1. 1/30/20151
10. klass
TÄISARVUDE HULK

2. 1/30/20152
Naturaalarvu n vastandarvu
 – n defineeritakse selliselt, et
 n + (−n) = 0 .

3. Täisarvud
 Naturaalarvude hulga N täiendamisel
arvuga 0 ja arvude 1; 2; 3;…; n; n + 1; …
vastandarvudega saame täisarvude
hulga
 Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z

4. Täisarvud
 Positiivsete täisarvude hulka
tähistatakse Z+
 Z+ ={1; 2; 3; ...}
 Negatiivsete täisarvude hulka
tähistatakse Zˉ
 Z− ={... − 3; − 2; −1}.

5. Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...}
0 1 2 . . .3-1-2-3. . .
Z = Z+
 Z
 {0}
Täisarvude hulk

6. 1/30/20156
Kasarvon positiivnevõi mittenegatiivne?
 Positiivsed täisarvud: Z+ = {1, 2, 3 ...}
 Negatiivsed täisarvud: Z- = {..., -2, -1}
 Mittenegatiivsed täisarvud {0, 1, 2, 3 ...}
 Mittepositiivsed täisarvud: {..., -2, -1, 0}

7. Täisarvude hulk, selleomadused
 Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk
 Iga naturaalarv on ühtlasi täisarv
 Mõned täisarvud ei ole naturaalarvud
Naturaalarvude hulga laiendamisel täisarvude hulgani
säilisid tehetega seotud reeglid kommutatiivsus,
assotsiatiivsus ja distributiivsus
N Z

8. Täisarvude hulgaomadused
 Täisarvude hulk on järjestatud
 Täisarvude hulgas ei ole suurimat ja
vähimat arvu
 Täisarvude hulk on kinnine liitmise,
lahutamise ja korrutamise suhtes

9. 1/30/20159
Ül. 77
 Et märkida võlga
 Külmakraade
 Liikumist ettanatud suunale
vastupidises suunas
 ...
 Võrrandi negatiivsed lahendid

10. 1/30/201510
Ül. 78
 a) tõene, sest kõik naturaalarvud on parajasti ka
täisasvud;
 b) tõene, sest leppisime kokku, et null ei kuulu
naturaalarvude hulka;
 c) vale;
 d) nullil vastandarvu ei ole;
 e) ei, kui a on ise negatiivne arv, siis –a tähistab
selle vastandarvu ehk positiivse arvu

11. 1/30/201511
Ül. 79
 a · b = 0, kui a = 0 või b = 0;
 a · b > 0, kui a > 0 ja b > 0 või kui a < 0 ja b < 0;
 a · b < 0, kui a > 0 ja b < 0 või kui a < 0 ja b > 0;
 a2 · b < 0, kui b < 0;
 a · b ≤ 0, kui a ≥ 0 ja b < 0 või kui a < 0 ja b ≥ 0;
 a · b ≥ 0, kui a ≥ 0 ja b > 0 või kui a ≤ 0 ja b < 0;

12. 1/30/201512
Ül. 80
 Kahekohaline arv on 10a + b
 Kolmekohaline arv on 100a + 10 b + c

13. 1/30/201513
Ül. 81
 Kui m > 0 ja n < 0, siis
a) m2n < 0;
b) n3n5 = n8 > 0;
c) -m2n4 > 0;
d) (-m2n4)3 < 0;
e) -m0n0 < 0;
f) -(m2n3)4 < 0;
g) (-m2n3)4 > 0;
h) (m2n3) (-nm3)3 =
= -m11n6 < 0;

14. 1/30/201514
Ül. 84
 10 kg praetud kohvi on 100% - 12,5% = 87,5%
 Toorkohvi kulub 10 : 0,875 ≈ 11,4 kg

15. 1/30/201515
Ül. 85
 Lisame x g puhast hõbedat, siis
x + 0.835 * 400 = 0,875(x + 400)
 x + 334 = 0,875x + 350
 0,125x = 16
 x = 128 g

16. 1/30/201516
Ül. 87
 Antud arv 100a + 10b + c
 Uus arv 100c + 10b + a
 Arvude vahe (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) =
 = 99a – 99c = 99 (a – c),
 Mis kindlasti jagub 9-ga, kuna üks teguritest 99
jagub ise 9-ga

17. 1/30/201517
Ül. 88
 Paaritu arv 2n + 1
 Selle ruut (2n + 1)2 = 4n2 + 4n +1
 Vähendame 1 võrra: 4n2 + 4n = 4n(n +1)
 Antud korrutis kindlasti jagub 4-ga, kuna üks
teguritest on 4, samas üks arvudest n või n + 1
kindlasti on paarisarv, kuna need on järjestikused
arvud.
 Seega saadud arv jagub 4 ja 2 korrutisega ehk 8-ga.

18. 1/30/201518
Kodus