Material Obligatorio

1. UnidadV: Enseñanza de las Nociones de geometría y medida
De todos los contenidos que se enseñan en Matemática en la escuela primaria, uno de los más desvalorizados en
el momento de su enseñanza es la Geometría, porque prácticamente su enseñanza se reduce a que el niño
identifique los objetos geométricos por sus dibujos y se aprenda de memoria las propiedades de los mismos.
Mientras que para otros conocimientos las prácticas de la enseñanza de la matemática tienden a apoyarse en la
resolución de problemas, en el trabajo con geometría parecen estar ausentes, privilegiándose actividades
“basadas en la presentación de los objetos geométricos y sus propiedades” (Doc. N°5, GCBA, 1998:5)
La propuesta de enseñanza de la Geometría consiste en que los niños logren construir un conocimiento
geométrico con sentido, y para propiciar esto más allá de las estrategias de enseñanza, como docentes
responsables tenemos que tener bien claras las nociones a enseñar, así que este apunte se estructura con una
primera parte que refuerzalas NocionesBásicasdeGeometría y unasegunda que aporta a la Enseñanzadela
Geometría.
Nociones Básicas de Geometría
1. Figuras Geométricas
1.1 Polígonos
Todo multilátero simple cerrado y la región interior que delimita se llama Polígono Simple
1.1.1 Elementos de un polígono
Vértices: A, B, C, D

2. . Consecutivos: A, B, C, D
. No Consecutivos: A, B, C, D
Lados: segmentos determinados por pares de vértices consecutivos.
Diagonales: segmentos determinados por pares de vértices no consecutivos.
1.1.2 Clasificaciones de acuerdo a algún elemento en particular
 Según sus ángulos interiores en:
- Cóncavos: Polígono en el que algún ángulo interior es cóncavo.
Ángulo Cóncavo: es un ángulo que mide entre 180° y 360°
Ángulo Convexo: Es un ángulo que mide entre 0° y 180°
En los polígonos cóncavosexiste algún segmento determinado por un par de puntos que no está incluido en su
región interior.
- Convexos: Polígono en el que todos sus ángulos interiores son convexos.
Ángulos Exteriores: Son los ángulos adyacentes a los interiores
En los polígonos convexos todo segmento determinado por un par de puntos del polígono está dentro de él.

3.  Según la longitud de sus lados
Puede ser Regular o Irregular, si todos sus lados son congruentes se lo denomina Regular, si tiene por lo menos
uno de ellos diferentes es Irregular.
 Según el número de lados
N° de lados Denominación
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
20 Icoságono
Por ejemplo:
(A) (B)
Ambos polígonos son pentágonos, pero en el primero (A) es Irregular y el (B) es Regular.
1.1.3 Propiedades de los Polígonos Convexos
a) N° de diagonales por vértice:
Para un polígono de n lados, el número de diagonales por vértice es (n-3).
¿Por qué cree que puede ser usado es 3 y no un 2 o un 4?

4. Loque se resta conese 3 sonlos vérticesconlos cuales no se formandiagonales, que serían: uno el vértice
donde se originan las diagonales y dos más que son los vértices consecutivos al anterior que junto con
ese forman los lados. Por eso siempre es restando 3 al número de lados.
Reflexionemos:
¿Cuantas diagonales tiene por vértice un triángulo?
b) N° total de diagonales del polígono
Para esto usamos lo anterior n-3pero lo debemos multiplicar por los n lados del polígono, pero se lo
debe dividir por 2 porque si no hay diagonales que se cuentan dos veces.
n.(n-3)
2
c) N° de Triángulos determinados por una diagonal
= n-2
Por ejemplo, en un pentágono n=5 por lo tanto, 5-2=3
d) Suma de los ángulos interiores de un polígono
Ya sabemos que una de las propiedades de los triángulos es que la suma de sus ángulos interiores es 180°, en los
polígonos de n lados vamos a usar ese conocimiento que ya se tiene. Por ejemplo, en el pentágono anterior las
diagonales de un vértice determinan tres triángulos, por lo tanto, la suma de los ángulos interiores será
3.180°=540°.
e) Suma de los ángulos exteriores siempre es 360°
¿Por qué será?
Sabemos que: 1 Ángulo Interior + 1 Ángulo Exterior = 180°
1 Ángulo Exterior = 180° - Ángulo Interior
Suma de los ángulos exteriores= n.180°- Suma de Ángulos Interiores
Suma de los ángulos exteriores= n.180°- 180°.(n-2) (Prop. Distributiva)
Suma de los ángulos exteriores= n.180°- 180°.n-360° (Prop. Cancelativa)
Suma de los ángulos exteriores= 360°
f) Propiedades de los lados del polígono
 “En todo polígono cada lado es menor a la suma de los restantes”
Condiciones necesarias y suficientes para que dos polígonos sean congruentes
 “Dos polígonos son congruentes si y solo si, los lados correspondientes y los ángulos
correspondientes son congruentes”
Condición 1) Si dos polígonos tienen n-1 lados y los n-2 ángulos comprendidos congruentes, entonces
son congruentes.

5. Condición 2) Si dos polígonos tienen n-1 ángulos y los n-2 lados comprendidos congruentes, entonces
son congruentes.
1.2 Triángulos
Un triángulo puede ser definido como un polígono de tres lados, o como un polígono con tres vértices. El
triángulo es el polígono más simple y el único que no tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre
un triángulo.
Se pueden encontrar distintas definiciones, pero eso varía de acuerdo a distintos puntos de vista, esto lo
trataremos mas adelante…
1.2.1 Clasificaciones de acuerdo a algún elemento en particular
- Según la longitud de sus lados
Escaleno: tiene sus 3 lados con distintas longitudes.
Isósceles:Tiene por lo menos dos lados de igual longitud, por lo tanto, dos ángulos congruentes también.
Equilátero: Tiene sus tres lados con la misma longitud y cada ángulo mide 60°
- Según la amplitud de sus ángulos
Acutángulo: Todos los ángulos interiores son agudos
Rectángulo: Tiene un ángulo interior recto
Obtusángulo: Tiene un ángulo interior obtuso
Reflexionemos y Justifiquemos
Será cierto que:
“todo triángulo Isósceles es Equilátero”
“en un triángulo puede tener como ángulos interiores un obtuso y un recto”
Completar el siguiente cuadro con las representaciones que corresponden:
Triángulo equilátero isósceles escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

6. 1.2.2 Propiedades de los triángulos
- Indeformabilidad: es una figura que no se deforma, es rígida.
Les propongo que comprobemos esto:
Tomen tres segmentos hechos de cartón con longitudes que permitan formar un triángulo y en cada extremo
hagan una perforación. Luego unan por esa perforación los vértices con ganchitos mariposa e intenten mover y
cambiar la forma del triángulo hecho. ¿Qué paso?
- Existencia de los triángulos – Propiedad Triangular
La suma de las longitudes de dos de los lados de un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.
- Invarianza de los ángulos interiores
La suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°.
Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza
una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC)
ángulos iguales, codificadosen colorrojoen la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo,
los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres
ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo,del ángulo verde
y del azul es un ángulo de 180°. En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Esta propiedad es elresultado de la geometría euclidiana. Nose verificaengeneral en la geometría no euclidiana.

7. 1.2.3 Puntos notables de los triángulos
Incentro
Bisectrices del triángulo: son los tres segmentos bisectrices de los ángulos del triángulo
La bisectrizde un ángulo es la semirrecta conorigen en el vérticedel ángulo y que lo divide en dos ángulos de
igual medida.
Las bisectrices de un triángulo siempre se cortan en un punto interno del mismo y se lo denomina incentro.
La circunferencia que tiene por centro el punto de intersección de las bisectrices y por radio la distancia del
centro a cada lado es tangente a los lados del triángulo se llama circunferencia inscripta.
Circuncentro
Mediatrices de un triángulo: son las tres rectas mediatrices de los lados del triángulo

8. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de cada uno de los vértices del triángulo, al
que se lo denomina como Circuncentro.
La circunferencia que tiene centro el punto de intersección de las mediatrices del triángulo y por radio la
distancia de dicho punto a cada vértice se denomina Circunferencia Circunscripta al triángulo.
La mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.
Ortocentro
Alturas del triángulo: son las tres rectas perpendiculares a cada lado hasta el vértice opuesto de cada
uno.
Las tres alturas del triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado ortocentro .
Las alturas podrían estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo.
El ortocentro también será exterior en los triángulos obtusángulos. En los rectángulos coincidirá con el vértice
del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.
Baricentro
Medianas del triángulo: son medianas del triángulo los segmentos determinados por el vértice con el
punto medio del lado opuesto.
El punto deintersección de las medianas se lo denomina Baricentro y siempre es interior al triángulo.
Propiedad: la distancia entre el baricentro y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el
baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del baricentro a cada vértice es de 2/3 la longitud de
cada mediana.

9. El Baricentro es el centro de gravedad de una superficie triangular.

10. 1.3 Cuadriláteros
En geometría plana, un cuadrilátero o tetrágono es un polígono de cuatro lados y cuatro vértices.
En la medida que se imponen condiciones se obtienen cuadriláteros más particulares.
1.3.1 Propiedades de los lados y los ángulos de los cuadriláteros

11.  Si a cualquier cuadrilátero lo condicionamos que tenga por lo menos un par de lados paralelos se genera
la familia de los TRAPECIOS.
Estos pueden ser:
Rectángulo: si las bases con uno de sus lados forma 2 ángulos rectos
Isósceles: si tiene los ángulos adyacentes a las bases congruentes y sus lados que no son bases también
congruentes.
Paralelogramo: si tiene dos pares de lados paralelos y congruentes. Sus ángulos interiores opuestos son
congruentes.
Rectángulo: es resultado de la combinación de las condiciones que cumplen los distintos trapecios.
“TODO RECTANGULO ES PARALELOGRAMO, ES TRAPECIO RECTANGULO Y ES TRAPECIO ISOSCELES”
¿Estás de acuerdo o no con esta afirmación? ¿Por qué?
“Si un paralelogramo tiene un ángulo recto es rectángulo”
 Si a cualquier cuadrilátero lo condicionamos a que tenga por lo menos un par de lados consecutivos
congruentes se construye el Semiromboide
Si al Semiromboide sele agrega otra condiciónque tenga dos pares de lados consecutivoscongruentes y un par
de ángulos opuestos congruentes se puede construir el Romboide.
Si al Romboide le agrego la condición que tenga los cuatro lados congruentes y que los pares de lados opuestos
sean paralelos entre sí se puede construir un Rombo.
¿Estás de acuerdo o no con esta afirmación? ¿Por qué?
“El rombo es un paralelogramo y es un Romboide”
Cuadrado
El cuadrado cumple con todas las propiedades de los lados y los ángulos enunciadas para las distintas
clases de cuadriláteros.
Asique si alguna vez te dicen que SOS un CUADRADO… DALE LAS GRACIAS…
1.3.2 Propiedades de las diagonales

12.  Las diagonales en un polígono convexo se cortan en un punto interior del mismo
 Si las diagonales se cortan en su punto medio de acuerdo a los ángulos que forman entre sí generan una
familia de paralelogramos.
- Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un rombo
- Si las diagonales son bisectrices de ángulos opuestos correspondientes, el paralelogramo es un
rombo.
 Si las diagonales siguen siendo perpendiculares pero que una sola cortea la otra en partes congruentes
se genera una familia de romboides. La diagonal mayor es bisectriz de los ángulos opuestos
correspondientes.
 Si las diagonales se cortan en su punto medio y son congruentes se genera una familia de rectángulos.
- Si las diagonales del rectángulo son perpendiculares es un cuadrado
- Si las diagonales del rectángulo son bisectrices de los pares de ángulos opuestos
correspondientes, dicho rectángulo es un cuadrado.
1.4 Círculo y Circunferencia
Las nociones de círculo y circunferencia son centrales para la elaboración de las propiedades de la
geometría plana, fundamentalmente para validar las construcciones de las figuras.
1.4.1 Circunferencia
La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos de ella están a igual distancia del
centro o también puede decirse que es es el lugar geométrico de los puntos de
un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.
 Centro:Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
 Radio:Es el segmento que une el centro de la circunferenciacon un punto cualquiera de la misma.
 Diámetro:Eldiámetro de una circunferenciaes el segmento que une dos puntos de la circunferenciaque
pasa por el centro de esta. El diámetro mide el doble del radio.
 Cuerda:La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.El diámetro es la cuerda de
longitud máxima.
 Recta secante:Es la línea que corta a la circunferenciaen dos puntos.
 Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferenciaen un solo punto. Se la puede encontrar trazando
una recta perpendicular al radio.
 Punto deTangencia:es el punto de contactode la recta tangente conla circunferencia.
 Arco:El arcode la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un
arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.
 Semicircunferencia:cadauno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

13. 1.4.2 Círculo
Un círculo,en geometría euclídea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otropunto fijo,
llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región
del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.
Segmento circular:Dados dos puntos A y B de una circunferencia,se denomina segmento circulara cualquiera
de las dos partes de la cuerda AB divide al círculo.
Semicírculo: Si la cuerda AB es un diámetro, las dos partes son semicírculos.
1.4.3 Angulo Central y Sector Circular
Angulo Central: todo ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia se llama ángulo
central

14. SectorCircular: dadoun circulo y un ángulo central se llama sector circulara la intersección del circulo
con el ángulo central
Propiedades:
 Si en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes dos arcos son congruentes, las
cuerdas correspondientes son congruentes.
 Si en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes un arco es menor que otro, la
cuerda correspondiente al primero es menor que la cuerda correspondiente al segundo si y solo
si cada arco es menor o igual que una semicircunferencia.
 En toda circunferencia el diámetro es mayor que cualquier otra cuerda.
¿Cómo trazamos circunferencias?
Para dibujar circunferencias se puede recurrir a distintos tipos de herramientas: tapas, monedas o
cualquier objeto redondo y el compás. Pero de acuerdo lo que se use se pone en juego diferentes
relaciones inherentes a la circunferencia.
Si se usa unatapa o monedase puederepresentarunacircunferencia,pero no sepuedeidentificarsu
centro, ni su radio,porlo tanto, si se quierehacerunacircunferenciaconunradio determinado no se
puedeusarunobjeto redondo,sedeberíaapelaral uso del compásunaherramientaprivilegiadapara
la construcción de circunferencias.

15. 2. Cuerpos geométricos (La sección de Cuerpos es una adaptación del material teórico que acompaña el
libro de texto Matemática 7° (2004) de Chemello y otros, Editorial Longseller, Buenos Aires)
Si se necesita comunicar la forma y dimensiones de un terreno, de una silla o de una obra de arte es conveniente,
y a veces imprescindible, hacer una descripción oral o dibujada en la que intervienen nociones geométricas.
En el caso de los dibujos de la imagen, las formas tienen características comunes, pueden ser asociadas a una
misma idea geométrica, por ejemplo, la de prisma rectangular.
Descripción de cuerpos geométricos
Para identificar un cuerpo es necesario distinguir aquellos aspectos que lo caracterizany lo diferencian de otros.
Una de las características que se pueden tener en cuenta es si tienen o no agujeros, y otra es la forma de las caras
o superficies que lo limitan. También las relaciones que se establecen entre ellas: si son planas o no, si son
cuadriláteros u otro polígono, si las caras son congruentes entre sí, si entre ellas son paralelas.
Los cuerpos son ideas igual que los números, conceptos abstractos. Los dibujos sirven para analizar y estudiar
algunas regularidades, para encontrar argumentos, pero no sirven para demostrar propiedades.
Cuando se estudian las propiedades de un tipo de cuerpos, las relaciones entre sus distintos elementos, aunque
se razone sobre una representación particular, se pueden obtener conclusiones que valen para todos los cuerpos
de ese tipo, cualesquiera que sean sus dimensiones.
Poliedro y cilindro con agujero
2.1 Poliedros
Los cuerpos que poseen todas sus caras planas se denominan poliedros.
Esta palabra deriva del griego “polys” que significa muchos,y “edra” caras. Además, los poliedros poseen aristas,
que son los segmentos comunes a dos caras, y vértices, que son los puntos donde concurren más de dos caras.

16. 2.1.1 Poliedros regulares
Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares congruentes se llaman poliedros regulares.
En estos cuerpos, cada vértice está rodeado por un mismo número de caras. Euclides demostró que sólo existen
cinco cuerpos con estas características.

17. 2.1.2 Prismas rectangulares
Los poliedros que tienen caras laterales rectangulares se denominan prismas. Tienen dos bases y la distancia
entre ellas es la altura del prisma.
También existen prismas cuyas caras no son rectangulares, sino que se trata de paralelogramos; en estos casos
se denominan prismas oblicuos.
2.1.3 Pirámides
Los poliedros que tienen caras laterales triangulares se denominan pirámides. Tienen una base y la distancia
entre ella y la cúspide es la altura de la pirámide.

18. 2.2 Cuerpos redondos
Entre los cuerpos sin agujeros y que no tienen todas sus caras planas, denominados cuerpos redondos, algunos
reciben nombres particulares.
Cilindro: tiene dos caras planas paralelas y circulares, llamadas bases.
Cono: tiene una base plana y circular.
Esfera: no tiene bases ni vértices.
Representación plana de cuerpos
El espacio en donde se desarrollan las actividades humanas es un espacio de tres dimensiones, que se puede
relacionar con tres direcciones: arriba-abajo, adelante-atrás y derecha-izquierda.
Muchas delas representaciones que se hacen delespacio y de losobjetos son planas. Enrevistas, hojas de carpeta,
el pizarron y hasta la pantalla del televisor se muestra una realidad en dos dimensiones.
Tantolas fotoscomounmapa de laciudad están sobre superficies. Aunque correspondan al mismo espacio físico,
muestran distintos aspectos, son distintas representaciones, y su elección depende de la información que se
quiera transmitir.
Por ejemplo, estas son distintas representaciones de un cubo, teniendo en cuenta distintas vistas:
Otra posibilidad de representación plana es el desarrollo del cuerpo. En el caso del cubo:

19. Construcción de cuerpos
Si se desarma un envase de cartón de algún medicamento, de alimentos, etc. y no se toman en cuenta las aletas
que sirven para pegar sus caras, se obtiene un molde o patrón como los siguientes:
Esta manera de representar un cuerpo en el plano recibe el nombre de desarrollo. Para realizarlo se distribuyen
las caras de un cuerpo en una sola pieza. Al plegarlo por las líneas interiores es posible volvera armar el cuerpo.

20. Aportes a la enseñanza de la Geometría
¿Qué es la geometría?
¿La geometría se trata del estudio de las propiedades de las figuras y de los cuerpos?... ¿Qué piensan
ustedes?
¿Qué geometría se enseña en la escuela primaria?
Si hacemos un pequeño recorrido en nuestra memoria, la enseñanza de la geometría se iniciaba con el punto, la
recta y el plano, más adelante se proseguía con la enseñanza de los ángulos, las figuras y los cuerpos y se
terminaba con el estudio de los cálculos de área y perímetro de las figuras o cuerpos dados. La construcción con
los instrumentos de geometría también era objeto de enseñanza y se hacía especial hincapié en la precisión del
dibujo y su medida.
En muchas ocasiones las propuestas de enseñanza priorizaban también el estudio memorístico de las
propiedades, un tratamiento de las figuras geométricas basado en la percepción y un estudio superficial de los
cuerpos “tratándolos ostensivamente como las formas de elementos que nos rodean en la vida cotidiana”.
Hoy seguimos encontrando escuelas primarias en las que no se enseña Geometría para contribuir al desarrollo
por parte de los alumnos, sino que se reduce al aprendizaje de una Geometría en la que se presentan objetos
definidos como saberes culturales promoviendo un aprendizaje memorístico, convirtiendo ese saber hacer en
sólo un saber decir sin un sentido verdadero.
“La geometría a enseñar en la escuela primaria debe incluir, en principio, el trabajo con objetos
geométricosconsideradoscomo modelosdelespacio físico.Estamodelizacióntomacomo punto departida
la relacióndel niño con el espacio sensibleenelque vive,queconstituyesu primercampo deexperiencias.
En este sentido, las figuras consideradas como dibujos por los niños en los primeros grados de la escuela
primaria,dan cuenta de estarelación con el espacio sensible.Estaconcepción,en la que se superponenla
figura y su representación, debería evolucionar hacia otra, que no adquiere más que por vía del
aprendizaje:lasfigurascaracterizadasporlas propiedades quecumplenyeltexto quelas describe,objetos
geométricos propios del espacio geométrico en el sentido euclidiano” (Chemello, Agrasar, Chara, Crippa,
2014)
Por lo tanto, la geometría se debe encargar del estudio de objetos teóricos ideales. Uno de los propósitos de su
enseñanza es el estudio de las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos, pero además lo que se
propone también el lograr que el niño logre desarrollar un pensamiento deductivo, un pensamiento propio del
saber geométrico.
Reflexionemos los que Broitman, C y Itzcovich, H (2007) expresan:
“Un desafío actual -preocupación compartida por muchos docentes”- es cómo reinstalar la
geometríaenlasaulasconlamismafuerzaqueteníaanteriormente,pero sinquesuenseñanza
esté centrada en la transmisión de nombres y técnicas de construcción. Y a la vez, cómo
promover un tratamiento de los objetos geométricos a la enseñanza que se aproxime lo más
“fielmente” posible a la actividad geométrica. Esta intención de “fidelidad” exigirá dejar de
forzar relaciones con la vida cotidiana y promover en cambio el interés y el placer de los
alumnos en la resolución de problemas estrictamente geométricos”.
Un poco de historia antes de avanzar…
¿Hay una geometría o muchas?
Hay varias geometrías, se puede deciry a continuación,les mencionaremos algunas de ellas, pero obviamente no
vamos a desarrollarlas, porque al finde cuentas en esta instancia “las geometrías” no son el objeto de enseñanza.
Entre las distintas ramas de la geometría que se han desarrollado con el paso de los años están las siguientes:

21.  Euclidiana
 Analítica
 Descriptiva
 No Euclidiana
 Proyectiva
 Fractal
 Topológica
De todas las que hemos nombrado la Euclidiana, la Analítica y quizás la Descriptiva son las que podemos llegar
conocer un poquito más, aunque sólo sea por su nombre…
En la primera, la “Geometría Euclidiana”, Euclides, en su libro los “Elementos” recupera los trabajos que otros
matemáticos habían hecho hasta el momento y los ordena sistemáticamente estableciendo una sucesión lógica
de proposiciones, con axiomas, postulados y definiciones, un desarrollo innovador en ese momento y que luego
fue imitado por otras materias.
Los postulados de Euclides son afirmaciones que seguramente las hemos estudiado en algún momento. ¿Los
conocen?
Postulados de Euclides
1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta
2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta
3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualesquiera
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre si
5. Por un punto exterior a una recta se puede trazar solo una paralela.
y… ¿los conocían?
Otra rama de la Geometría es la Analítica, Fermat y Descartes fueronlos que principalmente la desarrollaron. En
esta geometría se estableció una conexión entre la geometría y el álgebra. Se introduce el uso de sistemas de
coordenadas cartesianas en el plano, y se ubica puntos mediante dos datos, incluso se logra representar por
medio de fórmulas a las figuras geométricas.
En la Geometría Descriptiva, el objeto de enseñanza que involucra es el cómo debe confeccionarse la
representación plana de un objeto de modo que pueda deducirse su forma precisa, así como la distribución de
las dimensiones de sus elementos constitutivos. Esta geometría suministra las bases teóricas del dibujo técnico.
Podríamos seguir detallando cada una de las otras, pero esa es tarea suya, si quieren…
Con distintas geometrías ¿distintos objetos geométricos?
Los objetos geométricos se pueden considerar de diferentes modos porque justamente se los puede asociar a
diferentes geometrías. Por ejemplo, la circunferencia puede ser abordada como un trazo hecho conel compás, o
como una línea curva cerrada en la cual los puntos de esta línea equidistan de un punto llamado centro desde la
geometría euclidiana o también comoel conjunto de puntos del plano que satisfacen una ecuación a partir de la
geometría analítica, pero en fin, sigue siendo el mismo objeto, una circunferencia.
Es importante destacar que son distintos puntos de vista para mirar un mismo objeto “una geometría no es más
o menos verdadera, sino más o menos cómoda para ser aplicada a un cierto mundo”. (J. H. Poincaré 1854-1912)
Nosotros en general en primaria tenemos en cuenta los aportes de la Geometría Euclidiana, ya en el Nivel
Secundario se trabaja la Analítica y quizás unos comienzos de la Descriptiva.
Entonces, vamos definiendo los Objetos Geométricos…
Las figuras y los cuerpos no solo pueden ser considerados desde distintos puntos de vista de acuerdo a las
distintas geometrías, sino pueden ser definidos de varias formas desde un único punto de vista.

22. Por ejemplo, en la geometría euclidiana puedo definir al cuadrado de distintas maneras utilizando diferentes
propiedades.
 Paralelogramo con sus 4 lados congruentes y sus 4 ángulos congruentes
 Paralelogramo con sus diagonales congruentes, que se cortan en su punto medio y los ángulos
determinados entre ellas congruentes también.
 Rombo con sus 4 ángulos internos congruentes.
Cada una de estas definiciones permiten asociar la figura conun conjuntode propiedades para determinar otras
que quizás no están explicitadas. Esto es muy importante que el alumno logre reflexionarlo, porque le va a
permitir reconocer que a una figura se la puede concebir desde sus propiedades y que cada figura tiene sus
condiciones propias y no otras.
¿Cómo producimos el conocimiento geométrico y como logramos validarlo?
Para la enseñanza de la geometría se propone también que el conocimiento geométrico se construya por
medio de la resolución de problemas con su posterior reflexión, como lo hemos visto en otras ocasiones.
¿Verdad?
Pero…, ¿Qué problemas se pueden plantear? ¿y qué procedimientos se pueden desplegar para resolver?
Para la resolución de los problemas geométricos se puede recurrir a distintos tipos de procedimientos y estos
también forman parte de la construccióndelsentido de ese conocimiento.La historia de la geometría nos ha dado
pequeñas muestras que desde el principio se realizaba un trabajo geométrico enmarcado más en lo pragmático-
experimental que en lointelectual-anticipatorio, pero eso fue evolucionandoy ese cambio dependió también del
grado de conceptualización del conocimiento que tenía la persona que resolvía el problema.
Por lo tanto, los procedimientos que se pueden utilizar para resolver los problemas geométricos van a ir
cambiando en función del conocimiento que el niño va elaborando.
En conclusión, el trabajo que puede realizar el alumno para resolver el problema también puede ser pensado
como:
 Experimental: el alumno solo recurre para resolver el problema a la acción física, medición,
superposición, recorte, plegado, etc. Acciones que caracterizan la geometría que se trabaja más en un
primer ciclo.
 Anticipatorio:elalumnorelaciona los elementos del problema conalgunos conocimientosque ya posee,
en este caso se construyeel objeto a partir de las propiedades que no están explicitadas en el enunciado
y se establece el carácter necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación.
¿Qué es necesario para poner en juego un procedimiento anticipatorio para resolver un problema?
Es necesario decidir a partir de los datos y con el apoyo de las propiedades y relaciones que no están
enunciadas pero que llevan al resultado independientemente de la experimentación.
Por ejemplo:
Si el segmento BD es mediatriz del segmento AC ¿Qué puedo decir de la figura ABCD?
Anticipación:
Este tipo de situación permite un trabajo anticipatorio, porque de acuerdo a los datos dados el segmento BD
es mediatriz de AC, significa que BD divide en dos segmentos congruentes a AC, cualquiera fuese su longitud y
como la mediatriz es un segmento que divide en forma perpendicular a otro por lo tanto los mismos son
diagonales del cuadrilátero y ellas son perpendiculares y una de ellas divide a la otra en segmentos congruentes.

23. Por lo tanto, con esas relaciones que no están enunciadas se puede llegar a un resultado independiente de la
experimentación
Las figuras que tienen como propiedad la perpendicularidad de las diagonales son los romboides, rombos o
cuadrados, pero como el dato nos dice que solo una es mediatriz de la otra es el romboide el que satisface esta
condición, ya que en el rombo y el cuadrado ambas diagonales se cortan en su punto medio.
Representación:
Dibujo vs Representación del objeto geométrico
Porras y Martinez (1998:74) señalan la sobrevaloración del rol del dibujo como un rasgo característico en la
enseñanza de la geometría y sostienen que “laexperienciaconlosobjetosgeométricossebasaenlaimagen
que brindan los dibujos, llegando a transformarse estos últimos en el objeto de estudio mismo”
Según Pazysz “lafiguraesel objeto geométricodescripto porel texto queladefine,unaidea,unacreación
del espíritu, en tanto que el dibujo es una representación de este objeto”
En los primeros años los niños asocian los objetos geométricos con los dibujos de ellos, sin tener en cuenta que
la representación se diferencia de los objetos mismos. A medida que pasa el tiempo el trabajo geométrico que
puede lograr el niño va evolucionando a lo largo del nivel de una forma pragmática a una más intelectual,
logrando reconocer esa diferencia desde “el texto que la define”.
Para el niño una figura muchas veces es la representación de la misma, porque es lo que percibe directamente
desde la observación. Otras veces puede ser que no sea solo el dibujo lo que ve, sino que identifica en esa figura
las propiedades y relaciones que también la definen y es en esta instancia que el dibujo es la representación. Por
lo tanto, con las propiedades, las relaciones y la representación esa figura toma el status de objeto
geométrico.
En conclusión, el dibujo es insuficiente para definir un objeto, porque para ello es necesario el explicitación de
las relaciones que caracterizan el objeto.
Las relaciones entre dibujo y figura son complejas y como todo, van cambiando en función de los conocimientos
que el niño va elaborando.
Información de las figuras
Además del contorno de las figuras, en las representaciones se incluyen otras informaciones como marcas que
determinan relaciones de lados, ángulos y otros elementos.

24. La notación con letras mayúsculas o minúsculas (sólo depende de una decisión del docente al respecto de que
notación usará), cualquiera que fuese es importante que se utilice alguna porque de esa manera la figura se
determina como objeto geométrico y se permite indicar de forma más sencilla los elementos, propiedades y
relaciones que pueden encontrarse.
¿La construcción grafica es objeto de enseñanza?
“Eldibujo es la representacióndeun objeto geométrico ideal denominado figura.Cuando apareceen
unprimerplano ydemaneraexclusivaeltrabajo condibujos,estadiferenciapareceperderse,almismo
tiempo en que pareciera circular implícita la idea según la cual todos los dibujos, en todas las
ocasiones,debentenerelmismo grado deexactitud,cuando enrealidadhaysituaciones enlas quecon
uno muy aproximado nos alcanza para discutir un problema.
En esteintento porquelosalumnosidentifiquenlas figuras los dibujos suelenaparecerrepitiéndosea
partirde unmismo modelo,unaespeciedeformaejemplaro arquetipo enelqueestánestandarizadas
las dimensiones y también las posiciones.
De esta manera se corre el riesgo de que los alumnos crean que las dimensiones del dibujo y las
posicionesenlasqueaparecenformanpartedelas características propias delafigura” (Ponce,2006)
Las construcciones son un medio para conocer las figuras, las diferentes maneras de gestionar las
construcciones en la clase supondrán para los alumnos distintas formas de desplegar el conocimiento
geométrico.
Se pueden presentar situaciones en las que losalumnos reproduzcanfigurasyaconstruidas y situaciones en
las que los niños deban construir. Pero, las propuestas dependerán de los saberes que se quieren enseñar.
Cada una de estas modalidades aportan desde el punto de vista didácticoalgún aspecto particular que la otra no
lo hace, por lo tanto, no se debe plantear sin reflexionar el propósito una actividad, porque quizás otra sea más
pertinente para el objetivo que se tiene.
Entre las actividades que involucran reproducción o construcción podemos mencionar el:
 Dictado de figuras
 Copiado de figuras
 Copiado de figuras a distinta escala
 Construcción a partir de pedido de datos
 Construcción a partir de datos dados.
“La reproducción de figuras supone por parte del niño la búsqueda de elementos y relaciones
pertinentesparacaracterizarlas,pero estas relaciones permanecenimplícitas.La explicitacióndelas
relaciones y las elaboraciones que surgen al tener en cuenta las exigencias de la comunicación, son
aportes de la actividad del dictado. El pedido de datos, al inhibir la posibilidad de acceso al modelo
previo a la construcción, pone al alumno, por primera vez, en contacto con la necesidad de concebir
una figura genérica.Finalmente,lasconstrucciones a partir de ciertos datos ofrecenla posibilidadde
discutir con los niños el problema de la constructibilidad de una figura y el de la cantidad de
soluciones.” (Sadovsky, Parra, Itzcovich, Broitman , 1998)

25. Ante la utilización de cualquiera de las anteriores tareas propuestas hay que tener en cuenta las variables que
pueden enriquecer o no el momento de enseñanza y el proceso de aprendizaje del niño.
Sonaspectoscuya modificaciónproducecambiosenlasestrategiasde resoluciónensu relaciónconlas
nociones puestas en juego.
 Tipo de hoja (lisa o cuadriculada)
 Instrumentos propuestos a utilizar en la actividad
 La posición de hacer la copia
 El tamaño en el que debe hacerse la reproducción
 La presencia o no del modelo a copiar
 La cantidad de instrucciones
 Dictado de figuras
Este tipo de actividad supone describir la figura a través de un texto y además se intenta trascender la
interpretación perceptiva y comenzar a buscar los elementos y relaciones que definen la figura.
- El dictado de figuras permite tanto desplegar las concepciones de los alumnos en relación a las
figuras como avanzar en la elaboración del conocimiento.
Quizás losprimerosmensajesque redacten losniñoscontenganinformacionesqueno son pertinentes,
sonexcesivas,ambiguaso insuficientesyposiblementealgunosdeesosmensajesseaninentendibles.Por
lo tanto, ante esto se deberíapresentaruna secuenciade actividadesque permitanir evolucionandoen
redacción de los mensajes que los niños producen.
Además, es muy importante ir poniendo en común en distintos momentos sus producciones para
analizar las razones por las cuales sus receptores no logran realizar las construcciones, porque de esa
manera los niños comenzaran a ampliar los conocimientos de las nociones que el docente se propone
enseñar.
La producción de mensajes debe:
 Permitir reproducir dibujos que se superpongan con el modelo original
 Dar lugar a una única figura
 Contener la mínima cantidad de información.
La produccióndemensajesdalugaralaelaboracióndepropiedadesquepermitenidentificarunafigura
y el vocabulario necesario para formular dichas propiedades.
Pensar las Prácticas
La seño de 5° grado les propuso a sus alumnos la siguiente actividad
Representamos de acuerdo a la información que nos dan en cada caso
a) Dibujar un paralelogramo que tiene de lado 6cm y otro de 4 cm
b) Dibujar un paralelogramo que tiene de lado 6 cm y diagonal 10cm
c) Dibujar un paralelogramo que tiene de lado 6 cm, otro 4 y la diagonal de 10,5cm
Comparemos con lo que hicieron nuestros compañeros. ¿Todos representaron las mismas figuras? ¿Por qué?
¿Cuál creen es el objetivo de plantear esta actividad?

26.  Copiado de figuras
Este tipo de actividad no exige la explicitación de las relaciones que se identifican ni hay otro al que deba
comunicar. Las conceptualizacionesque logre el niño hacer a través del copiado dependerá de comose presente
la actividad. Si:
- El dibujo se hace con modelo presente
- El modelo está alejado de la vista del alumno
El dibujo se realiza conel modelo presente:El docente le proporciona un dibujo al niño y él lo debe copiar de
manera que se pueda superponer con el modelo entregado. Este tipo de actividad requiere un bajo nivel de
anticipación porque el niño puede ir haciendo correcciones sobre la marcha.
El copiado con modelo presente se la puede utilizar para que los alumnos al copiar comiencen a
identificar nuevos elementos y relaciones.
Pensar las Prácticas
La seño de 4° grado les dio a sus alumnos la siguiente consigna
Copien el siguiente dibujo
¿Qué nociones creen que la docente quiere introducir con esta actividad?
El dibujo se realiza sin el modelo presente: En este caso se exige anticipar cuales son las informaciones
necesarias para poder hacerlo y encontrar una manera para registrarlas. En este tipo de actividad hay que ser
muy claro en la cantidad de vecesque se puede buscar informaciónsobre el modelo, no es lo mismo si solo puedo
levantarme una vez o si puedo levantarme varias veces a buscar la información para la reproducción.
El copiado sin el modelo presente promueve que el niño logre anticipar que información se necesita para la
reproducción del dibujo.
Quizás sea interesante proponer una secuencia de actividades en las que se trabaje las dos formar de copiado,
primero con el modelo presente y luego sin el modelo al alcance del niño.
 Copiado de figuras a distinta escala
Este es un caso particular de copiado y aporta mucho su introducción durante el proceso de enseñanza, ya que
es necesario para reproducir establecer relaciones con el modelo original.
En esta instancia el niño no va a poder superponer su resultado con el modelo y para validar su trabajo deberá
mostrar las relaciones constantes que se mantienen con el dibujo original.
 Pedir datos para reproducir una figura.
Esta actividadpromueve la reproducción de una figura que los niños no ven a partir de datos sobre la misma que
ellos solicitan.
El niño escribe un mensaje detallando los datos que cree necesarios para construir la figura. A medida que
evolucionenlas conceptualizaciones,los datos que pedirán los niños serán más precisos y en menor cantidad. (Al
pedir los datos se manejan con la representación interna que ellos tienen de la figura con la que trabajan)

27. El pedido de datossuponequeel niño logreidentificarrelacionesentreloselementosdelasfigurasque
resultan sustanciales para la construcción.
 Construir a partir de ciertos datos
En este caso la figura no está construida, y el niño debe hacerlo a partir de la información que se le brinda. Este
tipo de actividadpermite poner en juego aspectos que que no se los puede tener en cuenta cuando se reproducen
figuras de modelos.
Estas situaciones permiten trabajar sobre:
- La compatibilidad de los datos para construir la figura
- La cantidad de soluciones
Pensar las Prácticas
La seño de 5° grado les propone a sus alumnos las siguientes actividades:
Resuelva y reflexione
1. Construir un triángulo que tenga lados de 4cm, 5cm y 12cm
2. Se pueden construir un triángulo que tenga dos ángulos rectos. ¿Por qué?
3. Completar la figura para que resulte un rombo de lado AB
En cada uno de los casos ¿Qué se intenta problematizar?
Engeometría no solose trabaja conproblemas de construcción,sinoque se puede trabajar conproblemas usando
relaciones e información que provee la figura sin necesidad de medir o construir:
- Preguntas de V o F
- Preguntas para argumentar
- Armado de clasificaciones
Instrumentos de Geometría
El instrumento de geometría debe estar al servicio de la resolución de los problemas y conceptualizaciones de
nociones que si son objetos de estudio de la geometría. El uso o la técnica no debe ser tomado como objeto de
enseñanza porque es eso solamente una técnica, aunque no hay que dejarlo de lado porque es muy importante
que el niño se enfrente a situaciones que ayuden a mejorar su destreza en el uso de los instrumentos.
Siro dice que: “Si trazo dos circunferencias que tengan el mismo radio cuyos centros se encuentran en la misma
recta, es posible construir más de una figura con ese instructivo” ¿Estás de acuerdo con él? ¿Por qué?
A
B

28. Usando sólo el compás y una regla no graduada, inventa, en una hoja blanca un logo utilizando segmentos de la
misma longitud que estos. Los segmentos pueden estar en cualquier posición.
Seguí las instrucciones para dibujar la figura en la carpeta, usando los instrumentos adecuados.
- Traza una circunferencia con centro O y diámetro MN de 4 cm
- Traza un diámetro AB perpendicular a MN
- Marca los puntos medios de OA y de OB. Llámalos A y B, respectivamente.
- Traza una circunferencia con centro en A que pase por O y otra con centro en B que pase por O
- Borra los diámetros trazados.
En cada una de las actividades anteriores eran necesarios los instrumentos de geometría, pero justamente son
usados como herramienta para la resolución de las actividades propuestas, pero no son objeto de enseñanza en
sí mismos.
La enseñanza en torno a los Cuerpos Geométricos
En muchas ocasiones la enseñanza de los cuerpos geométricos se liga al reconocimiento y descripción de los
objetos físicos reales que tienen una determinada forma, y no se lo trata como un objeto geométrico teórico.
Según los Cuadernos para el Aula en Segundo Ciclo el trabajo en torno a los cuerpos geométricos debe:
 Describir, comparar y clasificar cuerpos en base a las propiedades conocidas.
 Producir y comparar desarrollos planos de cuerpos argumentando sobre su pertinencia.
 Copiar y construir cuerpos a partir de diferentes informaciones sobre propiedades.
 Componer y descomponer cuerpos y argumentar sobre las propiedades de las figuras obtenidas
utilizando aquellas de los cuerpos iniciales
 Analizar afirmaciones acerca de las propiedades de los cuerpos y argumentar sobre su validez.
La complejidad de las tareas en torno a los cuerpos geométricos estará dada por:
-Repertorio de Cuerpos
-Propiedades involucradas
- Materiales/Recursos/ Instrumentos
Como ya hemosdicho lasconstrucciones sonunmedio para conocerel objeto geométrico,pero hayque
tener encuenta queno siemprequesetrabajaconconstruccionesenel plano,setrabajaconel dibujoen
perspectivao medianteel desarrolloenel plano (para la construcción o reproducción tridimensional)

29. ¿Qué propuestas podemos trabajar en torno al tratamiento de los cuerpos?
 Designación y Reconocimiento
En este caso pueden ser utilizados los juegos de adivinanzas, y son muy útiles para que los niños
desarrollen elvocabularioapropiado, reconozcanelementos, propiedades y relaciones nuevas que quizás
antes desconocían. Para complejizar este tipo de actividad se le puede dar como condición una cierta
cantidad de preguntas como límite, de manera que los niños terminen identificando propiedades
sustanciales de los cuerpos que se proponen.
 Reproducción
Es una propuesta muy interesante porque en la reproducción se puede hacer hincapié en si esta se hace
respetando las medidas del cuerpo original o si solo se la hace semejante al modelo.
Enesta ocasiónes muy importante seleccionar pertinentemente elmaterial didácticoque se va a trabajar
con el alumno y gestionarlo muy bien. Por ejemplo: No es el mismo trabajo que se va a realizar si la
actividad promueve el uso de palillos y plastilina, que otra en la que se utiliza cartulina, tijera y
pegamento.
 Construcción
En las propuestas de construcciónel desarrollo plano cobra protagonismo, pero también se pueden dar
actividades que permitan analizar y establecer conclusiones sobre la relación entre la forma de la base
del cuerpo y sus caras laterales. Se puede realizar la validación de esto de manera argumentativa
apoyándose en los conocimientos previos o bien recortando y armando los cuerpos.
Como ya se dijo antes conlas figuras, en geometría no solo se trabaja conproblemas de construcción,sino que se
puede trabajar con problemas usando relaciones e información que provee el cuerpo en esta ocasión sin
necesidad de medir o construir:
- Preguntas de V o F
- Preguntas para argumentar
- Armado de clasificaciones

30. ESTRATEGIAS PARA LA CLASE DE GEOMETRÍA
ESTRATEGIA
OBJETIVO
Adivinanzas
Pistas
Reproducción: copiado
Plegados
Cubrimiento
Desarrollo
s planosModelo
a la vista
Modelo
lejos de
la vista
Mensajes escritos
Huellas Revestimiento
Codificación Decodific.
1
Identificar
características y
propiedades de
las figuras
2
Explicitar
propiedades de
las figuras:
describirlas
3
Ampliar y
precisar el
vocabulario
4
Compara figuras:
establecer
relaciones entre
formas
5 Anticipar formas

31. Bibliografía
Chemello,Agrasar,Chara,Crippa.(2014). Clase13. Los aportesde la historia y las tradicionesen la enseñanza dela
Geometría. BuenosAires:Ministeriode Educaciónde laNación.
Ponce,H. (2006). Enseñary AprenderMatemática. Colonia,Mexico:NovedadesEducativas.
Sadovsky,Parra,Itzcovich,Broitman.(1998). Documento detrabajo N°5.La enseñanza dela Geometría en Segundo
Ciclo. BuenosAires:Ministeriode Educación.
InstitutoNacional de FormaciónDocente.Clase 05:El trabajoescolarcon loscuerposgeométricos.Módulo:
Enseñanzade la Geometría.2do.Ciclo.EspecializaciónDocente de NivelSuperiorenEnseñanzade laMatemáticaen
la EscuelaPrimaria.BuenosAires:Ministeriode EducaciónyDeportesde laNación.
MINISTERIODE EDUCACIÓN DE LA NACIÓN (2003-2006). “Cuadernospara el aula”cuarto a sextogrado.

32. Cuadro elaborado por Viviana Romero, Profesora de Didáctica de la Matemática II en el ISFD y T N°9 -002