Funciones Vectoriales Derivadas Integrales

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 2: DIFERENCIACIÓN
VECTORIAL
TEMA: DERIVADAS E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES.

4. FUNCIONES VECTORIALES
• Es una función de la forma:
•
o
•
• Donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro
“t”. Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como:
, , ,

5. FUNCIONES VECTORIALES
La curva “C” es trazada por el punto final del vector posición r(t)

6. EJEMPLO 1: TRAZADO DE UNA CURVA
PLANA
Dibujar la curva plana representada por la función vectorial
     2Cos 3Sin , 0 2t t t t    r i j
   2Cos 3Sinx t y t  
Función vectorial
Ecuaciones Paramétricas
   Cos Sin
2 3
x y
t t  
   2 2
Cos Sin 1t t 
2 2
2 2
1
2 3
x y
  Ecuación Rectangular

7. EJEMPLO 2: TRAZADO DE UNA CURVA
EN EL ESPACIO
Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial
     4Cos 4Sin , 0 4t t t t t     r i j k
   4Cos 4Sinx t y t z t  
Función vectorial
   Cos Sin
4 4
x y
t t 
2 2
2 2
1
4 4
x y
 
Ecuación Rectangular
2 2
16x y 
Ecuaciones Paramétricas

8. LÍMITES Y CONTINUIDAD
           
       
           
       
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
t t f t g t f t g t
f t f t g t g t
t t f t g t f t g t
f t f t g t g t
          
         
          
         
r r i j i j
i j
r r i j i j
i j
     
   
     
   
1 1
1 1
1 1
1 1
c t c f t g t
cf t cg t
f t g tt
c c
f t g t
c c
   
 
  
 
r i j
i j
i jr
i j
Suma
Resta
Multiplicación escalar
División escalar

9. LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. Si r es una función vectorial tal que , entonces:
í
→!
í
→!
í
→!
Siempre que existan los límites de f y g cuando → !
2. Si r es una función vectorial tal que ℎ ,
entonces
#
→!
#
→!
#
→!
#
→!
ℎ
Siempre que existan los límites de f, g, y h cuando → !

10. LÍMITES Y CONTINUIDAD

11. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
VECTORIAL
• Una función vectorial r es continua en un punto dado por t = a
si el límite de r ( t ) cuando → ! existe y
#
→!
$ %
• Una función vectorial r es continua en un intervalo, si es continua
en todos los puntos del intervalo.

12. EJEMPLO 3: CONTINUIDAD DE
FUNCIONES VECTORIALES
Analizar la continuidad de la función vectorial dada cuando t = 0.
   2 2
t t a a t   r i j k
   2 2
0 0 0 0
2
2
lim lim lim lim
0
t t t t
t t a a t
a a
a a
   
        
     
  
 
r i j k
i j k
j k
   
   
 
2 2
2 2
2
0 0 0
0
t t a a t
a a
a a
   
   
 
r i j k
r i j k
r j k
r es continua en t = 0

13. DERIVACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES
• La derivada de una función vectorial r se define como:
′ ' (
∆ →*
∆ + $ %
∆
• Para todo t para el cual existe el límite. Si r’( t ) existe para todo t
en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I.
La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a
intervalos cerrados considerando límites unilaterales.

14. DERIVACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES
La derivada de la función
vectorial “r”, es también una
función vectorial.
,
-
.
/ ∆ + /$ %
/ ∆

15. DERIVACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES
• Si , donde f y g son funciones derivables de t,
entonces:
′ ′ ′ 0
• Si ℎ , donde f, g y h son funciones
derivables de t, entonces:
′ ′ ′ ′ 0 0

16. EJEMPLO 4: DERIVACIÓN DE
FUNCIONES VECTORIALES
Para la función vectorial dada por , encontrar . Entonces bosquejar la curva
plana representada por y las gráficas de y
   2
2t t t  r i j  ' tr
 tr  1r  ' 1r
 ' 2t t r i j    2
2
2
2
t t t
x t y t
  
  
r i j
2
2y x 
Si t = 1
   
 
2
1 1 2 3
' 1 2
    
 
r i j i j
r i j

17. EJEMPLO 5: DERIVADAS DE ORDEN
SUPERIOR
Para la función vectorial dada por , Encontrar     Cos Sin 2t t t t  r i j k
           ) ' ) '' ) ' '' ) ' ''a t b t c t t d t tr r r r r ×r
     
     
   
           
       
   
 
 
 
 
   
   
   
) ' Sin Cos 2
) '' Cos Sin 0
Cos Sin
) ' '' Sin Cos Sin Cos 0
Cos 2 Sin 2 Sin Cos
) ' '' Sin Cos 2
Sin 0 Cos 0 Cos Sin
Cos Sin 0
2Sin 2Cos
a t t t
b t t t
t t
c t t t t t t
t t t t
d t t t t
t t t t
t t
t t
   
   
  
   
 
    
   
 
  
r i j k
r i j k
i j
r r
i j k
r ×r i j k
i j k

18. PROPIEDADES DE LA DERIVADA
• Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, f una
función real derivable de t y c un escalar.
1. 3 4 5$ % ′ 4 5′$ %
2. 3 7 $ % 7 ′$ %
3. 3 $ % ′ ′ $ %
4. 3 · 5$ % · 5′ ′ · 5$ %
5. 3 < 5$ % < 5′ ′ < 5$ %
6. 3 $ % ′ ′
7. Si · 7, entonces · ′ *

19. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES
• Si , donde f y g son continuas en [a, b], entonces la
integral indefinida (o anti derivada) de r es:
D E D E D E
• Y su integral definida en el intervalo ! F F G es
D E
G
!
D E
G
!
D E
G
!
PLANO

20. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
VECTORIALES
ESPACIO
• Si $ % , donde f, g y h son continuas en [a,b],
entonces la integral indefinida (o anti derivada) de r es:
D E D E D E D E
• Y su integral definida en el intervalo F F H es:
D E
G
!
D E
G
!
D E
G
!
D E
G
!

21. EJEMPLO 6: INTEGRACIÓN DE UNA
FUNCIÓN VECTORIAL
Hallar la integral indefinida  3t dt i j
 
2
3 3
3
2
t dt tdt dt
t
t
        
  
  i j i j
i j C

22. EJEMPLO 7: INTEGRACIÓN DE UNA
FUNCIÓN VECTORIAL
Evaluar la integral  
1 1
3
0 0
1
1
t
r t dt t e dt
t
 
   
 
  i j k
 
 
1 1 1 1
1
3
0 0 0 0
1
4 11
3
0 0
0
1
1
3
ln 1
4
3 1
ln 2 1
4
t
t
r t dt t dt dt e dt
t
t t e
e


     
       
     
  
             
  
 
    
 
   i j k
i j k
i j k

23. UNIDAD 2: DIFERENCIACIÓN
VECTORIAL
TEMA: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN.

24. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
• Si x y y son funciones de t que tienen primera y segunda derivada y r es
una función vectorial dada por , - , entonces el vector
velocidad, el vector aceleración y la rapidez en el instante t se define
como sigue:
• Velocidad = I ′ ,′ -′
• Aceleración = ! ′′ ,′′ -′′
• Rapidez = I ′ <′ J K′ J

25. EJEMPLO 8: HALLAR LA VELOCIDAD Y LA
ACELERACIÓN A LO LARGO DE UNA CURVA
PLANA
Hallar el vector velocidad, la rapidez y el vector aceleración de una partícula que se
mueve a lo largo de la curva plana C descrita por
  2Sin 2Cos
2 2
t t
t
   
    
   
r i j
   
 
   
2 2
' Cos Sin
2 2
' Cos Sin 1
2 2
1 1
'' Sin Cos
2 2 2 2
t t
t t
t t
t
t t
t t
   
     
   
   
     
   
   
      
   
v r i j
r
a r i j
2 2
2Sin 2Cos
2 2
4
t t
x y
x y
   
    
   
 

26. PREGUNTAS