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TALLER DE FACTORIZACIÓN
           (MATEMÁTICAS BÁSICA)




         MIGUEL ANGEL RUIZ BARRERA




           UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO
 FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES
CIENCIA DE LA INFORMACION Y LA DOCUMENTACION
       BIBLIOTECOLOGÍA Y ARCHIVÍSTICA
                   BOGOTÁ
                     2012
TALLER DE FACTORIZACIÓN
           (MATEMÁTICAS BÁSICA)




         MIGUEL ANGEL RUIZ BARRERA



                  TUTOR:
          GIOVANNI SALAZAR OVALLE




           UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO
 FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES
CIENCIA DE LA INFORMACION Y LA DOCUMENTACION
       BIBLIOTECOLOGÍA Y ARCHIVÍSTICA
                   BOGOTÁ
                     2012
INTRODUCCIÓN
En matemáticas, la factorización es la descomposición de un
objeto (por ejemplo un número, una matriz o una expresión)
en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que
al multiplicarlos todos resulta el objeto original, se utiliza
normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes.
Factorizar enteros en números primos se describe en el
teorema fundamental de la aritmética; factorizar polinomios en
el teorema fundamental del álgebra.[1]

En este sentido, a continuación se describen cinco casos
fundamentales de factorización, en los cuales, además de la
aplicación de los conceptos vistos, se propones ejemplos
prácticos que permitan su correcta aplicación y desarrollo.



_______________________
Fuente:
[1] http://enciclopedia_universal.esacademic.com/10741/Factorizaci%C3%B3n
OBJETIVOS

La elaboración de este trabajo busca
introducirnos activamente en el tema de
factorización del área de las matemáticas,
logrando con esto diferenciar los casos que
existen para el desarrollo (factorización) de
las diferentes expresiones matemáticas,
como también aplicar acertadamente los
conceptos vistos durante la unidad y
representarlos en ejemplos precisos para
cada uno de estos casos.
CASO 1:
        FACTOR COMÚN

En este caso se descompone o factoriza
una ecuación, haciendo referencia a un
numero o letra que se repite en la misma.

Este factor común, se describe al inicio de
la ecuación, seguido de los cocientes de la
división, los cuales se reflejan dentro del
paréntesis.
Ejemplos:
5xy² - 15xy
   (Factor Común 5xy, dividido entre 5xy²= y, entre15xy=3)
   5xy( y - 3 )

24a³b² - 12a³b³
 (Factor Común 12a³b², dividido entre 24a³b² = 2, entre 12a³b³= b)
   12a³b² ( 2 - b )

4xy - 8xy² - 12xy³
(Factor Común 4xy, dividido entre 4xy = 1, entre 8xy² = 2y, entre 12xy³ = 3y²)


   4xy( 1 + 2y - 3y²)
CASO 2:
FACTOR COMUN POR AGRUPACION
        DE TERMINOS
 Se llama factor común por agrupación de
 términos, si los términos de un polinomio
 pueden reunirse en grupos de términos con un
 factor común diferente en cada grupo.
 Cuando pueden reunirse en grupos de igual
 número de términos se le saca en cada uno de
 ellos el factor común. Si queda la misma
 expresión en cada uno de los grupos entre
 paréntesis, se la saca este grupo como factor
 común, quedando así una multiplicación de
 polinomios.
Ejemplos:

 a²+ab+ax+bx
  a (a+b)+x(a+b) = (a+b) (a+x)
  a²+ab+ax+bx = (a+b) (a+x)

 3m – 2n – 2nx²+ 3mx²
  3m + 3mx² – 2n – 2nx²
  3m ( 1 + x²) – 2n (1 + x²)
  3m – 2n – 2nx² + 3nx² = ( 1 + x²) (3m – 2n)

 4a³ – 1 – a² + 4a
  4a + 4a³ – 1 – a²
  4a( 1+ a²) – 1(1+ a²)
  4a³ – 1 – a² + 4a = (1+ a²) (4a –1)
CASO 3:
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

 Un Trinomio Cuadrado perfecto, es un
 polinomio de tres términos, que tienen la
 particularidad de: el primer termino
 elevado al cuadrado, el segundo es el
 doble producto del primero por el segundo
 termino y el tercero es el cuadrado del
 segundo termino.
 Podemos decir que es el resultado que se
 obtiene de elevar un binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
1 + 49a² - 14a = 1 – 14a + 49a²
La raíz cuadrada de 1 es 1
La raíz cuadrada de 49a² es 7a
El segundo termino es: 2(1) (7a) = 14a
1 – 14a + 49a²= (1 – 7a)²
                                                    Ejemplo 2:
                                                     9 – 6x + x²
                                    La raíz cuadrada de 9 es 3
                                   La raíz cuadrada de x² es x
                           El segundo termino es: 2(3) (x)= 6x
                                           9 – 6x + x² = (3 – x)²
Ejemplo 3:
a² +2ab + b²
La raíz cuadrada de a² es a
La raíz cuadrada de b² es b
El segundo termino es: 2(a) (b) = 2ab
a² +2ab + b² = (a + b)²
CASO 4:
DIFERENCIA DE CUADRADOS
       PERFECTOS

La diferencia de cuadrados perfectos
se factoriza como el producto de dos
binomios, uno como suma y otro como
resta.
Los términos de estos binomios son
las raíces cuadradas de cada uno de
los términos de la diferencia planteada
al principio.
Ejemplos:

 16x² - 25y4
  Minuendo 16x², raíz cuadrada es 4x
  Sustraendo 25y4 , raíz cuadrada es 5y²
  16x² - 25y4 = (4x + 5y²) * (4x - 5y²)

 1 - a²
  Minuendo 1, raíz cuadrada es 1
  Sustraendo a², raíz cuadrada es a
  1 - a² = (1 + a) * (1 - a)

 25m4 – 16n²
  Minuendo 25m4, raíz cuadrada es 5m²
  Sustraendo 16n², raíz cuadrada es 4n
  25m4 – 16n² = (5m² + 4n) * (5m² – 4n)
CASO 5:
  TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c
Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al
cuadrado (x²) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe
ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos
a continuación:
Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a” por cada termino del trinomio,
dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en
el termino “a” de la manera .
Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la
raíz cuadrada del termino la que seria “ax”.
al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el
valor del polinomio.
El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el
signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de
“c”.
Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro
del caso del trinomio anterior.
Explicación:

 X² - 5x + 6
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es
la raíz cuadrada de X² o sea x

X² - 5x + 6 = (x )*(x )
En el primer binomio después de x se pone signo (-) porque el
segundo termino del trinomio -5x.
En el segundo binomio, después de x se escribe el signo que
resulta de multiplicar el signo de -5x por el signo de +6, entonces
(-) * (+)= (-)

X² - 5x + 6 = (x - )*(x - )
Ahora, como tenemos en nuestros binomios signos iguales
buscamos dos números que cuya suma de 5 y su producto 6.
Estos números son 3 y 2

X² - 5x + 6 = (x – 3)* (x – 2)
Ejemplos:

 X² + 3x – 10
  X² + 3x – 10 = (x   )*(x )
  X² + 3x – 10 = (x + )*(x - )
(signos diferentes, buscamos dos números cuya diferencia sea 3 y producto 10,
Estos son 5 y 2)
  X² + 3x – 10 = (x + 5)*(x - 2)

a² + 4a + 3
 a² + 4a + 3 = (a    )*(a    )
 a² + 4a + 3 = (a + )*(a + )
 a² + 4a + 3 = (a + 3)*(a + 1)

 X² - 9x + 8
  X² - 9x + 8 = (x )*(x )
  X² - 9x + 8 = (x - )*(x - )
  X² - 9x + 8 = (x - 8)*(x - 1)
CONCLUSIONES
La elaboración de este trabajo me ayudo a
recordar los casos de factorización, los
diferentes    tipos   y    procedimientos    que
existen, los cuales tenia un poco olvidados pero
que con ayuda del Álgebra de Baldor puede
retomar y desarrollar activamente.

Me      pareció   una       experiencia   muy
enriquecedora, ya que me confirma lo útil y
agradables que son las matemáticas en mi
vida, además porque con estos ejercicios pude
trabajar mi mente, lógica y recordar todas
enseñanzas que recibí en el colegio.
BIBLIOGRAFIA

ACADEMIC – Factorización
http://enciclopedia_universal.esacademic.com/10741/Factorizaci%C3%B3n


MONOGRAFIAS – Algebra
http://www.monografias.com/trabajos93/algebra-matematicas/algebra-matematicas.shtml



BALDOR, Aurelio. Álgebra Baldor.                                         México:
Publicaciones Cultural, 1995. 574 p.

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  • 1. TALLER DE FACTORIZACIÓN (MATEMÁTICAS BÁSICA) MIGUEL ANGEL RUIZ BARRERA UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES CIENCIA DE LA INFORMACION Y LA DOCUMENTACION BIBLIOTECOLOGÍA Y ARCHIVÍSTICA BOGOTÁ 2012
  • 2. TALLER DE FACTORIZACIÓN (MATEMÁTICAS BÁSICA) MIGUEL ANGEL RUIZ BARRERA TUTOR: GIOVANNI SALAZAR OVALLE UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS Y BELLAS ARTES CIENCIA DE LA INFORMACION Y LA DOCUMENTACION BIBLIOTECOLOGÍA Y ARCHIVÍSTICA BOGOTÁ 2012
  • 3. INTRODUCCIÓN En matemáticas, la factorización es la descomposición de un objeto (por ejemplo un número, una matriz o una expresión) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), que al multiplicarlos todos resulta el objeto original, se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética; factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.[1] En este sentido, a continuación se describen cinco casos fundamentales de factorización, en los cuales, además de la aplicación de los conceptos vistos, se propones ejemplos prácticos que permitan su correcta aplicación y desarrollo. _______________________ Fuente: [1] http://enciclopedia_universal.esacademic.com/10741/Factorizaci%C3%B3n
  • 4. OBJETIVOS La elaboración de este trabajo busca introducirnos activamente en el tema de factorización del área de las matemáticas, logrando con esto diferenciar los casos que existen para el desarrollo (factorización) de las diferentes expresiones matemáticas, como también aplicar acertadamente los conceptos vistos durante la unidad y representarlos en ejemplos precisos para cada uno de estos casos.
  • 5. CASO 1: FACTOR COMÚN En este caso se descompone o factoriza una ecuación, haciendo referencia a un numero o letra que se repite en la misma. Este factor común, se describe al inicio de la ecuación, seguido de los cocientes de la división, los cuales se reflejan dentro del paréntesis.
  • 6. Ejemplos: 5xy² - 15xy (Factor Común 5xy, dividido entre 5xy²= y, entre15xy=3) 5xy( y - 3 ) 24a³b² - 12a³b³ (Factor Común 12a³b², dividido entre 24a³b² = 2, entre 12a³b³= b) 12a³b² ( 2 - b ) 4xy - 8xy² - 12xy³ (Factor Común 4xy, dividido entre 4xy = 1, entre 8xy² = 2y, entre 12xy³ = 3y²) 4xy( 1 + 2y - 3y²)
  • 7. CASO 2: FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.
  • 8. Ejemplos:  a²+ab+ax+bx a (a+b)+x(a+b) = (a+b) (a+x) a²+ab+ax+bx = (a+b) (a+x)  3m – 2n – 2nx²+ 3mx² 3m + 3mx² – 2n – 2nx² 3m ( 1 + x²) – 2n (1 + x²) 3m – 2n – 2nx² + 3nx² = ( 1 + x²) (3m – 2n)  4a³ – 1 – a² + 4a 4a + 4a³ – 1 – a² 4a( 1+ a²) – 1(1+ a²) 4a³ – 1 – a² + 4a = (1+ a²) (4a –1)
  • 9. CASO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un Trinomio Cuadrado perfecto, es un polinomio de tres términos, que tienen la particularidad de: el primer termino elevado al cuadrado, el segundo es el doble producto del primero por el segundo termino y el tercero es el cuadrado del segundo termino. Podemos decir que es el resultado que se obtiene de elevar un binomio al cuadrado.
  • 10. Ejemplo 1: 1 + 49a² - 14a = 1 – 14a + 49a² La raíz cuadrada de 1 es 1 La raíz cuadrada de 49a² es 7a El segundo termino es: 2(1) (7a) = 14a 1 – 14a + 49a²= (1 – 7a)² Ejemplo 2: 9 – 6x + x² La raíz cuadrada de 9 es 3 La raíz cuadrada de x² es x El segundo termino es: 2(3) (x)= 6x 9 – 6x + x² = (3 – x)² Ejemplo 3: a² +2ab + b² La raíz cuadrada de a² es a La raíz cuadrada de b² es b El segundo termino es: 2(a) (b) = 2ab a² +2ab + b² = (a + b)²
  • 11. CASO 4: DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios, uno como suma y otro como resta. Los términos de estos binomios son las raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada al principio.
  • 12. Ejemplos:  16x² - 25y4 Minuendo 16x², raíz cuadrada es 4x Sustraendo 25y4 , raíz cuadrada es 5y² 16x² - 25y4 = (4x + 5y²) * (4x - 5y²)  1 - a² Minuendo 1, raíz cuadrada es 1 Sustraendo a², raíz cuadrada es a 1 - a² = (1 + a) * (1 - a)  25m4 – 16n² Minuendo 25m4, raíz cuadrada es 5m² Sustraendo 16n², raíz cuadrada es 4n 25m4 – 16n² = (5m² + 4n) * (5m² – 4n)
  • 13. CASO 5: TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado (x²) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a continuación: Multiplicamos el coeficiente “a” de el factor “a” por cada termino del trinomio, dejando esta multiplicación indicada en el termino “bx” de la manera “b(ax)”, y en el termino “a” de la manera . Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino la que seria “ax”. al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no variar el valor del polinomio. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y cuatro del caso del trinomio anterior.
  • 14. Explicación:  X² - 5x + 6 El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer termino es la raíz cuadrada de X² o sea x X² - 5x + 6 = (x )*(x ) En el primer binomio después de x se pone signo (-) porque el segundo termino del trinomio -5x. En el segundo binomio, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo de -5x por el signo de +6, entonces (-) * (+)= (-) X² - 5x + 6 = (x - )*(x - ) Ahora, como tenemos en nuestros binomios signos iguales buscamos dos números que cuya suma de 5 y su producto 6. Estos números son 3 y 2 X² - 5x + 6 = (x – 3)* (x – 2)
  • 15. Ejemplos:  X² + 3x – 10 X² + 3x – 10 = (x )*(x ) X² + 3x – 10 = (x + )*(x - ) (signos diferentes, buscamos dos números cuya diferencia sea 3 y producto 10, Estos son 5 y 2) X² + 3x – 10 = (x + 5)*(x - 2) a² + 4a + 3 a² + 4a + 3 = (a )*(a ) a² + 4a + 3 = (a + )*(a + ) a² + 4a + 3 = (a + 3)*(a + 1)  X² - 9x + 8 X² - 9x + 8 = (x )*(x ) X² - 9x + 8 = (x - )*(x - ) X² - 9x + 8 = (x - 8)*(x - 1)
  • 16. CONCLUSIONES La elaboración de este trabajo me ayudo a recordar los casos de factorización, los diferentes tipos y procedimientos que existen, los cuales tenia un poco olvidados pero que con ayuda del Álgebra de Baldor puede retomar y desarrollar activamente. Me pareció una experiencia muy enriquecedora, ya que me confirma lo útil y agradables que son las matemáticas en mi vida, además porque con estos ejercicios pude trabajar mi mente, lógica y recordar todas enseñanzas que recibí en el colegio.
  • 17. BIBLIOGRAFIA ACADEMIC – Factorización http://enciclopedia_universal.esacademic.com/10741/Factorizaci%C3%B3n MONOGRAFIAS – Algebra http://www.monografias.com/trabajos93/algebra-matematicas/algebra-matematicas.shtml BALDOR, Aurelio. Álgebra Baldor. México: Publicaciones Cultural, 1995. 574 p.