Integracion numerica trapecio

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
INTEGRACION NUMERICA
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función con
alguna de las siguientes características:
(a) Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar
directamente.
(b) Una función tabulada en donde los valores de x y f(x) se dan en un conjunto
de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En estos dos casos, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de
integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la
integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función
complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que
sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de
polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de
longitud constante.
Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las
formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los
límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de
integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de
Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se
usan extensamente para evaluar integrales impropias y en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
REGLA DEL TRAPECIO (SIMPLE Y COMPUESTA)
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de
Newton-Cotes.
Regla del trapecio simple
Considérese la función f(x), cuya gráfica esta entre los extremos x=a y x=b como
se muestra en la figura. Si utilizamos un polinomio P(x) de primer grado como una
aproximación de f(x) tenemos:
x−b x−a
P( x) = f (a) + f (b) , el cual es equivalente a:
a−b b−a
f (b) − f (a )
P ( x) = f (a ) + ( x − a)
b−a
El área bajo esta línea recta será una aproximación del área bajo la curva entre los
límites a y b

2. Integrando este polinomio:
f(x) b b⎛ f (b) − f (a ) ⎞
f(a)
∫a f ( x)dx ≅ ∫a ⎜ f (a) + b − a ( x − a) ⎟dx
⎝ ⎠
b
f (b) − f (a) ( x − a) 2
≅ f (a) x +
b−a 2 a
f(b)
f (b) − f (a ) (b − a ) 2
≅ f (a)(b − a) +
b−a 2
(b − a )
≅ f (a)(b − a) + ( f (b) − f (a))
a b 2
⎛ f (b) − f (a ) ⎞
≅ (b − a )⎜ f (a) + ⎟
⎝ 2 ⎠
f (a) + f (b)
≅ (b − a )
2
Que es la conocida Regla del Trapecio Simple. Geométricamente, la Regla del
trapecio aproxima el área bajo una curva mediante el área del trapecio bajo la
línea recta que une f(a) y f(b)
B+b
b A= h
2
f(a) f (a ) + f (b)
h A= (b − a)
2
f(b)
B
b-a
Ejemplo:
1
Utilizar la regla del trapecio simple para aproximar la integral ∫1 / 2 arcsen( x)dx
Solución:
∫1 / 2 arcsen( x)dx ≅ (1 − 1 / 2) f (1) +2f (1 / 2)
1
1
π /2+π /6 π
≅ = = 0.5235988
−1 1
4 6
La solución exacta de esta integral es:
−1 5π − 6 3
≈ 0.4429715
12

3. El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio simple
esta dado por:
p − p* 0.4429715 − 0.5235988
Er = ⋅ 100 = ⋅ 100 ≈ 18.2%
p 0.4429715
El error de la estimación es muy alto.
Regla del trapecio compuesta
Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola
segmentos de ancho h = (b − a) / n y aproximando el área de cada segmento
en n
mediante un trapecio, como se indica en la figura:
Sea P = {x0 , x1 ,L x n } la partición que se
f(x) forma al hacer dicha subdivisión. Usando
f(a)
propiedades de la integral tenemos que:
b x1 x2
∫a f ( x)dx = ∫x 0
f ( x)dx + ∫
x1
f ( x)dx + L
f(b) xn
+∫ f ( x)dx
xn −1
Aplicando la regla del trapecio en cada una
de las integrales, obtenemos:
a b f ( x0 ) + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x 2 )
≅h +h +L
2 2
f ( x n −1 ) + f ( x n )
+h
2
Agrupando términos:
n −1
h h⎛ ⎞
( f ( x0 ) + 2 f ( x1 ) + 2 f ( x 2 ) + L + f ( x n )) = ⎜ f ( x0 ) + 2∑ f ( xi ) + f ( x n ) ⎟
b
∫a f ( x)dx ≅
2 ⎜
2⎝ ⎟
i =1 ⎠
n −1
f ( x 0 ) + 2 ∑ f ( xi ) + f ( x n )
b i =1
∫a f ( x)dx ≅ (b − a) 2n
Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta.
Ejemplo:
Utilizar la regla del trapecio compuesta con n=5 subintervalos para aproximar la
1
integral ∫1 / 2 arcsen( x)dx

4. Solución:
b − a 1 − 1/ 2
h= = = 0.1
n 5
P= {0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1}
1
1
∫1 / 2 arcsen( x)dx ≅
0.1
2
( f (0.5) + 2 f (0.6) + 2 f (0.7) +
−1 1 + 2 f (0.8) + 2 f (0.9) + f (1)) =0.4513161
−1 La solución exacta de esta integral es:
5π − 6 3
≈ 0.4429715
12
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla del trapecio
compuesta esta dado por:
p − p* 0.4429715 − 0.4513161
Er = ⋅ 100 = ⋅ 100 ≈ 1.884%
p 0.4429715
Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este
método, reduciendo el error relativo verdadero de un 18.2% hasta un 1.884%.
Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:
n Snumérica Er%
10 0.4460196420 0.688%
50 0.4432559383 0.0642%
100 0.4430730772 0.0229%
200 0.4430076838 0.00816$
250 0.4429974465 0.00585%
1000 0.4429747968 0.000736%
Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.