Burbujas de jabón

EXPERIMENTOS CON
´
BURBUJAS DE JABON

Servicio Social de
Luis Eduardo Gonz´lez Gonz´lez
a a
y
Gerardo Mej´ Rodr´
ıa ıguez
con la asesor´ de Clara Eugenia Garza Hume
ıa

´
PROLOGO

Estas notas son el producto del Servicio Social de los alumnos Luis Eduardo
Gonz´lez Gonz´lez y Gerardo Mej´ Rodr´
a a ıa ıguez de la carrera de F´ ısica en la
Facultad de Ciencias de la UNAM bajo la asesor´ de Clara Eugenia Garza
ıa
Hume del IIMAS, UNAM.
El prop´sito de las notas es describir la fabricaciń de modelos sencillos
o o
que permiten realizar experimentos interesantes que ayudan a comprender los
problemas de optimizaciń utilizando pel´
o ıculas de jabń.
o
Debido a la complejidad matem´tica que plantean los problemas de super-
a
ficies y caminos m´ ınimos, es muy util pensar en explicarlos dise˜ ando prćticas
´ n a
(cualitativas), es decir, hacer modelos muy descriptivos, l´gicos, sencillos, llama-
o
tivos y con los que se pueda jugar. Esto facilita la explicaciń de los principios
o
b´sicos.
a
El problema real consiste en dise˜ ar un experimento que funcione, sea muy
n
demostrativo, divertido y que sea de fćil elaboraciń. Adem´s de que sea muy
a o a
barato, que los materiales sean reciclados o materias primas y que se pueda usar
m´s de una vez.
a
Para cada caso (superficies m´ ınimas y caminos m´ ınimos) se dise˜ o un proto-
n´
tipo experimental que llena la mayor´ de las expectativas antes mencionadas,
ıa
pensado principalmente para j´venes de prefacultad y personas que no tienen
o
estudios superiores en matem´ticas o f´
a ısica, pero antes de describir la elabora-
ciń de los mismos, queda claro que s´lo son una sugerencia para la elaboraciń
o o o
de los experimentos. No son manuales.
En general se recomienda la fabricaciń de los s´lidos platńicos, es decir,
o o o
el cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro para el caso de la superficies
m´ ınimas, mientras que para caminos m´ ınimos se recomienda usar la imagina-
ciń o los pol´
o ıgonos regulares para colocaciń de los v´rtices. N´tese que, entre
o e o
m´s aristas o v´rtices contenga el modelo, se necesita de m´s trabajo, tiempo,
a e a
cuidado y paciencia para su elaboraciń. No obstante en general las pel´
o ıculas
formadas por estos ultimos son las m´s espectaculares y llamativas.
´ a

Los modelos pueden construirlos desde ni˜ os de aproximadamente 8 a˜ os
n n
(con supervisiń de un adulto) pero en general el texto est´ dirigido a j´venes
o a o
de nivel medio superior con el fin de fomentar el inter´s por la ciencia.
e
Se considera que son de inter´s tanto para matem´ticos y f´
e a ısicos como para
ingenieros, arquitectos, profesores, personas interesadas en artes pl´sticas etc.
a

1

2

El cap´ıtulo 1 contiene las explicaciones m´s tćnicas pero su lectura no es
a e
necesaria para la realizaciń de los experimentos.
o
El cap´ıtulo 2 detalla la fabricaciń de modelos para visualizar caminos m´
o ıni-
mos. Estos son los modelos m´s complicados.
a
El cap´ıtulo 3 describe c´mo hacer y observar burbujas en el plano.
o
El cap´ ıtulo 4 describe la fabricaciń de modelos que permiten visualizar
o
problemas de minimizaciń en el espacio.
o
La lectura del Apńdice se recomienda a los profesores.
e

Se agradece el apoyo tćnico de Ramiro Ch´vez y Ana P´rez Arteaga. Se
e a e
agradece la cooperaciń de Jos´ Luis Rangel Lozada y de Catalina Stern.
o e

CONTENIDO
´
PROLOGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Cap´
ıtulo 1. LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON ´

1.1 La f´
ısica de las burbujas: Tensiń superficial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
o
1.2 Agua con jabń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
o
1.3 Las matem´ticas de las burbujas:
a
superficies m´ınimas (Leyes de Plateau). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Mezclas adecuadas para los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Fotograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
ıa
ıtulo 2: UNA DIMENSION: CAMINOS M´
Cap´ ´ INIMOS
2.1 Tćnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
e
Cap´ ´
ıtulo 3. DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS
3.1 Tćnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
e
3.2 Panales de abejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ıtulo 4. TRES DIMENSIONES: PEL´
Cap´ ICULAS EN EL ESPACIO
4.1 Una burbujas, muchas burbujas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
4.2 Fabricaciń de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
o
4.3 Modelos con popotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Problema de Kelvin (botella con burbujas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

´
APENDICE: Experiencia en el CCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

Cap´
ıtulo 1

LA CIENCIA DE LAS
BURBUJAS

Antes de entrar en el fascinante mundo de las burbujas, es necesario conocer
un poco m´s sobre el agua, ya que es lo primero que necesitamos si queremos
a
entender las burbujas.

1.1. LA F´
ISICA DE LAS BURBUJAS
El agua es una molćula polar que est´ formada por dos vol´menes de
e a u
hidr´geno y uno de ox´
o ıgeno. Polar significa que un lado de la molćula es positivo
e
y el otro negativo.

Figura 1.1: Molćula de agua
e

Las propiedades del agua pueden dividirse en dos tipos: propiedades f´
ısicas
y propiedades qu´
ımicas.

5

6 LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS

PROPIEDADES F´
ISICAS

El agua es un l´ ıquido incoloro, inodoro e ins´ ıpido. A presiń atmosf´rica,
o e
es decir a 760 mm de mercurio, el punto de fusiń del agua pura es de 0o C y
o
el punto de ebulliciń es de 100o C; cristaliza en forma hexagonal, llamńdose
o a
nieve o hielo. Se expande al congelarse entre los 0 y los -4o cent´
ıgrados, es decir
aumenta de volumen, de ah´ que la densidad del hielo sea menor que la del agua
ı
y por ello el hielo flote en el agua l´
ıquida. El agua alcanza su densidad m´xima
a
a una temperatura de 4o C, que es de 1g/cm3 ([7]).
Su capacidad calor´ ıfica es superior a la de cualquier otro l´ıquido o s´lido,
o
siendo su calor espec´ ıfico de 1 cal/g, esto significa que una masa de agua pue-
de absorber o desprender grandes cantidades de calor, experimentando apenas
cambios de temperatura, lo que tiene gran influencia en el clima. Sus calores
latentes de vaporizaciń y de fusiń son 540 y 80 cal/g respectivamente.
o o
N´tese que el agua es la unica sustancia que a temperaturas normales puede
o ´
encontrarse en los tres estados de agregaciń de la materia: s´lido, l´
o o ıquido y
gaseoso.

PROPIEDADES QU´
IMICAS

El agua es el compuesto qu´ ımico m´s familiar para nosotros, el m´s abun-
a a
dante y el de mayor importancia para nuestra vida. Una razń, desde el punto
o
de vista qu´ ımico, es que casi la totalidad de los procesos qu´ ımicos se realizan
con sustancias disueltas en agua.
No posee propiedades ćidas ni b´sicas, combina con ciertas sales para formar
a a
hidratos, reacciona con los ´xidos de metales formando ćidos y act´ a como
o a u
catalizador en muchas reacciones qu´ ımicas.
La molćula de agua libre y aislada, formada por un ´tomo de ox´
e a ıgeno unido
a otros dos ´tomos de Hidr´geno es triangular. En estado gaseoso el ńgulo
a o a
formado por los enlaces (H-O-H) es de 104,5o y la distancia de enlace O-H es de
0,96 ˚. Puede considerarse que el enlace en la molćula es covalente, con una
A e
cierta participaciń del enlace ińico debido a la diferencia de electronegatividad
o o
entre los ´tomos que la forman.
a

1.2. ´
AGUA CON JABON
Una mezcla para hacer burbujas est´ constituida por molćulas de detergente
a e
y de agua. Cada molćula de jabń est´ formada de una sal met´lica y una larga
e o a a
cadena de molćulas acidas y est´ ionizada en soluciń. Por ejemplo, en el caso
e ´ a o
del estereato de sodio, los iones de sodio tienen una carga positiva y estń a
dispersos a tr´ves de la soluciń, los iones cargados negativamente estń cerca
a o a
de la superficie.

´
AGUA CON JABON 7

´
TENSION SUPERFICIAL

Resulta que la tensiń superficial del agua disminuye al mezclarla con de-
o
tergente. Esta propiedad es la que permite limpiar mejor la ropa, porque al
disminuir la tensiń superficial del agua, ´sta penetra mejor en las fibras de las
o e
telas y los qu´ımicos que contienen esos detergentes act´ an para sacar la mugre
u
de ellas y as´ limpiar la ropa.
ı
Adem´s, dado que un extremo del detergente es hidrof´
a ılico y el otro hidrof´bi-
o
co se forma una estructura de bi-capa que permite la formaciń de burbujas.
o

Figura 1.2: Agua con jabń
o

Como sabemos, el agua est´ hecha de molćulas. Los polos opuestos de estas
a e
part´ıculas microsc´picas se atraen unas con otras con fuerzas que dependen de
o
la distancia entre ellas. Cuanto m´s cerca estń dos molćulas ser´ mayor. La
a e e a
fuerza de atracciń entre diferentes clases de ´tomos es llamada adhesiń y entre
o a o
a
´tomos de la misma clase es llamada cohesiń. o
Aunque las fuerzas de atracciń entre dos molćulas son extremadamente
o e
peque˜ as, la atracciń combinada de miles de millones de molćulas contenidas
n o e
en una peque˜ a porciń de materia es sorprendentemente grande.
n o
Las molćulas que componen un fluido pueden estar en el interior o en la
e
superficie; las que estń en el interior del l´
a ıquido experimentan fuerzas en todas
las direcciones debido a que estń rodeadas por otras molćulas y por lo tanto
a e
su fuerza resultante es cero. En la superficie del l´ ıquido, las molćulas s´lo
e o
experimentan fuerzas debido a sus vecinas m´s pr´ximas y fuerzas debidas a las
a o

8 LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS

molćulas del aire, como la densidad del aire es mucho menor que la densidad del
e
fluido en general, luego entonces podemos decir que las molćulas en la superficie
e
estń atra´
a ıdas parcialmente hacia el interior del fluido. Esta atracciń parcial
o
hacia el interior del fluido hace que se forme una especie de membrana. A este
efecto se le llama tensiń superficial y tiende a reducir el area de la superficie.
o ´
Gracias a este fen´meno, es que las gotas de agua y las burbujas son esf´ricas.
o e

Figura 1.3: Tensiń superficial
o

Otro fen´meno debido a la tensiń superficial, es que los insectos puedan
o o
moverse en la superficie del agua sin hundirse ([2]) o que no se hunda una aguja
o un clip (váse la figura (1.4).)
e
Tambiń la capilaridad se debe a la tensiń superficial. Consiste b´sicamente
e o a
en la elevaciń de un fluido a tr´ves de tubos de peque˜ os di´metros, llamados
o a n a
tubos capilares.
Antes de continuar con las burbujas revisemos un poco m´s acerca de la capi-
a
laridad. El agua sube por los tubos capilares debido a que la fuerza de adhesiń o
del vidrio con el agua es mayor que la fuerza de cohesiń en el agua. Como se
o
habr´ ya notado, la tensiń superficial es una consecuencia de la cohesiń, la
a o o
cual evita que el agua vuelva descender. El agua seguir´ ascendiendo hasta que
a
la tensiń superficial se equilibre con el peso del l´
o ıquido que suba por el tubo.
La altura a la que subir´ el agua en un tubo capilar se obtiene con la siguiente
a
ecuaciń
o
2σ
h= .
Rρg

LAS MATEMATICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES M´
´ INIMAS 9

Figura 1.4: Aguja en la superficie del agua

Aqu´ σ es la tensiń superficial, R es el radio de la secciń del tubo, ρ es
ı o o
la densidad del fluido y g es la aceleraciń debida a la gravedad. La tensiń
o o
superficial es la que regula parcialmente el ascenso de la savia dentro de los
a
´rboles.

1.3. ´
LAS MATEMATICAS DE LAS
BURBUJAS: SUPERFICIES M´
INIMAS
Pueden hacerse los experimentos de los cap´ ıtulos 2, 3 y 4 antes de leer esta
secciń.
o
Una pel´ ıcula de jabń consiste en dos superficies separadas por una delgada
o
capa de fluido, cuyo ancho puede variar de 2,5×105 ˚a 50 ˚. En la pel´
A A ıcula cada
superficie est´ compuesta de iones de jabń separados por molćulas de agua.
a o e
El ancho de la pel´ ıcula decrece hasta alcanzar un tama˜ o final de equilibrio.
n
Cada una de las superficies tiene una tensiń superficial asociada.
o
En t´rminos matem´ticos la tensiń superficial se define como la fuerza de
e a o
contracciń a lo largo de una l´
o ınea de longitud unitaria, siendo perpendiculares
las direcciones de la fuerza y de la l´ınea y estando ambas en la superficie del
l´
ıquido. Si F es la fuerza m´xima y l es la longitud unitaria, la tensiń superficial
a o
σ, se obtiene con

10 ´
LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON

Figura 1.5: Capilaridad

Figura 1.6: Estrutura de bi-capa en agua con jabń
o

F
σ= .
2l
El factor dos se agrega debido al hecho ya mencionado de que las pel´ıculas de
jabń estń formadas por dos capas.
o a
Dentro de las burbujas hay aire a presiń. Podemos relacionar la presiń
o o
interna de la burbuja con su radio y la tensiń de la pel´
o ıcula por medio de la

´ INIMAS 11

ecuacion de Laplace-Young
σ
P = .
2R
La forma esf´rica de las burbujas se debe a que siguen el principio de m´
e ınima
energ´ y la energ´ es proporcional a la superficie. Dado un volumen fijo, la
ıa ıa
figura geom´trica con menor superficie es la esfera.
e

1.3.1. LEYES DE PLATEAU
Antes de leer esta secciń se recomienda dar una revisiń minuciosa a las
o o
fotograf´ o mejor a´ n, que ya se hayan hecho algunos de los modelos que se
ıas, u
describen en cap´ ıtulos posteriores. Esto ultimo es muy importante porque de
´
esta manera se evita estar prejuiciado con los resultados que se obtienen.
Los resultados que a continuaciń se muestran son experimentales, es decir
o
que surgieron de la observaciń y descripciń de experimentos como los que se
o o
pueden hacer con los modelos que se describen en este trabajo.
El que describi´ estas tres leyes fue Joseph Plateau hace como 100 a˜ os y
o n
encontr´ entre sus experimentos tres condiciones geom´tricas que cumplen las
o e
pel´ıculas de jabń.
o
Para encontrar la primera basta tomar cualquier modelo de caminos m´ ınimos
y mirarlo por uno de los costados. Se observa que son pel´ ıculas las que forman
el recorrido entre los v´rtices que se fijaron en el modelo.
e
Ahora si vemos los v´rtices formados por la pel´
e ıcula de jabń, todos sin
o
excepciń alguna estń formados por tres l´
o a ıneas.

Primera ley: “Tres superficies de jabń se intersectan a lo largo de una l´
o ınea.
El ńgulo formado por los planos tangenciales a dos superficies que se
a
intersectan, en cualquier punto a lo largo de la l´
ınea de intersecciń de las
o
tres superficies, es de 120o ”.

Segunda ley: “ Cuatro de las l´
ıneas, todas formadas por la intersecciń de tres
o
superficies, se intersectan en un punto y el ńgulo formado por cada par
a
de ellas es de 109o 28’”.

Tercera ley: “Una pel´ıcula de jabń que puede moverse libremente sobre una
o
superficie la intersecta en un ńgulo de 90o ”.
a

La Primera y Segunda ley se pueden observar en cualquiera de los modelos
de superficies m´ ınimas. La Primera y Tercera ley se observan claramente en los
modelos de caminos m´ ınimos.
Cabe destacar que si encuentra que alguna de esta leyes no parece cumplirse,
basta perturbar (pegar o soplar) al modelo para que caiga en cualquiera de estas
situaciones. Eso se debe a que lo que est´ mirando no es un punto m´
a ınimo, es
decir estable, sino que m´s bien es meta estable y cualquier perturbaciń lleva
a o
a un estado m´s estable.
a

12 ´

1.3.2. ´
ECUACION DE EULER-LAGRANGE
Si no quiere ver ecuaciones puede pasar a la secciń 1.4. o
Las burbujas y pel´ ıculas de jabń minimizan ´rea. La rama de las matem´ti-
o a a
cas que trata los problemas de minimizaciń es el C´lculo de Variaciones. Mi-
o a
nimizar ´rea es equivalente a resolver una ecuaciń diferencial parcial asociada,
a o
la ecuaciń de Euler-Lagrange.
o
Muchas veces resolver matem´ticamente un problema es muy dif´ los pro-
a ıcil;
blemas en los que se quieren m´ximos o m´
a ınimos son irresolubles y algunas
veces hasta incomprensibles. Aun cuando ya se tiene entendido el problema
y una ecuaciń que lo modele, no siempre se sabe si tiene soluciń; algunas
o o
veces se pueden hacer aproximaciones o se encuentran soluciones particulares
para problemas muy espec´ ıficos. A veces existen soluciones que no se observan
f´
ısicamente.
Las burbujas y pel´ ıculas de jabń que se muestran en las fotograf´ o se
o ıas
observan en los modelos son las superficies m´ ınimas que se obtienen en cada
caso y aunque no conozcamos c´mo se resuelven matem´ticamente s´ conocemos
o a ı
las soluciones porque las podemos ver y manipular.
Cada caso corresponde a minimizar la energ´ de la pel´
ıa ıcula de jabń. Lo
o
que los diferencia son las condiciones a los que estń sometidos, por ejemplo
a
si la pel´ ıcula de jabń no hace contacto con nada se hace una burbuja esf´rica
o e
como las que todos hemos visto. Sin embargo la pel´ ıcula cambia de forma si
entra en contacto con otra burbuja, parece un mu˜ eco de nieve o si cae sobre
n
una superficie mojada se queda s´lo la mitad.
o
Lagrange formul´ una teor´ matem´tica para resolver los problemas de
o ıa a
mecńica cl´sica (es decir, la que formul´ Newton) con la cual a partir de una
a a o
relaciń entre la energ´ en reposo y la energ´ en movimiento de los objetos
o ıa ıa
podemos conocer la din´mica de los cuerpos.
a
Para encontrar los m´ ınimos en la energ´ de Lagrange y de hecho en la
ıa
energ´ en general, se busca minimizar otra cosa que se llama la acciń que es
ıa o
algo as´ como la suma de las energ´ en cada punto. Encontrar estos m´
ı ıas ınimos
es equivalente a resolver una ecuaciń diferencial de la energ´
o ıa.
A esta ecuaciń se le conoce como la ecuaciń de Euler-Lagrange y var´ mu-
o o ıa
cho dependiendo del tipo de problema; puede resultar muy sencilla o totalmente
irresoluble.
Para las pel´ ıculas de jabń, la ecuaciń de Euler-Lagrange es en general una
o o
ecuaciń diferencial parcial no lineal. Si la superficie est´ dada por z = f (x, y) y
o a
H es la curvatura media de la superficie, la condiciń para tener una superficie
o
m´ ınima es
2 2
1 + fy fxx − 2fx fy fxy + 1 + fy fyy
H= 3 ,
2 2
2 1 + fx + fy 2
donde los sub´
ındices denotan derivadas parciales, es decir,

∂f ∂2f
fx = , fxx = .
∂x ∂x2

´ INIMAS 13

1.3.3. ´
ECUACION DE YOUNG-LAPLACE
Para el caso de una burbuja de jabń ya conocemos la relaciń entre la
o o
presiń P en la burbuja y la tensiń superficial σ; para el caso de tener dos
o o
burbujas unidas de tama˜ os diferentes, se puede calcular la curvatura de la
n
pel´
ıcula que se forma entre ellas. Pero adem´s se puede conocer la presiń que
a o
existe sobre esta superficie.

1 1
P =σ + .
R1 R2
Aqu´ R1 y R2 son los radios principales de curvatura sobre la superficie. Entonces
ı
para la curvatura media tenemos la siguiente relacińo

1 1 1
H= + .
2 R1 R2
Con esto podemos escribir ahora la ecuaciń de Young-Laplace en la forma
o
de la ecuaciń de Euler-Lagrange.
o
2 2
P 1 + fy fxx − 2fx fy fxy + 1 + fy fyy
= 3 .
σ 1 + f2 + f2 2
x y

De esta manera adem´s podemos ver que la ecuaciń de Young-Laplace no
a o
s´lo describe el caso de las burbujas, sino que tambiń sirve para el caso de gotas
o e
(ya sea que estń sobre una superficie o que provengan de un tubo), chorros de
e
agua por ejemplo y el fen´meno de la capilaridad.
o
Obviamente esta ecuaciń cambia si cambiamos la geometr´ y se puede
o ıa
volver m´s sencilla pero esto depende del problema al que nos enfrentemos.
a

1.4. MEZCLAS ADECUADAS PARA LOS EX-
PERIMENTOS
Hasta ahora se ha estudiado la caracterizaciń de la tensiń superficial de
o o
las mezclas de jabń y del agua; el siguiente paso es saber cu´les son las mezclas
o a
que mejor funcionan para hacer burbujas.
La primera de la f´rmulas que cualquier persona conoce para hacer burbujas
o
es la de detergente diluido en agua; se puede usar tanto detergente l´ıquido para
ropa como jabń para trastes. Se recomienda Vel Rosita o Dawn amarillo.
o
Estas mezclas s´lo funcionan para hacer burbujas de tamaõ relativamente
o n
peque˜ o y de poca duraciń, pero sirven bien para las pel´
n o ıculas que se forman
en los modelos de los caminos y superficies m´ ınimas.
El secreto para aumentar la duraciń es agregarles una sustancia que reduzca
o
la evaporaciń, que por lo regular es glicerina. As´ pues, la primera mezcla que
o ı
se propone es:
-1 taza de agua.

14 ´

-1 taza de glicerina.
-1 taza de Vel Rosita.
Utilizando esta mezcla obtenemos burbujas que duran bastante. La desven-
taja de usar esta f´rmula es que la glicerina debe ser pura para que la mezcla
o
funcione bien.
Si queremos obtener burbujas de gran di´metro la f´rmula a utilizar es:
a o
-2 tazas de agua
-1 taza de Vel Rosita.
-Media taza de agua con linaza.
El agua con linaza utilizada en este caso debe tener una concentraciń de 3
o
cucharadas soperas diluidas en tres cuartos de litro de agua, la mezcla se pone
a hervir durante unos quince minutos y se mezcla con el Vel Rosita cuando el
agua con linaza est´ a´ n tibia.
e u
Si las mezclas se dejan reposar durante veinticuatro horas funcionan mejor.
Los factores ambientales, tales como la humedad y la temperatura influyen en
la duraciń de las burbujas; a mayor humedad duran m´s las burbujas ya que
o a
hay menos evaporaciń. o

1.5. FOTOGRAF´
IA
En realidad las fotograf´ que fueron tomadas para este trabajo se lograron
ıas
usando tipos de c´maras e iluminaciones distintas para buscar el mejor resultado
a
posible para cada tipo de foto.
Por ejemplo, en las fotograf´ gu´ para la construcciń de los modelos la
ıas ıa o
definiciń no es muy importante, sin embargo, en el caso de las burbujas es muy
o
importante no s´lo la definiciń sino adem´s la calidad en color, ya que de esto
o o a
depende que se distingan las pel´ ıculas de jabń y qu´ tan vistosos son los reflejos
o e
que se forman sobre ellas.
Para tomar algunas fotograf´ como en el caso de los catenoides, se tomaron
ıas,
videos con una c´mara handycam de 8mm con zoom ´ptico (es decir que no se
a o
us´ el zoom digital que tienen este tipo de videoc´maras), e iluminaciń blanca
o a o
(como la que producen los llamados focos ahorradores).
Una vez que ya se contaba con los videos, tomados a 24 cuadros por segundo,
se digitalizaron a videos con el tama˜ o (en p´
n ıxeles) de la pantalla de televisiń
o
(normal, no de alta definiciń) a 30 cuadros por segundo, y se tomaron algunos
o
cuadros, que son las fotograf´ıas.
En otro caso se tomaron directamente fotograf´ con la luz natural o con
ıas
focos incandescentes y con una c´mara fotogr´fica digital. El unico cuidado que
a a ´
se tuvo en este caso fue que tiempo de apertura del obturador fuera el m´s corto
a
que la c´mara permitiera tener.
a
Otra forma en la que se tomaron algunas im´genes consisti´ en conectar
a o
una videoc´mara directamente a un ordenador y en tiempo real tomar algunos
a
cuadros.
Cabe mencionar que para todas las fotos se us´ una iluminaciń que estu-
o o
viera en la parte posterior a la c´mara, tratando de evitar sombras y reflejos
a

´ INIMAS 15

que afectaran la visibilidad de las fotos. Se recomienda que si desean tomar
algunas fotograf´ no se busquen cosas demasiado elaboradas; en general las
ıas
cosas espont´neas resultan mejor.
a

16 ´

Cap´
ıtulo 2

´
UNA DIMENSION:
CAMINOS M´
INIMOS

2.1. ´
TECNICA EXPERIMENTAL
Un modelo sencillo para caminos m´ ınimos consiste en colocar v´rtices sobre
e
una botella, con lo que adem´s se demuestra que los principios b´sicos no de-
a a
penden de la geometr´ Para hacerlos, con una aguja, alfiler o trozo de alambre
ıa.
caliente (esto facilita la perforaciń) se agujera una botella de pl´stico (de PET,
o a
como las de refresco).
Cabe aclarar que la botella tiene que ser transparente o no se va a observar
nada, tiene que ser grande y previamente se le debieron cortar ambos extremos.
Una vez agujerada se hace pasar hilo a trav´s de los agujeros, de tal manera
e
que pasen de un lado a otro de la botella, formando una serie de columnas
paralelas que comienzan en un lado y terminan al otro (váse la figura 2.1.)
e
Si el hilo est´ muy cerca de las orillas, las pel´
a ıculas se forman entre la botella
y los hilos. A las trayectorias marcadas sobre la superficie de la botella se les
llama geod´sicas. Para observar de mejor manera las geod´sicas se coloca un
e e
solo hilo que atraviese la botella.
Un problema com´ n con este modelo sucede cuando se forma la pel´
u ıcula de
jabń en el hilo hacia ambos lados, esto va a alterar la superficie por lo que es
o
recomendable romper uno de los lados. Adem´s se puede formar una pel´
a ıcula de
jabń dentro de la botella, que la cubra totalmente pero s´lo tiene que romperse.
o o

Ahora se va a describir la elaboraciń del prototipo que dise˜ amos para
o n
visualizar caminos m´ ınimos en el plano. Se presenta el proceso de fabricaciń
o
de un hex´gono regular.
a
Cabe aclarar que el procedimiento no es tan fćil como el de las superfi-
a
cies y que hasta cierto punto puede ser peligroso debido a que se trabaja con
fuego por lo que no recomendamos estos modelos para ni˜ os muy peque˜ os ni
n n
piromaniacos.

17

18 UNA DIMENSION: CAMINOS M´
´ INIMOS

Figura 2.1: Modelo para observar geod´sicas
e

Se puede empezar por los experimentos m´s sencillos de los cap´
a ıtulos 3 y 4.
Los materiales a usar se enumeran en la siguiente lista:

1. Cajas de CD, es muy importante que las tapas o al menos una sean trans-
parentes, que no tengan hoyos o rebabas, que no sean opacas, que no
tengan residuos pegados o incrustados y sobre que no estń rotas ni es-
e
trelladas sobre las caras. (Se puede usar cualquier otro trozo de acr´
ılico
delgado de aproximadamente 10cm por 10cm.)

2. Hilo; puede usarse cualquier hilo grueso como por ejemplo hilo de ca˜ amo
n
o hilo de nylon para pesca.

3. Remaches. Esto es opcional ya que es con estos con los que se le da es-
tabilidad al sistema, aunque tambiń pueden ser substituidos por alguna
e
otra cosa por ejemplo trozos de goma.

Tenemos que recordar que en este caso lo que nos interesa es mostrar caminos
m´ınimos, por lo que se piensa en dibujar figuras planas, entonces para escoger
la cantidad de v´rtices y la disposiciń de estos, debemos tener claro que entre
e o
m´s v´rtices m´s agujeros se tienen que hacer y es m´s trabajo.
a e a a
Por otro lado, debemos de utilizar la mayor ´rea posible sobre las tapas y
a
no amontonarlos en un solo lugar, esto nos facilitar´ el trabajo, adem´s de que
a a
los fen´menos son m´s notorios y que se eliminan los efectos de frontera.
o a
Para este caso, como ya se hab´ mencionado anteriormente, se escogi´ la
ıa o
elaboraciń de un hex´gono regular. Ahora bien, lo primero que se tiene que ha-
o a
cer es separar las tapas de las caja de CD. Esto puede variar mucho dependiendo
del tipo de caja en este caso explicamos como separar las cajas m´s comunes.
a

´
TECNICA EXPERIMENTAL 19

Figura 2.2: Caja de CD

Primero se quita la tapa superior; esto se hace s´lo abriendo la caja y jalando
o
las patas que la unen a la caja, luego se le quitan los papeles que tenga (si es
que trae), esto no debe tener ning´ n problema.
u

Despu´s a la parte de abajo, se le tiene que quitar la base del disco, para
e
hacerlo tenemos que girarla hacia el lado que tiene el margen de la tapa superior

´ INIMOS

y con ayuda de una u˜ a, desarmador o navaja, separar una de las esquinas
n
introducińdolo y girando, para que se bote la uniń.
e o
Esto se hace en la otra esquina y se jala con cuidado para botar la base del
disco, (esta ultima se puede desechar), lo siguiente es colocar las tapas contra-
puestas, es decir, juntar las caras externas como si se dieran la espalda.

Es necesario que una vez as´ las tapas ya no se muevan una respecto a la
ı
otra; para ello podemos usar pinzas para colgar ropa. Si es necesario con mucho
cuidado se puede romper algunos de los bordes laterales tratando de no romper
las caras de las tapas.
Una vez fijo vamos a marcar con un plumń los v´rtices sobre una de las
o e
caras, la cual va a ser la base del modelo (de preferencia ser´ la que este m´s
a a
maltratada o sea de color).
Otra manera de marcarlos es hacer los puntos sobre un papel y colocar el
papel entre las dos tapas. Es util en el caso de los pol´
´ ıgonos regulares o si se
quiere tener m´s control sobre la disposiciń de los puntos.
a o
Lo siguiente es perforar las tapas. El tama˜ o de la perforaciń debe ser
n o
aproximadamente igual al grosor del hilo. Se recomienda que para agujerar se
usen, objetos con distintos di´metros progresivamente de menor a mayor, esto
a
facilitara la perforaciń y evitar´ que se rompan las tapas.
o a
Ahora bien para perforar, con mucho cuidado se calienta una aguja direc-
tamente sobre una flama un par de minutos; si el tiempo de calentamiento es
muy corto puede suceder que la aguja se quede atorada, y al momento de querer
sacarla rompamos las tapas, por eso es recomendable usar guantes o unas pinzas
y dejar que la aguja se caliente lo suficiente.
Con la aguja caliente se perforan las tapas justo donde se marcaron los
v´rtices, esto se logra s´lo recargando la aguja sobre estas y se repite con todos
e o

´

los v´rtices. Una vez que ya se perforaron todos se cambia la aguja por algo de un
e
di´metro m´s grande (un clip desdoblado por ejemplo), y se perfora nuevamente
a a
sobre los hoyos. Esto se repite hasta que se tenga el tama˜ o deseado.
n
Tambi´n se puede utilizar un taladro.
e
Cabe aclarar que se tienen que perforar ambas tapas, es decir que se debe
de atravesar de un lado a otro cuando se perfore. Cuando los agujeros est´n e
listos, con un remache caliente, sobre la base se perforan las esquinas, pero no
se deben de atravesar las dos tapas, una tapa debe de quedar perforada y la

´ INIMOS

otra s´lo quedar marcada. Esto ultimo es optativo y sirve para marcar el lugar
o ´
donde ir´n los remaches.
a

Figura 2.3: Remache en la tapa

Ya hecho lo anterior lo siguiente es separar las tapas; que como ya se habr´n
a
dado cuenta quedaron pegadas, esto se tiene que realizar con mucho cuidado,
porque de lo contrario se pueden romper. Para separarlas s´lo tenemos que jalar-
o

´

las muy despacio en direcciones opuestas, si se hace bien comenzar´ a “crujir”;
a
esto significa que se estń despegando.
a
Cabe se˜ alar que no importa si se estrellan, siempre y cuando no se rompan.
n
Ya separadas se deben de eliminar todas las rebabas que le queden a los hoyos,
esto se logra raspńdolas con un exacto.
a
Finalmente si se accedi´ al uso, los remaches se incrustan sobre la base de
o
tal manera que la parte larga quede del lado de la superficie que nos interesa.
Para hacerlo se calienta por un corto tiempo la parte “gorda”del remache y se
introduce sobre los hoyos en las esquinas (marcados anteriormente), una vez
adentro se mete en agua para enfriarlo y as´ el remache quede fijo sobre la tapa.
ı

Figura 2.4: Remache en la tapa

Si se cae no importa, se puede pegar con alg´ n pegamento si se desea. Si no,
u
se le pueden quitar los remaches, esto sirve para guardar en un menor espacio
los modelos, cuando se quieran volver a usar solo se colocan nuevamente.
Para finalizar, cuando los remaches estń colocados en su lugar, sobre ellos
e
se pone la otra tapa, en la misma posiciń con la que se perfor´, buscando que
o o
las marcas coincidan con las cabezas de los remaches.
Se hace pasar el hilo de manera que atraviese por las dos tapas justo por
los agujeros que estń sobre la misma vertical. Un solo hilo es necesario y para
a
amarrar se hace un nudo en un extremo y se jala del otro, buscando que quede
lo m´s tenso que sea posible. Se hace un nudo y con esto se termina el modelo.
a
Si se prefiere no usar los remaches una vez separadas las tapas y elimina-
das las rebabas, se hace pasar el hilo pero al momento de tensar se colocan
los substitutos del remache en las esquinas (en nuestro caso fueron gomas), o
simplemente, no se tensa y se deja hilo para que se puedan separar una pulgada

´ INIMOS

Figura 2.5: Remache

Figura 2.6: Colocaci´n del hilo
o

las tapas. Si se deja menos hilo es posible que los efectos de frontera sean muy
notorios y no se forme lo esperado.
Si se forman pel´ ıculas entre los v´rtices y los remaches s´lo se tienen que
e o
romper.

´

Figura 2.7: Modelo terminado

Si se desea un modelo m´s firme se pueden usar tornillos en vez de hilo y
a
fijarlos con dos tuercas en cada cara.
Al sumergir los modelos terminados en agua con jabń observe cuidadosa-
o
mente si se cumplen las leyes de Plateau.

26 ´
DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS

Cap´
ıtulo 3

DOS DIMENSIONES:
´
CUMULOS PLANOS

3.1. ´
TECNICA EXPERIMENTAL
La forma m´s sencilla de observar c´ mulos planos es hacer muchas burbujas
a u
sobre un acetato mojado. Lo que se ve sobre el acetato es un c´ mulo plano. Por
u
ejemplo, si se pone una burbuja sobre un acetato, la curva que se dibuja en ´ste
e
es un c´ırculo. Este es el equivalente bidimensional de la esfera.
Si se ponen dos burbujas se observa la ﬁgura 3.1.

Figura 3.1: Burbuja doble en el plano

27

28 ´

Observe bien la curva que separa las dos burbujas. ¿Por qu´ se curva como
e
lo hace?
Agregue m´s burbujas y observe c´mo se comportan. En particular observe
a o
que se cumplen las Leyes de Plateau.

Figura 3.2: Burbujas sobre el agua

Si se quieren hacer burbujas del mismo tama˜ o se puede utilizar una jeringa
n
-sin aguja- (primero se jala el ´mbolo y luego se toca la soluciń de jabń con
e o o
la punta). Tambien se puede utilizar una “pera”para beb´. e
Es interesante observar lo que sucede al llenar con burbujas recipientes de
distintas formas, por ejemplo el redondo de la figura (3.3) o el esf´rico de la
e
figura (3.4).

Figura 3.3: Burbujas en un traste redondo

´

Figura 3.4:

3.2. PANALES DE ABEJAS
Cuando hay muchas burbujas juntas del mismo tama˜ o el problema que tiene
n
que resolver es: c´mo subdividir el plano en ´reas iguales con per´
o a ımetro m´
ınimo.
Si las abejas fueran bidimensionales tendr´ que resolver este mismo problema
ıan
al construir sus panales. La soluciń que han encontrado es la siguiente:
o

Figura 3.5: Panal de abejas

En el plano los hex´gonos proporcionan la configuraciń ´ptima. Esto fue
a o o
demostrado apenas en el a˜ o 2000 por Hales ([3]).
n

30 ´

Cap´
ıtulo 4

TRES DIMENSIONES:
PEL´
ICULAS EN EL
ESPACIO

En este cap´
ıtulo estudiaremos superﬁcies m´
ınimas en el espacio.

4.1. UNA BURBUJA, MUCHAS BURBUJAS
Una burbuja sola es siempre esf´rica. En el cap´
e ıtulo 1 se vio la raz´n.
o

Figura 4.1: Una burbuja

31

32 PEL´
ICULAS EN EL ESPACIO

¿Y si hay varias burbujas unidas? Para observar qu´ sucede en este caso se
e
puede usar un aro m´ ltiple o coladera grande.
u

Figura 4.2: C´ mulo de burbujas
u

Esto entre otras cosas sirve para observar los v´rtices y las l´
e ıneas que los
unen, ya que estos son los que se busca reproducir con los modelos que se
describen posteriormente.
Observe que se cumplen las leyes de Plateau.

4.2. ´
FABRICACION DE MODELOS
La muestra m´s sencilla de las superficies m´
a ınimas despu´s de las burbujas
e
(formadas por soplarle al aro que ha sido sumergido en agua con jabń) y o
que se puede dejar est´tico, es formar el catenoide verticalmente con pel´
a ıculas,
es decir, la forma que toma el jabń cuando se introduce un aro (entre m´s
o a
redondo mejor) al jabń y se lo retira despacio horizontalmente, si el aro es lo
o
suficientemente grande, a simple vista se observa que se forma un “barrilito”de
jabń, que comienza en el agua y termina en el aro.
o
Esto es m´s espectacular si se toman dos aros (no necesariamente del mismo
a
tama˜ o y forma) se juntan y se meten al jabń, al sacarlos se puede o no, romper
n o
la pel´
ıcula formada dentro de cada aro (esto es importante porque pasan cosas
diferentes en cada caso).
Cuando se separan con cuidado, se forma nuevamente el barril (con cinturń o
si no se rompi´ la pel´
o ıcula dentro del aro y sin cinturń en el caso contrario)
o

´
FABRICACION DE MODELOS 33

que comienza a deformarse en cuanto se muevan los aros. Tambi´n se pueden
e
usar m´s aros si as´ se desea pero se necesitan una mayor cantidad de manos
a ı
para jugar con ellos.
Las siguientes cuatro fotograf´ muestran lo que sucede con un catenoide
ıas
cuando se incrementa la separaci´n entre los aros. Despu´s de la ruptura la
o e
pel´
ıcula se divide en dos discos.

Figura 4.3: Catenoide

Figura 4.4: Catenoide m´s delgado
a

El siguiente caso y por mucho el m´s creativo y espectacular, consiste en
a
formar curvas cerradas usando un trozo de cable o alambre. El resultado es m´s
a
interesante si la curva no est´ contenida en un plano.
a

34 PEL´
ICULAS EN EL ESPACIO

Figura 4.5: Catenoide. Justo antes de la ruptura

Figura 4.6: Despu´s de la ruptura. Hay dos discos sobre los aros y una burbujita
e
inexplicable

Existen otros modelos sencillos de realizar y que son muy intuitivos; para
estos se recomienda ver las fotograf´ y jugar con los materiales disponibles. Por
ıas
ejemplo con hilo y alambre o popotes, se pueden hacer superficies deformables,
superficies con hoyos, etc.
Ahora bien, si se piensa en modelos m´s complicados, o mejor dicho, en
a
dise˜ os en que los principios b´sicos sean mas claros y se tenga un mayor control,
n a
entonces se encuentra con que los prismas regulares y los s´lidos platńicos son
o o

´
FABRICACION DE MODELOS 35

Figura 4.7: Modelo de alambre
Figura 4.8: Desde otro ´ngulo
a

Figura 4.9: Otro modelo de alambre Figura 4.10: Desde otro ´ngulo
a

Figura 4.11: Nudo de alambre

36 BURBUJAS EN EL ESPACIO

una excelente opciń.
o
Esto se debe, por una parte a que son los s´lidos m´s sencillos y por otra, a
o a
que las superficies formadas muestran claramente la formaciń de los ńgulos y
o a
la uniń entre pel´
o ıculas.
Y si no son muy r´ ıgidos o muy bien elaborados, podemos deformar la geo-
metr´ fćilmente y demostrar que las Leyes de Plateau no dependen de ´sta, o
ıa a e
encontrar algunos problemas de frontera que tambiń son importantes de men-
e
cionar.

4.3. MODELOS CON POPOTES
Para la elaboraciń de estos prototipos se necesitan los siguientes materiales:
o
1. Popotes para caf´; es importante que sean popotes para caf´ y no popotes
e e
convencionales porque son m´s duros y no se deforman, esto es impor-
a
tante porque con estos se forman las aristas, el problema con los popotes
convencionales es que se rompen y se doblan con mucha facilidad y si no
son firmes pues sencillamente la figura se deshace.
2. Hilo; casi cualquier hilo funciona pero se recomienda hilo grueso (por ejem-
plo de nylon para pesca o de cńamo) porque entre m´s grueso es el hilo
a˜ a
m´s estable queda la figura y m´s resistente es; cabe aclarar que es muy
a a
imporartante que el hilo pueda pasar sin problema dentro del popote varias
veces.
3. Plasti-loka o un equivalente; esto es opcional, es decir, si se necesita o
quiere que los modelos sean r´
ıgidos y no se muevan o duren mucho tiempo
es recomendable usarla, pero si se quiere que los modelos se doblen se
deformen o se puedan desarmar es mejor no.
Lo primero que se hace es escoger una figura, en este caso se escogi´ el o
tetraedro. Una vez con la figura elegida se junta el n´ mero de popotes que se
u
necesite, es decir, el n´ mero de aristas que la figura tenga- en este caso seis.
u
Ahora bien cabe aclarar que si la figura tiene muchas caras o caras muy gran-
des, es mejor recortar los popotes ya que si la figura es muy grande se necesita
de mucho jabń y una tarja lo bastante grande para que quepan las figuras. Para
o
cortar los popotes se recomienda usar un “cutter”sobre una base r´ ıgida aunque
con unas tijeras se puede tambiń; en este caso tampoco se necesit´ cortar los
e o
popotes.
Para formar la figura, se hace pasar el hilo por un popote, luego por otro,
luego por otro y as´ sucesivamente buscando que los popotes formen las caras
ı
de la figura (en este caso son trińgulos), esto se ve m´s claro en la siguiente
a a
figura:
Para esto existen dos tćnicas:
e
La primera consiste en formar una cara y cortar el hilo e ir formando caras
sobre ella e ir cortando el hilo, esto es muy bueno si la figura tiene muchas caras,
las caras tienen muchos lados o se tienen varios tipos de caras.

MODELOS CON POPOTES 37

Figura 4.12: Fabricaciń del modelo usando popotes para caf´ y usando un solo
o e
hilo

La otra tćnica es no cortar el hilo y formar con uno solo todas las caras, esto
e
no es fćil y pero s´ muy divertido, sobre todo si se tiene mucha imaginaciń.
a ı o
En ambos casos es muy recomendable que en los v´rtices, todo popote
e
est´ unido, por lo menos con un hilo, con todos los dem´s popotes en el v´rtice,
e a e
es decir que no quede alg´ n popote flojo o volando.
u


Figura 4.13: Figura con popotes hecha sin cortar el hilo

Cabe mencionar que es muy importante que las caras y los modelos en
general estń muy bien apretados, es decir, que los hilos estń muy justos y los
e e
nudos bien amarrados; esto es porque, entre mejor apretada est´ la figura es
e
m´s estable, no se deforma tanto y es m´s fćil pegar.
a a a

Figura 4.14: Hilos muy flojos


Figura 4.15: Hilos bien apretados

Figura 4.16: Modelo terminado con plasti-loka

En estos momentos el modelo debe de estar ya terminado y se puede jugar
con ´l tranquilamente; claro que si se tienen muchas caras este proceso puede
e
ser muy largo, pero no es complicado. Ahora bien, lo siguiente consiste en pegar
el modelo; como ya se dijo esto es opcional.
Primero hay que asegurarse de que el modelo ya este bien amarrado y que
los nudos no sean muy grandes.
Tambiń hay que cortar todos los hilos que sobren a excepciń de uno, el
e o
cual servir´ para sostener la figura.
a


Debe tenerse en cuenta que la plasti-loka tarda mucho tiempo en secarse por
lo que, si el modelo tiene muchas caras, se recomienda inflar un globo dentro de
´l, de tal manera que ajuste el tama˜ o del globo al volumen de la figura; esto
e n
sirve para dejarla fija y facilita el colgarla.
Para pegar lo unico que debe hacerse es cortar peque˜ as bolitas de Plasti-
´ n
loka y pegarlas por la parte exterior en las esquinas, teniendo cuidado en no
manchar por dentro de los v´rtices ya que esto podr´ arruinar el trabajo. Una
e ıa
vez seco, se pincha el globo (si se us´).
o

4.4. EL PROBLEMA DE KELVIN
Si se quiere llenar un plano con figuras geom´tricas iguales de per´
e ımetro
m´ ınimo, la respuesta es que estas figuras deberń ser hex´gonos. Los hex´gonos
a a a
no s´lo minimizan el ´rea, si no que adem´s, los ńgulos que forman entre
o a a a
s´ respetan las leyes de Plateau.
ı
En tres dimensiones no es obvio cu´l estructura ordenada tendr´ la min´
a ıa ıma
energia (m´ ınima ´rea). El problema de Kelvin consiste en lo siguiente: se tiene
a
un volumen V y se desea llenar con figuras de volumen igual de tal forma
que la superficie total S sea m´ ınima. ¿Qu´ figura(s) debe(n) usarse?, es decir,
e
¿qu´ arreglo de celdas de igual volumen llenando un espacio tienen superficie
e
m´ ınima? Para que el arreglo sea estable es necesario que se cumplan las leyes
de Plateu.
Como se puede ver, el problema de Kelvin es un problema variacional, un
problema de minimizaciń y las tćnicas matem´ticas que hasta ahora se cono-
o e a
cen no le han dado una soluciń anal´
o ıtica. Es decir, es un problema abierto.
Lord Kelvin conjetur´ en 1887 que la soluciń ten´ que ser un octaedro
o o ıa
truncado llamado tetrakaidecahedro.
Muchos a˜ os despu´s, en 1993, Weaire y Phelan encontraron otra particiń,
n e o
usando dos tipos de celdas de igual volumen, que mejora la particiń de Kelvin.
o
Pero el problema sigue abierto.
El problema de Kelvin se puede visualizar usando burbujas de jabń. Si o
tomamos una botella grande de pl´stico y la llenamos de burbujas puede ana-
a
lizarse la configuraciń que adquieren. Las celdas cumplen las leyes de Plateau
o
pero no puede concluirse mucho m´s. a
Para llenar de burbujas una botella es necesario hacer una peque˜ a perfora-
n
ciń en el fondo de ´sta y luego sumergir la boca de la botella en un traste que
o e
contenga agua con jabń y soplar con un popote flexible que tenga un extremo
o
dentro de la botella (vánse las figuras (4.17), (4.18), (4.19).)
e
Observe cuidadosamente los ńgulos y los tipos de poliedros que se forman
a
en el interior de la botella.
Pueden encontrarse m´s detalles en la literatura sobre espumas, por ejemplo
a
([8]).


Figura 4.17:

Figura 4.18:


Figura 4.19:

Figura 4.20: Botella con burbujas

´
APENDICE:
Experiencia en el CCH

Una vez que se tuvieron los prototipos de las superficies y los caminos m´ ıni-
mos, se quer´ ver si los estudiantes de nivel medio superior hacia los que va
ıa
dirigido este trabajo los podiń construir, es decir si los pod´ fabricar ellos
a ıan
mismos con ciertas intrucciones como las que se han mencionado; para esto
se realiz´ una prueba con los j´venes del Colegio de Ciencias y Humanidades
o o
plantel n´ mero 3 Azcapotzalco. El grupo fue el del profesor Jos´ Luis Rangel
u e
Lozada, que constaba de 25 estudiantes. El tiempo que dur´ esta prćtica fue
o a
seis horas, de las cuales dos horas se les dio un poco de teor´ y las otras cuatro
ıa
se dedicaron a hacer las figuras.
Para llevar a cabo el objetivo, se formaron 5 equipos y cada uno de estos
eligi´ un s´lido geom´trico, que pod´ ser un cubo, una pir´mide de base trian-
o o e ıa a
gular, una pir´mide de base cuadrada, un prisma de base triangular y un prisma
a
de base hexagonal; adem´s tambiń eligieron una figura geom´trica plana, que
a e e
pod´ ser un trińgulo, un cuadrado, un hex´gono, un pent´gono. Los prime-
ıa a a a
ros prototipos que armaron fueron los de superficies m´ ınimas, o sea los s´lidos
o
geom´tricos, con el hilo y los popotes para caf´; en este caso se tuvieron varios
e e
problemas, ya que cuando se les indic´ que por los popotes hicieran pasar el hilo
o
para formar la figura y que al mismo tiempo utilizaran la m´ ınima cantidad de
hilo, hubo estudiantes quienes por ejemplo, pasaron el hilo por los popotes, pero
sin formar su figura, es decir pasaron el hilo sobre todos los popotes de forma
continua sin hacer quiebres en las esquinas; un equipo no entendi´ que los lados
o
de su figura ten´ que estar constituidos por un solo popote, e intent´ hacer
ıan o
los lados con dos popotes de longitud, lo cual no fue una buena idea, ya que la
figura que se obtiene es muy inestable y demasiado grande para que se pueda
introducir en una mezcla para hacer burbujas; por otra parte tambiń se tuvo
e
que tener cuidado de no colocar demasiada plasti-loka en las esquinas para que
no se tuvieran problemas en las fronteras.
As´ pues se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:
ı
-El hilo tiene que pasar por todos los popotes, pero no importa el n´ mero
u
de veces que pase por alguno de ellos.
-La mayor estabilidad se obtiene al tener s´lo un popote como arista.
o
Hay que mencionar que no vieron ning´ n prototipo armado antes de empe-
u

43


zar, as´ pues, hubiera sido m´s prudente mostrarles un prototipo antes de que
ı a
comenzaran a armar los suyos.
Una vez que todos los equipos terminaron sus prototipos, los metimos en una
mezcla de agua con shampoo Caprice y se obtuvieron las geometr´ mostradas
ıas
en las siguientes figuras. Vánse adem´s las pel´
e a ıculas anexas.

Figura 4.21: Helicoide

Despu´s se dedicaron a hacer figuras para observar caminos m´
e ınimos. Antes
que nada se les advirti´ que no se quer´ piromaniacos y que tuvieran mucho
o ıan
cuidado con el fuego que se utiliza para perforar las cajas de cd. Se tuvieron
los siguientes problemas: los estudiantes se quemaron con los remaches, porque
los ten´ que calentar para perforar las cajas de cd, algunos quebraron las
ıan
tapas cuando las estaban perforando, o cuando estaban retirando los residuos
de pl´stico despu´s de haberlas perforado.
a e
Despu´s de que terminaron de fabricar sus modelos, los metieron en la solu-
e
ciń, y observaron las figuras que se formaban para cada caso.
o
Lo que sigui´ despu´s de sus aventuras con burbujas, fue ver qu´ hab´
o e e ıan
entendido y qu´ no, adem´s de que era deseable conocer sus puntos de vista
e a
acerca de los modelos, as´ que se les dio un peque˜ o cuestionario.
ı n
La primera pregunta hacia los estudiantes fue si se divirtieron o no con los
modelos, la respuesta en todos los casos fue que si, incluso hubo respuestas
que aseguraban que esta actividad fue m´s divertida que la clase normal de
a
f´
ısica. Esto nos puede mostrar que la ciencia se puede apreciar m´s de forma
a
experimental, ya que los estudiantes interact´ an con los fen´menos de forma
u o
directa, adem´s de que se divierten.
a
La siguiente pregunta fue acerca de cu´l de los modelos les gust´ m´s, aqu´ las
a o a ı


Figura 4.22: Prisma triangular

Figura 4.23: Prisma triangular

respuestas ya no fueron tan homog´neas como en la pregunta anterior, ya que a
e
algunos les gustaron m´s los modelos de superﬁcies m´
a ınimas, a otros los de los
de caminos m´ ınimos.
La siguiente pregunta fue si los modelos eran sencillos de hacer o no; esta


Figura 4.24: Prisma hexagonal

Figura 4.25: Prisma hexagonal

es la pregunta importante, ya que como dijimos nuestro prop´sito era el de ver
o
qu´ tanto se les dificultaba construir los modelos. La respuesta fue que eran
e
sencillos, aunque hubo personas que nos hicieron notar que entre m´s aristas
a
tuviera el s´lido, o m´s lados la figura geom´trica plana la construcciń se vuelve
o a e o


Figura 4.26: Burbuja en formaciń
o

un poco m´s complicada, entonces es recomendable que se tome cierta habili-
a
dad en construir s´lidos y pol´
o ıgonos de pocos lados antes de intentar construir
figuras de muchos lados. Sin embargo a los estudiantes del Colegio de Ciencias
y Humanidades se les hizo fćil en general.
a
La siguiente pregunta era acerca de cuales de los modelos se les hizo m´s a
dif´ construir, dos terceras partes del grupo constest´ que el de los caminos
ıcil o
m´ınimos, mientras que la otra tercera parte contest´ que los prototipos de las su-
o
perficies m´ ınimas, de donde se puede ver que se les dificult´ m´s la construcciń
o a o
de su figura plana; el gran problema aqu´ fue la perforaciń de las cajas.
ı o
La siguiente pregunta fue que nos dieran algunas sugerencias para mejorar
la forma de construcciń de los prototipos; en este caso las respuestas fueron:
o
-Reducir las dimensiones de las figuras.
-Pasar m´s hilo por los popotes para el caso de las superficies m´
a ınimas.
-Utilizar tapas m´s resistentes, para que no se rompan cuando se perforan,
a
pero que no fueran tan dif´ıciles de perforar.
-Cambiar el modo de perforaciń, sin utilizar fuego.
o
-Utilizar popotes con di´metros m´s grandes.
a a
-Hacer un video sobre la construccion para poder mostrar c´mo se fabrican
o
los modelos.
Entonces se puede observar que los estudiantes de nivel medio superior s´ son
ı
capaces de construir los modelos, con ciertas indicaciones.
Con base en el cuestionario nos pudimos percatar de que a la mayor´ de los
ıa
estudiantes no les gustan las ciencias. Esto basado en nuestro ultimo conjunto
´
de preguntas:


a)¿Te agradan las ciencias, las matem´ticas y la tecnolog´
a ıa?
La respuesta a esta pregunta pregunta fue afirmativa para 19 personas, mien-
tras que s´lo 2 dijeron que no.
o
b)Si te dijera que la ciencia es as´ ¿Considerar´ estudiar una carrera cien-
ı, ıas
tifica?
Aqu´ 8 personas dijeron que si, 8 que tal vez y 5 que no.
ı
c)¿Qu´ carrera piensas estudiar?
e
3 personas desean estudiar alguna ingenier´ 5 licenciatura en area de cien-
ıa,
cias sociales, 4 en el ´rea m´dico-biol´gicas, 1 en artes, 5 personas que no saben
a e o
a´ n qu´ van a estudiar y s´lo tres personas que piensan estudiar alguna carrera
u e o
cient´
ıfica.

Bibliograf´
ıa

[1] Boys, C.V. Soap Bubbles, their colors and forces which mold them, Dover
1959.
[2] Bush, John, http://www-math.mit.edu/ bush/
[3] Hales, T., Cannonballs and. Honeycombs NOTICES OF THE AMS, 47,
No. 4. pp440-449, 2000. www.ams.org/notices/200004/fea-hales.pdf
[4] Isenberg, C., The Science of soap films and soap bubbles, Dover 1992.
[5] Morgan, F., Geometric measure theory, Academic Press, 3a ediciń 2000.
o
[6] Oprea, J., The Mathematics of soap films: Explorations with Maple, AMS,
Student Mathematical Library Vol. 10, 2000.
[7] Stewart, Ian, What shape is a snowflake, W.H. Freeman and Company,
New York 2001.
[8] Weaire, D., Hutzler,S. The physics of foams University of Oxford, 1999.

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