LİSE - PERMÜTASYON KOMBİNASYON 2 (SLAYT)

1. Faktoriyel Kavram
Genel Çarpma Kuralları
Permütason
Test

2. Faktoriyel Kavram
n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n
faktoriyel
denir. Ve n! şeklinde gösterilir.
• 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır.
• n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1
+
= n.(n-1).(n-2)!
= n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir.
Örnek:
7!+8!
6!+7!
İşleminin sonucu kaçtır?
A) 56! B) 15! C) 63! D) 15! E)
42! 13! 8! 14!
çözüm
!12
!15

3. Faktoriyel Kavram
n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n
faktoriyel
denir. Ve n! şeklinde gösterilir.
• 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır.
• n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1
+
= n.(n-1).(n-2)!
= n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir.
Örnek:
7!+8!
6!+7!
İşleminin sonucu kaçtır?
A) 56! B) 15! C) 63! D) 15!
42! 13! 8! 14!
çözüm
7! + 8! 7.6! + 8.7.6!
6! + 7! 6! + 7.6!
6!(7+56)
6!(1+7)
63 olur. Cevap C
8
=
=
=

4. Faktoriyel Kavram
Örnek:
x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre
x!
y!
in alacağı en küçük değer kaçtır?
A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x
çözüm

5. Faktoriyel Kavram
Örnek:
x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre
in alacağı en küçük değer kaçtır?
A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x
çözüm
x > y iken en küçük değeri alabilmesi için x = y + 1 olmalıdır.
!
!
y
x
!
!
y
x
!
)!1(
!
!
y
y
y
x +
=
!
!1).1(
y
y +
=
1+= y olur. Cevap D

6. Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2}
3
)!1(
)!1(
0 <
−
+
<
n
x
İse n doğal sayısının alabileceği değer-
ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
çözüm

7. Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2}
3
)!1(
)!1(
0 <
−
+
<
n
x
İse n doğal sayısının alabileceği değer-
ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
çözüm
3
)1(
)!1(
0 <
−
+
<
n
n
İse
3
)!1(
)!1.().1(
0 <
−
−+
<
n
nnn
3)1.(0 <+< nn
n=0 ise n.(n+1) = 0.(0+1) = 0
n=1 ise n.(n+1) = 1.(1+1) = 2
n=2 ise n.(n+1) = 2.(2+1) = 6
Olacağından n nin alabileceği değerler kümesi;
{1} olur
Cevap D

8. Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) 286 B) 258 C) 243 D) 146 E) 120






+−
− !4!.2
!6
!6!.2
!8
!3)!.313(
13
İşleminin sonucu kaçtır?
çözüm

9. Faktoriyel Kavram
Örnek:
A) 286 B) 258 C) 243 D) 146 E) 120






+−
− !4!.2
!6
!6!.2
!8
!3)!.313(
13
İşleminin sonucu kaçtır?
çözüm






+−
− !4!.2
!6
!6!.2
!8
!3)!.313(
13
ise






+−=
!4.1.2
!4.5.6
!6.1.2
!6.7.8
1.2.3!.10
!10.11.12.13
=286-(28+15)
=243 olur Cevap D

10. Genel Çarpma Kuralları
Bir işlem a farklı yolla, bunu izleyen her bir işlem, bir önceki işleme bağlı
olarak b,c,d ... Farklı yolla elde edilsin. Bu işlemlerin tamamı sıralı şekilde;
a.b.c.d....
Farklı şekilde elde edilebilir
Buna saymanın temel prensibi veya genel çarpma kuralı denir.
A B C D
3 yol 5 yol 2 yol
A dan C ye 3 . 4 = 12 farklı şekilde
A dan D ye 3 . 4 .2 = 24 faklı şekilde gidilebilir.
• 5 ceket, 3 pantolon, 6 gömleği olan bir kişi
5.3.6 = 90 farklı şekilde giyinebilir.

11. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9
farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her
seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’ya
kaç farklı şekide gidebilir?
A) 9! B) 8! C) 72 D) 17 E) 77
çözüm

12. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9
farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her
seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’ya
kaç farklı şekide gidebilir?
A) 9! B) 8! C) 72 D) 17 E) 77
çözüm
Ankara
Konya
Adana
8 farklı yol 9 farklı yol
Bir otobüs Akara’dan Adana’ya her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla
8.9 = 72 farklı şekilde gidebilir. (Genel Çarpma Kuralı) Cevap C

13. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındaki
rakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir.
A)10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
çözüm

14. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındaki
rakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir.
A)10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
çözüm
6 5
{1,2,3,4,5,6} 6 sayıdan bir tanesi
Geriye kalan 5 sayı
6.5=30 tane sayı yazılabilir Cevap C

15. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
{1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındaki
rakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaç
tane doğal sayı yazılabilir?
A)12 B) 24 C) 60 D) 120 E) 240
çözüm

16. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
{1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındaki
rakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaç
tane doğal sayı yazılabilir?
A)12 B) 24 C) 60 D) 120 E) 240
çözüm
4 3 2 1 1 1
{4} {5}
{geriye kalan 1 sayı gelebilir.}
{geriye kalan 2 sayıdan biri gelebilir.}
{geriye kalan 3 sayıdan biri gelebilir.}
{4,5 in dışında geriye kalan 4 sayıdan biri gelebilir}
Cevap B=4.3.2.1.1.1
=24 olur.

17. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.
Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde
yan yana sıralanabilir?
A)30 B) 90 C) 1440 D)8640 E)8460
çözüm

18. Genel Çarpma Kuralları
Örnek:
Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.
Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde
yan yana sıralanabilir?
A)30 B) 90 C) 1440 D)8640 E)8460
çözüm
Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmayacağından;
5 matematik kitabı = 5! şeklinde
2 edebiyat kitabı = 2! şeklinde
3 tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır.
Burada matematik, edebiyat, tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür, böyle olunca 3!
Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse;
3! (5! .2! .3!) = 8640 olur. Cevap D
MMMMM EE TTT

19. Permütasyon
1.tanım
n tane elemanın bir sıra üzerinde r li sıralanışlarından her birine
n nin r li bir permütasyonu denir. n elemanının r li permütasyonlarının
sayısı, n r olmak üzere;
bu formulden şu sonuçlar çıkarılabilir.
≥
)!(
!
),(
rn
n
rnp
−
=
•P(n,r) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n den geriye doğru,
r tane ardışık çarpan çarpılır.
•P(n,n) = n!
•P(n,1) = n
•p(0,0) = 1
•p(n,0) = 1

20. Permütasyon
Örnek:
işleminin sonucu nedir?
A)14 B)22 C)28 D)36 E)42
)2,3(,
3
1
)4,5(,
5
1
PP −
çözüm

21. Permütasyon
Örnek:
işleminin sonucu nedir?
A)14 B)22 C)28 D)36 E)42
)2,3(,
3
1
)4,5(,
5
1
PP −
çözüm
)!(
!
),(
rn
n
rnp
−
= veya n den geriye doğru, r tane ardışık çarpan
çarpılarak bulunabilir.
22
224
)2.3(
3
1
)2.3.4.5.(
5
1
=
−=
−=
Olur. cevap B

22. Permütasyon
Permütasyonlarda birbirinden farklı elemanların değişik
sıralanışları söz konusudur.
Permütasyon olan ifadeler genelde;
• Kaç türlü sıralanabilir? Dizilebilir? Poz verebilir?
• Kaç türlü sayı yazılabilir? Anlamlı yada anlamsız kaç türlü
kelime yazılabilir?
• Yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir? Şeklindedir.
!
!

23. Permütasyon
2. Dairesel dönel permütasyon
n elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin etrafında
birbirinden farklı dizilişlerinden her birine, dairesel permütasyon denir.
n elemanlı bir çember etrafında;
(n-1)! Farklı bir şekilde sıralanır

24. Permütasyon
Örnek:
7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daire
şeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 24 B) 48 C) 120 D) 240 E) 90
çözüm

25. Permütasyon
Örnek:
7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daire
şeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 24 B) 48 C) 120 D) 240 E) 90
çözüm
Anne ile baba yan yana oturacağından 1 kişi gibi düşünülür.
6 kişi yuvarlak masa etrafında 5! Değişik şekilde oturur. anne
ile baba kendi aralarında 2! Değişik şekilde oturacağından;
5! . 2! = 120 . 2 = 240 değişik şekilde oturabilir. Cevap D

26. Permütasyon
3 tekrarlı permütasyon
Önce sanki tekrar eden yokmuş gibi sıralanır. Sonra tekrar eden
durumların sıralanış sayısı atılır. Çarpım durumundaki ifadeden,
fazlalıkların atılması bölme ile yapılır.
Tekrarlı
FarklıSankiHepsi

27. Permütasyon
Örnek:
MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaç
kelime yazılabilir?
A) 9! B) 8! C) 45360 D) 32424 E) 7!
çözüm

28. Permütasyon
Örnek:
MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaç
kelime yazılabilir?
A) 9! B) 8! C) 45360 D) 32424 E) 7!
çözüm
M -> 2 tane
A -> 2 tane
T -> 2 tane tekrar edilmiştir.
Olur cevap C45360
!2!.2!.2
!9
=

29. Test
1- K={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları ile üç basamaklı rakamları tekrarsız farklı çift sayı
yazılabilir?
A) 30 B) 36 C) 42 D)47 E)52 cevap A
2- A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin rakamları 500 ile 700 arasında rakamları tekrarsız
kaç değişik çift sayı yazılabilir yazılabilir?
A) 32 B) 40 C) 44 D)72 E)84 cevap D
3- A={1,2,3} kümesinin harfleriyle yazılabilecek rakamları tekrarsız 3 basamaklı sayıların
toplamı kaçtır?
A)1200 B)1332 C)2440 D)2684 E)3156 cevap B
4- Bir lokantadaki 6 çeşit çorba, 4 çeşit tatlı ve 3 çeşit kebapdan birer tane isteyen müşteri
üç kaplık yemeği kaç farklı şekilde isteyebilir?
A)13 B)72 C) 6!4!31 D) E)144 cevap B
5- olduğuna göre n kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 cevap B
222
246
..
35
!
!)!1()!2(
=
−+−+
n
nnn

30. Test
6- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek 4 basamaklı sayılardan kaç
tanesi 5 ile kalansız bölünür ?
A) 108 B) 120 C) 240 D)320 E)380 cevap E
7- 4 matematik, 4 fizik kitabı aynı dersin herhangi iki kitabı yanyana gelmemek şartıyla
bir rafa kaç farklı biçimde dizilebilir?
A) 120 B) 248 C) 256 D)576 E)1152 cevap E
8- 4 çocuklu bir aile 6 kişilik bir banka anne ile babanın arasına 2 çocuk oturmak şartıyla
kaç farklı biçimde oturabilirler?
A)66 B)120 C)144 D)240 E)256 cevap C
9- “KARABAŞ” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 7 harfli
anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç tanesinde A dan sonra B harfi gelir?
A)64 B)120 C) 230 D) 320 E)360 cevap E

31. Test
Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az
iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç
farklı üçgen çizilebilir?
(Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile
doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal
değil)
A) 75 B) 85 C) 90 D) 95 E) 105 cevap D
10-
Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az
iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç
farklı üçgen çizilebilir?
(Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile
doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal
değil)
A) 256 B) 315 C) 355 D) 395 E) 435 cevap D
11-

32. Test
1- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı 400’den büyük, rakamları
tekrarsız kaç tek sayı yazılabilir ?
A) 7 B) 12 C) 15 D) 18 E) 30 cevap E
2- 8 kişilik bir ailede en küçük çocuk anne ile baba arasında olmak üzere yuvarlak bir
masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 2.5! B) 3!.5! C) 2.7! D)3.6! E)6! cevap C
3- “KAPKARA” kelimesinin harfleriyle 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç
tanesi A ile başlar, fakat A ile bitmez?
A) 3! B) 4! C) D) 5! E) 6! cevap D
4- Farklı 3 matematik ve 2 Fizik kitabı, herhangi iki matematik kitabı yanyana gelmemek
şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?
A)10 B) 12 C) 16 D) 18 E)24 cevap B
5- 1023355 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı çift sayı
yazılabilir?
A) 220 B) 240 C) 260 D) 280 E) 300 cevap A
-Zor-
2
!5

33. Test -Zor-
6-
Şekildeki noktalardan kaç değişik doğru çizilebilir?
A) 16 B) 21 C) 22 D) 24 E)28
Şekildeki 9 noktadan üç tanesini köşe kabul
eden kaç üçgen çizilebilir?
A) 84 B) 80 C) 72 D) 60 E) 48 cevap C
7-