1. NORMAL DAĞILIM

2. Çan Eğrisi Dağılım: ÇoğuÇan Eğrisi Dağılım: Çoğu
Biyolojik ve SağlıkBiyolojik ve Sağlık
Değişkeninin deneyselDeğişkeninin deneysel
dağılımıdır. Verilerdağılımıdır. Veriler
ortalama etrafındaortalama etrafında
simetrik bir yayılmasimetrik bir yayılma
gösterir. Verilerin çoğugösterir. Verilerin çoğu
ortalamaya çok yakınortalamaya çok yakın
değerler alırlar. Ortala-değerler alırlar. Ortala-
madan uzaklaştıkçamadan uzaklaştıkça
gözlenen değerleringözlenen değerlerin
yoğunluğu azalır.yoğunluğu azalır.
ÇAN EĞRİSİ DENEYSEL DAĞILIMÇAN EĞRİSİ DENEYSEL DAĞILIM
Bu dağılımda istatistikler birbirine eşittir.
Çan eğrisi dağılımın uyduğu teorik dağılım Normal Dağılım’dır.
.... DTDOx ==

3. Fonksiyonuna sahip bir dağılımdır. Bu fonksiyonda;
· µ : X’in toplum ortalamasını
· σ : X’in toplum standart sapmasını
· π : Pi sayısını (π = 3.141..)
· e : doğal logaritma e = 2.718
belirtmektedir.
Normal dağılımın özellikleri:
• Dağılım grafiği çan eğrisi biçimindedir.
• Eğri µ etrafında simetriktir.
+∞<<∞−=
−
−
Xexf
X
2
2
)(
2
1
2/
1
)( σ
µ
πσ
NORMAL DAĞILIMNORMAL DAĞILIM

4. NORMAL DAĞILIMIN ÖZELLİKLERİNORMAL DAĞILIMIN ÖZELLİKLERİ
• Eğri – sonsuz ile + sonsuz arasında süreklidir.
(-∞ ≤ f(x) ≤ + ∞ )
• Dağılımı belirleyen parametreler µ ve σ2
dir.
•Gösterim X ∼N (µ, σ2
) ya da X ∼N (µ, σ)
biçimindedir.
• Eğrinin altında kalan alan 1’e eşittir.
F X
X
dX f t dt( )
/
exp( ( )= −
−




 = =
− ∞
+ ∞
− ∞
+ ∞
∫ ∫
1
2
1
2
1
2
σ π
µ
σ

5. •Eğrinin altında kalan alan µ ve σ değerleri ile
orantılı olarak, belirli % değerlere göre yoğunlaşmalar
gösterir.
µ + σ toplam alanın % 34.13’ünü
µ - σ toplam alanın % 34.13’ünü
µ±σ toplam alanın % 68.26’sini
µ±2σ toplam alanın % 95.44’ünü
µ±1.96σ toplam alanın % 95.00’ini
µ±2.58σ toplam alanın % 99.00’unu
µ±3.28σ toplam alanın % 99.90’ını belirtir.
1.96, 2.58 ve 3.28 değerleri f(X) fonksiyonunun sayısal
integral değerlerinde 0.95, 0.99 ve 0.999 olasılık
değerlerine karşılık gelen Z değerleridir.
NORMAL DAĞILIMIN
ÖZELLİKLERİ-2
NORMAL DAĞILIMIN
ÖZELLİKLERİ-2

6. Normal Dağılımda Değerlerin sigmaya (st.sapmaya)
göre ortalama etrafında dağılımları (yayılışları)
Normal Dağılımda Değerlerin sigmaya (st.sapmaya)
göre ortalama etrafında dağılımları (yayılışları)

7. NORMAL DAĞILIMIN
ÖZELLİKLERİ-3
NORMAL DAĞILIMIN
ÖZELLİKLERİ-3
Dönüştürmesi uygulanarak f(X) fonksiyonunu f(Z)Dönüştürmesi uygulanarak f(X) fonksiyonunu f(Z)
fonksiyonu biçiminde yazabiliriz..fonksiyonu biçiminde yazabiliriz..
Z değerleri standart Normal Dağılım (SND) gösterir.Z değerleri standart Normal Dağılım (SND) gösterir.
+∞≤≤∞−−
π
= Z)
2
Z
exp(
2
1
)Z(f
2
σ
µ−
=
X
Z
)1,0(NZ ≅

8. +∞<<∞−
πσ
= σ
µ−
−
Xe
2/
1
)x(f
2
2
2
)X(
NORMAL DAĞILIMNORMAL DAĞILIM
VEVE
STANDART NORMAL DAĞILIMSTANDART NORMAL DAĞILIM
+∞<<∞−
π
=
−
Ze
2
1
)Z(f 2
)Z( 2
1,0, ==
−
= σµ
σ
µX
Z

9. 1dZ)Z(fdt)t(f)Z(F)X(F =∫=∫==
∞+
∞−
∞+
∞−
YIĞILIMLI SND İNTEGRALYIĞILIMLI SND İNTEGRAL
DEĞERLERİNİN HESAPLANMASIDEĞERLERİNİN HESAPLANMASI
Normal ve Standart Normal Dağılımların YığılımlıNormal ve Standart Normal Dağılımların Yığılımlı
İntegrasyon değerleri birbirine eşittir.İntegrasyon değerleri birbirine eşittir.
Z=N(0, 1) için yığılımlı numerik integral basitçe eldeZ=N(0, 1) için yığılımlı numerik integral basitçe elde
edilebilir. Bu özellikten yararlanarak Toplumdaki X’inedilebilir. Bu özellikten yararlanarak Toplumdaki X’in
gözlenme olasılıklarıgözlenme olasılıkları µµ veve σσ’ya bağımlı olmaksızın basit’ya bağımlı olmaksızın basit
olarak hesaplanabilir.olarak hesaplanabilir.

10. )()( baba ZXZPXXXP <<=<<
STANDART NORMAL DAĞILIM İLESTANDART NORMAL DAĞILIM İLE
OLASILIKLARIN HESAPLANMASIOLASILIKLARIN HESAPLANMASI
dt)t(fdt)t(fdt)t(f)XXX(P
abb
a
XXX
X
ba
∞−∞−
∫−∫=∫=<<
dZ)Z(fdZ)Z(fdZ)Z(f)ZZZ(P
abb
a
ZZZ
Z
ba
∞−∞−
∫−∫=∫=<<
σµ−=σµ−= /)X(Z;/)X(Z bbaa
S/)xX(Z;S/)xX(Z bbaa −=−=

11. )()( 2121 ZXZPXXXP <<=<<

12. dZ)Z(f)ZZ(P)XX(P
1Z
11
∞−
∫=<=<
STANDART NORMAL DAĞILIM İLESTANDART NORMAL DAĞILIM İLE
OLASILIKLARIN HESAPLANMASIOLASILIKLARIN HESAPLANMASI
σµ−= /)X(Z 11 S/)xX(Z 11 −=örneklerdeörneklerde

13. dZ)Z(f1)ZZ(P)XX(P
2Z
22
∞−
∫−=>=>
STANDART NORMAL DAĞILIM İLESTANDART NORMAL DAĞILIM İLE
OLASILIKLARIN HESAPLANMASIOLASILIKLARIN HESAPLANMASI

14. •Toplumda normal erkeklerde hemoglobin (gr/100ml)
ortalaması 16 ve standart sapması 2 olarak
bilinmektedir. X≈N(16, 4) parametreli Normal dağılım
göstermektedir.
A- Rasgele seçilen normal bir kişinin hemoglobin
değerinin 18 ve daha yukarı olma olasılığı,
B-Rasgele alınan normal kişinin hemoglobin değerinin
12-14 arasında bulunma olasılığını hesaplayınız?
SND İLE ÇÖZÜMLERSND İLE ÇÖZÜMLER

15. A- Burada istenen P(X ≥18)’dir.
X≈N(16, 4) P(X ≥ 18)=?,
Z=(18-16)/2=1.00 P(Z ≥1)=0.1587
A’nın çözümüA’nın çözümü
∫∞
==≥=≥
1
1587.0)()1()18( dZZfZFXP

16. B-Burada bulunacak olan x’in 12 ile 14 arasında
bulunma (P(12≤X ≤14)=?) olasılığıdır.
X≈N(16, 4) P(12≤X ≤14)=?,
Z1=(12-16)/2= -2.00 Z2=(14-16)/2= -1.00
B’nin çözümüB’nin çözümü
1359.00228.01587.0
)()()21(
)00.100.2()1412(
1 2
=−=
−=≤≤
−≤≤−=≤≤
∫ ∫
−
∞−
−
∞−
dZZfdZZfZZZP
ZPXP

17. Z HİPOTEZ TESTİ

18. Z TESTİ
 Normal dağılım gösteren toplumun parametrelerine
dayalı hipotezlerin, Normal dağılım gösteren
toplumdan alınan n birimlik örnek /örneklerin
ortalama /ortalamaları ve toplum varyans /varyansları
kullanılarak test edilmesini sağlayan bir testtir.
 Bu test bütün büyük örnekler (n≥30) ve x’in olasılık
dağılımının normal olduğu örnekler için geçerlidir.

19. Z TESTİ Modelleri-1
(Tek Örneklem Testleri)
1. Tek toplum ortalamasına dayalı hipotezlerin
testi
010100
0
0100
:,::
)(
::
µµµµµµ
σ
µ
µµµµ
<>=
−
=≠=
HHH
n
X
ZHH

20. Toplum ortalaması µ için z testi
∀µ= µo ise, toplumdan seçilen örneklerde, ‘ların
belirli bir olasılıkla µo ‘dan belirli uzaklıkta olma
olasılıkları bellidir.
• µ= µo iken örnek ortalamasının µo ‘dan olan farkının
yüzde kaç olasılıkla ortaya çıkabileceği bulunur.
•Hesaplanan z değerine karşılık bulunan olasılıklar (P) α
ile karşılaştırılarak hipotezin kontrolü yapılır.
∀α düzeyine ve alternatif hipoteze göre kritik z değerleri
bulunarak, hesaplanan z değeri ile karşılaştırılır
x

21. Toplum ortalaması µ için z testi-1
 Örnek: Normal kadınlarda hemoglobinÖrnek: Normal kadınlarda hemoglobin
değerleri içindeğerleri için µµoo=14 ve=14 ve σσ=2 olduğu=2 olduğu
verilmiştir. 36 kişilik bir kadın grubundaverilmiştir. 36 kişilik bir kadın grubunda
ortalama değeri 13 olarak bulunsa, buortalama değeri 13 olarak bulunsa, bu
grubun normal kadınlardan farklı olduğunugrubun normal kadınlardan farklı olduğunu
0.05 hata (0.05 hata (αα=0.05) düzeyine göre=0.05) düzeyine göre
söyleyebilirmiyiz?söyleyebilirmiyiz?

22. Toplum ortalaması µ için z testi-2
n
X
ZHH
σ
µ
µµµµ
)(
:: 0
0100
−
=≠=
3
36
2
)1413(
14:14: 10 −=
−
=≠= ZHH µµ

23. Toplum ortalaması µ için z testi-3
 Hipotez iki yanlı olduğu için olasılık,Hipotez iki yanlı olduğu için olasılık,
P=P(zP=P(z≤≤-3 ya da z-3 ya da z≥≥3)=0.0013*2=0.00263)=0.0013*2=0.0026
olduğundan P=0.0026<olduğundan P=0.0026<αα=0.05 olduğundan=0.05 olduğundan
Ho hipotezi reddedilir.Ho hipotezi reddedilir.

24. Toplum ortalaması µ için güvenlik
sınırları
 Her zaman nokta tahmini yapmak doğruHer zaman nokta tahmini yapmak doğru
olmaz. Bazen bir ortalamanın bulunduğuolmaz. Bazen bir ortalamanın bulunduğu
aralığın belirli olasılıklarla tahmin edilmesiaralığın belirli olasılıklarla tahmin edilmesi
gerekir. Bu tahmin yöntemine aralıkgerekir. Bu tahmin yöntemine aralık
tahmini (güven aralığı) denir.tahmini (güven aralığı) denir.
 Birim normal dağılımda, z’nin –zBirim normal dağılımda, z’nin –zαα ile zile zαα
arasında bulunma olasılığı,arasında bulunma olasılığı,
P (–zP (–zαα <Z< z<Z< zαα )=1-)=1- αα

25. Toplum ortalaması µ için güvenlik
sınırları-1
 ––zzαα ve zve zαα değeri yerine zdeğeri yerine z formülünüformülünü
koyacak olursakkoyacak olursak n
X
Z
σ
µ )( 0−
=
n
zx
n
zx
n
zxP
σ
α
σ
µ
σ
α
αα
±
−=+<<− 1)(

26. Toplum ortalaması µ için güvenlik
sınırları-2
 Örnek: 36 kişilik bir şeker hastası grubunda,Örnek: 36 kişilik bir şeker hastası grubunda,
serumda ölçülen krom değerleri ortalamasıserumda ölçülen krom değerleri ortalaması
32 mikro gr/lt ve standart sapması s=232 mikro gr/lt ve standart sapması s=2
olarak bulunmuştur. 0.95 olasılıkla şekerolarak bulunmuştur. 0.95 olasılıkla şeker
hastalarındaki krom miktarı ortalamasının,hastalarındaki krom miktarı ortalamasının,
a) İki yanlı güvenlik sınırlarınıa) İki yanlı güvenlik sınırlarını
b) Güvenlik sınırları genişliğinib) Güvenlik sınırları genişliğini
c) Bir yanlı güvenlik sınırlarını bulalım.c) Bir yanlı güvenlik sınırlarını bulalım.

27. Toplum ortalaması µ için güvenlik
sınırları-3
a) İki yanlı güvenlik sınırlarınıa) İki yanlı güvenlik sınırlarını
b) Güvenlik sınırları genişliğinib) Güvenlik sınırları genişliğini
95.0)65.3235.31(
65.32,35.31
36
2
96.132
05.095.01,2,32,36
=<<
⇒±⇒±
=⇒=−===
µ
αα
α
P
n
s
zx
sxn
3.135.3165.32.. =−=GA

28. Toplum ortalaması µ için güvenlik
sınırları-4
c) Bir yanlı güvenlik sınırlarını bulalım.c) Bir yanlı güvenlik sınırlarını bulalım.
Eğrinin yalnız bir ucunda 0.05 kadar alanEğrinin yalnız bir ucunda 0.05 kadar alan
ayıran z değeri 1.645 dir.ayıran z değeri 1.645 dir.
95.0)45.31(,95.0)55.32(
55.32,45.31
36
2
645.132
=>=<
⇒±
µµ PP

29. Z TESTİ
(İki Örneklem Testleri)
1. İki toplum ortalamasına dayalı hipotezlerin testi
211211
2
2
2
1
2
1
2121
211210
:,:
)()(
::
µµµµ
σσ
µµ
µµµµ
<>
+
−−−
=≠=
HH
nn
xx
ZHH

30. Z TESTİ
İki Örneklem Testleri -1
 Bu testin geçerli olabilmesi aşağıdaki koşullaraBu testin geçerli olabilmesi aşağıdaki koşullara
bağlıdır.bağlıdır.
a)a) Örneklerin alındığı toplumların varyanslarıÖrneklerin alındığı toplumların varyansları
bilinmelidir.bilinmelidir.
b)b) n1 ve n2 <30 için dağılımların normal olduğun1 ve n2 <30 için dağılımların normal olduğu
bilinmelidir.bilinmelidir.
c)c) Dağılımlar hakkında bir bilgi yok ise en azDağılımlar hakkında bir bilgi yok ise en az n1 ven1 ve
n2>30 olmalıdır.n2>30 olmalıdır.
d)d) Toplum varyansları bilinmiyorsa örnekler 30 danToplum varyansları bilinmiyorsa örnekler 30 dan
büyük tutularak bulunacak örnek değerleribüyük tutularak bulunacak örnek değerleri
(varyansları) toplum varyansı yerine kullanılabilir.(varyansları) toplum varyansı yerine kullanılabilir.

31. Z TESTİ
İki Örneklem Testleri -2
 Örnek:36 kişilik bir kadın grubundaÖrnek:36 kişilik bir kadın grubunda
hemoglobin değeri ort. 13.5 ve 40 kişilikhemoglobin değeri ort. 13.5 ve 40 kişilik
erkek grubunda da 16 olarakerkek grubunda da 16 olarak
bulunmuştur. Her iki grup için toplumbulunmuştur. Her iki grup için toplum
standart sapmaları 2 olduğu bilinmektedir.standart sapmaları 2 olduğu bilinmektedir.
Her iki cinse ait ortalama değerlerHer iki cinse ait ortalama değerler
arasında fark olup olmadığınıarasında fark olup olmadığını αα=0.05=0.05
düzeyinde kontrol edelim.düzeyinde kontrol edelim.

32. Z TESTİ
İki Örneklem Testleri -3
.reddedilirHipoteziHo
96.144.5
44.5
40
4
36
4
165.13)(
16,5.13,40,36,2
:
:
025.0
22
1
−=<−=
−=
+
−
=
+
−−−
=
======
≠
=
zz
nn
yx
z
yxnn
H
Ho
y
y
x
x
yx
yxyx
yx
yx
σσ
µµ
σσ
µµ
µµ

33. Z TESTİ
İki Örneklem Testleri -4
645.166.4645.1,05.0
66.4
40
3
36
5.1
165.13)(
16,5.13,40,36,3,5.1
:
:
2222
1
−=<−=⇒−==
−=
+
−
=
+
−−−
=
======
<
=
ααα
µµ
µµ
µµ
ZzZ
n
S
n
S
yx
z
yxnnSS
H
Ho
y
y
x
x
yx
yxyx
yx
yx

34. z testinde ikiyönlü hipotez test
sonuçlarının önemlilik düzeyleri
İki yönlü testte değerlendirme kriterleri
-1.96< z < +1.96 ise P>0.05 ns. Önemsiz
| z | <1.96 ise P>0.05 ns. Önemsiz
1.96<= | z | <2.58 ise P<0.05 * Önemli
2.58<= | z | <3.28 ise P<0.01 ** Önemli
| z | =>3.28 ise P<0.001 *** Önemli

35. Toplum Parametresi Oran İçin
Hipotez Testi
Pq
PPHPPHPPH
n
pq
Pp
ZPPHPPH
−=
<>=
−
=≠=
1
:,::
)(
::
010100
0
0100
n≥30 ve np,nq ≥5 ise oranlar normal
dağılır ve µ=np, σ2
=npq dur.

36. Toplum Parametresi Oran İçin
Hipotez Testi-1
Örnek: Bir hastalıktan ölüm oranı mevcut
tedavi uyg. 0.25 tir. Yeni geliştirilen bir
tedavinin ölüm oranını azaltıp azaltmadığı
kontrol edilmek isteniyor. Bu amaçla seçilen 40
kişilik bir hasta grubuna yeni tedavi uyg. sonra
ölüm oranı 0.20 olarak hesaplanıyor. Yeni
tedavinin ölüm oranını azaltıp azaltmadığını
α =0.05 düzeyine göre kontrol edelim.

37. Toplum Parametresi Oran İçin
Hipotez Testi-2
645.1,05.0,75.025.01
40,20.025.0
73.0
40
75.025.0
)25.020.0(
25.0:25.0:
05.0
0
10
−===−=
===
−=
×
−
=<=
Zq
nPP
ZPHPH
α
z=-0.73 > zα=-1.645 olduğundan Ho hipotezi
kabul edilir.

38. Toplum Oranın Güvenlik
Sınırları
 İki yanlı güvenlik sınırlarıİki yanlı güvenlik sınırları
 Bir yanlı güvenlik sınırlarıBir yanlı güvenlik sınırları
n
pq
zP
zZzP
×±
−=<<−
2
22
1)(
α
αα α
n
pq
zP
n
pq
zP ×+⇒×− αα

39. Toplum Oranın Güvenlik
Sınırları-1
Örnek:Bir bölgede tüberküloz oranını
tahmin etmek için 500 kişilik bir örnekte
tüberküloz oranı P=0.05 olarak bulunmuş
%99 olasılıkla toplumdaki tüberkülozlu
oranının,
a)İki yanlı güven sınırlarını
b)Bir yanlı alt ve üst sınır değerlerini

40. Toplum Oranın Güvenlik
Sınırları-2
075.0,025.0
500
95.005.0
56.205.0
95.005.01,05.0,56.2
01.099.01)(
2/01.0
22
⇒
×
×±
=−===
=−=<<−
qpZ
zZzP αα
0.99 olasılıkla toplumdaki tüberkülozlu oranı 0.025
ile 0.075 arasındadır.

41. Toplum Oranın Güvenlik
Sınırları-3
0.99 olasılıkla toplumdaki tüberkülozlu oranı bir yanlı
güvenlik alt –üst sınır değerleri 0.027 ile 0.073’dür.
073.0
500
95.005.0
33.205.0
027.0
500
95.005.0
33.205.0,33.201.0
=
×
×+
=
×
×−=z

42. İki Toplum Oranı Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi
 Normal dağılmış toplumlardan ve nNormal dağılmış toplumlardan ve nxx,n,nyy≥≥3030
dan büyük örneklerden elde edilendan büyük örneklerden elde edilen
oranlarda normal dağılacakları için onlarınoranlarda normal dağılacakları için onların
farkları da normal dağılacaktır.farkları da normal dağılacaktır.
yxyxo
yxyxo
yxyxo
y
yy
x
xx
pp
yxpp
PPHPPH
PPHPPH
PPHPPH
n
qp
n
qp
PP
yxypxp
yx
<=
>=
≠=
+=+=
−=
−
−
:,:
:,:
:,:
1
1
1
222
)(
)(
σσσ
µ

43. İki Toplum Oranı Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi-1
..
yxyx
yyxx
y
yy
x
xx
yx
nn
yx
nn
pnpn
P
n
qp
n
qp
PP
Z
+
+
=
+
+
=
+
−
=

44. İki Toplum Oranı Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi-2
Örnek:A ve B ilaçları yan etkileri bakımındanÖrnek:A ve B ilaçları yan etkileri bakımından
karşılaştırıldığında, A ilacı 100 hastayakarşılaştırıldığında, A ilacı 100 hastaya
verildiğinde 20 hastada yan etki, B ilacı 80verildiğinde 20 hastada yan etki, B ilacı 80
hastaya verildiğinde ise yan etki görülenhastaya verildiğinde ise yan etki görülen
hasta sayısı 22 dir.İlaçlar arasında fark oluphasta sayısı 22 dir.İlaçlar arasında fark olup
olmadığınıolmadığını αα=0.05 düzeyinde kontrol=0.05 düzeyinde kontrol
edelim.edelim.

45. İki Toplum Oranı Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi-3
Örnek:A ve B ilaçları yan etkileri bakımındanÖrnek:A ve B ilaçları yan etkileri bakımından
karşılaştırıldığında, A ilacı 100 hastaya verildiğinde 20karşılaştırıldığında, A ilacı 100 hastaya verildiğinde 20
hastada yan etki, B ilacı 80 hastaya verildiğinde ise yanhastada yan etki, B ilacı 80 hastaya verildiğinde ise yan
etki görülen hasta sayısı 22 dir.İlaçlar arasında fark olupetki görülen hasta sayısı 22 dir.İlaçlar arasında fark olup
olmadığınıolmadığını αα=0.05 düzeyinde kontrol edelim.=0.05 düzeyinde kontrol edelim.
19.1
80
77.023.0
100
77.023.0
275.020.0
77.023.01,23.0
80100
2220
96.1,05.0,80,100
275.0
80
22
,20.0
100
20
:,:
2/05.0
1
−=
×
+
×
−
=
+
−
=
=−==
+
+
=
+
+
=
±====
====
≠=
BA
BA
BA
BA
BA
BABAo
n
pq
n
pq
pp
z
q
nn
BA
P
Znn
pp
PPHPPH
α

46. İki Toplum Oranı Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi-4
Z=-1.19 olduğundan Ho hipotezi kabul edilir. Yani iki ilaçZ=-1.19 olduğundan Ho hipotezi kabul edilir. Yani iki ilaç
yan etki bakımından eşittir.yan etki bakımından eşittir.

47. Bağımlı Örneklerde İki Oran Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi
Aynı bireylerin iki defa gözlenmesi sonucundaAynı bireylerin iki defa gözlenmesi sonucunda
önceki-sonraki gözlemler arasındaki değişiminönceki-sonraki gözlemler arasındaki değişimin
orantısal olarak ölçülmesi esasına dayanır.orantısal olarak ölçülmesi esasına dayanır.
İkinci İşlem
EvetEvet HayırHayır ToplamToplam
EvetEvet AA BB A+BA+B
HayırHayır CC DD C+DC+D
ToplamToplam A+CA+C B+DB+D nn
Birinci
işlem

48. Bağımlı Örneklerde İki Oran Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi -1
PP11: 1. işlemden sonra istenen yanıtı verenlerin oranı: 1. işlemden sonra istenen yanıtı verenlerin oranı
PP22: 2. işlemden sonra istenen yanıtı verenlerin oranı: 2. işlemden sonra istenen yanıtı verenlerin oranı
n
n
C
n
B
PP
Z
n
CA
P
n
BA
P
+
−
=
+
=
+
=
21
21 ,

49. Bağımlı Örneklerde İki Oran Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi -2
Örnek: 40 sirozlu hastada IGg( immun globulin g)Örnek: 40 sirozlu hastada IGg( immun globulin g)
verilmeden önce ve sonraki biyopsi sonuçlarınaverilmeden önce ve sonraki biyopsi sonuçlarına
göre hidropik dejenerasyon durumları verilmiştir.göre hidropik dejenerasyon durumları verilmiştir.
IGg nin hidropik dejenerasyona etkili olupIGg nin hidropik dejenerasyona etkili olup
olmadığınıolmadığını αα=0.05 için test edelim.=0.05 için test edelim.
SonraSonra
HD+HD+ HD-HD- ToplamToplam
ÖnceÖnce
HD +HD +
2828 44 3232
HD -HD - 66 22 88
ToplamToplam 3434 66 4040

50. Bağımlı Örneklerde İki Oran Arasındaki
Fark İçin Hipotez Testi -3
96.1633.0
633.0
40
40
6
40
4
40
34
40
32
40
34
40
32
:,:
05.0
21
21121
=<−=
−=
+
−
=
=
+
=⇒=
+
=
≠=
zz
z
n
CA
p
n
BA
p
ppHppHo

51. STUDENT t DAĞILIMI
ve
t HİPOTEZ TESTLERİ

52. t TESTİ
Normal dağılım gösteren toplumun parametrelerine
dayalı hipotezlerin, Normal dağılım gösteren
toplumdan alınan n birimlik örnek /örneklerin
ortalama /ortalamaları ve varyans /varyansları
kullanılarak test edilmesini sağlayan bir testtir.
İnterval /Oransal Ölçekli Değişkenlere ilişkin t testleri
(Ortalamaya Dayalı hipotezlerin t testleri)
Nominal /Ordinal Ölçekli Değişkenlere ilişkin t testleri
(Orana Dayalı hipotezlerin t testleri)

53. Student t Dağılımı
Kuramsal t Dağılımının Özellikleri
a- t'nin dağılım aralığı +∞ ile -∞ dur.
b- Eğri yatay eksen boyunca her iki uçta uzanıp onu sonsuzda keser.
c- Eğri t=0 noktasında düşey eksene göre simetriktir.
d- Dağılımın şekli serbestlik derecesine (örnekteki birim sayısı) göre değişir. n
küçüldükçe dağılım basıklaşır. büyüdükçe birim z dağılımına yaklaşır. n=∞ için her
ikisi çakışır.
Örneğin, n=40 birimli bir örnek için Z0.05=1.96 olurken t=2.021 olmaktadır.
e- Dağılım eğrisi, örnek büyüklüğüne bağlı olan serbestlik derecesi ile tanımlanır. Bundan dolayı, her
dağılım içinα düzeyindekikritiktdeğerleridefarklıolmaktadır.

54. Student t Dağılımı
Normal dağılım gösteren bir toplumdan seçilen n birimli örnek ortalamalarının her biri
için elde edilen t değerlerinin dağılımı, (n-1) serbestlik dereceli bir t dağılımıdır.
Serbestlik derecesine göre bu dağılımlar farklı olacağından, serbestlik derecesi
dağılımın parametresi olmaktadır. Dağılımın yoğunluk fonksiyonu,
dır. K, dağılım eğrisi altındaki alanı 1'e eşitleyen bir katsayı ve ν de dağılımın
serbestlik derecesini gösteren bir parametredir. t ise dağılımın değişken değeridir.

55. t Tablosu
Koşullara göre, hipotez kontrolü için t istatistiği hesaplanmışsa, hipotezin kabul ya da
reddine karar verebilmek için ya t cinsinden kritik değer tα;ν ya da bulunan t değerine
karşılık gelen olasılık değerinin bulunması gerekmektedir. Bu değerler her serbestlik
derecesinde farklı olduğundan ancak seçilmiş bazı olasılık (α) düzeylerine karşı gelen t
değerleri hesaplanmıştır. Tablonun ilk sütunundaki S.D. ile gösterilen sayılar
serbestlik derecelerini ve tablonun içinde yer alan değerler de, tablonun bir ve iki
ucunda olmak üzere her serbestlik derecesi ve seçilen α düzeyindeki kritik değerleri (tα
;ν) vermektedir(Ek 3).
Örnek 13.1:
a) ν=25 serbestlik dereceli bir t dağılımında, t=2.000 için dağılımın sağ
tarafındaki olasılık
P(t≥2.000) değeri aralık şeklinde 0.025< P <0.05 olmaktadır.
b) ν=25 serbestlik dereceli bir t dağılımında, α=0.05 düzeyinde sağ ve sol
taraftaki kritik değerler t0.05;25=+1.708, t0.05;25= -1.708 ve iki yanlı kritik değer t0.05;25=±
2.060 olarak tablodan bulunmaktadır.
**

56. t TESTİ
(Tek Örneklem Testleri)
1. Tek toplum ortalamasına dayalı hipotezlerin
testi
n
S
X
tHH
)(
:: 0
0100
µ
µµµµ
−
=≠=
n
qp
Pp
tPPHPPH
∗
−
=≠=
)(
:: 0
0100
22.. TekTek toplum oranına dayalı hipotezlerin testitoplum oranına dayalı hipotezlerin testi

57. Örnek (Örnek Ortalamasının Toplum
Ortalamasından Farkı)
Örnek 13.2: Normal kişilerde % olarak işitme kaybı ortalaması 17 desibel
olarak bilinmektedir. Böbrek yetmezliği olan hastalar arasından seçilen n=25
hastada ortalama işitme kaybı =30 ve S=20 desibel olarak bulunmuştur. Böbrek
yetmezliği olan hastalardaki işitme kaybının normal değerden farklı olup
olmadığını α=0.05 düzeyinde kontrol edelim.
Hipotez:
Ho: µ=µo=17
H1: µ≠µo=17
Hipotez iki yanlı olduğu için t tablosunda iki yanlı α=0.05 için kritik t
değerini bulalım. Serbestlik derecesi ν=25-1=24 için t0.05;24=2.060. Tabloda her ν
değeri verilmemiş olabilir. Bu durumda ona en yakın serbestlik derecesi alınır.
t=3.250>t0.05;24=2.060 olduğu için H1 hipotezi kabul edilir. ν=24 için t=3.250
değeri 3.078 ile 3.725 değerleri arasında yer alır. Bu değerlere karşı gelen
olasılık değerleri iki yanlı dağılım için 0.005 ve 0.001'dir. Öyle ise t=3.250 için
olasılık, aralık şeklinde 0.001<P<0.005 olacaktır. P<0.05 olduğu için bu yolla
da H1hipotezi kabul edilmiş olur.

58. Ortalamanın Güven Sınırları
P(-tα/2;ν <t< tα/2;ν)=1-α
t'nin yerine değeri yazılıp sadeleştirme yapıldığında,
ve buradan dağılımın iki ucundaki iki yanlı güvenlik sınırları,
elde edilir.
Bir yanlı güvenlik sınırı ise, dağılımın yalnız bir yanında (sağ ya da sol taraflı) α
kadar olasılık değerine karşı gelen değerdir. Bu sınır değerleri de ayrı ayrı,
Sol tarafta:
Sağ tarafta:
'dir.

59. Ortalamanın Güven Sınırları

60. t TESTİ (İki Örneklem Testleri)
1. İki toplum ortalamasına dayalı hipotezlerin testi
(Varyansların Eşit Olması Durumunda)
S
x
x
n
y
y
n
n n
i
i
n i
i
n
x
i
i
n i
i
n
y
x y
x
x
y
y
2
2
1
2
1 2
1
2
1
1 1
=
− + −
− + −
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑( ) ( )
( ) ( )
ile bulunur. Bu şekilde bulunan t değerlerinin dağılımının serbestlik derecesi
'dir.

61. t TESTİ (İki Örneklem Testleri)
Örnek 13.4: Anestezi sırasında, rohypnol'ün değişik dozlarının uykuya dalma süresi bakımından bir farklılık yaratıp yaratmadığını araştırmak için 10 hastaya
bu ilaç kg başına saniyede 0.015 mg ve 15 hastaya da 0.03 mg olarak veriliyor. Uykuya dalma süresi bakımından iki ayrı dozu α=0.01 için karşılaştıralım.
(x) (y)
0.015 mg 0.03 mg
________________________________
Aritmetik Ortalama 72.6 48.5
Toplam 726 727
Kareler Toplamı 52914 41443
Hipotez:
Ho: Dozun uykuya dalma süresi üzerine bir etkisi yoktur (µx=µy).
H1: Ayrı dozlarda ilaç alan hasta gruplarındaki uykuya dalma süreleri farklıdır (µx≠µy).
Tablodan;
t tablosundan |t0.01;23|=2.787'dir. t ≥ | tα;ν | olduğu için Ho hipotezi reddedilir. Testin anlamlılık düzeyi ise 0.001< P < 0.005 olur. Sonuç olarak, ilacın iki ayrı
dozunu alan hastalardaki uykuya dalma sürelerinin farklı olduğu söylenebilir. Yapılan hatanın da 0.001< P < 0.005 olduğu akıldan çıkartılmamalıdır.

62. t TESTİ (İki Örneklem Testleri)

63. t TESTİ (İki Örneklem Testleri)

64. Eşleştirilmiş t TESTİ
Bazı uygulamalarda iki ayrı grup almak yerine tek bir grup alınıp bu gruba ayrı
zamanlarda değişik ilaç ve tedavi yöntemleri uygulanarak elde edilen veri grupları
oluşturulur. Bu veri grupları aynı örnek birimlerinden ilaç öncesi-ilaç sonrası, tedavi
öncesi-tedavi sonrası gibi aynı birimlerden elde edilen eş değerlerdir. Bundan dolayı
da bu verilere eşleştirilmiş veriler denir. Çalışma eğer eşleştirilmiş veriler şeklinde
düzenlenebiliyorsa, gruplardaki deney birimlerinin aynı olması nedeniyle bundan
önceki hipotez testine tercih edilir. Çünkü, gruplar arasında ortaya çıkabilecek fark
yalnız bu gruplara uygulanan işleme bağlı olacaktır. Ayrıca, bu uygulamada tek bir
örnek grubu mevcut olup bu grup hem kontrol hem de deney grubu olarak rol
oynamaktadır.
Normal bir toplumdan n birimli bir örnek grubu seçip birimlerin herhangi bir
vasfına ait değerleri xi olarak ölçelim. Aynı birimlere bir işlem uyguladıktan sonraki
vasıf değerlerini de yi olarak ölçelim. xi ve yi 'ler eş değerlerdir. Çiftlerin farkı
,farkların ortalaması da 'dir. Genel teoreme göre, çok sayıda,
toplumdan seçilen n birimli örneklerden elde edilen 'lerin dağılımı da bir normal
dağılım olup parametreleri,
ve 'dir.
'nin tahmini değeri olup örnekteki çift farklarından ( ) elde
edilen bir variyanstır.
Dağılımın değişken değeri 'dır. Hipotez kontrolünde kullanılacak olan
olasılığı hesaplayabilmek için bu dağılımı t dağılımına dönüştürelim.
t dağılımının serbestlik derecesi 'dir.

65. Eşleştirilmiş t TESTİ
Örnek 13.7: Nipruss adlı bir ilacın nabız üzerine bir etkisinin olup olmadığı
araştırılmak isteniyor. Bu amaçla seçilen 15 hastanın nabız sayıları kayıt ediliyor.
Nipruss verildikten 5 dakika sonra nabız sayıları tekrar ölçülüyor. Niprussun nabız
sayısı üzerine bir etkisinin olup olmadığını α=0.01 için kontrol edelim.
Nabız Sayıları
(x) (y)
İlaçtan İlaçtan
Hasta No Önce Sonra d=x-y d2
______________________________________
1 70 80 -10 100
2 72 56 16 256
3 88 70 18 324
4 84 80 4 16
5 78 76 2 4
6 76 72 4 16
7 90 76 14 196
8 100 100 0 0
9 80 70 10 100
10 72 56 16 256
11 72 64 8 64
12 64 72 -8 64
13 80 90 -10 100
14 96 92 4 16
15 84 80 4 16
______________________________________
Toplam 1206 1134 72 1528
Aritmetik
Ortalama 80.4 75.6 4.8 -
Hipotez:
Ho: Niprussun nabız üzerine etkisi yoktur.
H1: Nipruss nabız sayısını etkiler.
Tablodan;

66. Eşleştirilmiş t TESTİ
İki yanlı:
t ≥ | tα;ν | ise Ho hipotezi reddedilir.
Bir yanlı:
t ≥ tα;ν ise Ho hipotezi reddedilir.
Ya da:
⇒ t ≤ - tα;ν ise Ho hipotezi reddedilir.
Testin geçerli olabilmesi için koşullar:
a) x ve y verileri aynı birimlerden alınmış eş değerler olmalı,
b) x ve y verilerinin ait oldukları toplumlar ayrı ayrı normal dağılım göstermeli,
c) n<30 olmalı (büyük örnekler için eşleştirilmiş z testi kullanılır)

67. t testi sonuçlarının değerlendirilmesi
(Gözlenme olasılıkları ve Önemlilik düzeyleri)
 T test istatistiği test modeline göre hesaplanan serbestlik
derecesine (sd) göre farklı t dağılımı gösterir.
 Tek örneklem t test modellerinde sd=n-1
 İki örneklem t test modellerinde sd=n1+n2-2
 Bağımlı iki örneklem t test modellerinde sd=n-1
 KARAR VERME
 Test istatistiği hesaplanır. sd hesaplanır.
 Sd parametreli teorik t dağılımının α yanılma payına göre
kritik değerleri belirlenir [ t(α,sd) ]
 İkiyönlü hipotez test sonuçlarına göre;
 | t | <t(0.05,sd) P>0.05 ns Önemsiz
 t(0.05,sd) <= | t | < t(0.01,sd ) P<0.05 * Önemli
 t(0.01,sd) <= | t | < t(0.001,sd ) P<0.01 ** Önemli
 t(0.001,sd) <= | t | P<0.001 ** * Önemli