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JOIss2020 発表資料
- 2. 🐙自己紹介🐙 ・めんだこです 桜蔭高校１年 物理部PC班所属 Twitter : @mdkcpp1015, @mdk51kyopuro ・競プロer AtCoder緑 mdk_51, Highest 1027 (停滞中...) ・普段はC++を使っています Esolangも好きです 2
- 4. やりたいこと RMQ（区間最小値問い合わせ） … セグメント木で殴ることが多い(と私は思っている) 構築 O(n)時間、問い合わせ O(lg n)時間 定数時間で問い合わせしたい！ 4
- 5. 1. 問題の定義 2. RMQをLCAに帰着 3. LCAをRMQに帰着 4. ±1 RMQ問題 5. RMQの定数時間アルゴリズム 5 〜発表内容〜
- 6. 1. 問題の定義 2. RMQをLCAに帰着 3. LCAをRMQに帰着 4. ±1 RMQ問題 5. RMQの定数時間アルゴリズム 6 〜発表内容〜
- 7. RMQ・LCAの定義 7
- 8. RMQ・LCAの定義 ・区間最小値問い合わせ（Range Minimum Query） … 与えられた区間[s,t]に対して、A[s..t]の 最小値の位置を返す もし最小値が複数ある場合は最も左のものを返す 8
- 9. RMQ・LCAの定義 ・区間最小値問い合わせ（Range Minimum Query） … 与えられた区間[s,t]に対して、A[s..t]の 最小値の位置を返す もし最小値が複数ある場合は最も左のものを返す ・最近共通祖先（Lowest Common Ancestor） … 根付き木Tの2つのノード x,y に対して 最近共通祖先lca(x,y)を共通の祖先で深さ最大のノードとする 9
- 11. 1. 問題の定義 2. RMQをLCAに帰着 3. LCAをRMQに帰着 4. ±1 RMQ問題 5. RMQの定数時間アルゴリズム 11 〜発表内容〜
- 12. デカルト木 配列 A[1..n] に対し、デカルト木(Cartesian tree) を以下のように定義 12
- 13. デカルト木 配列 A[1..n] に対し、デカルト木(Cartesian tree) を以下のように定義 配列 A[1..n] の最小値の位置をmとする この時Aのデカルト木は ・根 … A[m] ・左部分木 … A[1...m-1] に対するデカルト木 ・右部分木 … A[m+1...n] に対するデカルト木 となる 13
- 14. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 14
- 15. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 15 ↑ ①
- 16. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} {2, 4, 3, 5}, {8, 6, 7, 9} 16 ①
- 17. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} {2, 4, 3, 5}, {8, 6, 7, 9} 17 ① ↑ ↑ ② ⑥
- 18. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} {2, 4, 3, 5}, {8, 6, 7, 9} {4, 3, 5}, {8}, {7, 9} 18 ① ② ⑥
- 19. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} {2, 4, 3, 5}, {8, 6, 7, 9} {4, 3, 5}, {8}, {7, 9} 19 ① ↑ ② ⑥ ↑ ↑ ③ ⑧ ⑦
- 20. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} {2, 4, 3, 5}, {8, 6, 7, 9} {4, 3, 5}, {8}, {7, 9} {4}, {5}, {9} 20 ① ② ⑥ ③ ⑧ ⑦
- 21. デカルト木 配列A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} {2, 4, 3, 5}, {8, 6, 7, 9} {4, 3, 5}, {8}, {7, 9} {4}, {5}, {9} 21 ① ② ⑥ ③ ⑧ ⑦ ↑ ↑ ↑ ④ ⑤ ⑨
- 23. RMQをLCAに帰着 配列A[1..n]に対するデカルト木をTとする これを用いるとRMQはLCAに帰着できる 23 A[s], A[t], A[RMQ(s,t)] を表すノードを それぞれ x,y,z とすると z = lca(x, y)
- 24. RMQをLCAに帰着 A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 24 x:a[s]に対応 y:a[t]に対応 z:a[lca(s,t)]に対応
- 25. RMQをLCAに帰着 A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 25 x:a[s]に対応 y:a[t]に対応 z:a[lca(s,t)]に対応 x y z
- 26. RMQをLCAに帰着 A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 26 x:a[s]に対応 y:a[t]に対応 z:a[lca(s,t)]に対応 x y z
- 29. 計算量 A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 末尾に8を追加したい 29 単調減少
- 30. 計算量 A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 末尾に8を追加したい 8 < 9 なのでNG 30 8 ↓ ❌
- 31. 計算量 A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 末尾に8を追加したい 8 < 9 なのでNG 8 > 7 なのでOK 31 8 ↓ ⭕
- 32. 計算量 A = {2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} 末尾に8を追加したい 8 < 9 なのでNG 8 > 7 なのでOK 32 ⑧ ⑨
- 34. 計算量 ・配列の要素とT上のノード間の双方向ポインタが必要 → O(n lg n)ビット これはデカルト木の構築時に作ることができ、 O(n)時間で構築可能 34
- 35. 計算量（まとめ） サイズnのLCAに対する計算量が〈s(n),f(n),q(n)〉の データ構造が存在する時、サイズnのRMQ問題に対する 以下の計算量のデータ構造が存在する 35 データ構造のサイズ s(n) + O(n lg n) データ構造の構築時間 f(n) + O(n) 問い合わせの時間 q(n) + O(1)
- 36. 1. 問題の定義 2. RMQをLCAに帰着 3. LCAをRMQに帰着 4. ±1 RMQ問題 5. RMQの定数時間アルゴリズム 36 〜発表内容〜
- 39. 超過配列 Tに対する超過配列E[0..2n] … 各時刻にいるノードの深さを順に並べたもの 各ノード v∈Tに対しvの深さをhとすると、 E[d(v)] = h, E[f(v)] = h-1 となる 39
- 40. 超過配列 E={0, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0} 40
- 42. 超過配列とRMQ・LCA x,yをTのノードとし、d(x)<d(y)とする z=lca(x,y), m=RMQ(d(x),d(y))とする m=d(x)の時 z=x それ以外の時 m=f(w)となるzの子ノードwが存在 42
- 43. LCAをRMQに帰着 A={2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} E={0, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0} 43 dx(x)<dy(y) z=lca(x,y) m=RMQ(d(x),d(y))
- 44. LCAをRMQに帰着 A={2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} E={0, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0} 44 dx(x)<dy(y) z=lca(x,y) m=RMQ(d(x),d(y)) x y m=d(x)の時 z=x m = 2
- 45. LCAをRMQに帰着 A={2, 4, 3, 5, 1, 8, 6, 7, 9} E={0, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0} 45 dx(x)<dy(y) z=lca(x,y) m=RMQ(d(x),d(y)) x y m=f(w)となるzの子ノードwが存在 m=12 z f(x)=12
- 46. 計算量 配列 L[1...2n] を用意し、Tのノードvにおいて L[f(v)] をvの親とする これはTをDFSするときに同時に作成でき、O(n)時間 各ノードを O(lg n) ビットで表現する場合、 O(n lg n)ビットで表せる 46
- 47. 計算量(まとめ) サイズnのRMQ問題に対する計算量が〈s(n),f(n),q(n)〉 のデータ構造が存在する時、サイズnのLCA問題に対する以 下の計算量のデータ構造が存在する 47 データ構造のサイズ s(2n) + O(n lg n) データ構造の構築時間 f(2n) + O(n) 問い合わせの時間 q(2n) + O(1)
- 48. 1. 問題の定義 2. RMQをLCAに帰着 3. LCAをRMQに帰着 4. ±1 RMQ問題 5. RMQの定数時間アルゴリズム 48 〜発表内容〜
- 49. 計算量(まとめ) サイズnのRMQ問題に対する計算量が〈s(n),f(n),q(n)〉 のデータ構造が存在する時、サイズnのLCA問題に対する以 下の計算量のデータ構造が存在する 49 データ構造のサイズ s(2n) + O(n lg n) データ構造の構築時間 f(2n) + O(n) 問い合わせの時間 q(2n) + O(1)
- 50. ±1 配列 超過配列E[0..2n]は、i(1 ≤ i ≤ 2n) において E[i] = E[i-1] ± 1 を満たす
- 51. ±1 配列 超過配列E[0..2n]は、i(1 ≤ i ≤ 2n) において E[i] = E[i-1] ± 1 を満たす このような配列を ±1 配列 と呼ぶ ±1配列上でのRMQ問題を ±1 RMQ問題 と呼ぶ
- 52. ±1RMQ問題 超過配列 E[0...2n] は ±1配列 E[i] = E[i-1] + 1 → B[i] = 1 E[i] = E[i-1] - 1 → B[i] = 0 とすることで長さ 2n のビット列 B[1...2n]で表現できる！
- 53. ±1RMQ問題 超過配列 E[0...2n] は ±1配列 E[i] = E[i-1] + 1 → B[i] = 1 E[i] = E[i-1] - 1 → B[i] = 0 とすることで長さ 2n のビット列 B[1...2n]で表現できる！ E = {0, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0} B = {1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0}
- 54. ±1RMQ問題 配列E[0..2n] を長さ のブロックに分割する 問い合わせられた区間[s,t]が ・ブロックiの接尾辞 ・ブロックi+1からj-1の全体 ・ブロックjの接頭辞 を含むとする →求めるものはこれら3区間の最小値の中の最小値である i j s t [s,t] …
- 55. ±1RMQ問題 iの接尾辞・jの接頭辞中の最小値 ブロックに対応するBの部分列bと、bの中でのs,tの 相対位置により決定される これを定数時間で求めるにはどうするか？ i j s t [s,t] …
- 56. ±1RMQ問題 iの接尾辞・jの接頭辞中の最小値 ブロックに対応するBの部分列bと、bの中でのs,tの 相対位置により決定される これを定数時間で求めるにはどうするか？ → 表引きを活用 i j s t [s,t] …
- 57. ±1RMQ問題 どのように表を作るか？ 長さlのビット列全パタンに対し、最小値の位置を格納 (これは O(√n lg lg n) ビットとなる) i j s t [s,t] …
- 58. ±1RMQ問題 どのように表を作るか？ 長さlのビット列全パタンに対し、最小値の位置を格納 (これは O(√n lg lg n) ビットとなる) ・接頭辞 E[t’..t] に対する最小値を求めるには、 tの右側を全て1に変換したブロックを考える ・接尾辞 E[s..s’] に対する最小値を求めるには、 sの左のビットを消して末尾に同じ分の1を追加して考える i j s t [s,t] …
- 59. ±1RMQ問題 i+1からj-1のブロックの中の最小値 Eの各ブロックの最小値を配列 A[1..2n/l] に格納 → Aに対しRMQ(i+1,j-1)をすれば良い i j s t [s,t] …
- 60. ±1RMQ問題 i+1からj-1のブロックの中の最小値 Eの各ブロックの最小値を配列 A[1..2n/l] に格納 → Aに対しRMQ(i+1,j-1)をすれば良い つまり、サイズ 2n の ±1 RMQ問題はサイズ O(n / lg n) の RMQ問題に帰着できる！ i j s t [s,t] …
- 61. 計算量 サイズ n の ±1RMQ問題において、サイズ n のRMQ問題の計 算量を〈s(n),f(n),q(n)〉とすると以下のようになる 61 データ構造のサイズ n + O(n lg lg n / lg n) + s(O(n/lg n)) データ構造の構築時間 O(n / lg n) + f(O(n / lg n)) 問い合わせの時間 O(1) + q(O(n/ lg n))
- 63. 計算量 サイズ n のRMQ問題に対する計算量〈s(n),f(n),q(n)〉 において、以下のようになる 63 データ構造のサイズ O(n lg n) + s(O(n / lg n)) データ構造の構築時間 O(n) + f(O(n / lg n)) 問い合わせの時間 O(1) + q(O(n/ lg n))
- 64. 1. 問題の定義 2. RMQをLCAに帰着 3. LCAをRMQに帰着 4. ±1 RMQ問題 5. RMQの定数時間アルゴリズム 64 〜発表内容〜
- 65. RMQの定数時間アルゴリズム サイズ n のRMQ問題はサイズ O(n / lg n) のRMQ問題に 帰着できる 65
- 66. RMQの定数時間アルゴリズム サイズ n のRMQ問題はサイズ O(n / lg n) のRMQ問題に 帰着できる つまり、サイズnのRMQ問題はサイズ O(n/lg n)、O(n/lg² n)、 O(n/lg³ n)... と再帰的に小さい問題へ帰着できる 66
- 67. RMQの定数時間アルゴリズム q(n)を O(1) にしたい → 再帰を定数回で止める必要がある 67
- 68. RMQの定数時間アルゴリズム q(n)を O(1) にしたい → 再帰を定数回で止める必要がある → SparseTableアルゴリズムを用いる 68
- 69. SparseTableアルゴリズム 配列Aに対し、二次元配列 を作成 M[i][k] を i を始点とした時の 2^k 先までの区間の 最小値の位置とする 69
- 70. SparseTableアルゴリズム 配列Aに対し、二次元配列 を作成 M[i][k] を i を始点とした時の 2^k 先までの区間の 最小値の位置とする これは k の小さい順に埋めていくと O(n lg n) 時間で構築でき、 O(n lg² n) ビットで表現できる 70
- 71. SparseTableアルゴリズム 区間 [s,t] のRMQ →区間[s..s+2^k-1]と区間[t-2^k+1..t]の RMQそれぞれのうち値が小さい方 M[s][k], M[t-2^k+1][k]から求められる 71 s t 2^k
- 73. SparseTableアルゴリズム SparseTableアルゴリズムを用いると、 O(n lg² n)ビットのデータ構造を用いて最小値の位置を定数時間 で求めることができる 元の問題のサイズがnの時、再帰を3回行うと問題サイズがO(n / lg³ n)となる この問題に対しSparseTableアルゴリズムを用いると 必要な領域はO(n / lg n)ビットとなる 73
- 74. 計算量 サイズ n のRMQ問題に対する計算量〈s(n),f(n),q(n)〉 において、以下のようになる 74 データ構造のサイズ O(n lg n) + s(O(n / lg n)) データ構造の構築時間 O(n) + f(O(n / lg n)) 問い合わせの時間 O(1) + q(O(n/ lg n)) SparseTableを用いる
- 75. 計算量 サイズnのRMQ問題に対し、以下の計算量のデータ構造が 存在 75 データ構造のサイズ O(n lg n) データ構造の構築時間 O(n) 問い合わせの時間 O(1)
- 76. 計算量 サイズnのRMQ問題に対し、以下の計算量のデータ構造が 存在 76 データ構造のサイズ O(n lg n) データ構造の構築時間 O(n) 問い合わせの時間 O(1) 定数時間で問い合わせできた！
- 77. (おまけ)データ構造の簡潔化 RMQ問題は O(n lg n) ビットのデータ構造を用いて 定数時間で計算できる デカルト木を順序木に変換することで 2n + o(n) ビットに圧縮 → 簡潔！ 77