pendientes y cociente de diferencias

1. Pendientes y el cociente de diferencias

2. Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
Pendientes y el cociente de diferencias

3. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥).
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
Pendientes y el cociente de diferencias

4. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥). Por lo tanto, la coordenada de un
punto general P en una gráfica se denomina a menudo
(𝑥, 𝑓(𝑥)).
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
Pendientes y el cociente de diferencias

5. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥). Por lo tanto, la coordenada de un
punto general P en una gráfica se denomina a menudo
(𝑥, 𝑓(𝑥)).
x
P=(x, f(x))
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
y= f(x)
Pendientes y el cociente de diferencias

6. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥). Por lo tanto, la coordenada de un
punto general P en una gráfica se denomina a menudo
(𝑥, 𝑓(𝑥)).
x
P=(x, f(x))
Observemos que 𝑓(𝑥) = la altura del punto P.
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
f(x)
y= f(x)
Pendientes y el cociente de diferencias

7. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥). Por lo tanto, la coordenada de un
punto general P en una gráfica se denomina a menudo
(𝑥, 𝑓(𝑥)).
x
P=(x, f(x))
Observemos que 𝑓(𝑥) = la altura del punto P.
Sea ℎ un valor positivo pequeño, de
tal forma que 𝑥 + ℎ sea un punto
muy cercano a 𝑥.
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
f(x)
y= f(x)
Pendientes y el cociente de diferencias

8. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥). Por lo tanto, la coordenada de un
punto general P en una gráfica se denomina a menudo
(𝑥, 𝑓(𝑥)).
x
P=(x, f(x))
Observemos que 𝑓(𝑥) = la altura del punto P.
Sea ℎ un valor positivo pequeño, de
tal forma que 𝑥 + ℎ sea un punto
muy cercano a 𝑥.
x+h
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
f(x)
y= f(x)
Pendientes y el cociente de diferencias

9. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥). Por lo tanto, la coordenada de un
punto general P en una gráfica se denomina a menudo
(𝑥, 𝑓(𝑥)).
x
P=(x, f(x))
Observemos que 𝑓(𝑥) = la altura del punto P.
Sea ℎ un valor positivo pequeño, de
tal forma que 𝑥 + ℎ sea un punto
muy cercano a 𝑥.
x+h
La imagen de 𝑥 + ℎ es 𝑓(𝑥 + ℎ), y
(𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)) representa el
punto Q en la gráfica.
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
Q=(x+h, f(x+h))
f(x)
y= f(x)
Pendientes y el cociente de diferencias

10. Dado 𝑥, la imagen de 𝑥 bajo una función 𝑓(𝑥) se denota
como 𝑦 o como 𝑓(𝑥). Por lo tanto, la coordenada de un
punto general P en una gráfica se denomina a menudo
(𝑥, 𝑓(𝑥)).
x
P=(x, f(x))
Observemos que 𝑓(𝑥) = la altura del punto P.
Sea ℎ un valor positivo pequeño, de
tal forma que 𝑥 + ℎ sea un punto
muy cercano a 𝑥.
x+h
La imagen de 𝑥 + ℎ es 𝑓(𝑥 + ℎ), y
(𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)) representa el
punto Q en la gráfica.
Para discutir las matemáticas con precisión, la información
geométrica básica y las fórmulas relativas a las gráficas se
dan en notación de funciones.
Observemos que 𝑓(𝑥 + ℎ) = la altura del punto Q.
Q=(x+h, f(x+h))
f(x)
f(x+h)
y= f(x)
Pendientes y el cociente de diferencias

11. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1

12. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
x
P=(x, f(x))
x+h
Q=(x+h, f(x+h))
Sean (𝑥1, 𝑦1) = 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥2, 𝑦2) = 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 +
ℎ)) los puntos mostrados en la figura.
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1

13. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
x
P=(x, f(x))
x+h
Q=(x+h, f(x+h))
Sean (𝑥1, 𝑦1) = 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥2, 𝑦2) = 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 +
ℎ)) los puntos mostrados en la figura. La pendiente de la recta
que une a P y Q (en notación de funciones) es:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1

14. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
x
P=(x, f(x))
x+h
Q=(x+h, f(x+h))
Sean (𝑥1, 𝑦1) = 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥2, 𝑦2) = 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 +
ℎ)) los puntos mostrados en la figura. La pendiente de la recta
que une a P y Q (en notación de funciones) es:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥

15. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
x
P=(x, f(x))
x+h
Q=(x+h, f(x+h))
Sean (𝑥1, 𝑦1) = 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥2, 𝑦2) = 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 +
ℎ)) los puntos mostrados en la figura. La pendiente de la recta
que une a P y Q (en notación de funciones) es:
o
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥
𝑚 =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

16. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
x
P=(x, f(x))
x+h
Q=(x+h, f(x+h))
Sean (𝑥1, 𝑦1) = 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥2, 𝑦2) = 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 +
ℎ)) los puntos mostrados en la figura. La pendiente de la recta
que une a P y Q (en notación de funciones) es:
o
Esta es la fórmula del "cociente de diferencias" para las
pendientes.
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥
𝑚 =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

17. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
x
P=(x, f(x))
x+h
Q=(x+h, f(x+h))
Sean (𝑥1, 𝑦1) = 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥2, 𝑦2) = 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 +
ℎ)) los puntos mostrados en la figura. La pendiente de la recta
que une a P y Q (en notación de funciones) es:
o
f(x+h)–f(x) = Δy
𝑓(𝑥 + ℎ) – 𝑓(𝑥) = diferencia en la altura (diferencias en las 𝑦’s)
Esta es la fórmula del "cociente de diferencias" para las
pendientes. Se llama cociente de diferencias porque:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥
𝑚 =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

18. Recordemos que si (𝑥1, 𝑦1) y
(𝑥2, 𝑦2) son dos puntos, entonces la
pendiente 𝑚 de la recta que los une
es:
x
P=(x, f(x))
x+h
Q=(x+h, f(x+h))
Sean (𝑥1, 𝑦1) = 𝑃 = (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥2, 𝑦2) = 𝑄 = (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 +
ℎ)) los puntos mostrados en la figura. La pendiente de la recta
que une a P y Q (en notación de funciones) es:
o
h=Δx
f(x+h)–f(x) = Δy
𝑓(𝑥 + ℎ) – 𝑓(𝑥) = diferencia en la altura (diferencias en las 𝑦’s)
ℎ = (𝑥 + ℎ) – 𝑥 = diferencia en las 𝑥's.
Esta es la fórmula del "cociente de diferencias" para las
pendientes. Se llama cociente de diferencias porque:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ℎ − 𝑥
𝑚 =
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

19. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Pendientes y el cociente de diferencias

20. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
Pendientes y el cociente de diferencias

21. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Usando la fórmula del cociente
de diferencias, la pendiente es:
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

22. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Usando la fórmula del cociente
de diferencias, la pendiente es:
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
𝑓 2.2 − 𝑓(2)
0.2

23. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Usando la fórmula del cociente
de diferencias, la pendiente es:
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
𝑓 2.2 − 𝑓(2)
0.2
=
2.44 − 2
0.2

24. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Usando la fórmula del cociente
de diferencias, la pendiente es:
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
𝑓 2.2 − 𝑓(2)
0.2
=
2.44 − 2
0.2
=
0.44
0.2

25. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Usando la fórmula del cociente
de diferencias, la pendiente es:
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
𝑓 2.2 − 𝑓(2)
0.2
=
2.44 − 2
0.2
=
0.44
0.2
= 2.2

26. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Usando la fórmula del cociente
de diferencias, la pendiente es:
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
(2.2, 2.44)
(2, 2)
2 2.2
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
𝑓 2.2 − 𝑓(2)
0.2
=
2.44 − 2
0.2
=
0.44
0.2
= 2.2

27. Ejemplo A.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la recta
que une a (𝑥, 𝑓(𝑥)) y (𝑥 + ℎ, 𝑓(𝑥 + ℎ)), con 𝑥 = 2 y ℎ = 0.2.
Usando la fórmula del cociente
de diferencias, la pendiente es:
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑥 = 2 y 𝑥 + ℎ = 2 + ℎ = 2.2
(2.2, 2.44)
(2, 2)
2 2.2
0.44
0.2
pendiente 𝒎 = 𝟐. 𝟐
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
𝑓 2.2 − 𝑓(2)
0.2
=
2.44 − 2
0.2
=
0.44
0.2
= 2.2

28. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias

29. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias
Ejemplo B. Simplifica el cociente de diferencias.
Asegúrate de cancelar el término ℎ.
a. (polinomios de 2do orden) 𝑓(𝑥) = – 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

30. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias
Ejemplo B. Simplifica el cociente de diferencias.
Asegúrate de cancelar el término ℎ.
a. (polinomios de 2do orden) 𝑓(𝑥) = – 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

31. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias
Ejemplo B. Simplifica el cociente de diferencias.
Asegúrate de cancelar el término ℎ.
a. (polinomios de 2do orden) 𝑓(𝑥) = – 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
– 2(𝑥 + ℎ)2 + 3(𝑥 + ℎ) + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ

32. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias
Ejemplo B. Simplifica el cociente de diferencias.
Asegúrate de cancelar el término ℎ.
a. (polinomios de 2do orden) 𝑓(𝑥) = – 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
– 2(𝑥 + ℎ)2 + 3(𝑥 + ℎ) + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ
=
– 2𝑥2 – 4𝑥ℎ – 2ℎ2 + 3𝑥 + 3ℎ + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ

33. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias
Ejemplo B. Simplifica el cociente de diferencias.
Asegúrate de cancelar el término ℎ.
a. (polinomios de 2do orden) 𝑓(𝑥) = – 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
– 2(𝑥 + ℎ)2 + 3(𝑥 + ℎ) + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ
=
– 2𝑥2 – 4𝑥ℎ – 2ℎ2 + 3𝑥 + 3ℎ + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ
=
– 4𝑥ℎ – 2ℎ2 + 3ℎ
ℎ

34. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias
Ejemplo B. Simplifica el cociente de diferencias.
Asegúrate de cancelar el término ℎ.
a. (polinomios de 2do orden) 𝑓(𝑥) = – 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
– 2(𝑥 + ℎ)2 + 3(𝑥 + ℎ) + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ
=
– 2𝑥2 – 4𝑥ℎ – 2ℎ2 + 3𝑥 + 3ℎ + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ
=
– 4𝑥ℎ – 2ℎ2 + 3ℎ
ℎ
=
ℎ(– 4𝑥 – 2ℎ + 3)
ℎ

35. A continuación se muestra el álgebra en la simplificación de los
cocientes de diferencias de algunos tipos básicos de
funciones.
Simplificación del cociente de diferencias
Ejemplo B. Simplifica el cociente de diferencias.
Asegúrate de cancelar el término ℎ.
a. (polinomios de 2do orden) 𝑓(𝑥) = – 2𝑥2 + 3𝑥 + 1
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
– 2(𝑥 + ℎ)2 + 3(𝑥 + ℎ) + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ
=
– 2𝑥2 – 4𝑥ℎ – 2ℎ2 + 3𝑥 + 3ℎ + 1 – (– 2𝑥2 + 3𝑥 + 1)
ℎ
=
– 4𝑥ℎ – 2ℎ2 + 3ℎ
ℎ
=
ℎ(– 4𝑥 – 2ℎ + 3)
ℎ
= −4𝑥 − 2ℎ + 3

36. Expresiones racionales
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1

37. Expresiones racionales
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

38. Expresiones racionales
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ

39. Expresiones racionales
Multiplicamos arriba y abajo por (𝑥 + ℎ– 1)(𝑥– 1) para
quitar las fracciones en el numerador.
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ

40. Expresiones racionales
Multiplicamos arriba y abajo por (𝑥 + ℎ– 1)(𝑥– 1) para
quitar las fracciones en el numerador.
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
∗
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)

41. Expresiones racionales
Multiplicamos arriba y abajo por (𝑥 + ℎ– 1)(𝑥– 1) para
quitar las fracciones en el numerador.
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
∗
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
=
2 𝑥 − 1 − 2(𝑥 + ℎ − 1)
ℎ(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)

42. Expresiones racionales
Multiplicamos arriba y abajo por (𝑥 + ℎ– 1)(𝑥– 1) para
quitar las fracciones en el numerador.
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
∗
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
=
2 𝑥 − 1 − 2(𝑥 + ℎ − 1)
ℎ(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
=
−2ℎ
ℎ(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)

43. Expresiones racionales
Multiplicamos arriba y abajo por (𝑥 + ℎ– 1)(𝑥– 1) para
quitar las fracciones en el numerador.
b. (Funciones racionales simples) 𝑓 𝑥 =
2
𝑥−1
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
2
𝑥 + ℎ − 1
−
2
𝑥 − 1
ℎ
∗
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
=
2 𝑥 − 1 − 2(𝑥 + ℎ − 1)
ℎ(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
=
−2ℎ
ℎ(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)
=
−2
(𝑥 + ℎ − 1)(𝑥 − 1)

44. Expresiones racionales
c. (Función raíz simple) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

45. Expresiones racionales
c. (Función raíz simple) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2(𝑥 + ℎ) − 3 − 2𝑥 − 3
ℎ

46. Expresiones racionales
c. (Función raíz simple) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
Racionalizamos el numerador para cancelar la ℎ en el
denominador.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2(𝑥 + ℎ) − 3 − 2𝑥 − 3
ℎ
2𝑥 + 2ℎ − 3 − 2𝑥 − 3
ℎ
∗
2𝑥 + 2ℎ − 3 + 2𝑥 − 3
2𝑥 + 2ℎ − 3 + 2𝑥 − 3

47. Expresiones racionales
c. (Función raíz simple) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
Racionalizamos el numerador para cancelar la ℎ en el
denominador.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2(𝑥 + ℎ) − 3 − 2𝑥 − 3
ℎ
2𝑥 + 2ℎ − 3 − 2𝑥 − 3
ℎ
∗
2𝑥 + 2ℎ − 3 + 2𝑥 − 3
2𝑥 + 2ℎ − 3 + 2𝑥 − 3
=
2𝑥 + 2ℎ − 3 − (2𝑥 − 3)
ℎ
∗
1
2𝑥 + ℎ − 3 + 2𝑥 − 3

48. Expresiones racionales
c. (Función raíz simple) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
Simplifica el siguiente cociente de diferencias.
Racionalizamos el numerador para cancelar la ℎ en el
denominador.
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
=
2(𝑥 + ℎ) − 3 − 2𝑥 − 3
ℎ
2𝑥 + 2ℎ − 3 − 2𝑥 − 3
ℎ
∗
2𝑥 + 2ℎ − 3 + 2𝑥 − 3
2𝑥 + 2ℎ − 3 + 2𝑥 − 3
=
2𝑥 + 2ℎ − 3 − (2𝑥 − 3)
ℎ
∗
1
2𝑥 + ℎ − 3 + 2𝑥 − 3
=
2ℎ
ℎ
∗
1
2𝑥 + ℎ − 3 + 2𝑥 − 3
=
2
2𝑥 + ℎ − 3 + 2𝑥 − 3

49. Otra versión de la fórmula de
cociente de diferencias es
usar puntos 𝑃 = (𝑎, 𝑓 (𝑎)) y
𝑄 = (𝑏, 𝑓 (𝑏))
Obtenemos:
a
P=(a, f(a))
b
Q=(b, f(b))
b-a=Δx
f(b)–f(a) = Δy
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑚 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎

50. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Pendientes y el cociente de diferencias

51. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5.
Pendientes y el cociente de diferencias

52. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5.
Usando la fórmula anterior, la pendiente es:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎

53. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5.
Usando la fórmula anterior, la pendiente es:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑓 5 − 𝑓(3)
5 − 3

54. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5.
Usando la fórmula anterior, la pendiente es:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑓 5 − 𝑓(3)
5 − 3
=
17 − 5
2

55. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5.
Usando la fórmula anterior, la pendiente es:
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑓 5 − 𝑓(3)
5 − 3
=
17 − 5
2
=
12
2
= 6

56. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5.
Usando la fórmula anterior, la pendiente es:
(5, 17)
(3, 5)
3 5
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑓 5 − 𝑓(3)
5 − 3
=
17 − 5
2
=
12
2
= 6

57. Ejemplo B.
a. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, encuentra la pendiente de la
recta que conecta a los puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)), con 𝑎 =
3 y 𝑏 = 5.
Queremos la pendiente de la recta que conecta a los puntos
cuyas coordenadas en 𝑥 son 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5.
Usando la fórmula anterior, la pendiente es:
(5, 17)
(3, 5)
3 5
12
2
pendiente m = 6
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑓 5 − 𝑓(3)
5 − 3
=
17 − 5
2
=
12
2
= 6

58. b. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, simplifica el cociente de
diferencias de la pendiente de la recta que conecta a los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)).
(b, f(b))
(a, f(a))
a b
Pendientes y el cociente de diferencias

59. b. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, simplifica el cociente de
diferencias de la pendiente de la recta que conecta a los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)).
Debemos simplificar la segunda forma de la fórmula del
cociente de diferencias, con 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2.
(b, f(b))
(a, f(a))
a b
f(b)-f(a)
b-a
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎

60. b. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, simplifica el cociente de
diferencias de la pendiente de la recta que conecta a los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)).
Debemos simplificar la segunda forma de la fórmula del
cociente de diferencias, con 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2.
(b, f(b))
(a, f(a))
a b
f(b)-f(a)
b-a
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 2𝑏 + 2 – (𝑎2 – 2𝑎 + 2)
𝑏 − 𝑎

61. b. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, simplifica el cociente de
diferencias de la pendiente de la recta que conecta a los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)).
Debemos simplificar la segunda forma de la fórmula del
cociente de diferencias, con 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2.
(b, f(b))
(a, f(a))
a b
f(b)-f(a)
b-a
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 2𝑏 + 2 – (𝑎2 – 2𝑎 + 2)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 𝑎2 − 2𝑏 + 2𝑎
𝑏 − 𝑎

62. b. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, simplifica el cociente de
diferencias de la pendiente de la recta que conecta a los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)).
Debemos simplificar la segunda forma de la fórmula del
cociente de diferencias, con 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2.
(b, f(b))
(a, f(a))
a b
f(b)-f(a)
b-a
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 2𝑏 + 2 – (𝑎2 – 2𝑎 + 2)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 𝑎2 − 2𝑏 + 2𝑎
𝑏 − 𝑎
=
(𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) − 2(𝑏 − 𝑎)
𝑏 − 𝑎

63. b. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, simplifica el cociente de
diferencias de la pendiente de la recta que conecta a los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)).
Debemos simplificar la segunda forma de la fórmula del
cociente de diferencias, con 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2.
(b, f(b))
(a, f(a))
a b
f(b)-f(a)
b-a
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 2𝑏 + 2 – (𝑎2 – 2𝑎 + 2)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 𝑎2 − 2𝑏 + 2𝑎
𝑏 − 𝑎
=
(𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) − 2(𝑏 − 𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
(𝑏 − 𝑎)((𝑏 + 𝑎) − 2)
𝑏 − 𝑎

64. b. Dado 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2, simplifica el cociente de
diferencias de la pendiente de la recta que conecta a los
puntos (𝑎, 𝑓(𝑎)) y (𝑏, 𝑓(𝑏)).
Debemos simplificar la segunda forma de la fórmula del
cociente de diferencias, con 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 2.
(b, f(b))
(a, f(a))
a b
f(b)-f(a)
b-a
Pendientes y el cociente de diferencias
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 2𝑏 + 2 – (𝑎2 – 2𝑎 + 2)
𝑏 − 𝑎
=
𝑏2 – 𝑎2 − 2𝑏 + 2𝑎
𝑏 − 𝑎
=
(𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎) − 2(𝑏 − 𝑎)
𝑏 − 𝑎
=
(𝑏 − 𝑎)((𝑏 + 𝑎) − 2)
𝑏 − 𝑎
= 𝑏 + 𝑎 − 2

65. Ejercicio A.
Dados f(x), x, y h encuentra f(x+h) – f(x)
1. y = 3x+2, x = 2, h = 0.1 2. y = –2x + 3, x= – 4, h = 0.05
3. y = 2x2 + 1, x = 1, h = 0.1 4. y = –x2 + 3, x= –2, h = –0.2
B. Dado f(x), simplica Δy = f(x+h) – f(x)
1. y = 3x+2 2. y = –2x + 3
3. y = 2x2 + 1 4. y = –x2 + 3
5. y = x2 – x +2 6. y = –x2 + 3x – 1
Pendientes y cociente de diferencias
1. y = 2x + 3 2. y = –½ x + 5
3. y = –4x – 3 4. y = mx + b
7. y = – 3x2 – 2x – 4 8. y = ax2 + bx + c
C. Simplifica el cociente de diferencias:
f(x+h) – f(x)
h
de las siguientes funciones (asegúrate de cancelar el factor
"h" del denominador).

66. Pendientes y cociente de diferencias
9. y = 2
x + 3
–1
2 – 3x
16. y = (3 – x)1/2
15. y = x1/2
10. y =
–4
–5 – 3x11. y = 12. y =ax + b
cx + d
3x – 4
x – 513. y = 14. y =
c
ax + b
17. y = (4 – 3x)1/2 18. y = (ax + b)1/2
19. y = 2/(4 + x)1/2 20. y = 3(2x – 3)–1/2
21. y = – 7/(4 – 3x)1/2
22. y = c(ax + b)–1/2
cx + d
3x – 4
x – 5
23. y = 24. y = ax + b
√ √
(divide primero)

67. Ejercicio A.
1. 𝑓(𝑥 + ℎ)– 𝑓(𝑥) = 0.3 3. 𝑓(𝑥 + ℎ)– 𝑓(𝑥) = 0.42
Ejercicio B.
1. Δ𝑦 = 3ℎ 3. Δ𝑦 = 2ℎ2 + 4𝑥ℎ
Ejercicio C.
5.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= 2𝑥 − 1 + ℎ
1.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= 2 3.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= −4
7.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= −6𝑥 − 3ℎ − 2
9.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
−2
(𝑥+3)(𝑥+ℎ+3)
11.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
12
(3𝑥+5)(3𝑥+3ℎ+5)
13.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
−11
(ℎ+𝑥−5)(𝑥−5)
15.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
1
𝑥+ℎ+ 𝑥
Pendientes y cociente de diferencias

68. 17.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
−3
4−3(𝑥+ℎ)+ 4−3𝑥
19.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
−2
4+𝑥 4+𝑥+ℎ( 4+𝑥+ 4+𝑥+ℎ)
21.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
−21
4−3𝑥 4−3𝑥−3ℎ( 4−3𝑥+ −3𝑥−3ℎ)
23.
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
−11
(𝑥−5)(𝑥+ℎ−5)
3𝑥+3ℎ−4
𝑥+ℎ−5
+
3𝑥−4
𝑥−5
Pendientes y cociente de diferencias