1. 6 DAĞILIM ÖLÇÜLERİ

2. Dağılım
• Toplum ya da bir örnek grubu içindeki verilerin değerlerini
tanımlamak için ortalamalar kullanılır.
• Verilerin dağılımı hakkında bilgi sahibi olunurken ortalamalar yalnız
başlarına yeterli olamazlar.
• Ortalamalar yalnız verilerin yığılım yaptıkları yeri gösterirler.
• Yığılma noktasına olan uzaklıklar ve yığılma derecesi hakkında bir
bilgi veremezler.
• Yığılmaya ilişkin bilgileri ölçmek için dağılım ölçüleri adı verilen ayrı
ölçüler kullanılmaktadır.
• örneklerden elde edilen veriler aynı değere eşit olmayıp grubun
aritmetik ortalaması etrafında bir dağılım gösterirler.
• Verilerden söz edilirken, onların aritmetik ortalaması ile birlikte
dağılımının da bilinmesinde yarar vardır.

3. • Her iki grupta aritmetik ortalama 25 yıldır. Ortalamalara bakarak
gruplar hakkında karar vermek yanıltıcı olur.
• Yaş ortalaması ikisinde de eşit olmasına karşın A grubunda yaş 22-
29 arası değişirken diğerinde 5-70 aralığına yayılmıştır.
• Dağılımın fazla olması, hatayı artırmasından dolayı istenmeyen bir
etkendir.
• Bir gruptaki dağılımı ölçmek için değişik dağılım ölçüleri
kullanılmaktadır.
• Bunlar dağılım aralığı, ortalama sapma, variyans, standart sapma,
değişme katsayısı ve kuartil sapmadır.
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları yıl olarak,
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
şeklinde olsun

4. Dağılım Aralığı
• Verilerin dağıldığı aralığın büyüklüğünü
gösteren bir dağılım ölçüsüdür.
• Yalnız iki uç değere göre hesaplanır. Diğer
verilerin bir katkısı olmaz.
• Aşırı uçlardan etkilendiği ve yalnız uç
değerlere göre hesaplandığı için kaba bir
ölçüdür. Bu nedenle, gerçek dağılımı
belirleyemez.
• Gruptaki en büyük değerden en küçük
değerin çıkarılmasıyla bulunur.

5. • Dağılım aralığı,
A grubu için 29-22= 7
B grubu için 70-5= 65
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunla
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A=
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B =
şeklinde olsun

6. Ortalama Sapma
• Gruptaki verilerin hepsinin katkısıyla bulunan bir
dağılım ölçüsüdür.
• Verilerin aritmetik ortalamadan olan
sapmalarının mutlak büyüklüklerinin aritmetik
ortalaması olarak tanımlanır.
• Verilerin aritmetik ortalamadan olan farkları
toplamı sıfır olduğu için farkların mutlak değerleri
alınmaktadır.

7. • n, veri sayısını ve x de verileri göstermek üzere ortalama sapma
O S
x x
n
. .=
−∑
Örnek 6.2: A ve B grubundaki verilerin O.S. değerlerini bulalım.
A grubu için:
x
O S x
= =
= ∑ − = =
250 10 25
25 10 18 10 1 8
/
. . ( )/ / .
B grubu için:
5.1110/11510/)25(..
2510/250
==−∑=
==
xSO
x
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
şeklinde olsun

8. Varyans
• Verilerin aritmetik ortalamadan olan fark
karelerinin aritmetik ortalaması varyans
olarak adlandırılır.
• Varyans, fark kareleri toplamının serbestlik
derecesi olan (n-1)'e bölünmesiyle
bulunan bir değerdir. Yani fark karelerinin
ortalamasıdır.

9. • x, verileri ve n de veri sayısını göstermek
üzere varyans değeri ,
Formülde geçen, n tane farktan (n-1) tanesi bağımsız olup 1 tanesi, toplamı
sıfır yapacak şekilde bağımlı olarak değişir. Bu nedenle, aritmetik ortalama
tanımına göre, fark kareleri toplamı n yerine serbest oluşan (n-1)'e bölünür.
(n-1)'in kullanılmasının başka bir nedeni de, toplum değerine göre daima
küçük çıkan örnek varyansını büyülterek gerçek değere yaklaştırmaktır.
1
)( 2
2
−
−
=
∑
n
xx
S i

10. B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
Örnek 6.3: B grubundaki verilerin varyans değerini bulalım.
5 -20 400
10 -15 225
15 -10 100
20 -5 25
22 -3 9
30 5 25
23 -2 4
27 2 4
28 3 9
70 45 2025
Toplam: 2826
n=10

11. Standart Sapma
• Varyansın karekökünün alınmış hali standart
sapmadır
• Standart sapma İstatistiki hesaplamalarda
dağılım ölçüsü olarak kullanılır.
• Aynı ölçü birimine sahip grupların dağılımlarının
karşılaştırılmasında önemli bir yeri olan standart
sapma, normal dağılımdaki birimlerin dağılımını
da oransal olarak belirleyen bir istatistiktir.
1
2
−
−
=
∑
n
)xx(
s i

12. Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunların yaşları yıl olarak,
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A= 25
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B = 25
şeklinde olsun
Örnek 6.4: İki gruba ait standart sapma değerlerini bulalım.
A grubu için:
, n=10
B grubu için:
, n=10

13. Sınıflandırılmış frekans tablosundan
standart sapma değerlerinin
hesaplanması,
S
fu
fu
n
n
C=
∑ −
∑
−
⋅
2
2
1
( )
f : frekans
u : sınıflara verilen ve A ve C'ye bağlı olarak .....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...... değerlerini alan bir kodlama
n : veri sayısı
C : sınıf aralığı

14. Örnek: Sınıflandırılmış
frekans tablosundan
standart sapma değerlerini
bulalım.
fu = -12, fu²=1256, n=100, C=2
S =
−
−
⋅ =
1256
12
100
99
2 7 1
2
( )
.
S
fu
fu
n
n
C=
∑ −
∑
−
⋅
2
2
1
( )
f : frekans
u : sınıflara verilen ve A ve C'ye bağlı olarak .....-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...... değerlerini alan bir kodlama
n : veri sayısı
C : sınıf aralığı

15. Değişme Katsayısı
• Standart sapma değerleri, ölçü birimi aynı olan
dağılımların karşılaştırılmasında iyi bir istatistiktir.
• Değişik ölçü birimlerine sahip dağılımların
karşılaştırılmasında kullanılamaz.
• Bir grup insanın kan basıncı değerleri dağılımı ile nabız
sayısı değerleri dağılımı D.K. ile karşılaştırılabilir
• Standart sapma değeri grupların aritmetik ortalamalarına
göre orantılı olarak değişkenlik gösteriyorsa,
karşılaştırma için standart sapma kullanılması hatalı
sonuç verir.

16. • Bir grubun standart sapmasının aritmetik ortalamasına göre yüzde
değeri, değişme katsayısı olarak adlandırılır
• Değişme katsayısının başka bir yararı, verilerin sonuca olan
etkilerinin güvenilirliği hakkında karar vermededir.
• Verilerin değişme katsayısı ne kadar küçük olursa, bunlardan elde
edilecek sonuç da o denli güvenilir olur.
• Sağlık bilimlerindeki veriler için D.K.<10 olması, gerçeği tahmin
bakımından çok iyidir.
• D.K. 30'dan büyük olduğu zaman doğruyu tahmin etme derecesi
kötüdür.
• Bu değer 10-20 arası için normal ve 20 - 30 arası için kritik olarak
kabul edilir.
D K
S
A O
. .
. .
= ⋅100

17. Örnek 6.6: iki gruba ait değişme katsayılarını bulalım.
xA = 25, SA = 2.3, xB = 25, SB = 17.7
A grubu için, D K. .
.
% .= ⋅ =
2 3
25
100 9 2
B grubu için, D K. .
.
% .= ⋅ =
17 7
25
100 70 8
Örnek 6.1: A ve B olmak üzere 10'ar kişilik iki grup düşünelim. Bunla
A: 23, 24, 29, 28, 22, 24, 25, 23, 27, 25 x A=
B: 5, 10, 15, 20, 22, 30, 23, 27, 28, 70 x B
şeklinde olsun

18. Kuartil Sapma
• Aritmetik ortalama yerine ortanca değerin kullanıldığı dağılımlar için
geçerli olan bir dağılım ölçüsüdür.
• Üçüncü ve birinci çeyrek değerleri farkının ikiye bölünmesiyle
bulunur.
K S
Ç Ç
. .=
−3 1
2

19. Örnek 6.7: Sınıflandırılmış frekans tablosunda verilen verilerin kuartil sapma değerlerini bulalım.
Ç1=25.7 ve Ç3=36 olarak bulunmuşlardı
K S. .
.
.=
−
=
36 25 7
2
5 15

20. Standart Hata
• Ortalamalar bölümünde tanımları verilen aritmetik ortalama ve
oran değerleri, örnekten bulunan istatistik değerleri olup, ait
oldukları örneğin alındığı toplumdaki aritmetik ortalama (µ ) ve
oranın (P) tahmini değerleridir.
• Çeşitli etkenlere bağlı olarak, örnekten bulunan bu istatistik
değerleri toplumdaki tahmini yapılacak parametre değerlerine
tam eşit olmayıp bir sapma gösterirler. Ortaya çıkan sapmanın
ölçüsü standart hata ile belirtilir.
• Standart hata, bir toplumdan seçilmiş örneklerden bulunan
istatistik değerlerinin toplum parametresinden olan
sapmalarının bir ölçüsüdür.
• Standart hata sıfır olduğu zaman, örnekten bulunan aritmetik
ortalama ve oran değerleri toplumdaki parametre değerlerine
eşit olurlar.

21. • Standart hata sıfırdan farklı olduğu zaman, örnekteki
değerin gerçek değere eşit olmadığı anlaşılır.
• Bu durumda, toplumdaki parametre değerinin belirli
bir olasılıkla hangi değerler arasında bulunacağı
hesaplanabilir.
• Bu nedenle, toplum parametrelerinin tahmininin
yapılabilmesi için bir örnekten bulunan aritmetik
ortalama ve oran değerinin önüne ± işareti ile birlikte
onun standart hatası da verilir.
• Bu sayede toplum parametresinin belirli bir olasılıkla
hangi aralıkta olacağı tahmin edilebilir.

22. • Bir istatistiğin standart hatası, bir toplumdan n
birimli çok sayıda seçilen örneğe ait istatistik
değerlerinin oluşturduğu dağılımın standart
sapması olarak tanımlanır.
• İstatistik değeri eğer aritmetik ortalama ise,
standart hata aritmetik ortalamaya ve istatistik
değeri eğer oran ise o zaman da standart hata
orana ait olur.
• Standart hata, örnekteki birim sayısı arttıkça ve
örneğin standart sapması azaldıkça azalır, aksi
halde artar.

23. • Bir toplumdan seçilen örneklerin istatistik
değerlerinin dağılımı örnekteki birim sayısına göre
değişir.
• Değişim, dağılımın standart sapmasında ve aynı
zamanda standart hata değerinde olur.
• n büyüdükçe dağılım sivrileşir ve standart hata
değeri küçülür. Aksi olduğunda dağılım basıklaşır
ve standart hata değeri büyür.
• Belirsiz toplumlarda n =∞ ve belirli toplumlarda n =
N durumunda standart hata sıfır ve örneğin
istatistik değerleri de toplum parametrelerine eşit
olurlar.

24. • Örnekten bulunan her istatistik değerinin
bir standart hatası vardır.
• Toplumdaki parametre değerlerini tahmin
bakımından bu hata değerlerinin, istatistik
değeri ile birlikte verilmeleri çok uygun
olur.
• Aritmetik ortalama ve oran için bu hataları
gösterme işi,
x SHx± ve P
SHP ˆ
ˆ ±

26. Örnek Ortalamalarının Standart Hatası
Bir toplumdan seçilen n birimli örneklerin
aritmetik ortalamalarının dağılımının standart sapmasının,
n büyüdükçe σ/ n değerine yaklaşmaktadır
Bu nedenle aritmetik ortalamanın standart hatası,
SH
n
x =
σ
σ : Topluma ait standart sapma
n : Örnekteki birim sayısı
Çoğu uygulamalarda toplumun standart sapması bilinemez.
Bunun yerine, standart hatayı bulurken
örnekten bulunan standart sapma (S) değeri kullanılır.

27. ise
ya da
Örnekleme iadeli bir şekilde yapılmışsa,
aritmetik ortalamanın standart hatası
ise
Standart hata formülüne bir düzeltme faktörü
eklemek gerekir. Bu koşullarda standart hata,

28. Örnek 6.8: 100 annenin yaşı için standart sapma S=7.1 , x = 30 26.
aritmetik ortalama değerinin standart hatasını bulalım.
Örneğin seçildiği toplumdaki anne sayısı bilinmediği için
düzeltme faktörü kullanılmadan standart hatayı bulmak zorundayız.
Formülde geçen σ yerine de örnekten bulunan
standart sapma değeri kullanılacaktır.
XSH
S
n
− = = =
7 1
100
0 71
.
.
Örnek 6.9: Örnek 6.8'de belirtilen örneğin,
bölgede yaşayan 800 anne arasından seçildiğini varsayalım.
Bu durumda n> (1/10) N olacağı için standart hatayı
düzeltme faktörünü ilave ederek bulalım.
XSH
S
n
N n
N
− = ⋅
−
−
=
⋅
⋅
−
=
1
7 1
100
800 100
799
0 66.

29. Örnek Oranlarının Standart Hatası
Belirli bir özelliği gösteren birimlerin oranının P olduğu
bir binomial toplumdan
n birimli çok sayıda örnekler alındığını varsayalım.
Bu örneklerdeki aynı özelliği gösteren birimlerin oranlarını da Pˆ şeklinde belirtelim.
n≥30 durumunda ya da np, nq>5 durumunda Pˆ 'lerin dağılımı bir normal dağılım olur.
Bu normal dağılım, ortalaması P
ve
standart sapması da pq n/ 'e yaklaşır.

30. Dağılımın standart sapması o dağılımı oluşturan istatistik değerinin standart hatası olduğuna göre,
örnek oranı Pˆ 'nin standart hatası,
pq
n
pq
SH p
−=
=
1
ˆ
n≥(1/10)N durumunda, düzeltme faktörü ilave edilerek hesaplama yapmak gerekir.
1ˆ
−
−
⋅=
N
nN
n
pq
SH p
Formülde geçen p, topluma ait bir orandır. Bu bilinmediği zaman yerine örnekten bulunan oran kullanılır.

31. Örnek 6.10: Bir ilçeden seçilen 2000 kişilik bir örnekte tüberkülozluların sayısı 10 olarak bulunuyor.
a) İlçe nüfusu belli olmadığına göre,
b) İlçe nüfusu 18000 olduğuna göre,
örnekten bulunan oranın standart hata değerlerini bulalım.
a) Pˆ =10/2000=0.005, n=2000, q=1-0.005= 0.995
0016.0
2000
995.0005.0
SHPˆ
=
×
=
b) N=18000 ve n>(1/10) N olduğuna göre,
0015.0
118000
200018000
2000
995.0005.0
SHPˆ =
−
−
⋅
×
=