LİSE - TRİGONOMETRİ DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ (SLAYT)

1. DÖNÜŞÜM (ÇARPANLARA AYIRMA)
FORMÜLLERİ
2
cos.
2
cos2coscos
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
baba
ba
−+
=+
−+
=+
.
2
sin.
2
sin2coscos
2
cos.
2
sin1sinsin
dir
baba
ba
baba
ba
−+
−=−
+−
=−
TEOREM: a ve b herhangi iki reel sayı olmak üzere.

2. İSPAT
( )
( )
( ) ( ) qsnpqpqp
pqqpqp
pqqpqp
cos.2sinsin
cos.sincos.sinsin
cos.sincos.sinsin
=−++



−=−
+=+
Eşitliklerini taraf tarafa toplarsak
(I) bulunur.
p + q = a ve p – q = b diyelim. Bu eşitlikleri taraf tarafa topğladığımız da,
2
ba
p
+
= 2
ba
q
−
=; çıkardığımızda, buluruz.
Bu değerlei, (I) eşitliğinde yazarsak;
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
−+
=+ elde edilir.

3. •Bu eşitlikte, b yerine – b alınırsa,
( ) ( )
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
−−−
=−+
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
+−
=− elde edilir.

4. Aynı düşünceyle;
( )
( )
( ) ( ) qpqpqp
qpqpqp
qpqpqp
cos.cos2coscos
sinsincoscoscos
sinsincoscoscos
=+++



+=−
−=+ eşitliklerini taraf tarafa
toplarsak.
(II) elde edilir.



=−
=+
bqp
aqp
eşitliklerinden,
2
ba
p
+
= ve
2
ba
q
−
= bulunur.
Bu değerleri, ( II ) eşitliğine yazarsak ;
2
cos.
2
cos2coscos
baba
ba
−+
=+ bulunur.

5. ( )
( )
( ) ( ) qpqpqp
qpqpqp
qpqpqp
sin.sin2coscos
sin.sincos.coscos
sin.sincos.coscos
−=−−+



+=−
−=+
eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa.
(III) elde edilir.
2
ba
p
+
= ve değerleri, (III) te yerine yazılırsa;
2
ba
p
+
=
2
.
2
sin2coscos
baba
ba
−+
−=− bulunur.

6. TEOREM: a ve b, herhangi iki reel sayı olmak üzere,
( )
ba
ba
ba
cos.cos
sin
tantan
+
=+
( )
ba
ba
ba
sin.sin
sin
cotcot
+
=+
( )
ba
ba
ba
cos.cos
sin
tantan
−
=−
( )
ba
ab
ba
sin.sin
sin
cotcot
−
=−

7. İSPAT:
ba
abba
b
b
a
a
ba
cos.cos
cos.sincos.sin
cos
sin
cos
sin
tantan
+
=+=+
( )
ba
ba
ba
cos.cos
sin
tantan
+
=+ bulunur.
•

8. •Bu eşitlikte, b yerine –b alınırsa, ( ) ( )
( )ba
ba
ba
−
−
=−+
cos.cos
sin
tantan olur.
Buradan; bulunur.
( )
ba
ba
ba
cos.cos
sin
tantan
−
=−
( ) ( )
ba
ab
bave
ba
ba
ba
sin.sin
sin
cotcot
sin.sin
sin
cotcot
−
=−
+
=+
eşitliklerinin doğruluğunu da siz gösteriniz.

9. 1 + sinu, 1 + cosu, 1 + tanu, 1 + cotu, ifadelerini Çarpım Haline
Dönüştürme
uu sin
2
sinsin1 +=+
π (Dönüşüm formülünü uygulayalım.)






+=











−−





+=






−





+=












−












+
=
u
uuu
uu
uu
4
sin2
242
sin.
24
sin2
24
cos.
24
sin2
2
2cos.
2
2sin2
2 ππππ
ππ
ππ
bulunur.

10. uu cos0coscos1 +=+ (Dönüşüm formülleri uygulayalım.)
2
cos2
2
cos.
2
cos.
2
cos2
2
0
cos.
2
0
cos2 2 uuuuuu
==
−+
= bulunur.
Bu işlemi aşağıdaki biçimde de yapanbiliriz;
2
cos21
2
cos21cos1 22 uu
u =





−+=+ bulunur.

11. uu tan
4
tantan1 +=+
π Dönünüşüm formülünü uygulayınız
u
u
u
u
u
u
cos
4
sin2
cos.
2
1
4
sin
cos.
4
cos
4
sin 





+
=






+
=






+
=
ππ
π
π
bulunur.

12. u
u
u
u
u
u
sin
4
cos2
sin.
2
1
4
cos
sin.
4
sin
4
cos 





+
=






+
=






+
=
ππ
π
π
bulunur.
uu cot
4
cotcot1 +=+
π (Dönüşüm formülü uygulayalım.)

13. BİR ÜÇGENİN AÇILARININ, SİNÜS VE
KOSİNÜS TOPLAMININ DÖNÜŞÜMÜ

14. 2
cos.
2
cos.
2
cos4sinsinsin
CBA
CBA =++ olduğunu gösterelim.
İSPAT: cos2sinsinsin =++ CA
c
BABA
CBA sin
2
cos.
2
sin2sinsinsin +
−+
=++ ( I )
π=++ CBA dir. ( III )

15. II ve III teki değerleri, I eşitliğinde yerine yazarsak,
2
cos.
2
sin2
2
cos.
2
cos2sinsinsin
CCBAC
CBA +
−
=++
2
cos.
2
cos.
2
cos4
2
cos.
2
cos2
2
cos
2
22cos.
2
22cos2
2
cos2
2
cos
2
cos
2
cos2
2
sin
2
cos
2
cos2
CBABAC
a
BABABABA
C
BABACCBAC
=











−=









 +
−
−+
+
−
=





 +
+
−
=





+
−
=
bulunur.

16. ÖRNEKLER
1. Aşağıdaki ifadeleri çarpım durumuna dönüştürelim.
a) cos7a – cos3a b) sin5a + sina + 2sin3a
a) aa
aaaa
aa 2sin.5sin2
2
37
sin.
2
37
sin23cos7cos −=
−+
−=−
b) a
aaaa
aaa 3sin2
2
5
cos.
2
5
sin23sin2sin5sin +
−+
=++ 
( )12cos.3sin2
3sin2cos.3sin2
+=
+=
aa
aaa
aaaa
aa
22
2
cos.3sin4cos2.sin2
)11cos2.(3sin2
==
+−=


17. 2. °−°−° 40cos10sin70sin ifadesinin eşitini bulalım.
ÇÖZÜM
°−
−°°+°
=°−°−° 40
2
1070
sin.
2
1070
cos240cos10sin70sin
040cos40cos
40cos
2
1
.40cos2
40sin30sin.40cos2
=°−°=
°−°=
°−°°=
bulunur.

18. 3.
xxx
xxx
cos7cos13cos
sin7sin13sin
++
++
ifadesinin sadeleşmiş biçimini bulalım.
ÇÖZÜM:Pay ve paydada, dönüşü formülleri uygulayalım:
xxx
xxx
xxx
xxx
7cos6cos.7cos2
7sin6cos.7sin2
cos7cos13cos
sin7sin13sin
+
+
=
++
++
( )
( )
x
x
x
xx
xx
7tan
7cos
7sin
16cos27cos
16cos27sin
==
+
+
= bulunur

19. Ters Dönüşümü (çarpımı toplama dönüştürme) Formülleri

20. TEOREM: a ve b, herhangi iki reel sayı olmak üzere;
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]bababa
bababa
−++=
−++=
coscos
2
1
cos.cos
sinsin
2
1
cos.sin ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]bababa
bababa
−−+=
−−+=
sinsin
2
1
sin.cos
coscos
2
1
sin.sin

21. İSPAT
( )
( )
( ) ( ) bababa
abbaba
abbaba
cos.sin2sinsin
cos.sincos.sinsin
cos.sincos.sinsin
=−++



−=−
+=+
eşitliklerini taraf tarafa toplayalım
eşitliğinden;
( ) ( )[ ]bababa −++= sincos
2
1
cos.sin elde edilir.

22. ( )
( )
( ) ( ) bababa
bababa
bababa
cos.cos2coscos
sin.sincos.coscos
sin.sincos.coscos
=−++



+=−
−=+
eşitliklerini taraf tarafa toplayalım
eşitliğinden
( ) ( )[ ]bababa −++−= coscos
2
1
cos.cos elde edilir

23. ( )
( )
( ) ( ) bababa
bababa
bababa
sin.sin2coscos
sin.sincos.coscos
sin.sincos.coscos
−=−−+



+=−
−=+
eşitliklerini taraf tarafa toplayalım
( ) ( )[ ]bababa −−+−= coscos
2
1
sin.sin elde edilir

24. ÖRNEKLE
R
1.
24
7
cos.
24
7
sin
ππ ifadesinin eşitini bulalım.
ÇÖZÜM: ters dönüşüm formülünü uygulayalım:












−+





+=
2424
7
sin
2424
7
sin
2
1
24
7
cos.
24
7
sin
ππππππ
4
23
2
2
2
3
2
1
4
sin
3
sin
2
1 +
=







+=





+=
ππ
olur

25. 2. ( ) ( ) aaa 2sec245tan45tan =−°++° olduğunu gösterelim
ÇÖZÜM: Önce, tana + tanb dönüşüm formülünü uygulayalım
( ) ( ) ( )
( ) ( )aa
aa
aa
−°+°
−°++°
=−°++°
45cos.45cos
4545sin
45tan45tan
Şimdi paydada, cosa . cosb ters dönüşüm formülünü uygulayalım:
( ) ( )
( ) ( )[ ]aaaa
aa
−°−+°+−°++°
°
=−°++°
4545cos4545cos
2
1
90sin
45tan45tan
[ ]
a
aa
2sec2
2cos0
2
2cos90cos
2
1
1
=
+
=
+°
=

26. 3.
16
1
80cos.60cos.40cos.20cos =°°°° olduğunu gösterelim
ÇÖZÜM:Uygun olan iki çarpanı alarak, ters dönüşüm formülü uygulayalım
   °°°°=°°°° 60cos.40cos.20cos.80cos80cos.60cos.40cos.20cos
( ) ( )[ ]
2
1
.40cos.2080cos2080cos.
2
1
  
−++=
[ ] 40cos.60cos100cos.
4
1
°+°=
( ) ( )[ ]
16
1
40cos
8
1
16
1
40cos
8
1
40cos
8
1
2
1
40cos
8
1
40cos
8
1
60cos140cos
8
1
40cos
8
1
40100cos40100cos
2
1
.
4
1
40cos
8
1
40cos.100cos
4
1
2
1
100cos40cos.
4
1
=°++°−=
°+





+°−=
°+








°+°=
°+°−°+°+°=
°+°°=






+°°=

  
  