Integración numerica método de Simpsom

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
"FRANCISCO DE MIRANDA"
REGLA DE SIMPSON
Regla de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) se puede
obtener una estimación más exacta de la integral. El método consiste en
usar polinomios de grado superior para aproximar la curva de la función y
tomar las integrales bajo tales polinomios.
Regla de Simpson 1/3 simple:
Considérese la función integrando f(x), cuya gráfica está entre los extremos x0 = a
y x2 = b, si hay otro punto a la mitad x1 = (x0+ x2)/2 como se muestra en la figura.
Si utilizamos un polinomio de lagrange P2(x) de segundo grado como una
aproximación de f(x):
( x − x1 ) ( x − x 2 ) ( x − x0 ) ( x − x 2 ) ( x − x0 ) ( x − x1 )
P2 ( x) = f ( x0 ) ⋅ + f ( x1 ) ⋅ + f ( x2 ) ⋅
( x0 − x1 ) ( x0 − x 2 ) ( x1 − x0 ) ( x1 − x 2 ) ( x 2 − x0 ) ( x 2 − x1 )
El área bajo este polinomio será una aproximación del área bajo la curva entre los
límites a y b
f(x) Integrando este polinomio:
b x2 ⎡ ( x − x1 ) ( x − x 2 )
∫a f ( x)dx ≅ ∫x0 ⎢ f ( x0 ) ( x0 − x1 ) ⋅ ( x0 − x2 ) + f ( x1 )
⎣
f(x2) ( x − x0 ) ( x − x 2 ) ( x − x0 ) ( x − x1 ) ⎤
⋅ + f ( x2 ) ⋅
( x 2 − x0 ) ( x 2 − x1 ) ⎥
f(x0) dx
P(x) ( x1 − x0 ) ( x1 − x 2 ) ⎦
Después de la integración y manipulación
algebraicas, se obtiene la siguiente formula:
x0 x1 x2 b f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 )
∫a f ( x)dx ≅ ( x2 − x1 ) 6
b h
∫a f ( x)dx ≅ 3 ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 ))
Que es la conocida Regla de Simpson 1/3 Simple donde h = (b − a)/2.
Geométricamente, la Regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una
curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos.
Ejemplo:
Utilizar la regla de Simpson 1/3 simple para aproximar la integral
1
∫1 / 2 arcsen( x)dx

2. Solución:
5π − 6 3
La solución exacta de esta integral es: ≈ 0.4429715
12
∫1 / 2 arcsen( x)dx ≅ (1 −6 / 2) ( f (1) + 4 f (3 / 4) + f (1 / 2))
1 1
1 1
≅ (1.5707963 + 0.8480621 + 0.5235988) = 0.4572203
12
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar
−1 1 la regla del trapecio simple esta dado por:
p − p*
−1
Er = ⋅ 100
p
0.4429715 − 0.4572203
⋅ 100 ≈ 3.22%
0.4429715
El error de la estimación es menor que el obtenido
con la Regla del Trapecio simple.
Regla de Simpson 1/3 compuesta:
En el caso de que el intervalo [a, b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al
calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula
compuesta de Simpson 1/3. Dividiremos el intervalo [a, b] en n subintervalos
iguales, de manera que xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n.
f(x) b x2 x4
∫a f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + L
x0 x2
xn
+∫ f ( x)dx
xn − 2
f(b)
f(a) Aplicando la regla de Simpson 1/3 en cada
una de las integrales, obtenemos:
h h
≅ ( f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 )) + h ( f ( x 2 ) + 4 f ( x3 )
3 3
h
+ f ( x 4 )) + L + ( f ( x n −2 ) + 4 f ( x n −1 ) + f ( x n ))
a b 3
Agrupando términos:
n / 2−1
b h⎛ n/2 ⎞
⎜ f ( x0 ) + 2 ∑ f ( x 2i ) + 4 ∑ f ( x 2i −1 ) + f ( x n ) ⎟
∫a f ( x)dx ≅ ⎜
3⎝ ⎟
i =1 i =1 ⎠

3. n / 2−1 n/2
b
f ( x0 ) + 2 ∑ f ( x 2i ) + 4 ∑ f ( x 2i −1 ) + f ( x n )
i =1 i =1
∫a f ( x)dx ≅ (b − a) 3n
Que es la conocida como la Regla del Trapecio múltiple o compuesta. Se debe
utilizar un número par de divisiones para implementar el método.
Ejemplo:
Utilizar la regla de Simpson 1/3 compuesta con n=4 subintervalos para aproximar
1
la integral ∫1 / 2 arcsen( x)dx
Solución:
b − a 1 − 1/ 2
h= = = 0.125
n 4
P= {0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1}
1
1
∫1 / 2 arcsen( x)dx
0.125
−1 1 ≅ ( f (0.5) + 4 f (0.625) + 2 f (0.75) +
3
+ 4 f (0.875) + f (1)) =0.4480329
−1
La solución exacta de esta integral es:
5π − 6 3
≈ 0.4429715
12
El error relativo porcentual que se cometió al aplicar la regla de Simpson 1/3
compuesta esta dado por:
p − p* 0.4429715 − 0.4480329
Er = ⋅ 100 = ⋅ 100 ≈ 1.14%
p 0.4429715
Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este
método, reduciendo el error relativo verdadero de un 3.22% hasta un 1.14%.
Si aumentamos el valor de n obtendremos los siguientes resultados:
n Snumérica Er%
10 0.4442541593 0.2895500498
50 0.4430863307 0.02591491573

4. 100 0.4430121240 0.009162891245
200 0.4429858860 0.003239711554
250 0.4429818040 0.002318207647
1000 .4429728180 0.0002896348633
Se ha obtenido una mejor aproximación al aumentar el número de subdivisiones.