Si x = 3; y = 1

f f f f f
f
4 3
3 1
1 4 14( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )= + → =

De aquí se concluye que
f(n) = nf(1); ∀ n ∈ Z+
Además

f f nf
n
n n
1 1 1( )
×








= =
→ = ∀ ∈



( )
+
f
n
f n
n
1 1
1
; Z
También

f f mf m
n
fm
n
m
n n












( )= = =
·
·1 1 1
1
→ = ∀ ∈



( )
+
f
m
n
f m nm
n
1 ; ; Z

18.O
28
PROBLEMA N.º 5
Si P P xx x
x
2
1
1
( ) +
−




=· , encuentre el valor de P(3).
Resolución
Tenemos
P P xx x
x
2
1
1
( ) +
−




=· ; dando valores a x tenemos:
si x = 2: P2
(2) · P(3) = 2 (I)
si x = 3: P2
(3) · P(2) = 3 (II)
(II)2 ÷ (I)
P P3
3 3
3
9
2
9
2
( ) ( )= → =
PROBLEMA N.º 6
Si

f f x x
f
f
x
x
x
x
1
2
1 0 1
3
0 1
−( )




( )
= − ( )
=





;
;
si
si
encuentre el valor de f 7
12




.
Resolución
Tenemos

f f f
f
x x x
x
1
2
1
3−( ) ( ) 



( )
= − =;
si x f f= = −







1
2
11
2
1
2
: → =



f 1
2
1
2
si x f f f
f
= = − =











( )2
3
1
31
3
2
3
2 3
2
2 3
: ; /
/
→ =



f 1
3
1
4
Entonces

f
f
f f1
6
1 3
5
6
1
6
3
1
12
1
11
12



( )








= = → = − =
/

f
f
f f5
12
5 6
7
12
5
12
3
11
36
1
25
36



( )








= = → = − =
/
∴ =



f 7
12
25
36

29
1. Si f(x + y) = f(xy); ∀ x; y ∈ R, encuentre el
valor de
J
f f f f
f
=
+ + + +( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 2 3 2014
2015
...
A) 2014 B) 2015 C) 1
D) 0 E) –1
2. Si P(1) + P(2 ) + P(3)+ ... + P(n)=n2P(n); ∀ n ∈ Z+,
además P(1) = 2015, encuentre el valor de
P(2015).
A) 2016 B)
1
1008
C) 1008
D)
1
2016
E) 2015
3. Si P
P x
x
x
( )
+( )
=
+ −1 1
2
; donde P(1) = 1,
encuentre el valor de P(100).
A) 0 B) 10 C) 100
D) 1000 C) 1/10
4. Si P(x + 2) = P(x) + 3x, encuentre el valor de
P(4) – P(– 2).
A) 1 B) 0 C) –1
D) 2 E) – 2
5. Si P n
nn
n
−




= +1
3
3
1
, determine P(1).
A) −2 5 B) 2 5 C) 1
D) 12 E) 2
6. Si f
x
xx( ) =
+2 1, halle

J f f f f= + + + +( ) 











1 1
2
1
3
1
20
...
A) 250 B) 200 C) 40
D) 230 E) 50
7. Si P a x a
Q x
1
2
3 1
( )




= + + ; Q(x) = ax + 1,
calcule P −



1
2
.
A) – 2 B) – 3 C) 1
D) – 1 E) 0

18.O
30
ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS DE GEOMETRÍA
SIMETRÍA DE FIGURAS
Una estrategia de resolución de problemas es aprovechar la simetría que presentan algunas figuras
geométricas, como son los polígonos y los poliedros regulares.
Para ello es importante reconocer qué tipo de simetría presentan, y si tienen más de una, cómo
elegir la simetría que es más conveniente para resolver el problema.
Simetría Central
Es la que presentan las figuras respecto de un punto, al cual se le llama centro de simetría.
Simetría central de un punto
P´ es el simétrico del punto P respecto de O si O es punto medio del segmento PP'.
P O P'
Si O pertenece a la recta PP' y PO = OP', entonces P y P' son simétricos respecto de O.

31
Simetría central de una figura
Una figura F' es el simétrico de la figura F res-
pecto de O si para todo punto P' de F', existe
un punto P en F, tal que O es punto medio de
PP'. (PO = OP')
OF'
F
En el gráfico, el hexágono F' es el simétrico del hexágono F
respecto de O.
• El paralelogramo es una figura que pre-
senta simetría central respecto del punto
de intersección de sus diagonales, por tal
razón a dicho punto se le llama centro del
paralelogramo (centro de simetría).

B P C
A
O
P' D
Para todo P del paralelogramo ABCD,
existe en dicho paralelogramo un P', tal
que O es punto medio de PP'.
• Los polígonos regulares de número de
lados par son simétricos respecto de su
centro.
Observación
Simetría Axial
Es la que presentan las figuras respecto de una
recta, a la cual se le llama recta o eje de simetría.
Simetría axial de un punto
P' es el simétrico axial de P respecto de la recta
L si L es mediatriz de PP'.
P'P
L
En el gráfico, P' es el simétrico de P respecto de la recta L.
L es mediatriz del segmento PP' si L biseca el
segmento PP' perpendicularmente.
Recuerde
Simetría axial de una figura
F' es simétrico axial de F respecto de la recta L
si para todo punto P' de F' existe un punto P en
la figura F, tal que L es mediatriz de P'P.
P'P
F F'
L
El hexágono F ' es el simétrico del hexágono F respecto de
la recta L.

18.O
32
En todo cuadrado, cualquiera de sus diago-
nales es un eje de simetría axial. Entonces los
segmentos que unen un punto cualquiera de
dicha diagonal con los vértices del cuadrado
que no pertenecen a dicha diagonal (eje de
simetría) son de igual longitud, además for-
man ángulos de igual medida con los lados
simétricos del cuadrado.
CB
DA
PP
dd
dd
αα
αα
En el cuadrado ABCD, P pertenece a la recta
BD, entonces PA = PC, además la
mPAB = mPCB.
Observación
Simetría Especular
Es la que presentan las figuras respecto de un
plano, al cual se le llama plano de simetría.
Simetría especular de un punto
P' es el simétrico especular de P respecto del
plano H si H es un plano mediatriz del seg-
mento PP'.
P'P O dd
HH
En el gráfico, P’
es el simétrico
de P respecto del
plano H.
Un plano es mediatriz de un segmento si di-
cho plano biseca el segmento (el plano pasa
por el punto medio del segmento) y el seg-
mento es perpendicular al plano.
Recuerde
Simetría especular de una figura
El tetraedro F' es simétrico especular del te-
traedro F respecto del plano H. Si para todo
punto L' de F' existe un punto L en la figura F,
tal que P es plano mediatriz del segmento L'L.
K K'
L'
J'
I'
L
I
JJ
QQ
NN
OO
MM
PP
En el gráfico, el tetraedro J'K'L'I' es el simétrico especular
del tetraedro JKLI respecto del plano P.
En todo poliedro regular se puede trazar más
de un plano de simetría.
A
C
B
M
D
B
Q
C G
H
N
EA
PP
DD
FF
MM
En el tetraedro regular ABCD, el plano ABM es
uno de sus planos de simetría especular. En el
hexaedro regular ABCDEFGH, los planos ACGE
y MNPQ son planos de simetría especular.
Observación

33
simetría central
PROBLEMA N.º 1
Dado un rectángulo de papel ABCD y centro O,
se dobla la esquina de vértice D hasta hacerla
coincidir con el centro O, como se muestra en
el gráfico, siendo la línea de doblez MN.
Si MN = 10, halle (AM)2 + (CN)2.
A DM
N
O
B C
A) 10 B) 20 C) 30
D) 100 E) 50
Resolución
Sea AM = a y CN = b, entonces nos piden hallar
a2 + b2.
Si prolongamos NO y MO, estas cortan a AB y
BC en P y Q, respectivamente, por ser O centro
de simetría del rectángulo ABCD, entonces P y
Q son los simétricos de N y M respecto de O;
por lo tanto AP = CN = b.
Como PO = ON, MO = OQ, entonces PMNQ es
un rombo, por lo tanto PM = PQ = QN = MN = µ y
del dato del problema MN = 10, entonces µ = 10
b
b
a
a
A DM
N
B
P OOO
CQ



Finalmente, en el PAM: a2 + b2 = 102 = 100
Clave D
PROBLEMA N.º 2
En la siguiente figura se muestran 3 cuadrados,
cuyos lados tienen longitud 3; 4 y 5 como se
observa en el gráfico. Si A y C son centros, halle
el área de la región sombreada.
B
DA
C
3
4
5
A) 25/4 B) 25/2 C) 75/4
D) 20 E) 35/4
Problemas RESUELTOS

18.O
34
Resolución
Sea S0 el área de la región sombreada.
Del dato, A y C son centros de las regiones cua-
dradas de lados 3 y 4, respectivamente, por lo
tanto dichos puntos son centros de simetría
central.
Si prolongamos los lados BC y DC, se forman
4 regiones congruentes de áreas S1, pues estas
rectas son perpendiculares y forman 4 regiones
congruentes, entonces 4S1 = 42 = 16, de donde
S1 = 4.
B
DA
CC
4
3
5
S2S2S2S2
S2S2
S1S1
S1S1S1S1
S0S0
S1S1
S2S2
Análogamente, A es centro de simetría central
del cuadrado de lado 3, entonces al prolongar
los segmentos BA y DA se forman 4 regiones
congruentes de área S2, donde 4S2 = 32 = 9
Entonces S2 = 9/4.
Como el área de la región ABCD es 52 = 25
25 = S0 + S1 + S2
∴ S0 = 25 – 4 – 9/4 = 75/4
Clave C
PROBLEMA N.º 3
ABCD es una región cuadrada de área 20. Si
M y N son puntos medios de CD y AD, respecti-
vamente, calcule el área de la región sombreada.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
B C
A D
M
N
E) 12
Resolución
Las regiones NBD y MAC son congruentes y
de área 5, pues ambas regiones son la cuarta
parte de la región cuadrada ABCD de área 20.
Como ambas regiones comparten la región
OLKJ, al sumar las áreas de las regiones NBD y
MAC es necesario restar dicha área, pues esta
se está considerando dos veces.
B CQ
O
S
K
A D
MP
L J
N
SS
SS
SS
O es centro de simetría central de ABCD y del
cuadrado que se determina por las rectas AM,
BN, CP y DQ (P y Q son puntos medios de AB y
BC, respectivamente).

35
Entonces esta región común de área S es la cuarta parte de la quinta parte de la región cuadrada
ABCD (ver observación adjunta), es decir, es la veinteava parte de la región ABCD, en consecuencia
S = 1, luego el área de la región sombreada que nos piden calcular es
[AKNDJMCOBL] = 2(5) – 1 = 9
Clave B
Propiedad 1
Las rectas perpendiculares trazadas por el centro
de un cuadrado divide a este en cuatro regiones
congruentes.
B CG
A DI
F
H
SS
SSSS
SS
Propiedad 2
En el gráfico, ABCD es un cuadrado; E, F, G y H son
puntos medios de los lados del cuadrado, enton-
ces el área de la región IJKL es la quinta parte del
área de ABCD.
B CF
A
E
D
G
K
L
I
J
H
[IJKL] = 1/5[ABCD]
ABCD: cuadrado de centro O (centro de simetría
central)
Si GI ⊥ HF, entonces las regiones AIOH, BHOG,
CGOF y DFOI son congruentes.
Demostración
B CF
G
D
P
HA
N
E
Q
T
SS
SS SS
SS
SS
SS
SS
SS
3S3S
3S3S
4S4S
3S3S
3S3S
II
JJ
KK
LL
Del gráfico podemos observar que la región triangu-
lar ANE es congruente a la región BIE, por lo tanto su
área S es la cuarta parte de la región ALB.
Repitiendo el procedimiento en cada vértice y trasla-
dando regiones equivalentes, podemos observar que
el área de la región IJKL es la quinta parte de ABCD.
IJKL ABCD[ ]= = [ ]4
1
5
S
Observación

18.O
36
Simetría axial
PROBLEMA N.º 4
En el cuadrado ABCD, calcule x.
B C
G
F
DEA
20º x
A) 40° B) 45° C) 70°
D) 60° E) 65º
Resolución
En todo cuadrado, la diagonal es un eje de si-
metría axial, entonces en el gráfico la
mFCD = mFAD = 20°.
Luego en el ECD: x + 20° = 90°
∴ x = 70°
Clave C
PROBLEMA N.º 5
En un triángulo ABC, se traza la altura BH, de
modo que AC = 2(BH). Calcule la mBCA cuando
AB + BC es mínimo.
A) 30° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 40º
Resolución
D
E
A
2a
H H1 C
B1B
aaaa
aa
aa
45º45º
Como la altura BH debe ser la mitad de AC, en-
tonces BH = a y AC = 2a, para ubicar B, trazamos
la recta que dista a unidades respecto de AC.
Sea B1 un punto en dicha recta, debemos bus-
car ahora que AB1 + B1C sea mínimo.
Si ubicamos D, el simétrico de A respecto de la
recta (eje de simetría), entonces B1D = B1A.
Luego, para ubicar el punto B en la recta me-
diatriz de AD, trazamos DC, de modo que esta
última corta a la mediatriz en B.
Como DA = AC = 2.a
∴ la mBCA = 45°
Clave C
PROBLEMA N.º 6
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
en BC y AC se ubican los puntos E y F, res-
pectivamente. Si BE = 1, EC = 3, AB = 4 y la
mABF = mCEF, calcule BF + FE.
A) 3 B) 4 C) 4 2
D) 5 E) 6 3

37
PROBLEMA N.º 7
En la figura que se muestra, AB = BC, AM = 3,
MC = 1. Si la mAPM = mBPC, halle la longi-
tud del perímetro de la región triangular MPC.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
13
α
x
B
A CM
P
yy
αα
E) 2
Resolución
Sea AB el eje de simetría axial del triángulo
ABC, entonces ABE es el simétrico axial de ABE
respecto de AB, entonces EB = BC; PE = PC = y;
también AE = AC = 4, además la mEAC = 90°.
13
4
α
y
x
B
A CM
E
P
yy
αα
Como los puntos E, P y M son colineales, por lo
tanto en el EAM: EA = 4, AM = 3; por triángulo
notable de 37° y 53°, x + y = 5
Luego la longitud del perímetro de la región
MPC es 6.
Clave C
Resolución
Graficamos el triángulo según el enunciado y
sea la mABF = mCEF = α
4
1 3
y
B E C
A
F
αα
α
xx
Del gráfico nos piden calcular x + y.
Si construimos el ADC, simétrico del
ABC respecto de la recta AC, entonces la
mABF = mADF = α y FD = BF = y; además
ABCD resulta ser un cuadrado de lado 4.
44
1 3
y
y
B E C
A
F
D
αα
α
α
xx
Finalmente, en el ECD, aplicando el teorema
de Pitágoras, ED = 5
∴ x + y = 5
Clave D

18.O
38
Simetría especular
PROBLEMA N.º 8
Con cuatro de seis triángulos equiláteros con-
gruentesseformauntetraedroregulardealturah.
Calcule la longitud de la diagonal del hexaedro
que se forma con todos los triángulos.
A) h 2 B) h 3 C) 2h
D) h 6 E) h
Resolución
Con tres triángulos equiláteros formamos la su-
perficie lateral de un tetraedro regular, con los seis
formamos un hexaedro regular, en el cual si se le
traza un plano secante, se divide al sólido en dos
tetraedros regulares.
h
M
N
h
h
Podemos observar que la única diagonal del
hexaedro es MN, y la longitud de esta es la suma
de las alturas de los dos tetraedros regulares.
∴ MN = 2h.
Clave C
PROBLEMA N.º 9
Dado un cuadrado ABCD, de lado µ, exterior al
plano ABCD se ubican los puntos E y F de modo
que EAB y FCD son triángulos equilátero, Si
EF = 2µ, calcule el volumen del sólido EF-ABCD.
A)
µ3
24
2 B)
µ3
12
2 C)
µ3
6
2
D)
µ3
3
2 E)
µ3
2
2
Resolución
Si prolongamos EA y FB hasta que se corten en
G, análogamente prolongamos ED y FC hasta
que se corten en H. Entonces GHEF es un te-
traedro regular de arista 2µ.









2
2 
E
F
C
H
G
A
B
D
Luego el volumen del sólido EF-ABCD es la mi-
tad del volumen del tetraedro regular GHEF.
Vol.(GHEF) = (2µ)3 2 /12 = 2µ3 2 /3
Vol.(EF-ABCD) = µ3 2 /3
Clave D
PROBLEMA N.º 10
En un prisma triangular regular de volumen V
se ubican los centros de todas sus caras, los
cuales son vértices de un hexaedro. Calcule el
volumen de dicho hexaedro.
A) V/12 B) V/6 C) 3V/5
D) 3V/8 E) V

39
Resolución
Sean O1, O2, O3, O4 y O5 los centros de las caras
delprisma,comosemuestraenlasiguientefigura:
h
h
h
h
h
h
4S4S
O3
O2
O5O5
O1O1O1
O4O4O4
SS
SS
SS
SS
Si el área de la base del prisma es 4S, entonces
el área de la región O1O2O3 =S, luego el volu-
men del hexaedro es 2(S.h/3) y el volumen del
prisma es (4S)(2h)=8Sh=V
Entonces S.h = V/8
V(O1O2O3O4) =2/3(S.h)
∴ V/12
Clave a
PROBLEMA N.º 11
Un tetraedro está conformado por dos trián-
gulos equiláteros y dos triángulos rectángulos
isósceles, tal como se muestra en la figura.
Calcule el volumen del sólido conformado por
cuatro de estos tetraedros si µ = 2.
C
D
A



BBB


 222
A)
4 3
3
B)
4
3
C)
4 2
3
D)
1
3
E)
2 2
3
Resolución
C
F
EA
D
B







OOO
Con cuatro de estos sólidos se forma un octae-
dro regular de arista µ, como se muestra en la
figura. Entonces lo que nos piden es el volumen
del octaedro regular, cuyo volumen es conocido
e igual a
µ3
2
3
.
Según el dato del problema, µ= 2, entonces
el volumen pedido es
2 2
3
4
3
3
= .
Clave B

18.O
40
1. En un rombo ABCD de centro O se ubica M
y N en AB y CD, respectivamente, tal que
MN contiene a O. Si AM + DN = 10, halle la
longitud del rombo ABCD.
A) 40 B) 20 C) 30
D) 35 E) 10
2. En un rombo ABCD, obtuso en B, en AC
se ubica P, de modo que la mPBC=20°,
BP = 4 y la distancia de P a AD es 2 3.
Calcule la mBAC.
A) 10° B) 20° C) 30°
D) 40° E) 50º
3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en
B, en BC y AC se ubican los puntos E y F,
respectivamente. Si BE = 7, EC = 5, AB = 12 y
la mABF = mCEF, calcule BF + FE.
A) 13 B) 14 C) 12
D) 15 E) 10
4. Un octaedro está limitado por 6 triángulos
rectángulos isósceles de catetos de longi-
tud a (congruentes) y por dos triángulos
equiláteros y congruentes de lados a 2 .
Calcule el volumen de dicho octaedro.
A)
a3
3
B) 2
3
3
a
C) 3
4
3
a
D) 5
6
3
a
E) a3
5. El desarrollo de la superficie de un polie-
dro está formado por tres cuadrados igua-
les a los que se muestra en el gráfico, cor-
tados por las líneas punteadas.




AA
B
Y colocados alrededor de un hexágono re-
gular, como se muestra a continuación.
Calcule el volumen de dicho poliedro.
A) 3µ3
B) 4µ3
C) 5µ3
D) 6µ3
E) µ

41
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
DEFINICIONES
Una función, en matemática, es el término usa-
do para indicar la relación o correspondencia
entre dos o más cantidades. Se dice que y es
una función de x si a cada valor de x le corres-
ponde un único valor de y.
La correspondencia entre estas dos variables
se expresa matemáticamente por medio de
una ecuación denominada regla de correspon-
dencia, la cual se denota de la siguiente forma:
y f x= ( ).
Variables independiente y dependiente
El símbolo f(x) se emplea para designar una
función, y se lee: “f de x”. A partir de la nota-
ción y f x= ( ) se le puede asignar x valores a
voluntad dentro de los límites del problema en
particular, por lo que a esta variable x se le de-
nomina variable independiente.
A la variable y o f(x), cuyo valor queda fijado
cuando se le asigna un valor a la variable inde-
pendiente, se le denomina variable dependien-
te o función.
Dominio de una función
Es el conjunto de valores que asume la va-
riable independiente, la cual se denota por
Domf o Df.
Rango de una función
Es el conjunto de valores que asume la variable
dependiente, la cual se denota por Ranf o Rf.
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Se denomina función real de variable real a
toda correspondencia establecida por la defini-
ción f x f x: ( )→ . Esta ley o criterio nos permite
entender que f asocia a números reales con nú-
meros reales tal que x ∈R y  f (x) ∈R.
CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Principales restricciones y criterio de existencia
a. Por funciones trigonométricas
• Si en la regla de correspondencia se
muestra tanx o secx, entonces
x
n
n≠
+( )





∈
2 1
2
π
; Z.
• Si en la regla de correspondencia se
muestra cotx o cscx, entonces
x n n≠ ∈{ π}; Z.

Si en la regla de correspondencia se
muestra senx o cosx, entonces no
habría restricciones, es decir, x ∈R.
Observación
b. La división por cero excluida
Se establece que si se tiene
1
x
, entonces
x ≠ 0.
c. Por existencia de radicales de índice par
Se establece que si se tiene la forma xn
,
entonces x ≥ 0, siendo n un número par.
Establecer esta existencia nos permitirá
realizar el cálculo directo del dominio.

18.O
42
d. Por otros operadores
• Si y = lnx, entonces x 0
• Si y = arcsen(x), entonces x ∈ −[ ; ]1 1
• Si y = arcos(x), entonces x ∈ −[ ; ]1 1
Criterios principales para el cálculo del dominio
• No simplificar la regla de correspondencia
por más evidente que sea.
• Solo de ser necesario, establecer las princi-
pales restricciones y el criterio de existen-
cia a la respectiva variable independiente.
• Realizar el cálculo del dominio con las
condiciones particulares que pueda tener
el problema; es decir, con restricciones o
sin ellas.
Aplicación 1
Calcule el dominio de f (x) = tanx · cotx.
Resolución
No se debe simplificar la regla de correspon-
dencia por más evidente que sea.
Aplicamos las principales restricciones en la re-
gla de correspondencia:
• Debido a tanx, entonces
x
n
n≠
+( ) ∈
2 1
2
π
; Z
• Debido a cotx, entonces x n n≠ ∈π; Z
Luego el cálculo del dominio debido a las res-
tricciones: x
n
n≠ ∈
π
2
; Z
∴ Df R
n
n= −






∈
π
2
; Z
CÁLCULO DEL RANGO de una función
Se establecen las principales restricciones solo
de ser necesario.
Siempre y cuando se pueda, trate usualmente
de expresar la regla de correspondencia en tér-
minos de un único operador trigonométrico.
Si no se puede expresar la regla de correspon-
dencia en términos de un único operador trigo-
nométrico, entonces se aplican otros criterios
como el de funciones crecientes, decrecientes,
gráficas de funciones, criterio de la media arit-
mética y media geométrica, aplicaciones de la
derivada, etcétera.
Respecto a las restricciones realizadas se pro-
cede a calcular la variación de la variable de-
pendiente f(x) según las condiciones particu-
lares que tenga el problema con los criterios
de la circunferencia trigonométrica o el de la
gráfica de funciones.
Aplicación 2
Sea f x
x
x
( ) =
⋅
+
2
1 2
tan
tan
. Determine el rango de la
función f(x).
Resolución
Por restricciones de tanx, entonces
x
n
n≠
+( ) ∈
2 1
2
π
; Z
Simplificando f(x) en un único operador, tene-
mos que f(x) = sen2x
Luego debido a que f(x) = sen2x, además
2 2 1x n n≠ +( ) ∈π; Z; en consecuencia
–1 ≤ sen2x ≤ 1 → –1 ≤ f(x) ≤ 1
∴ Rf = −[ ; ]1 1

43
ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONO-
MÉTRICAS ELEMENTALES
Función seno
π
2
3π
2
π 2π
Y
X0
T=2π
y =senx
(x1;senx1)
(2π; 0)(π; 0)
π
2
; 1
–1
1
f x y R y x x= ∈ = ∈{ }( ; ) / ;2
sen R
Analizamos la gráfica:
• Dom Ranf R f= = −; [ ; ]1 1
• Es función impar sen(– x) = – senx.
• Es función periódica de periodo igual a 2π.
• En el intervalo de [ ; ]0 2π , la gráfica es fun-
ción creciente y decreciente.
Función coseno
π
2
3π
2
π 2π
Y
X0
T=2π
y =cosx
–1
1
(x1;cosx1)(x1;cosx1)
(π; –1)
(2π; 1)
π
2
; 0
3π
2
; 0
f x y R y x x= ∈ = ∈{ }( ; ) / ;2
cos R
• Domf = R; Ranf = [–1; 1]
• Es función par cos(– x) = cosx.
• Es función periódica de periodo igual a 2π.
• En el intervalo de [ ; ]0 2π , la gráfica es fun-
ción creciente y decreciente.
Función tangente
0π
2
–
π
2
π 3π
2
y =tanx
asíntota
(x1;tanx1)
T=π T=π
Y
X
f x y R y x x n n= ∈ = ∈ − +{ } ∈






( ; ) / ; ( ) ;2
2 1
2
tan R Z
π
• Domf R n n= − +( )





∈2 1
2
π
; Z
• Ranf = R
• Es función impar tan(– x) = – tanx.
• Es función periódica de periodo igual a π.
• Es función creciente en su dominio.

18.O
44
ANÁLISIS DE LAS GRáFICAS DE FUNCIO-
NES EN SU FORMA GENERAL
Para las funciones de la forma y = Asen(Bx)
Si y = Asen(Bx) siendo A 0; B 0, la notación
|A| se denomina amplitud de la función.
3π
2B
2π
B
π
2B
Y
X0
2π
B
T=
y =Asen(Bx)
A
–A
|A|
|A|
T
4
T
4
π
B
Para las funciones de la forma y = Acos(Bx)
Si y = Acos(Bx) siendo A 0; B 0, la notación
|A| se denomina amplitud de la función.
3π
2B
Y
X0
A
–A
y =Acos(Bx)
2π
B
π
2B
π
B
2π
B
T=
T
4
T
4
|A|
|A|
Para las funciones de la forma
y = Asen(Bx + c) + D
Si y = Asen(Bx + C) + D siendo A 0; B 0, la no-
tación |A| se denomina amplitud de la función.
Y
X
0
D
2π
B
T=
–
C
B
–
C
B
f(x) =Asen(Bx+C)+D
ymáx
ymín
|A|
|A|
T
4
De la gráfica anterior, establecemos que

A
Y Y
=
−máx mín
2

D
Y Y
=
+máx mín
2

45
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA N.º 1
Calcule el dominio de la función f definida por
f x x x x( ) = + +sen tan cot
Resolución
Analizamos las principales restricciones de tanx
y cotx, por existencia se establece que senx no
admite restricciones.

tan ; ()x x n n→ ≠ +( ){ } ∈2 1
2
π
Z I
cotx → x ≠ {nπ}; n ∈ Z (II)
Luego de unir (I) y (II) concluimos que

x
n
n≠ { } ∈
π
2
; Z
∴ = −{ } ∈Df R
n
n
π
2
; Z
PROBLEMA N.º 2
Calcule el rango de la función f definida por
f x x x( ) = sen sen cos+( )
Resolución
Analizamos la función, y debido a que no exis-
ten restricciones podemos afirmar que
1 2≤ + ≤sen cosx x
En el intervalo de 1 2;  la función seno es
creciente, entonces en base a su definición es-
tablecemos que
sen sen sen cos sen1 2( )≤ +( )≤ ( )x x
sen sen1 2≤ ( )≤f x
∴ =  Rf sen ;sen1 2
PROBLEMA N.º 3
Se define la función f por
f x x x( )= + + −tan tan1 1
Calcule el dominio de f en el intervalo −
π π
2 2
; .
Resolución
Analizamos la existencia de la función
tan ; tan tanx x x+ + ≥ → ≥ −1 1 0 1
1 1 0 1− − ≥ → ≤tan ; tan tanx x x
Luego – 1 ≤ tanx ≤ 1
En el intervalo dado de −
π π
2 2
; podemos afir-
mar que

− ≤ ≤
π π
4 4
x
∴ = −



Df
π π
4 4
;
PROBLEMA N.º 4
Sea la función f definida por

f x( )=



 +4
3
22
sen ·sen
π
x
en el dominio
5
6
3
2
π π
;



. Calcule el rango de f.

18.O
46
Resolución
Debido a que el dominio de f es
5
6
3
2
π π
;



 ,
la función seno es decreciente en el intervalo
5
6
3
2
π π
;




Entonces

− ≤ ≤1
1
2
senx
Luego
− ≤ ≤
π π π
3 3 6
senx
Formamos f(x)

− ≤



 ≤
3
2 3
1
2
sen sen
π
x
2 ≤ f (x) ≤ 5
∴ Ranf =[2: 5]
PROBLEMA N.º 5
Sea la función f definida por

f x x
x
x
x
( )= +



 + +tan
tan
tan
tan
2
2
22
2
4
Calcule el rango de f (x) si está definido en un do-
minio de 2 1 4 3
2
n n n+( ) +( ) ∈π
π
; ; Z.
Resolución
f(x) no admite restricciones debido al dominio
ya establecido.
Debido a que

2 1 4 3
2
0n x n x+( ) +( ) → π
π
tan
Luego redefinimos a f(x) de la forma

f x x
x
( )= + +



 −tan
tan
(*)2
2
2
1 1
Por el criterio de la media aritmética y la media
geométrica

tan
tan tan tan ·
tan
·
tan
2
23
1 1
3
1 1
x
x x x
x x
+ +
≥

tan
tan
2 2
3x
x
+ ≥
Formamos (*)
15 ≤ f(x) ≤ + ∞
∴ Ranf = [15; + ∞〉

47
1. Se define la función f mediante la siguiente
regla de correspondencia:
f x
x x
( ) =
+
1
sen cos
. Calcule su dominio.
A) R
n
n−






∈
π
2
; Z
B) R n n− −






∈π
π
4
; Z
C) R n n− ∈{2 π}; Z
D) R n n− +( )





∈2 1
3
π
; Z
E) R
n
n−
+( )





∈
2 1
6
π
; Z
2. Calcule los valores de la variable inde-
pendiente que no definen a la función f
definida por f(x) = tan2x + cot2x + sec2x.
A)
n
n
π
4






∈; Z
B)
n
n
π
3






∈; Z
C) {2n nπ}; ∈Z
D) 2 1n n+( ){ } ∈π ; Z
E)
2 1
4
n
n
+( )





∈
π
; Z
3. Calcule el dominio de la función f definida
por f x x x( ) = + −3 2 22
cos cos en el inter-
valo de 0; 2π .
A) 0
3
5
3
2; ;
π π
π







∪
B) 0
3
5
3
2; ;
π π
π

 ∪



C) 0; π
π
π[ ]∪




5
3
2;
D) 0
3
;
π

E)
5
3
2
π
π;



4. Calcule el rango de la función f definida por
f x
x x
x
( ) .=
−cos sen
cos
2 2
2
3
A) [ ; ]−1 1
B) [ ; ] ;− − ±








2 2
3
2
0
C) [ ; ] ;− − ±








1 1
3
2
0
D) −1; 1
E) [ ; ] }− −1 1 0{

18.O
48
5. Sea la función f defi nida por
f x x x( ) .= −sen cos2
Calcule el rango de f.
A) [ ; ]1 3
B) [ ; ]−1 2
C) [ ; ]1 4
D) [ ; ]−1 4
E) [ ; ]−1 1
6. Si el dominio de la función f defi nida por
f x x x( )= + +tan cot2
4 1 es π
π
;
3
2
, calcule
el rango de la función f.
A) 4; +∞[
B) 6; +∞[
C) 8; +∞[
D) 10; +∞[
E) 12; +∞[
El sonido es el resultado del recorrido de la energía mecánica a través de materiales en forma de una
onda imperceptible que produce alternativamente los fenómenos de compresión y refracción. El mo-
delo matemático que permite el estudio e investigación de estas ondas y de las denominadas ondas
electromagnéticas está basado en las funciones trigonométricas desarrolladas en diversos campos de
la ingeniería.
Las ondas de radio sinusoidales son continuas, tienen
gran amplitud y ocupan solo una frecuencia cada vez.
1 1 11 00 0
Un pulso radial es una onda simple, breve en duración y de
baja amplitud. Acústicamente se parecería más a un “click” que
a un tono, y por eso ocupa una banda ancha de frecuencias.
Amplitud
Un pulso radial es una onda simple, breve en duración y de
baja amplitud. Acústicamente se parecería más a un “click” que
a un tono, y por eso ocupa una banda ancha de frecuencias.
Amplitud
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