OLIMPIADA MATEMÁTICA THALES

1. Sesión de Problemas de Matemáticas
Granada, 13 de Diciembre de 2008
P1. Supongamos que la ecuación (x − a)(x − b)(x − c)(x − d)(x − e) = 1996, donde
a, b, c, d, e son números enteros distintos, tiene una solución entera r. Demostrar que
5r = a + b + c + d + e + 499
P2. Sea ABCD un cuadrado y P un punto interior al cuadrado de forma que los
ángulos ∠PAB y ∠PBA sean de 15o
. Calcular los ángulos del triángulo DPC.
P3. Hallar la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. El número
ası́ obtenido se conoce como número áureo.
P4. Demostrar las siguientes afirmaciones:
i) Si a y b son números impares, entonces a2
+ b2
no es un cuadrado perfecto.
ii) Para cualquier número natural a, el número a3
− a es divisible por 6.
iii) Si a, b, c son números naturales y a+b+c es múltiplo de 6, entonces a3
+b3
+c3
es múltiplo de 6.
P5. Calcular el número de ceros en que termina el número
1000 · 999 · 998 · · · 3 · 2 · 1
P6. Hallar todas las sucesiones no decrecientes a1, a2 . . . , an de enteros positivos que
sean solución del siguiente sistema de ecuaciones:



a1 + a2 + . . . + an = 26
a2
1 + a2
2 + . . . + a2
n = 62
a3
1 + a3
2 + . . . + a3
n = 164
P7. Sabiendo que el número máximo de pelos por mm2
de piel de una persona es 5,
¿existen en España dos personas con el mismo número de pelos en la cabeza?
P8. La expresión decimal del número 1
97
tiene un perı́odo muy largo. Hallar sus tres
últimas cifras.
P9. Encontrar el número más pequeño que tenga 216 divisores, su doble tenga 270
divisores, su tercera parte tenga 180 divisores y su quinta parte tenga 144 divisores.
P10. Para cada n ∈ N, definimos an como el último dı́gito de la expresión decimal del
número 1 + 2 + . . . + n. Calcular a2007.
1

2. P11. Demostrar que no existe ninguna función f : R → R tal que para cualesquiera
números reales x e y verifique
f(x2
+ y) = f(x) + y2
P12. Demostrar que cualquier polı́gono convexo de área 1 está se puede meter dentro
de un rectángulo de área menor o igual que 2.
P13. Dado un número natural n, calcular el valor de la siguiente suma
7 + 77 + 777 + . . . + 77
(n)
· · · 7
P14. Hallar el mayor número de seis cifras no nulas que cumpla que al quitarle la
cifra de la izquierda se obtenga un divisor suyo.
P15. En un recipiente cúbico de un metro de arista se vierten 30 litros de agua.
Si colocamos un ortoedro macizo dentro del cubo, el agua sube 1 cm, 2 cm y 3 cm
dependiendo de qué cara se apoye sobre el fondo del recipiente. Hallar las dimensiones
de dicho ortoedro.
P16. Se forman tres números de dos cifras cada uno usando los dı́gitos del 1 al 6 sin
repetirlos y a continuación se suman estos tres números. ¿Cuántos resultados distintos
pueden obtenerse mediante este procedimiento?
P17. Consideremos la siguiente sucesión de números
16, 1156, 111556, 11115556, . . .
donde cada número se obtiene a partir del anterior insertando 15 entre las cifras
centrales. Demostrar que todos son cuadrados perfectos.
P18. En un rectángulo, se unen los puntos medios de cada lado con los vértices del
lado opuesto. Hallar el área del octógono que se forma dentro del rectángulo en función
de las dimensiones de éste.
P19. Sean a, b, c números reales distintos y distintos de cero. Si los polinomios x2
+
ax + bc y x2
+ bx + ac tienen una raı́z común, entonces probar que las otras dos raı́ces
(una de cada uno) son las raı́ces del polinomio x2
+ cx + ab.
P20. A un tablero de ajedrez se le quitan dos casillas que estén en esquinas opuestas.
¿Es posible rellenar las 62 casillas restantes con fichas de tamaño 2 × 1?
José Miguel Manzano
Universidad de Granada
email: jmmanzano@ugr.es
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3. Sesión de Problemas de Matemáticas
Granada, 23 de Enero de 2009
Problemas de geometrı́a
P1. Sea H el ortocentro de un triángulo ABC, P el punto de corte de la altura
que pasa por A con el lado BC y Q el punto de corte de la semirrecta HP con
la circunferencia circunscrita. Demostrar que HP = PQ.
P2. Sea ABC un triángulo y A0
, B0
y C0
los puntos de corte de las alturas que
parten de A, B y C respectivamente con los correspondientes lados opuestos.
Demostrar que las alturas del triángulo ABC son las bisectrices del triángulo
A0
B0
C0
(y, por tanto, el ortocentro de ABC es el incentro de A0
B0
C0
).
P3. Demostrar las siguientes afirmaciones:
Si un triángulo tiene dos medianas iguales, entonces es isósceles.
Si un triángulo tiene dos alturas iguales, entonces es isósceles.
Si un triángulo tiene dos bisectrices iguales, entonces es isósceles.
P4. Sea p el perı́metro de un triángulo ABC y P un punto interior al triángulo.
Demostrar que
p
2 ≤ AP + BP + CP ≤ p
Problemas de números
P5. Consideremos la ecuación x3
+ y3
= p, donde p es un número primo y
las incógnitas x, y son números naturales. Demostrar que si la ecuación tiene
soluciones, entonces p = 3n2
− 3n + 1 para algún n ∈ N.
P6. Supongamos que n ∈ N cumple que 2n
− 1 es primo.
Demostrar que n es primo.
Demostrar que 2n
(2n
− 1) es un número perfecto, es decir, es igual a la
suma de sus divisores (excluyendo en esta suma al propio número).
P7. Encontrar todos los números naturales n ∈ N tales que 2n
− 1 es divisible
por 7 y todos los números naturales n ∈ N tales que 2n
+ 1 es divisible por 7.
P8. Demostrar que para cualquier número natural n ∈ N, existen n números
compuestos consecutivos.
1

4. P9. Calcular todas las parejas de números naturales (a, b) tales que a + b = ab.
Problemas variados
P10. Demostrar la siguiente desigualdad para cualquier número natural n
1
2
√
n
<
1
2
·
3
4
·
5
6
· · ·
2n − 1
2n
<
1
√
2n + 1
P11. En una reunión de 2009 personas, demostrar que hay dos personas que le
han dado la mano al mismo número de personas.
P12. A un tablero de ajedrez (8 × 8) le quitamos las casillas de las esquinas.
¿Es posible rellenar el espacio restante con fichas de tamaño 2 × 1? ¿Y si sólo
le quitamos dos esquinas opuestas?
P13. Sobre los vértices de un hexágono regular, se colocan, en sentido antiho-
rario, los números {1, 0, 1, 0, 0, 0} y se permite realizar la siguiente operación:
sumarle o restarle 1 a dos vértices consecutivos. ¿Se puede, usando reiterada-
mente esta operación, llegar a que en todos los vértices haya un cero?
P14. Sean a, b, c números reales tales que a2
+ b2
+ c2
= 1. Demostrar que
−1
2 ≤ ab + bc + ac ≤ 1
¿Para qué valores de a, b, c se dan las igualdades en estas desigualdades?
P15. Hallar todas las funciones f : Q → Q que cumplan que
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ Q
2

5. Sesión de Problemas de Matemáticas
Granada, 13 de Febrero de 2009
P1. Calcular el valor de la suma
5
5 + 251/2009
+
5
5 + 252/2009
+ . . . +
5
5 + 252008/2009
P2. Determinar qué condición han de cumplir las longitudes de los lados de un
triángulo para que la recta que une el baricentro y el incentro sea paralela a uno
de los lados.
P3. Para cada número natural n, consideremos an el número cuya expresión
decimal está formada por n sietes (por ejemplo, a1 = 7, a2 = 77, a3 = 777,
etc,...). Hallar el valor de la suma a1 + a2 + . . . + an.
P4. Tenemos cien números en progresión aritmética de los cuales sabemos que
su suma es −1 y que la suma de los términos pares es 1. Calcular la suma de
los cuadrados de los cien números.
P5. Sea ABC un triángulo y M el punto medio del lado BC. Si r1 y r2 son
los inradios de los triángulos ABM y ACM respectivamente, demostrar que
r1 < 2r2.
P6. Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritméti-
ca de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos
términos de la progresión son cuadrados perfectos.
P7. Demostrar que al trazar las medianas de un triángulo cualquiera, éste queda
dividido en seis triangulos que tienen la misma área.
P8. En cada una de las casillas de una cuadrı́cula 3x7 se coloca una ficha azul o
una ficha roja. Demostrar que siempre podemos encontrar un rectángulo cuyos
vértices son cuatro fichas del mismo color.
P9. Demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos no puede ser un
cuadrado perfecto.
P10. Sea ABC un triángulo equilátero y sean M y N puntos de AB y AC res-
pectivamente tales que el segmento MN es tangente a la circunferencia inscrita
1

6. de ABC. Demostrar que
AM
MB
+
AN
NC
= 1
P11. Sea p(x) un polinomio con coeficientes enteros y sean a y b números en-
teros distintos. Demostrar que p(b) − p(a) es divisible por b − a.
Utilizar este problema para demostrar las siguientes afirmaciones:
No existe ningún polinomio p(x) con coeficientes enteros tal que p(3) = 8
y p(6) = 24.
Existen infinitos números de la forma 2n
− 1 divisibles por 127.
P12. Demostrar que cualquier polı́gono convexo de área 1 está contenido en un
rectángulo de área menor o igual que 2.
P13. Sea ABC un triángulo. Hallar todos los puntos P interiores al triángulo
que cumplen las siguientes tres desigualdades:
]APB ≤ 2]ACB, ]BPC ≤ 2]BAC, ]APC ≤ 2]ABC
P14. Supongamos que a es un número real que cumple la ecuación a3
+ 2a2
+
10a = 20.
a) Demostrar que a es irracional.
b) Demostrar que a2
es irracional.
2

7. Sesión de problemas de Matemáticas
17 de abril de 2009
P1. Tenemos cien números en progresión aritmética de los cuales sabemos que
su suma es −1 y que la suma de los términos pares es 1. Calcular la suma de
los cuadrados de los cien números.
P2. Encontrar todos los números naturales n ∈ N tales que 2n
− 1 es divisible
por 7 y todos los números naturales n ∈ N tales que 2n
+ 1 es divisible por 7.
P3. Sean a, b, c números reales tales que a2
+ b2
+ c2
= 1. Demostrar que
−1
2 ≤ ab + bc + ac ≤ 1
¿Para qué valores de a, b, c se dan las igualdades en estas desigualdades?
P4. Sean a, b, c, d ∈ Z tales que ad es impar y bc es par. Demostrar que el
polinomio
p(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
tiene almenos una de sus raı́ces irracional.
P5. Sabemos que el polinomio p(x) = x3
−x+k tiene tres raı́ces que son números
enteros. Hallar los posibles valores de k.
P6. Consideremos un tablero 6 × 6 que se ha rellenado con fichas de dominó de
tamaño 2 × 1.
a) Demostrar que cualquier eje vertical u horizontal de la cuadrı́cula atraviesa
a un número par de fichas.
b) Demostrar que al menos uno de esos ejes no atraviesa a ninguna ficha.
P7. Escogemos n + 1 números distintos desde el 1 al 2n.
a) Demostrar que siempre hay dos que son primos entre sı́.
b) Demostrar que siempre hay uno que es divisible por otro.
¿Son ciertas las afirmaciones anteriores si sólo tomamos n números?
1

8. P8. Determinar todos los números naturales de cuatro cifras que sean iguales
al cubo de la suma de sus cifras.
P9. ¿Pueden separarse los números del 1 al 100 en doce subconjuntos de for-
ma que cada uno de ellos esté formado por términos de una misma sucesión
geométrica?
Indicación: ¿Qué ocurre con los números primos?
P10 (Desigualdad de Nesbit). Dados a, b, c > 0, demostrar que
a
b + c
+
b
a + c
+
c
a + b
≥
3
2
Estudiar en qué casos esta desigualdad se convierte en una igualdad.
P11. Encontrar todas las funciones f : N → N que verifiquen
f(n) + f(f(n)) + f(f(f(n))) = 3n
para cualquier número natural n ∈ N.
P12. Encontrar el número más pequeño que tenga 216 divisores, su doble tenga
270 divisores, su tercera parte tenga 180 divisores y su quinta parte tenga 144
divisores.
P13. Encontrar todos los polinomios P(x) con coeficientes reales que verifican
la igualdad
P(P(x)) = P(x)2007
P14. Hallar todos los números naturales m y n que cumplan
n! + 1 = (m! − 1)2
P15. Consideremos el siguiente tablero
-1 1 1 1
1 1 1 1
1 -1 1 1
1 1 -1 1
Se permite cambiar de signo cualquier fila, columna o diagonal principal tantas
veces como se quiera. ¿puede conseguirse que todos los elementos acaben siendo
positivos?
2

9. Problemas de Polinomios
P1. Sean x, y, z números reales tales que
x + y + z = 2, xy + yz + xz = −1, xyz = −2
Hallar el valor de las siguientes expresiones:
a) x2
+ y2
+ z2
b) x3
+ y3
+ z3
c) x4
+ y4
+ z4
P2. Calcular a, b ∈ R para que ax4
+ bx3
+ 1 sea divisible por x2
+ 2x + 1.
P3. Hallar a, b ∈ R para que p(x) = x5
+ ax3
+ b tenga una raı́z real múltiple.
P4. Sabemos que una de las raı́ces del polinomio de coeficientes reales p(x) =
x3
+ ax2
+ bx + c es la suma de las otras dos. Demostrar que a3
− 4ab + 8c = 0.
P5. ¿Existe algún polinomio p(x) que cumpla que x p(x−1) = (x+1)p(x) para
cualquier valor de x ∈ R?
P6. Dado s ∈ R, consideremos el polinomio p(x) = 3x2
+ 3sx + s2
− 1 y supon-
gamos que α y β son sus raı́ces. Probar que p(α3
) = p(β3
).
P7. Consideremos el polinomio p(x) = x3
+ ax2
+ bx + c de coeficientes reales
y supongamos que el cuadrado de una de sus raı́ces es igual al producto de las
otras dos. Probar que a3
c = b3
.
P8. Si sabemos que la ecuación x3
+ 2λx2
− λx + 10 = 0 tiene tres soluciones
reales que están en progresión aritmética (λ es un parámetro y x es la incógnita),
hallar estas tres soluciones.
P9. Sabemos que el polinomio p(x) = x3
−x+k tiene tres raı́ces que son números
enteros. Hallar los posibles valores de k.
P10. Calcular las soluciones reales de la ecuación
4
√
97 − x + 4
√
x = 5
P11. Hallar a ∈ R de forma que la suma de los cuadrados de las raı́ces de
p(x) = x3
− 2ax2
+ (a + 1)x − a3
sea mı́nima y hallar dicha suma.
1

10. Problemas de Geometrı́a
P1. Consideremos dos puntos fijos A y B sobre una circunferencia y una recta
r exterior a la circunferencia. Dado un punto P en la circunferencia, se trazan
las rectas PA y PB que cortan a r en C y D respectivamente. Hallar dos puntos
fijos M y N de r tales que el producto CM · DN sea constante al variar P.
P2. Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de A
corta al lado opuesto en P. Probar que se cumple que
AP2
+ OA2
= OP2
+ bc
P3. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC y sea P un punto cualquiera
de la circunferencia tangente a los lados AB en B y a AC en C. Si llamamos
x, y, z a las distancias desde P a los lados BC, AC y AB, respectivamente,
probar que
x2
= y · z
P4. Sea ABCD un cuadrilátero cualquiera y tomemos P y Q los puntos medios
de las diagonales BD y AC, respectivamente. Las paralelas por P y Q a la otra
diagonal se cortan en O. Si unimos O con las cuatro puntos medios de los lados
(X, Y , Z y T) se forman cuatro cuadriláteros, OXBY, OYCZ, OZDT y OTAX.
Probar que los cuatro cuadriláteros tienen la misma área.
P5. Sea H el ortocentro de un triángulo ABC y supongamos que AB = CH.
Determinar el valor del ángulo ∠BCA.
P6. Determinar qué condición han de cumplir las longitudes de los lados de un
triángulo para que la recta que une el baricentro y el incentro sea paralela a uno
de los lados.
P7. Supongamos que ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia
de radio 1 de modo que AB es un diámetro y el cuadrilátero admite circunfe-
rencia inscrita. Probar que
CD ≤ 2
√
5 − 4
P8. A cada punto del plano se le asigna un color de entre 2009 posibles. ¿Existe
siempre un trapecio inscriptible en una circunferencia de forma que sus cuatro
vértices están coloreados del mismo color?
P9. ¿Es posible colorear los puntos del plano de coordenadas enteras con tres
1

11. colores, de tal modo que cada color aparezca infinitas veces en infinitas rectas
paralelas al eje OX y tres puntos cualesquiera, cada uno de distinto color, no
estén alineados?
P10. Sea H el ortocentro de un triángulo ABC, P el punto de corte de la altura
que pasa por A con el lado BC y Q el punto de corte de la semirrecta HP con
la circunferencia circunscrita. Demostrar que HP = PQ.
P11. Se considera el triángulo ABC y su circunferencia circunscrita. Si D y E
son puntos sobre el lado BC tales que AD y AE son, respectivamente, paralelas
a las tangentes en C y en B a la circunferencia circunscrita, demostrar que
BE2
CD
=
AB2
AC
P12. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión geométrica
de razón r. ¿Para qué valores de r el triángulo es acutángulo, rectángulo u
obtusángulo?
P13. Demostrar que en un cuadrilátero convexo de área unidad, la suma de las
longitudes de las diagonales es mayor o igual que 2
√
2.
P14. Sea ABC un triángulo. Hallar todos los puntos P interiores al triángulo
que cumplen las siguientes tres desigualdades:
]APB ≤ 2]ACB, ]BPC ≤ 2]BAC, ]APC ≤ 2]ABC
2