RBMを応用した事前学習とDNN学習
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Restricted Boltzmann Machinesの 基礎と実装
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Semelhante a RBMを応用した事前学習とDNN学習
Semelhante a RBMを応用した事前学習とDNN学習 (20)
Mais de Masayuki Tanaka
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RBMを応用した事前学習とDNN学習
- 2. 概要 1. ディープラーニング 2. RBMからディープニューラルネットワーク 3. ディープニューラルネットワーク – 誤差逆伝搬法（教師有学習） 4. RBM（ Restricted Boltzmann Machine ） – RBMの基礎，確率モデル，推論モデル – CD法による事前学習（教師無学習） 5. 分布を考慮したNN推論 1 実行はできるけど中身はわからない． 理論的バックグランドがわかった！
- 3. ディープラーニングの例 2 – MNIST (handwritten digits benchmark) MNIST 文字認識のベンチマークでトップ
- 4. ディープラーニングの例 3 CIFAR10 – CIFAR (image classification benchmark) 画像認識のベンチマークでトップ
- 5. ディープラーニングの例 4 Convolution Pooling Softmax OtherGoogLeNet, ILSVRC2014 Image Large Scale Visual Recognition Challenge (ILSVRC) 画像認識のベンチマークでトップ
- 8. ディープNNのメリット・デメリット 7 入力層 出力層 ディープネットワーク 数年前までは．．． 1. 過学習が起きやすい 2. 下層まで学習情報が伝わらない ・RBMに基づく事前学習 ・膨大なデータ Image net 約1500万枚のラベル付画像 http://www.image-net.org/ Labeled Faces in the Wild 1万枚以上の顔画像 http://vis-www.cs.umass.edu/lfw/ 表現能力の高い， 高性能なネットワーク
- 9. 概要 1. ディープラーニング 2. RBMからディープニューラルネットワーク 3. ディープニューラルネットワーク – 誤差逆伝搬法（教師有学習） 4. RBM（ Restricted Boltzmann Machine ） – RBMの基礎，確率モデル，推論モデル – CD法による事前学習（教師無学習） 5. 分布を考慮したNN推論 8
- 10. 単層ニューラルネットワーク（NN）の入出力 9 入力層 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 ℎ = 𝜎 𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 + 𝑏 𝜎 𝑥 = 1 1 + 𝑒−𝑥 シグモイド関数 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 単数ノード出力 複数ノード出力(単層NN) 𝒉出力層 入力層 𝒗 ℎ𝑗 = 𝜎 𝑖 𝑤𝑖𝑗 𝑣𝑖 + 𝑏𝑗 𝒉 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 単層NNのベクトル表現 RBMの 推論モデルと等価
- 11. 重み和と活性化関数 10 入力層 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑛 𝑓 ℎ = 𝑓 𝑛 𝑛 = 𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 + 𝑏 入力層 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 ℎ = 𝑓 𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 + 𝑏 𝑓 𝑥 = 𝜎 𝑥 = 1 1 + 𝑒−𝑥シグモイド関数 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 活性化関数の例 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 リクティファイドリニア関数 𝑓 𝑥 = ReLU 𝑥 = 0 (𝑥 < 0) 𝑥 (𝑥 ≥ 0)
- 19. 概要 1. ディープラーニング 2. RBMからディープニューラルネットワーク 3. ディープニューラルネットワーク – 誤差逆伝搬法（教師有学習） 4. RBM（ Restricted Boltzmann Machine ） – RBMの基礎，確率モデル，推論モデル – CD法による事前学習（教師無学習） 5. 分布を考慮したNN推論 18
- 20. ニューラルネットワークの誤差逆伝搬法 19 入力データ 教師データ 誤差 逆伝搬 出力データ 𝒉 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃単層NNのベクトル表現 学習の目的： 出力データと教師データが一致するように 各層の重みWとバイアスbを設定する． 𝐼 = 1 2 𝑘 ℎ 𝑘 (𝐿) − 𝑡 𝑘 2 評価関数： 勾配法： 評価関数に関する勾配 に基づき設定する 𝜕𝐼 𝜕𝑾(ℓ) 誤差逆伝搬法は，勾配を効率的に計算する方法
- 21. 誤差逆伝搬法：シグモイド関数の微分 20 𝜎 𝑥 = 1 1 + 𝑒−𝑥 シグモイド関数 シグモイド関数の微分 𝜕𝜎 𝜕𝑥 = 1 − 𝜎 𝑥 𝜎(𝑥) シグモイド関数の微分の導出 𝜕𝜎 𝜕𝑥 = 𝜕 𝜕𝑥 1 1 + 𝑒−𝑥 = − 1 1 + 𝑒−𝑥 2 × −𝑒−𝑥 = 𝑒−𝑥 1 + 𝑒−𝑥 2 = 𝑒−𝑥 1 + 𝑒−𝑥 × 1 1 + 𝑒−𝑥 = 1 − 1 1 + 𝑒−𝑥 1 1 + 𝑒−𝑥 = (1 − 𝜎 𝑥 )𝜎 𝑥
- 22. 誤差逆伝搬法：準備 21 複数ノード出力(単層NN) 𝒉出力層 入力層 𝒗 ℎ𝑗 = 𝜎 𝑖 𝑤𝑖𝑗 𝑣𝑖 + 𝑏𝑗 𝒉 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 単層NNのベクトル表現 𝑾′ = 𝑾 𝒃 𝑇 𝒗′ = 𝒗 1 𝒉 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 = 𝜎 𝑾′ 𝑇 𝒗′ 表記の簡単のため， 以後，重みだけを考える 𝒉 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗
- 23. 2層ネットワーク 22 ℎ 𝑘 (2) = 𝜎(𝑛 𝑘 2 ) 𝑛 𝑘 2 = 𝑗 𝑤𝑗𝑘 (2) ℎ𝑗 (1) ℎ𝑗 (1) = 𝜎(𝑛𝑗 1 ) 𝑛𝑗 1 = 𝑖 𝑤𝑖𝑗 (1) 𝑣𝑖 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑖 𝑛1 (1) 𝜎 𝜎 𝜎 𝑤𝑖𝑗 (1) 𝑛2 (1) 𝑛𝑗 (1) ℎ1 (1) ℎ2 (1) ℎ𝑗 (1) 𝑛1 (2) 𝜎 𝜎 𝜎 𝑛2 (2) 𝑛 𝑘 (2) ℎ1 (2) ℎ2 (2) ℎ 𝑘 (2) 第 １ 層 第 ２ 層 𝑤𝑗𝑘 (2) 𝑡1 𝑡2 𝑡 𝑘 教 師 入力層 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 ℎ = 𝜎 𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 入力層 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑛 𝜎 ℎ = 𝜎 𝑛 𝑛 = 𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 活性化関数と重みを分離して考える
- 24. 2層ネットワークの誤差逆伝搬法 23 ℎ 𝑘 (2) = 𝜎(𝑛 𝑘 2 ) 𝑛 𝑘 2 = 𝑗 𝑤𝑗𝑘 (2) ℎ𝑗 (1) ℎ𝑗 (1) = 𝜎(𝑛𝑗 1 ) 𝑛𝑗 1 = 𝑖 𝑤𝑖𝑗 (1) 𝑣𝑖 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑖 𝑛1 (1) 𝜎 𝜎 𝜎 𝑤𝑖𝑗 (1) 𝑛2 (1) 𝑛𝑗 (1) ℎ1 (1) ℎ2 (1) ℎ𝑗 (1) 𝑛1 (2) 𝜎 𝜎 𝜎 𝑛2 (2) 𝑛 𝑘 (2) ℎ1 (2) ℎ2 (2) ℎ 𝑘 (2) 第 １ 層 第 ２ 層 𝑤𝑗𝑘 (2) 𝑡1 𝑡2 𝑡 𝑘 教 師 𝐼 = 1 2 𝑘 ℎ 𝑘 (2) − 𝑡 𝑘 2 評価関数： 𝜕𝐼 𝜕𝑤𝑗𝑘 (2) = 𝜕𝐼 𝜕𝑛 𝑘 (2) 𝜕𝑛 𝑘 (2) 𝜕𝑤𝑗𝑘 (2) = 𝛿 𝑘 (2) ℎ𝑗 (1) 𝛿 𝑘 (2) = 𝜕𝐼 𝜕𝑛 𝑘 (2) = 𝜕𝐼 𝜕ℎ 𝑘 (2) 𝜕ℎ 𝑘 (2) 𝜕𝑛 𝑘 (2) = (ℎ 𝑘 (2) − 𝑡 𝑘) ℎ 𝑘 2 (1 − ℎ 𝑘 2 ) 𝜕𝐼 𝜕𝑤𝑖𝑗 (1) = 𝜕𝐼 𝜕𝑛𝑗 (1) 𝜕𝑛𝑗 (1) 𝜕𝑤𝑖𝑗 (1) = 𝛿𝑗 (1) 𝑣𝑖 𝛿𝑗 (1) = 𝜕𝐼 𝜕𝑛𝑗 (1) = 𝑘 𝜕𝐼 𝜕𝑛 𝑘 (2) 𝜕𝑛 𝑘 (2) 𝜕ℎ𝑗 (1) 𝜕ℎ𝑗 (1) 𝜕𝑛𝑗 (1) = 𝑘 𝛿 𝑘 (2) 𝑤𝑗𝑘 (2) ℎ𝑗 1 (1 − ℎ𝑗 1 ) ここが誤差逆伝搬
- 25. 誤差逆伝搬法 24 𝒉(ℓ−1) 𝑾(ℓ) 𝒏(ℓ) 𝒏(ℓ) = 𝑾 ℓ T 𝒉(ℓ−1) 𝒇(ℓ) 𝒉(ℓ) = 𝒇(ℓ) 𝒏(ℓ)𝒉(ℓ) 𝑾(ℓ+1) 𝜹(ℓ) = 𝑾(ℓ+1) 𝜹(ℓ+1) ⊗ 𝜕𝑓(ℓ) 𝜕𝒏(ℓ) 𝜕𝐼 𝜕𝑾(ℓ) = 𝜹(ℓ) 𝒉 ℓ−1 T ⊗:項別積 𝜹(ℓ+1) = 𝑾(ℓ+2) 𝜹(ℓ+2) ⊗ 𝜕𝑓(ℓ+1) 𝜕𝒏(ℓ+1) 𝜕𝐼 𝜕𝑾(ℓ+1) = 𝜹(ℓ+1) 𝒉 ℓ1 T 𝜹(ℓ−1) = 𝑾(ℓ) 𝜹(ℓ) ⊗ 𝜕𝑓(ℓ−1) 𝜕𝒏(ℓ−1) 𝜕𝐼 𝜕𝑾(ℓ−1) = 𝜹(ℓ−1) 𝒉 ℓ−2 T シグモイド関数と 誤差逆伝搬法は 直接関係はない
- 26. 勾配計算のデバッグTIP 25 𝐼(𝜽) = 1 2 𝑘 ℎ 𝑘 𝐿 (𝒗; 𝜽) − 𝑡 𝑘 2 𝜕𝐼 𝜕𝜃𝑖 評価関数 誤差逆伝搬法により 計算された勾配 𝜕𝐼 𝜕𝜃𝑖 = lim 𝜀→0 𝐼 𝜽 + 𝜀𝟏𝑖 − 𝐼 𝜽 𝜀 𝟏𝑖:i番目の要素が１，他は０ ∆𝑖 𝐼 = 𝐼 𝜽 + 𝜀𝟏𝑖 − 𝐼 𝜽 𝜀 計算効率高い 実装難しい 計算効率低い 実装容易 勾配の定義式 差分による近似勾配 十分𝜀が小さければ，∆𝑖 𝐼 ≑ 𝜕𝐼 𝜕𝜃𝑖
- 27. 確率的勾配降下法（ミニバッチ学習） 26 { 𝒗, 𝒕 1, 𝒗, 𝒕 2, ⋯ , 𝒗, 𝒕 𝑛 ⋯ , 𝒗, 𝒕 𝑁 } N個の学習データを用いて，ディープNNのパラメータ𝜽を学習する 𝒗, 𝒕 𝑛に対応する評価関数：𝐼 𝑛(𝜽) N個の学習データに対応する評価関数：𝐼 𝜽 = 𝑛 𝐼 𝑛(𝜽) 𝒗, 𝒕 7 𝒗, 𝒕 10 𝒗, 𝒕 1 𝒗, 𝒕 2 𝒗, 𝒕 3 𝒗, 𝒕 4 𝒗, 𝒕 11𝒗, 𝒕 5 𝒗, 𝒕 6 𝜽 ← 𝜽 − 𝜂 𝜕𝐼 𝜕𝜽𝒗, 𝒕 7 𝒗, 𝒕 9𝒗, 𝒕 2 𝒗, 𝒕 11 サンプリング 𝒗, 𝒕 6 𝒗, 𝒕 10𝒗, 𝒕 3 𝒗, 𝒕 12 𝒗, 𝒕 9 𝜽 ← 𝜽 − 𝜂 𝜕𝐼 𝜕𝜽 サンプリング𝒗, 𝒕 12 𝒗, 𝒕 8 過学習をさけるため， ミニバッチ毎にパラメータを更新 全学習データ
- 28. 実際のパラメータ更新則 27 G. Hinton, A Practical Guide to Training Restricted Boltzmann Machines 2010. ミニバッチのサイズ：10～100 学習率𝜂：経験的に決める 重み減衰係数𝜆：0.01 ～ 0.00001 モーメンタム係数𝜈：0.9 (最初0.5) 𝜃(𝑡+1) = 𝜃(𝑡) + ∆𝜃(𝑡) ∆𝜃(𝑡) = −𝜂 𝜕𝐼 𝜕𝜃 − 𝜆𝜃(𝑡) + 𝜈∆𝜃(𝑡−1) パラメータ更新則 勾配 重み減衰 モーメンタム 重み減衰： （特に活性化関数がシグモイドの場合，） 不必要に重み係数が発散することを防ぐ モーメンタム： 不必要な更新量の振動を防ぐ． 共役勾配と似たような効果が期待される．
- 29. 概要 1. ディープラーニング 2. RBMからディープニューラルネットワーク 3. ディープニューラルネットワーク – 誤差逆伝搬法（教師有学習） 4. RBM（ Restricted Boltzmann Machine ） – RBMの基礎，確率モデル，推論モデル – CD法による事前学習（教師無学習） 5. 分布を考慮したNN推論 28
- 30. Restricted Boltzmann Machines 29 ボルツマンマシン(Boltzmann Machines) 無向グラフ（ノードとエッジ）によって表現される状態の確率モデル． ここでは，ノードの状態として，{0,1}のバイナリ状態を考える． （制約無）ボルツマンマシンと制約付ボルツマンマシン(RBM) v:visible layer h:hidden layer v:visible layer h:hidden layer • (制約無)ボルツマンマシン • 制約付ボルツマンマシン（RBM） 全てのノードが接続 同一レイヤー内の接続無し これにより，解析が容易になる！
- 31. RBMの確率モデルとエネルギーモデル 30 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} RBMの確率モデル 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 = 1 𝑍 𝜽 exp −𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 RBMのパラメータθ 重みW バイアス b,c RBMのエネルギーモデル 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 = − 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 − 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 − 𝑖 𝑐𝑖 𝑣𝑖 = −𝒗 𝑇 𝑾𝒉 − 𝒃 𝑇 𝒉 − 𝒄 𝑇 𝒗 分配関数 （Partition function） 𝑍 𝜽 = 𝒗,𝒉∈{0,1} exp(−𝐸(𝒗, 𝒉; 𝜽))
- 32. = 𝑖 exp(𝑐𝑖 𝑣𝑖) 𝑗 exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) 𝑖 exp(𝑐𝑖 𝑣𝑖) 𝑗 ℎ 𝑗∈{0,1} exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) RBMの条件付確率モデル（推論モデル） 31 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} 𝑃 𝒉 𝒗; 𝜽 = 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 𝒉∈{0,1} 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 = exp( 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 + 𝑖 𝑐𝑖 𝑣𝑖) 𝒉∈{0,1} exp( 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 + 𝑖 𝑐𝑖 𝑣𝑖) 条件付確率はノード毎に独立である 𝑃 ℎ𝑗 𝒗; 𝜽 = exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) ℎ 𝑗∈{0,1} exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) = 𝑗 exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) ℎ 𝑗∈{0,1} exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) = 𝑗 𝑃(ℎ𝑗|𝒗; 𝜽) 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 = 1 𝑍 𝜽 exp −𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 = − 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 − 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 − 𝑖 𝑐𝑖 𝑣𝑖 = −𝒗 𝑇 𝑾𝒉 − 𝒃 𝑇 𝒉 − 𝒄 𝑇 𝒗
- 33. RBMの条件付確率モデル（推論モデル） 32 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} 𝑃 ℎ𝑗 𝒗; 𝜽 = exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) ℎ 𝑗∈{0,1} exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 + 𝑏𝑗ℎ𝑗) 𝑃 ℎ𝑗 = 1 𝒗; 𝜽 = exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗 × 1 + 𝑏𝑗 × 1) exp 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗 × 0 + 𝑏𝑗 × 0 + exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗 × 1 + 𝑏𝑗 × 1) 𝜎 𝑥 = 1 1 + 𝑒−𝑥 = exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗 + 𝑏𝑗) exp 0 + exp( 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗 + 𝑏𝑗) = 1 1 + exp(− 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗 + 𝑏𝑗) = 𝜎 𝑖 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗 + 𝑏𝑗 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗; 𝜽 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 𝑃 𝒗 = 𝟏 𝒉; 𝜽 = 𝜎 𝑾𝒉 + 𝒄 𝒉 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 単層NNのベクトル表現
- 34. ガウシアン分布のためのRBM 33 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} ベルヌーイ・ベルヌーイRBM ガウシアン・ベルヌーイRBM v:visible layer ガウス分布𝑁(𝑣; 𝜇, 𝑠2 ) h:hidden layer {0,1} 𝑃 𝒗, 𝒉 = 1 𝑍(𝜽) exp −𝐸 𝒗, 𝒉 ガウシアン・ベルヌーイRBM 𝐸 𝒗, 𝒉 = 1 2𝑠2 𝑖 𝑣𝑖 − 𝑐𝑖 2 − 1 𝑠 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑖 − 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 確率モデル： 推論モデル： （条件付確率） 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗 = 𝜎 1 𝑠 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 𝑃 𝒗 𝒉 = 𝑵 𝒗; 𝜎𝑾𝒉 + 𝒄, 𝑠2 𝑰
- 35. 概要 1. ディープラーニング 2. RBMからディープニューラルネットワーク 3. ディープニューラルネットワーク – 誤差逆伝搬法（教師有学習） 4. RBM（ Restricted Boltzmann Machine ） – RBMの基礎，確率モデル，推論モデル – CD法による事前学習（教師無学習） 5. 分布を考慮したNN推論 34
- 36. RBMのCD学習 35 𝒗(0) 𝒉(0) 𝒗(1) 𝒉(1) 𝒉(0) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟎) + 𝒃 𝒗(1) = 𝜎 𝑾𝒉(𝟎) + 𝒄 𝒉(1) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟏) + 𝒃 𝑾 ← 𝑾 − 𝜀 Δ𝑾 Δ𝑾 = 𝟏 𝑁 𝑛 𝒗 𝑛(0) 𝑇 𝒉 𝑛(0) − 𝒗 𝑛(1) 𝑇 𝒉 𝑛(1) 各ミニバッチに対して以下の計算を繰り返す 与えられたデータに対するRBMのパラメータを 最尤推定に基づく推定する モーメンタム 重み減衰 も利用する
- 37. RBMに基づく事前学習概要 36 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} RBMのパラメータθ：重みW，バイアス b,c 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 = 1 𝑍 𝜽 exp −𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 = − 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 − 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 − 𝑖 𝑐𝑖 𝑣𝑖 = −𝒗 𝑇 𝑾𝒉 − 𝒃 𝑇 𝒉 − 𝒄 𝑇 𝒗 • 学習データ{vn}に対する尤度最大化（最尤法）によりパラメータ推定 • Hidden dataが得られないので，（近似）EMアルゴリズムを活用 • 分配関数の評価にギブスサンプリングを活用 • 一回のサンプリングで近似 CD学習（Contrastive Divergence Learning）概要
- 38. 最尤法に基づくRBMの事前学習 37 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 = 1 𝑍 𝜽 exp −𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 = − 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 − 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 − 𝑖 𝑐𝑖 𝑣𝑖 = −𝒗 𝑇 𝑾𝒉 − 𝒃 𝑇 𝒉 − 𝒄 𝑇 𝒗 RBMは確率モデル 確率モデルのパラメータは データが与えられたときの 最尤法で求める． Visible dataは得られるが， Hidden dataは得られない． 得られないデータは積分． 学習データ{vn}に対する対数尤度 𝐿 𝜽 = 𝑛 𝐿 𝑛 𝜽 = 𝑛 log 𝑃 𝒗 𝑛; 𝜽 = 𝑛 log 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽) 𝑃(𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽) EMアルゴリズムを利用して，パラメータθを推定 𝐿 𝑛 𝜽 = log 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽) 𝑃(𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽)
- 39. EMアルゴリズム 38 参考文献：これなら分かる最適化数学，金谷健一 𝐿 𝑛 𝜽 = log 𝑃 𝒗 𝑛; 𝜽 = log 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽) 𝑃(𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽) 学習データvnに対する対数尤度 EMアルゴリズムにより対数尤度は単調に増大する EMアルゴリズム 1. パラメータ𝜽を初期化𝜽0 する．𝜏 = 0とする． 2. 次の関数を計算する（Eステップ） 3. 𝑄 𝜏 𝜽 を最大にする𝜽 𝜏とする（Mステップ） 4. 𝜏←𝜏 + 1としてステップ２に戻り、これを収束するまで反復する。 𝑄 𝜏 𝜽 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) log 𝑃(𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽) ※CD学習では、ステップ３の最大化は完全には行われない．
- 40. 評価関数とその微分 39 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 = 1 𝑍 𝜽 exp −𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 𝑍 𝜽 = 𝒗,𝒉∈{0,1} exp(−𝐸(𝒗, 𝒉; 𝜽)) 𝑄 𝜏 𝜽 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) log 𝑃(𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽) = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) log exp −𝐸 𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽 𝑍(𝜽) = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) −𝐸 𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽 − log 𝑍(𝜽) 𝑄 𝜏 𝜽 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) log 𝑃(𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽) 評価関数 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜕𝜽 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) − 𝜕 𝜕𝜽 𝐸 𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽 − 𝜕 𝜕𝜽 log 𝑍(𝜽) = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) − 𝜕 𝜕𝜽 𝐸 𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽) − 𝜕 𝜕𝜽 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 データ項 モデル項
- 41. 分配関数の微分（モデル項の導出） 40 𝜕 log 𝑍(𝜽) 𝜕𝜽 = 1 𝑍(𝜽) 𝜕𝑍 𝜕𝜽 (𝜽) = 1 𝑍(𝜽) 𝜕 𝜕𝜽 𝑓 𝒙; 𝜽 𝑑𝒙 = 1 𝑍(𝜽) 𝜕𝑓 𝒙; 𝜽 𝜕𝜽 𝑑𝒙 = 1 𝑍(𝜽) 𝑓 𝒙; 𝜽 𝜕 log 𝑓 𝒙; 𝜽 𝜕𝜽 𝑑𝒙 𝑃 𝒙; 𝜽 = 1 𝑍 𝜽 𝑓(𝒙; 𝜽) 𝑍 𝜽 = 𝑓 𝒙; 𝜽 𝑑𝒙 確率分布関数 分配関数 任意関数：𝑓(𝒙; 𝜽) = 𝑃 𝒙; 𝜽 𝜕 log 𝑓 𝒙; 𝜽 𝜕𝜽 𝑑𝒙 = 𝐸 𝒙∼𝑃 𝒙;𝜽 𝜕 log 𝑓 𝒙; 𝜽 𝜕𝜽 この方向で 確かめられる 対数関数の微分 微分は積分の中へ 期待値の定義
- 42. 評価関数とその微分 41 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜕𝜽 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) − 𝜕 𝜕𝜽 𝐸 𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽) − 𝜕 𝜕𝜽 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 𝑃 𝒗, 𝒉; 𝜽 = 1 𝑍 𝜽 exp −𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 𝑄 𝜏 𝜽 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) log 𝑃(𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽) 評価関数 v:visible layer {0,1} h:hidden layer {0,1} 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 = − 𝑖,𝑗 𝑣𝑖 𝑤𝑖𝑗ℎ𝑗 − 𝑗 𝑏𝑗ℎ𝑗 − 𝑖 𝑐𝑖 𝑣𝑖 = −𝒗 𝑇 𝑾𝒉 − 𝒃 𝑇 𝒉 − 𝒄 𝑇 𝒗 𝜕 𝜕𝑾 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 = −𝒗 𝑻 𝒉 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜏 𝜕𝑾 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑛 𝑇 𝒉 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜏 𝜕𝜽 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) − 𝜕 𝜕𝜽 𝐸 𝒗 𝑛, 𝒉; 𝜽 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) − 𝜕 𝜕𝜽 𝐸 𝒗, 𝒉; 𝜽 データ項（計算容易） モデル項（計算困難） ギブスサンプリングで近似
- 43. 評価関数の微分の計算（データ項） 42 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜏 𝜕𝑾 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑛 𝑇 𝒉 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 データ項（計算容易） モデル項（計算困難） ギブスサンプリングで近似 𝒗(0) 𝒉(0) 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗; 𝜽 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 RBMにおける推論 データ項 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑛 𝑇 𝒉 = 𝒗 𝑛 𝑇 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒉 = 𝒗 𝑛 𝑇 𝟎 ∙ 𝑃 𝒉 = 𝟎 𝒗; 𝜽 + 𝟏 ∙ 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗; 𝜽 = 𝒗 𝑛 𝑇 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 𝑛 + 𝒃
- 44. モンテカルロ法による近似期待値計算（モデル項） 43 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜏 𝜕𝑾 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑛 𝑇 𝒉 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 データ項（計算容易） モデル項（計算困難） ギブスサンプリングで近似 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 ≑ 1 𝑁 𝑖 𝒗(𝑖) 𝑇 𝒉(𝑖) 𝒗(𝑖) 𝑇 , 𝒉(𝑖) ∼ 𝑃(𝒗, 𝒉; 𝜽 𝜏) 確率分布からの独立なサンプリング モンテカルロ法による近似期待値計算 どうやって，サンプリング？ ギブスサンプリング
- 45. ギブスサンプリング 44 𝒗(0) 𝒉(0) 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗; 𝜽 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 RBMにおける推論 𝑃 𝒗 = 𝟏 𝒉; 𝜽 = 𝜎 𝑾𝒉 + 𝒄 𝒗(1) 𝒉(1) 𝒗(∞) 𝒉(∞) ギブスサンプリング 1. 𝒗に初期値を設定 2. 𝑃(𝒉|𝒗)で𝒉をサンプリング 3. 𝑃(𝒗|𝒉)で𝒗 をサンプリング 4. 2と３を繰り返す 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 ≑ 1 𝑁 𝑖 𝒗(𝑖) 𝑇 𝒉(𝑖) 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜏 𝜕𝑾 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑛 𝑇 𝒉 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 データ項（計算容易） モデル項（計算困難） ギブスサンプリングで近似
- 46. RBMのCD学習における微分計算（モデル項） 45 𝒗(0) 𝒉(0) 𝒗(1) 𝒉(1) なんと，一回でやめちゃう！ 𝒉(0) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟎) + 𝒃 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗; 𝜽 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 RBMにおける推論 𝑃 𝒗 = 𝟏 𝒉; 𝜽 = 𝜎 𝑾𝒉 + 𝒄 𝒗(1) = 𝜎 𝑾𝒉(𝟎) + 𝒄 𝒉(1) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟏) + 𝒃 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑛 𝑇 𝒉 =𝒗(0) 𝑇 𝒉(0) 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 =𝒗(1) 𝑇 𝒉(1) 𝜕𝑄 𝜏 𝜽 𝜏 𝜕𝑾 = 𝐸 𝒉∼𝑃(𝒉|𝒗 𝑛;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑛 𝑇 𝒉 − 𝐸 𝒗,𝒉∼𝑃(𝒗,𝒉;𝜽 𝜏) 𝒗 𝑻 𝒉 データ項（計算容易） モデル項（計算困難） ギブスサンプリングで近似
- 47. 確率？それとも状態？ 46 𝒗(0) 𝒉(0) 𝒗(1) 𝒉(1) 𝒉(0) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟎) + 𝒃 𝒗(1) = 𝜎 𝑾𝒉(𝟎) + 𝒄 𝒉(1) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟏) + 𝒃 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗; 𝜽 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 RBMにおける推論 𝑃 𝒗 = 𝟏 𝒉; 𝜽 = 𝜎 𝑾𝒉 + 𝒄 G. Hinton, A Practical Guide to Training Restricted Boltzmann Machines 2010. RBMにおける推論はあくまで，確率である． ギブスサンプリングでは，確率に基づき，状態をサンプリングすることになっている． では，CD学習では，バイナリ状態で計算すべきか？ Hintonいわく： 確率として，計算せよ！
- 48. RBMのCD学習 47 𝒗(0) 𝒉(0) 𝒗(1) 𝒉(1) 𝒉(0) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟎) + 𝒃 𝒗(1) = 𝜎 𝑾𝒉(𝟎) + 𝒄 𝒉(1) = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗(𝟏) + 𝒃 𝑾 ← 𝑾 − 𝜀 Δ𝑾 Δ𝑾 = 𝟏 𝑁 𝑛 𝒗 𝑛(0) 𝑇 𝒉 𝑛(0) − 𝒗 𝑛(1) 𝑇 𝒉 𝑛(1) 各ミニバッチに対して以下の計算を繰り返す 与えられたデータに対するRBMのパラメータを 最尤推定に基づく推定する モーメンタム 重み減衰 も利用する
- 50. 概要 1. ディープラーニング 2. RBMからディープニューラルネットワーク 3. ディープニューラルネットワーク – 誤差逆伝搬法（教師有学習） 4. RBM（ Restricted Boltzmann Machine ） – RBMの基礎，確率モデル，推論モデル – CD法による事前学習（教師無学習） 5. 分布を考慮したNN推論 49
- 51. Drop-out 50 擬似的なアンサンブル学習であり， 過学習を抑制する手法である． 効果的であることが知られている． Drop-out ミニバッチ毎に，ノードをランダムに欠落させる． （ノード出力をゼロにする）． 50%程度の欠落率が良いとされている． G. Hinton, N.Srivastava, A.Krizhevsky, I.Sutskever, and R.Salakhutdinov, “Improving neural networks by preventing co-adaptation of feature detectors.”, arXiv preprint arXiv:1207.0580, 2012. 入力層 出力層
- 52. アンサンブル学習とDrop-out 51 入力層 出力層 アンサンブル学習 Drop-out 複数の弱識別器の統合＞識別器 𝒉 𝒗 = 1 𝐾 𝒉1 𝒗 + 𝒉2 𝒗 + 𝒉3 𝒗 + ⋯ + 𝒉 𝐾 𝒗 アンサンブル学習と 似たような効果が 期待される
- 53. 分布を考慮したFast drop-out 52 S.I. Wang and C.D. Manning, Fast dropout training, ICML 2013. 入力層 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑛 𝜎 ℎ = 𝜎 𝑛 𝑛 = 𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 + 𝑏 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑛 𝜎 𝜉1 𝜉2 𝜉3 入力層 出力層 ℎ = 𝐸 𝜎 𝜒 𝜒 = 𝑖 𝜉𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 + 𝑏 𝜉𝑖 ∈ 0,1 , 𝑃 𝜉𝑖 = 0 = 0.5 𝑃 𝜉𝑖 = 1 = 0.5 𝜒, 𝜉𝑖:確率変数 通常のNN推論 Drop-outのNN推論 𝜒 𝑃(𝜒)
- 54. 分布を考慮したFast drop-out 53 S.I. Wang and C.D. Manning, Fast dropout training, ICML 2013. 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑛 𝜎 𝜉1 𝜉2 𝜉3 入力層 出力層 ℎ = 𝐸 𝜎 𝜒 𝜒 = 𝑖 𝜉𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 + 𝑏 𝜉𝑖 ∈ 0,1 , 𝑃 𝜉𝑖 = 0 = 0.5 𝑃 𝜉𝑖 = 1 = 0.5 𝜒, 𝜉𝑖:確率変数 Drop-outのNN推論 𝜒 𝑃(𝜒) 𝜒 𝑃(𝜒) 正規分布で近似 𝑁(𝜒; 𝜇, 𝑠2 ) 平均𝜇,分散𝑠2 計算 ℎ = 𝐸 𝜎 𝜒 ≑ −∞ ∞ 𝑁(𝜒; 𝜇, 𝑠2 ) 𝜎 𝜒 𝑑𝜒 ≑ 𝜎 𝜇 1 + 𝜋𝑠2/8 高速な近似計算 サンプリングが必要なく， 高速計算が可能 誤差逆伝搬法 CD学習 にも対応
- 55. RBMモデルを考慮したNN推論 54 M. Tanaka and M. Okutomi, A Novel Inference of a Restricted Boltzmann Machine, ICPR2014. 入力層 𝑣1 𝑣2 𝑣3 ℎ 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑛 𝜎 ℎ = 𝜎 𝑛 𝑛 = 𝑖 𝑤𝑖 𝑣𝑖 + 𝑏 通常のNN推論 ℎ1 ℎ2 ℎ3 𝐻 出力層 𝑤1 𝑤2 𝑤3 𝑛 𝜎 𝐻 = 𝐸 𝜎 𝜒 𝜒 = 𝑖 𝑤𝑖ℎ𝑖 + 𝑏 RBMモデルを考慮したNN推論 𝑃 𝒉 = 𝟏 𝒗; 𝜽 = 𝜎 𝑾 𝑇 𝒗 + 𝒃 𝜒, ℎ𝑖:確率変数 𝜒 𝑃(𝜒) 𝜒 𝑃(𝜒) 正規分布で近似 𝑁(𝜒; 𝜇, 𝑠2) 平均𝜇,分散𝑠2 計算 ℎ = 𝐸 𝜎 𝜒 ≑ −∞ ∞ 𝑁(𝜒; 𝜇, 𝑠2 )𝜎 𝜒 𝑑𝜒 ≑ 𝜎 𝜇 1 + 𝜋𝑠2/8
- 56. RBMモデルを考慮したNN推論 55 M. Tanaka and M. Okutomi, A Novel Inference of a Restricted Boltzmann Machine, ICPR2014. ディープニューラルネットワークの性能改善！
- 58. 概要 1. ディープラーニング 2. RBMからディープニューラルネットワーク 3. ディープニューラルネットワーク – 誤差逆伝搬法（教師有学習） 4. RBM（ Restricted Boltzmann Machine ） – RBMの基礎，確率モデル，推論モデル – CD法による事前学習（教師無学習） 5. 分布を考慮したNN推論 57 実行はできるけど中身はわからない． 理論的バックグランドがわかった！ http://bit.ly/dnnicpr2014