2. Producto cartesiano Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) donde x єA e y є B. En símbolos A x B = {(x, y) / x єA y є B } Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3} y B = {5, 6} A x B consta de los 6 pares de la lista (1, 5) (2, 5) (3, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6)
3. Producto cartesiano Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar ejes perpendiculares; en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B, los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intersección que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto B paralelas al eje horizontal. Ejemplo: La representación gráfica de los pares de A B ={(1, 5), (2, 5),(3, 5),(1, 6),(2, 6),(3, 6) } B 6 5 1 2 3 A
4. Productocartesiano ¿ A x B = B x A? No son iguales ... Por ej. si A = {a, b, c}, B = {1, 2} A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b, 2), (c, 1), (c,2) } B x A = { (1,a), (1,b), (1,c), (2, a), (2, b), (2,c) } Si A y B son finitos el número de elementos de A x B es llamado cardinal de A x B y denotado porA x B A x B= A.B Además A.B =B.A=B x A Entonces A x B= B x A
5. Producto cartesiano de conjuntos de infinitos elementos A={x R/-2 x 3} y B ={x R/-1 x 2} No podemos enlistar los elementos de AxB pero tenemos en el rectángulo sombreado de azul todos los elementos (puntos) del mismo.
6. Producto cartesiano A={x R/-2 x 3} y B ={x R/-1 x 2} Los puntos del rectángulo en rosa constituyen el producto cartesiano BxA
7. Ejemplo B 3 2 1 0 A 1 2 3 Sean A = {1, 2, 3} y B = {0, 1, 2, 3}. Entonces A x B={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0).(3,1),(3,2),(3,3)} Consideremos el siguiente subconjunto de AxB R = { (a, b) A x B / a + b 3} Nos interesan algunos subconjuntos del producto cartesiano 0
8. RELACIONES BINARIAS Dados dos conjuntos A y B, una relación R binaria es cualquier subconjunto de AxB R ⊆ A × B Notación: Si a∈A y b∈B, para decir que a está relacionado con b por R escribimos: (a,b)∈R o aRb Si a no está relacionado con b, entonces (a,b)∉R Si B=A, se dice que R es una relación binaria definida en A . Escribimos R ⊆ A × A
9. Ejemplos Sea R definida en N por medio de R={(x,y)/x es el doble de y} Algunos elementos de la relación son: ( 2 ,1 ) , (4, 2) , ( 10, 5) , (20,10) , (100,50), etc R={(x,y)/x divide a y} NxN Entonces: 1 R 2, 2 R 2, 2 R 6, 2 R 18, 3 R 18, 3 R 21, 3 R 3, ....
10. DISTINTAS FORMAS DE REPRESENTAR Relaciones: - Matriz Booleana: MR: Hay 1 en la matriz si el par está en la relación y cero si no está. Digrafo: Si aRb, de a parte una flecha hacia b
11. Relaciones con notación Matricial Ejemplo: Sea U = {a, e, i, o, u}, A = {a, o} y B = { i, u} A x B= {(a,i), (a,u), (o,i), (o,u)} Son relaciones de A en B: R1= Ø R2 = {(a,i), (a,u)} R3 = {(a, i) } R4 = A x B La matriz del producto cartesiano tiene en todas las filas 1 porque todos los pares ordenados están en la relación. a R4 i, a R4 u, o R4 i, o R4 u La matriz de R2 tiene 1 en la primera fila porque corresponde al elemento a de A que se relaciona con los dos elementos i, u de B; a R2 i, a R2 u y ceros en la segunda fila porque el elemento o de A no se relaciona con ningún elemento de B en R2
12. definiciones: Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es: Reflexiva: si x є A se verifica que x R x Simétrica: si x, y є A se verifica que x R y y R x Transitiva: si x, y, z є A se verifica que x R y, y R z x Rz Antisimétrica: si x, y є A se verifica que x R y, y R x x = y Otra manera de expresarlo: Si x≠y [ (x,y) ∉ R v (y,x) ∉ R ]
13. Ejemplos: 1) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es reflexiva ya que ∀x∈N, x R x porque x divide a x 2) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b”. no es reflexiva ya que (1,1)∉R ya que 1 no es el doble de 1 3) En Z, “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2”. es simétrica ya que si a R b ⇒ p ∈ Z tal que a – b =2p b – a = 2(-p) con -p ∈ Z ⇒ b R a 4) En N, “x R y ⇔ x divide a y” no es simétrica ya que 2 R 4 porque 2 divide a 4 pero 4 no divide a 2 por lo tanto (4,2) ∉R
14. Ejemplos: 5) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es transitiva ya que si a R b y b R c entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y c = bm. Combinándolas, c = bm = (a.n).m= a(n.m) con n.m ∈N ⇒ a R c 6) En N, “a R b ⇔ a es el doble de b” no es transitiva ya que (4, 2) ∈ R y (2, 1) ∈ R puesto que 4 es el doble de 2 y 2 es el doble de 1, sin embargo 4 no es el doble de 1, de donde (4,1)∉R 7) En N, “x R y ⇔ x divide a y” es antisimétricaya que si a R b y b R a entonces existen n, m ∈N tales que: b = an y a = bm. Combinándolas, a = bm = (a.n).m ⇒ n.m = 1 ⇒ n=m=1 ⇒ a=b 8) En Z, “a R b ⇔ a – b es múltiplo de 2” no es anti simétrica ya que 2R4 y 4R2, pero 2≠4
15. Resumen Reflexiva: se satisface sii∀x ∈ A x R x no se satisface sii∃x∈A/ (x,x)∉R Simétrica:se satisface sii∀ x, y ∈A xR y ⇒ y R x no se satisface sii∃ x, y ∈A / (x, y) ∈R∧ (y, x) ∉ R Transitiva: se satisface sii ∀x, y, z ∈ A se verifica que x R y, y R z ⇒ x Rz no se satisface sii∃ x, y, z ∈A:(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ∧ (a,z) ∉ R Antisimétrica: se satisface sii ∀x, y ∈ A se verifica que x R y, y R x ⇒ x = y no se satisface sii∃ x, y ∈A:(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ∧ x ≠y
16. Análisis de las relaciones según la Matriz MR y su grafo dirigido (digrafo) Sea R una relación binaria sobre un conjunto A. Diremos que R es: Reflexiva: Si en la diagonal principal de la matriz MRtodos los elementos son 1 (MATRIZ) Todo elemento tiene una flecha que comienza y termina en sí mismo (un bucle).(DIGRAFO) Simétrica: SiiMR = (MR)t : La matriz asociada a la relación coincide con su traspuesta. (MATRIZ) Todo par de elementos que tiene una flecha, la tiene en las dos direcciones (DIGRAFO) Transitiva: Sea MR2 = MRx MR(Producto booleano de matrices); Sii el elemento de la fila i columna j de MR2 es 1 entonces el elemento de MRen la misma posición también es 1 es decir la relación R2 es un subconjunto de R; en particular pueden coincidir. (MATRIZ) La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino de longitud 2 entre dos elementos, también hay un camino de longitud uno entre los mismos. (DIGRAFO) Antisimétrica: Sii hay 1 en la fila i columna j deMR entonces hay 0 en la misma posición de (MR)t yviceversa, salvo en la diagonal principal. (MATRIZ) Sii para cada par de elementos distintos relacionados la flecha está solo en un sentido (DIGRAFO)
17. Relaciones de orden: Definición y notación Dada una relación binaria R definida sobre A, se dice que R es una relación de orden en A si verifica las propiedades – reflexiva – antisimétrica – transitiva Se dice entonces que A está ordenado por R Notación Utilizaremos el símbolo ≤ para las relaciones de orden a R b a ≤ b Se lee a es anterior a b (menor o igual) o bien b es posterior a a (mayor o igual) Distintas relaciones sobre un mismo conjunto, dan lugar a distintos conjuntos ordenados. a, b ∈ A son comparables si a R b o b R a
18. Orden total y parcial (A, ≤) está totalmente ordenado si cualquier par de elementos son comparables, se dice entonces que ≤ es de orden total. En otro caso, se dice que (A, ≤) está parcialmente ordenado y que ≤ es de orden parcial. Por ejemplo: (N, ) es un conjunto totalmente ordenado. Sea U = {1, 2, 3} y en P(U) = {, {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}} se define la relación “A R B sii A B”. (P(U), R) no es un conjunto totalmente ordenado ya que existen elementos tales como {1} y {2, 3} de P(U) que no son comparables, es decir que no están relacionados .
19. Ejemplo En N, a ≤ b ⇔ ∃n ∈ N / b=an Es una relación de orden ya que es: reflexiva: a=a1 ∀a∈N antisimétrica: ∀a,b∈N si a ≤ b y b ≤ a ∃ n,m ∈N / b=any a=bm, entonces b= [bm]n=bm·nluego m·n=1 y como n,m ∈N m=n=1, así a=b transitiva: ∀a,b,c∈N si a ≤ b y b ≤ c ∃ n,m ∈N /b=any c=bm, entonces c= [an]m=an·m luego c=a n·m, si k = n.m, ∃ k∈N /c=ak, es decir, a ≤ c
20. Elementos notables Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅ a∈A es cota superior de C si ∀c∈C, c≤a C está acotado superiormente – La menor de las cotas superiores es el supremo. a∈A es cota inferior de C si ∀c∈C, a≤c – C está acotado inferiormente – La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo. El supremo y el ínfimo, si existen, han de ser comparables con el resto de las cotas superiores o inferiores, respectivamente.
21. Elementos notables (b) Dados (A,≤) y C⊂A, C≠∅ a∈C es elemento maximal de C si ∀c∈C, a≤c⇒a=c m∈C es máximo de C si ∀c∈C, c≤m si existe, es el único elemento maximal de C a∈C es elemento minimal de C si ∀c∈C, c≤a⇒a=c. m∈C es mínimo de C si ∀c∈C, m≤c si existe, es el único elemento minimal de C
22. Elementos notables (continuación) Pueden existir uno, varios o ningún elemento maximal y minimal. El máximo (mínimo), cuando existe, es el único elemento maximal (minimal). Si en C existe supremo (ínfimo) es único. Si C tiene máximo (mínimo) coincide con el supremo (ínfimo).
23. DiagramasdeHasse: Sea (A, R) es un conjunto parcialmente ordenado y finito. A cada elemento del conjunto A se le asocia un punto en el plano (o en el espacio), que llamaremos vértice. Un diagrama de Hasse es el gráfico resultante al unir dos elementos consecutivos mediante un segmento de recta, que llamaremos arista. Ejemplo: Sea A = {a,b,c} y la relación R R = {(a,a), (b,b), (c,c), (b,a), (b,c), (a,c)} Es de orden total. Su diagrama de Hasse es:
24. Ejemplos 1) Sea B = {1, 2}, en P(B )= {, {1}, {2}, {1,2}} se define la relación de inclusión, la cual es de orden parcial {1} {1,2} y {2} {1,2} Entonces, B es el elemento maximal y es el elemento minimal, pues no existe otro elemento en P(B ) que esté “por debajo” del minimal, ni “por encima” del maximal El elemento máximo de P(B) es el elemento maximal B, el universo y el elemento mínimo de P(B) es el conjunto vacío. 2) En el conjunto C = {, {1}, {2}} se define la relación de inclusión. Observar que {1} y {2}. es el elemento minimal y es el mínimo del conjunto C y tanto {1} como {2} son los elementos maximales. No existe elemento máximo en C
26. Diagrama de Hasse (continuación) Diagrama de Hasse para A = {2, 3, 4, 6, 8, 12 } con la relación “(a, b) Rsii a divide a b : a|b” Observamos que no están relacionados: 2 con 3 4 con 6 3 con 4 La relación es de orden parcial ya que no todo par de elementos es comparable Retorno
32. Sea A un conjunto no vacío. Sean Diremos queP es una partición de Ay escribimos si: y Cada subconjunto Ajes una celda de la partición Particiónde un conjunto Definición: Ejemplos: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} una partición P de A, con 3 celdas, es P = { {1,3}, {4}, {2,5} }, donde A1={1,3}, A2={4}, A3={2,5}. En efecto {1,3} {4}= {1,3} {2,5}= {4} {2,5}=. Además {1,3} {4} {2,5} = {1, 2, 3, 4, 5} = A
33.
34.
35. Clase de equivalencia Demostración: 2) Veamos que En efecto, si x A, como R es reflexiva, x R x x [x] Por otro lado, sea z tal que
36. Ejemplos Relaciones de equivalencia La relación R sobre (Z+)x(Z+) definida por: (x,y) R (a,b) x+y = a+b La relación R sobre 2definida por: (x,y) R (a,b) x.y = a.b Se puede demostrar que ambas son relaciones de equivalencia ya que verifican las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. A continuación veremos los conjuntos cocientes de ambas relaciones
37. Partición de (Z+)x (Z+) Conjunto cociente de (x,y)R(a,b) siix+y=a+b, R definida sobre (Z+)x (Z+); los puntos (resaltados), unidos por trazos pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(4;5)]={(2;7), (1;8), (3;6), (5;4), (6;3), (7;2)} [(2;2)]={(1;3), (3;1)}En el gráfico vemos [(4;5)], [(4;4)], [(4;3)], [(4;2)], [(4;1], [(3;1)], [(1;2)]
38. Partición de 2 (x,y)R(a,b) siix.y=a.b, R definida sobre 2 ; los puntos que están en una misma curva pertenecen a la misma clase de equivalencia, esto es: [(12;2)]={(10;2,4), (2,4;10), (-10;-2,4), (-12;2)……….} puntos en la curva celeste (todos) [(12;1)]={(10;1,2), (1,2;10), (-12;-1), (-4,8;-2,5), (4,8;2,5)……….} ,puntos en la curva rosa (todos)
39. Ejemplo A={palabras de n bits} w(a) el número de unos que contiene a aRb ⇔w(a) ≡ w(b) (mod 2) R es de equivalencia: Reflexiva: aRa w(a) ≡ w (a)(mod 2) Simétrica: aRb⇒bRa w(a) ≡ w(b)(mod 2) ⇒ w(b)≡w(a)(mod 2) Transitiva: aRb y bRc⇒aRc w(a)≡w(b)(mod 2) y w(b)≡w(c)(mod 2) ⇒w(a)≡w(c) R define en A una partición formada por dos clases de equivalencia, cada una con 2n-1 elementos Porque de la cantidad 2n la mitad tiene un número par de 1 y la otra mitad un número impar [0]={a∈A / a tiene un número par de unos} [1]={a∈A / a tiene un número impar de unos} Para n=3 [0]={000, 011, 101, 110} [1]={001, 010, 100, 111} ejemplo 1 ejemplo 1 A={palabras de n bits A={palabras de n bits
