Otra forma de aprender

1. FUNCIONES 3º ESO
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Dominio, recorrido y gráfica.
1) Excursión en bicicleta
JV-96 hace una excursión en bicicleta a un bosque que está a
44 km. del pueblo, para llegar al cual hay que seguir un
camino con subidas y bajadas. Está allí un rato y vuelve al
pueblo. Fue anotando en determinados momentos de la
excursión los kilómetros recorridos, y al llegar a casa
construyó esta gráfica
a) ¿A qué hora comienza la excursión?
b) ¿Qué hora era cuando estaba a 10
kilómetros?
¿Cómo se haría esta pregunta
matemáticamente?
c) ¿Cuántos kilómetros recorre desde las 8.30
hasta las 10.00?
Esta pregunta, matemáticamente sería: ¿Cuál
es la variación en [8.30, 10.00]?
d) ¿En que km. empieza la primera pendiente
hacia arriba?
e) ¿Cuánto tarda en llegar a la primera cima ?
f) ¿A qué hora llegó al bosque?
g) ¿Cuánto tiempo tardó en llegar al bosque? ¿y del bosque al pueblo?
h) Comparando el tiempo que tarda a la ida y a la vuelta en el mismo tramo, describe el viaje de vuelta
indicando en cada tramo los kilómetros que recorre y si sube o baja.
i) ¿Cuántos km. llevaba recorridos a las 7 de la mañana?
Por eso decimos que 7 no está en el dominio de esta función.
j) ¿Cuál es el DOMINIO de esta función?
k) ¿A qué hora se encontró a 60 km. del pueblo?
¿y a 18 km.? ¿y a 44 km.?
L) ¿Cuál es el RECORRIDO de esta función?

2. FUNCIONES 3º ESO
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2) Ganancias mensuales.
Las ganancias mensuales de un representante de televisores son 800 € fijos más 80 € por cada aparato
vendido. Aquí tienes la representación gráfica de la función, que llamaremos
g: aparatos vendidos-ganancias mensuales.
a) ¿Cuál es la variable independiente?
b) ¿Cuál es la variable dependiente?
c) ¿Cuál es la imagen de 5?
¿Y de 20?
¿Y de 6'5?
Traduce una de estas preguntas al lenguaje habitual.
d) ¿Cuál es el dominio?
Traduce esta pregunta al lenguaje habitual.
e) ¿De quién es imagen 2000?
¿Y 400?
¿Y 6800?
Traduce una de estas preguntas al lenguaje habitual.
f) ¿Cuál es el recorrido?
Traduce esta pregunta al lenguaje habitual.
g) ¿Podrías hallar la fórmula?
h) Halla g(7)
g(65)=
g(4´5)=
i) Decir cual de estos puntos pertenecen a la gráfica:
(2,960), (5, 1280), ( 102,8960)

3. FUNCIONES 3º ESO
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Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
2) La empresa
La siguiente gráfica nos informa de la evolución de los beneficios de una empresa:
a) ¿Cuál es la variable dependiente?
b) ¿Cuál es el dominio? Explica qué significado tiene.
c) ¿Cuál es el recorrido? Explica qué significado tiene.
d) ¿Qué ocurrió cuando la empresa se fundó? ¿A qué crees que es debido?
e) ¿Qué ocurrió durante el primer año?
f) ¿Hasta qué año fueron aumentando (creciendo) los beneficios?
g) ¿Qué ocurrió durante los cinco años posteriores?
h) ¿Qué ocurrió a partir de ese momento?
i) ¿En qué año se produjo el mínimo beneficio (pérdida)? ¿Cuál fue este beneficio?
j) ¿En qué año se produjo el máximo beneficio? ¿Cuál fue este beneficio?
k) En el cuarto año se produjo una situación especial: hubo un beneficio mayor que en los años
anteriores y posteriores. También se produjo otra situación especial en otro año, ¿cuál fue?

4. FUNCIONES 3º ESO
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4) Bonos de transporte
Una compañía de transporte público recogió en una gráfica la información que tiene sobre la
venta de bonos para viajar en sus líneas.
a) ¿Durante cuánto tiempo se hizo este estudio?
b) ¿En qué momento del año 1999 se vendieron menos bonos? ¿Y en cada uno de los años 2000 y
2001?
c) ¿En que momento del año 2001 se produce la máxima venta? ¿A qué lo atribuyes?
d) ¿En qué periodos anuales es mayor el crecimiento en la venta de bonos?
e) ¿En qué estación del año es decreciente la venta?
f) ¿Cuál es la variable independiente?
g) ¿Cuál es el dominio? Explica qué significado tiene.
h) ¿De quién es imagen 200? Explica qué significado tiene.
i) ¿Cuál es el recorrido? Explica qué significado tiene.
j) Indica la monotonía. Explica qué significado tiene.
k) Indica los máximos y mínimos absolutos y relativos y expresa en lenguaje habitual tu respuesta.
5) Repartiendo comida
Pablo trabaja, en sus ratos libres, de repartidor para un restaurante chino. Le pagan 9 € diarios, más 2 €
por pedido realizado. Considera la variable que da el el sueldo diario según el número de pedidos
repartidos.
a) ¿Cuál es la variable dependiente?
b) Construye una tabla de valores.
c) Haz la gráfica.
d) ¿Cuál es el dominio?
e) ¿Cuál es el recorrido?
f) ¿Puedes dar la fórmula de la función?
g) Usa la fórmula y dí cuál es la imagen de 30.
h) Usa la fórmula para averiguar cuántas pedidos tiene que repartir para ganar 55 €.

5. FUNCIONES 3º ESO
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Continuidad
6) El franqueo de cartas
El franqueo de cartas que pesan hasta 200 g se hace según estas normas:
Hasta 20 g 0'35 €. Hasta 50 g 0'40 €. Hasta 100 g 0'55 €. Hasta 200 g 0'89 €.
Se quiere estudiar la función que da el precio de una carta según el peso que tenga.
a) ¿Cuál es la variable independiente?
b) Completa los datos que faltan en la siguiente tabla:
Peso en g 10 20 20’2 49’9 50 50’01 99’8 100 150 199’9 200
Precio en €
c) ¿Cuál es la imagen de 55'5?
d) ¿Cuánto pesaba una carta que costó franquearla 0'55? ¿Y otra que costó 0'20?
e) Haz la gráfica de esta función.
f) ¿Cuál es el dominio? ¿Y el recorrido?
g) Estudia su continuidad.
h) Completa la fórmula:







≤<
≤<
=
50x20si40'0
20x0si35'0
)x(f
7) Servicio técnico
Una empresa dedicada al mantenimiento y reparación de calentadores de gas tiene las siguientes tarifas:
15 € por el desplazamiento
12 € por cada hora de trabajo o fracción
Se quiere estudiar la cantidad que cobra la empresa según el tiempo que tarde en arreglar la avería.
a) ¿Cuál es la variable dependiente?
b) ¿Cuánto cobra por arreglar una avería en la que invierten 1 hora y 20 minutos? ¿Y si tarda 1 h 50
min? ¿Y por una avería de 3 h y 10 min?
c) Si han cobrado 39 €, ¿cuánto tiempo han podido tardar en arreglar la avería?
d) Haz la gráfica de esta función.
e) ¿Cuál es el dominio? ¿Y el recorrido?
f) Estudia su continuidad.
g) ¿Cuál es la fórmula de esta función?

6. FUNCIONES 3º ESO
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Repaso de lo que llevamos trabajado
8) Las cajas de tornillos
Queremos empaquetar 15 000 tornillos en cajas de la misma capacidad. Podemos optar por distintos
tipos de cajas. En la gráfica siguiente se representa esta situación:
a) ¿Cuál es la variable independiente?
c) ¿Cuántos tornillos puede haber en cada caja? d) ¿Cuántas cajas puede haber?
e) ¿Puede haber 0 cajas? f) ¿Puede haber 0 tornillos en una caja?
g) ¿Cuál es el mayor número de cajas que puede haber?
h) ¿Cuál es el menor número de cajas que puede haber?
i) ¿Cómo varía el número de cajas?
j) Traduce todas las preguntas de los apartados c al i al lenguaje matemático.
k) Da una fórmula para esta función.
9) Reparto equitativo del trabajo
Realizar un trabajo de albañilería requiere 16 jornadas, es decir, un obrero tendría que trabajar 16 días,
dos obreros 8 días, etc.
a) Halla la fórmula que permita calcular el tiempo que tardará en hacerse la obra en función del número
de obreros.
b) ¿Cuál es la variable dependiente?
c) Haz la gráfica.
d) ¿Cuál es el dominio?
e) ¿Cuál es el recorrido?
f) Indica la monotonía.

7. FUNCIONES 3º ESO
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Puntos de corte con los ejes
10) Cortando los ejes
Indica los puntos de corte con los ejes de todas las gráficas que aparecen en estas fotocopias y explica
el significado que tienen en cada caso.
Periodicidad.
11) La órbita de Mercurio
Mercurio tarda 88 días en completar su órbita alrededor del Sol. Su distancia al Sol oscila
entre 70 y 46 millones de km., según muestra la gráfica tiempo-distancia
a)¿Es esta función periódica?
¿Cual es el período?
b) ¿En que momento la distancia de Mercurio al Sol es
máxima?
c) Desde que inicia la órbita, ¿durante cuánto tiempo
aumenta la distancia al Sol?
d) Completa la gráfica de la distancia de Mercurio al Sol durante 300 días.
12) Fenómenos periódicos
Alguna de las gráficas siguientes representan fenómenos periódicos. Indica cuáles, justificando tu
elección, y determina el periodo.

8. FUNCIONES 3º ESO
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Gráfica-Enunciado
13) Hacia el mercado
a) Tienes tres enunciados de los cuales no todos se corresponden con la gráfica "A".
1º Joaquín sale de su casa para ir al mercado. Tras
estar un tiempo comprando, regresa a casa sin
entretenerse.
2º Joaquín sale de su casa para ir al mercado. De
camino se para un rato con un amigo. Después
continua hacia el mercado donde compra y,
regresa inmediatamente a casa.
3º Joaquín sale de su casa para ir al mercado,
compra e inicia la vuelta a su casa. Cuando está
llegando, se aleja para acompañar un rato a unos
amigos. Luego regresa rápidamente.
¿Qué enunciado se ajusta más a la gráfica? Explica por qué.
b) Plantea tres preguntas que se puedan responder con la gráfica.
c) Ahora observa la gráfica B.
¿Qué diferencias encuentras con la anterior?,
¿qué partes tienen en común?
Inventa un enunciado que explique esa
diferencia.
d) Dibuja aproximadamente las gráficas de los
otros dos enunciados del apartado a) que no se
corresponden con la gráfica A.

9. FUNCIONES 3º ESO
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Enunciado-Gráfica
14) Policías y ladrones
Asocia cada enunciado con una de las gráfica y argumenta tu decisión:
1. Unos ladrones asaltan un banco. Cuando emprenden la fuga, simultáneamente, la policía comienza la
persecución. Al llegar a un punto del camino, los ladrones se esconden y esperan a que la policía pase,
retrocediendo después.
2. Unos ladrones asaltan un banco. Cuando emprenden la fuga, simultáneamente, la policía comienza
su persecución. Son alcanzados por la policía antes de llegar a la frontera, que está a 30 km.
3. Unos ladrones asaltan un banco. Cuando emprenden la fuga, simultáneamente, la policía comienza
su persecución. Atraviesan la frontera, que está a 30 km., sin ser alcanzados por la policía.
4. Unos ladrones asaltan un banco. Cuando emprenden la fuga, simultáneamente, la policía comienza
su persecución. Son alcanzados antes de media hora.
5. Unos ladrones asaltan un banco. Cuando emprenden la fuga, simultáneamente, la policía comienza
su persecución. Atraviesan la frontera, porque la policía toma un camino equivocado.
6. Unos ladrones asaltan un banco. A los cinco minutos de darse a la fuga, la policía emprende la
persecución, alcanzándolos antes de llegar a la frontera.
A) B) C)
D) E) F)

10. FUNCIONES 3º ESO
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FUNCIONES Y GRÁFICAS
Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.
x es la variable independiente
y es la variable dependiente
Una función asocia a cada valor de x un único valor de y.
El tramo de valores de x para los cuales hay valores de y se llama dominio de definición
de la función
El tramo de valores y correspondiente a cada valor de x se llama recorrido.
Una función es una relación entre dos variables, x e y.
A cada valor de la x (variable independiente) le corresponde un único valor de y (variable
dependiente). La función se represente gráficamente sobre los ejes cartesianos.
La primera gráfica corresponde a una función: a cada valor de x le corresponde un único
valor de y.
La segunda gráfica no es de una función: hay valores de x que les corresponde más de un y.
Las funciones describen fenómenos mediante las relaciones entre las variables que
intervienen.
Observando la gráfica de una función podemos comprender cómo evoluciona el fenómeno
que en ella se describe

11. FUNCIONES 3º ESO
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Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto a de su dominio si el valor de la
función en ese punto, f(a), es mayor que los valores que toma la función en los puntos
próximos a a
Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto a de su dominio si el valor de la
función en ese punto, f(a), es menor que los valores que toma la función en los puntos
próximos a a
• El punto de corte con el eje Y tiene como ordenada la imagen del valor x = 0. Su
valor se halla haciendo x = 0 en la ecuación de la función y sus coordenadas son P
(0,f(0)).
• Los puntos de corte con el eje X tienen como abscisas las antiimágenes del valor
y = 0. Se llaman raíces de la función. Su valor se halla resolviendo la ecuación f
(x) = 0. Sus coordenadas son Q( a,0)
Una función y = f(x) se dice contínua en su dominio cuando su gráfica es de trazo
continuo en el mismo. En caso contrario se dice discontínua.
Las discontinuidades de una función pueden ser debidas a:
• Si la variable independiente “x” toma únicamente valores discretos, la gráfica de la
función consta de una serie de puntos.
• Si la variable “x” toma valores en un intervalo pero la variable “Y” toma valores
discretos, la función tiene una gráfica: “a saltos”. Decimos entonces que es
discontinua en los “x” en que se producen los saltos.
• Una función y = f(x) es periódica si sus valores se repiten cada T unidades,
es decir, f(x + T) = f(x). Ese valor T es el período de la función.