(i) Turunan pertama suatu fungsi dihitung sebagai batas fungsi terhadap perubahan variabelnya ketika perubahan variabelnya mendekati nol. (ii) Turunan fungsi komposisi didapat dengan menggunakan aturan rantai. (iii) Turunan fungsi trigonometri, eksponensial, logaritma dan lainnya memiliki rumus khusus.

2. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c.
Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '(c) didefinisikan
sebagai:
f '(c)
f ( x) f (c)
c
x c
lim
x
bila limitnya ada.
Dengan penggantian x c h , jika x c h
turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk:
f '(c)
f (c h) f (c)
lim
h 0
h
0 dan
x c h,

3. Hitunglah f '(2) jika f ( x)
2x
J
awab
f ( x) 2x
(i) f '(c)
f ( x) f (c)
c
x c
lim
x
f ( x) f (2)
2x 2(2)
f '(2) lim
lim
x 2
x 2
x 2
x 2
f (c h) f (c)
(ii) f '(c) lim
h 0
h
f '(2)
lim
x
2( x 2)
2
f (2 h) f (2)
2(2 h) 2(2)
lim
h 0
h 0
h
h
2h
lim
lim 2 2
h 0 h
h 0
lim
x 2
2
4 2h 4
0
h
lim
h
lim 2
x
2

4. Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di
c, ditulis f ' (c) didefinisikan sebagai:
f (c h) f (c)
f ( x) f (c)
f ' (c) lim
atau f ' (c) lim
h 0
x c
h
x c
bila limitnya ada
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f
di c, ditulis f ' (c) didefinisikan sebagai:
f (c h) f (c)
f ( x) f (c)
f ' (c) lim
atau f ' (c) lim
h 0
x c
h
x c
bila limitnya ada
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c.
Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya
jika f ' (c)
f ' (c)

5. S
elidiki apakah f ( x)
x
x ;x
0
x ;x
0
mempunyai turunan di x
J
awab
Turunan kiri fungsi f di x 0
f ( x) f (0)
'
f (0) lim
lim
x 0
x 0
x 0
Turunan kanan fungsi f di x
f ( x) f (0)
f ' (0) lim
lim
x 0
x 0
x 0
f ' (0)
f ' (0)
adalah sebagai berikut:
x 0
lim ( 1
)
1
x 0
x
0 adalah sebagai berikut:
x 0
lim (1 1
)
x 0
x
f ( x) tidak mempunyai turunan di x
0
0!

6. • Jika f mempunyai turunan di c , maka f
kontinu di c.
• Jika f(x) tidak kontinu di c maka f tidak
mempunyai turunan di c.
• Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat
perlu untuk keterdiferensialan.
• Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu
f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh
contoh berikut.

7. Tunjukkan bahwa f ( x) | x 1|
x 1 x 1
,
x 1x 1
,
tetapi tidak diferensiabel di x = 1
J
awab :
1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1
f(1) = 0
lim f ( x) lim ( x 1 0
)
x 1
x 1
lim f ( x)
lim x 1 0
x 1
x 1
lim f ( x)
x 1
J lim f(x)
adi
x 1
0
f(1)
J f ( x) | x 1| kontinu di x = 1
adi
kontinu di x = 1

8. 2.
S
elanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel
di x = 1 atau f ' (1 f ' (1 ?
)
)
f ' (1
)
f ' (1
)
lim
x 1
f ( x) f (1
)
x 1
lim
x 1
f ( x) f (1
)
x 1
lim
x 1
| x 1| | 0 |
x 1
lim
x 1
| x 1| | 0 |
x 1
lim
x 1
(x 1
)
x 1
lim
x 1
Karena f ' (1 f ' (1 maka f ( x) | x 1|
)
)
tidak diferensiabel di x = 1
1
x 1
1.
x 1

9. Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di
titik yang diberikan
a.
b.
c.
f ( x)
f ( x)
f ( x)
x2 , x 1
;x= 1
2x 3 , x 1
x2
x ,x
0
sin x 1, x
0
;x= 0
x2 ,jika x 0
x ,0 x 1 ; x
1 x2 ,jika x 1
0 dan x 1

10. Turunan y f ( x) terhadap x dinotasikan dengan y' atau
f '( x) . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan
y f ( x) terhadap x di antaranya dalah:
dy d
, f ( x), Dx y, Dxf ( x) .
dx dx
dy
Notasi
dikenal sebagai notasi Leibniz.
dx

11. T urunan Fungsi Konstan
Misalkan f ( x)
f '( x)
0
f '( x)
k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka
lim
h
f ( x h) f ( x)
0
h
k k
0 h
lim
h
0
0h
lim
h
Contoh
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a. f ( x) 2
b. f ( x) 15
c. f ( x)
J
awab
a. f ( x)
b.
c.
22
2 f '( x) 0
f ( x) 15 f '( x) 0
f ( x) 22 f '( x) 0
lim 0
h 0
0

12. T urunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil
Misalkan f ( x) kxn dimana k,n  maka f '( x)
Contoh
Tentukan turunan dari fungsi berikut:
(nk) xn 1
2x3
a.
f ( x)
b.
f ( x) 15x
3
c.
J
awab
f ( x)
1
5x 4
a.
f ( x)
2x3
b.
f ( x) 15x
c.
f ( x)
f '( x)
3
1
5x 4
f '( x)
f '( x)
(3)(2) x3 1
( 3)(15) x
6x2
31
1 1
1
(5)x 4
4
45x
5
x
4
3
4
4

13. T urunan Kelipatan Fungsi
Misalkan f ( x)
k u( x)
n
dimana u( x) merupakan
n1
fungsi dari x maka f '( x) (n)(k) u( x) u'( x)
Contoh
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
2(3x 4)3
a.
f ( x)
b.
f ( x) 15(4 x 1
)
3

14. f ( x)
2(3x 4)3
f '( x)
a.
(3)(2)(3x 4)3 1(3x 4)'
6(3x 4)2 (3)
18(3x 4)2
b.
f ( x) 15(4 x 1
)
f '( x)
3
( 3)(15)(4x 1
)
31
( 45)(4x 1 4 (4)
)
180(4x 1
)
4
(4x 1
)'

15. Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut:
(i) f ( x) sin x f '( x) cos x
(ii) f ( x)
sin(u( x)) f '( x) cos x u'( x)
(iii) f ( x) cos x f '( x)
sin x
sin x u'( x)
(iv) f ( x) cos(u( x)) f '( x)
(v) f ( x)
tan x
f '( x)
(vi) f ( x)
tan(u( x))
sec2 x
f '( x)
sec2 (u( x)) u'( x)

16. Tentukan rumus fungsi berikut:
a. f ( x) sin(5x)
b.
f ( x)
c.
f ( x)
d.
f ( x)
sin( x2 2x)
cos( 15 x)
3
2
cos(2x x
e.
f ( x)
tan(2x)
f.
f ( x)
3
tan( x
2
3x )
4x)

17. a.
b.
f ( x) sin(5x)
f '( x) cos(5x) (5x)'
f ( x)
sin( x2
cos5x 5
2x)
c.
cos( x2
2x) ( x2
cos( x2
f '( x)
5cos(5x)
2x) (2x 2)
2x)'
(2x 2)cos( x2 2x)
f ( x) cos( 15 x)
f '( x)
sin( 15 x) ( 15 x)'
sin( 15 x) ( 15)
1 sin( 1 x)
5
5

18. d.
f ( x)
cos(2x3
x2
4x)
sin(2x3
x2
4x) (2x3
x2
sin(2x3
f '( x)
x2
4x) (6x2
2x 4)
f ( x)
f '( x)
e.
(6x2 2x 4)sin(2x3
tan(2x)
x2
sec2 (2x) (2x)'
sec2 (2x) 2
2sec2 (2x)
f.
f ( x)
tan( x3 3x2 )
f '( x)
sec2 ( x3 3x2 ) ( x3 3x2 )'
sec2 ( x3 3x2 ) (3x2 6x)
(3x2
6x)sec2 ( x3 3x2 )
4x)'
4x)

19. T urunan J
umlah, Selisih, H asil Kali, dan H asil Bagi Dua Fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi
f g,f g,fg, f g ( g( x) 0) terdiferensialkan pada selang I dengan aturan
sebagai berikut:
a. (u v)' u' v'
a. (f g)'( x) f '( x) g'( x)
b. (u v)' u' v'
b. (f g)'( x) f '( x) g'( x)
c. (uv)' u' v uv'
c. (fg)'( x) f '( x)g( x) f ( x)g'( x)
'
d.
f
( x)
g
f '( x)g( x) f ( x)g '( x)
( g( x))2
d.
u
v
'
u' v uv '
v2

20. Contoh
Tentukan turunan dari fungsi berikut ini!
a.
b.
f ( x)
2x3( x 5)5
f ( x)
5x4
(2x 1 3
)
f ( x)
2x3( x 5)5
J
awab
a.
Misalkan u 2x3 dan v ( x 5)5
u' 6x2 dan v '
(uv)' u' v uv '
5( x 5)4
(6x2 )( x 5)5 (2x3 )(5( x 5)4 )
6x2 ( x 5)5 10x3( x 5)4
f '( x)
6x2 ( x 5)5 10x3( x 5)4

21. b.
5x4
(2x 1 3
)
f ( x)
Misalkan u 5x4 dan v
20x3 dan v '
u'
u
v
'
(2x 1 3
)
6(2x 1 2
)
u' v uv '
v2
(20x3 )(2x 1 3 5x4 (6(2x 1 2 )
)
)
3 2
(2x 1
)
20x3(2x 1 3 30x4 (2x 1 2
)
)
(2x 1 6
)
f '( x)
20x3(2x 1 3 30x4 (2x 1 2
)
)
(2x 1 6
)

22. Misalkan y f (u) dan u g( x) . J fungsi g mempunyai turunan di x dan
Ika
fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi
y (f  g)( x) f g( x) ditentukan sebagai berikut:
dy du
du dx
dy
J y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka :
ika
dx
(f  g)'( x)
f ' g( x) g'( x) atau
dy
dx
dy du dv
du dv dx
Cont oh
Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai!
a.
y
(3x
b.
y
(2x4
5)5
3x3
c.
4 x2
13
)
d.
y
2x2
y
sin(2x4
4x 1
3x3 )

23. a.
y (3x 5)5
dy
5
y u
du
dy dy du
dx du dx
5u4 3
4
5u dan u
15u4
15(3x 5)
4
3x 5
du
dx
3

24. b.
y (2x4
y
u
dy
dx
u3
2x
4
3x3 4x2 1 3
)
dy
3u2
du
3
2
3x
4x
dy du
du dx
3u2 (8x3
9x2
1
du
dx
8x3
9x2
8x
8x)
(24 x3
27 x2
24 x)u2
(24 x3
27 x2
24 x)(2x4
3x3
4 x2 1 2
)

25. c.
y
2x2
4x 1
dy 1 12
1
y
u
u
2
du
2 u
du
u 2x2 4 x 1
4x 4
dx
dy dy du
dx du dx
1
(4 x 4)
2 u
4( x 1
)
1
u2
2 2x2 4x 1
2( x 1
)
2x2
4x 1

26. d.
3x3 )
dy
y sinu
cosu dan u
du
dy dy du
dx du dx
sinu (8x3 27 x2 )
y
sin(2x4
sin(2x4
3x3 )(8x3
2 x4
27 x2 )
3x3
du
dx
8x3
27 x2

27. Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang
sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan
berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi.
J y f ( x) maka
ika
dy df
f '( x)
Turunan pertama : y'
dx dx
d2 y
Turunan kedua
: y''
dx2
d3y
Turunan ketiga
: y'''
dx3
d4 y
(4)
Turunan keempat : y
dx4
.
.
.
.
.
.
dny
(n)
Turunan ke-n
: y
dxn
d2f
f ''( x)
2
dx
d3f
f '''( x)
dx3
d4f
f (4) ( x)
dx4
dnf
dxn
f (n) ( x)

28. Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari
fungsi berikut ini!
a. y 2x6 5x3
b. y sin x
J
awab:
a. y 2x6 5x3
y ' 12x5 15x2
y ''
60x4
y '''
240x3 30
y(4)
720x2
30x
b.
y sin x
y ' cos x
y ''
sin x
y '''
cos x
y(4)
sin x

29. dy
jika:
dx
1. Tentukan
a.
2x3
y
b. y
c.
4x
3
(2x2
y
4x2
2x
2
x 5
x
3x)( x4
1
3x3
x)
2x2 x 1
y
x 1
1 sin x
d. y
cos x
2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama
2x 3
10
a.
y
b.
y
x2
c.
y
x 1
x 1
d.
y
e.
y cos 4x2
x
f.
y sin2 3x2
2x
3x 1
2
sin3 x
dy
dari:
dx

30. Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Turunan
1. Diketahui f ( x)
1
9
a.
b.
c.
1
, f '(3) ....
x
1
6
e. Tidak ada jawab yang benar
d.
1
9
1
6
2. Turunan pertama dari y
a.
y
b.
y
c.
y
2
x2
2
x2
2
x2
1
x3
2
x3
1
x3
2
x
1
adalah ….
2
x
d.
y
e.
y
2
x2
2
x2
2
x3
2
x3

31. 3. Misalkan y ( x2 2)( x3 1) . Turunan pertama dari y adalah ….
a. y 5 x 4 6 x 2 2 x
d. y 5 x 4 6 x 2 2
b. y 5 x 4 3x 2 1
e. y 5 x 4 6 x 2
5x4 2 x 2
x 1
dy
4. Nilai
dari y
adalah ….
x 1
dx
dy
2
a.
dx ( x 1)2
dy
1
b.
dx ( x 1)2
dy 2 x 2
c.
dx ( x 1)2
c. y
dy
d.
dx
dy
e.
dx
2x
( x 1)2
2x 1
( x 1)2

32. 5. Turunan kedua dari y (4 x 7)10 adalah ….
a. y (160 x 280)8
b. y
c. y
6. Jika y
a.
b.
c.
(x
(x
(x
1440(4 x 7)8
d. y
e. y
360(4 x 7)8
1440(160 x 280)8
40(4 x 7)8
d3y
, berapakah nilai dari
….
3
dy
x 3
1
3) 4
2
3) 4
2
3) 4
1
d.
e.
6
( x 3) 4
6
( x 3) 4

33. 7. Turunan ketiga dari y sin(3x)
adalah ….
a. y
27 cos(3x)
b. y
9sin(3x)
c. y
27sin(3x)
8. Misalkan
x2
jika x 1
, nilai
f ( x)
2 x 1 jika x 1
dari f (1) adalah ….
a. 0
b. 3
c. 1
d. y
e. y
9cos(3x)
27 cos(3x)
d. 2
e. tidak ada

34. 9. Nilai a, b, dan c dari g( x) ax2 bx c bila g(1) = 5, g’(1) =3 dan g’’(1)=- 4
adalah ….
a. a = -2 , b = 4, c = 0
b. a = -2 , b = 0, c = 2
c. a = -2 , b = - 7, c = 0
d. a = 2 , b = 7, c = 0
e. a = -2 , b = 7, c = 0
10. Diketahui f ( x)
x2
x 3 ,x 1
pernyataan berikut yang benar adalah
1 2 x ,x 1
….
a. f ( x) differensiabel di x 1 dan f '(1) 1
b. f ( x) differensiabel di x 1 dan f '(1)
1
c. f ( x) tidak differensiabel di x 1
d. f ( x) tidak differensiabel di x
1
e. Tidak ada jawab yang benar