Este documento introduce el concepto de sumas de Riemann y la integral definida. Explica cómo las sumas de Riemann pueden usarse para aproximar el área bajo una curva, y cómo la integral definida proporciona el área exacta. También presenta varios teoremas importantes sobre la integrabilidad de funciones y propiedades de las integrales definidas, como la linealidad y el teorema fundamental del cálculo. Finalmente, proporciona ejercicios para calcular sumas de Riemann, áreas de regiones planas delimitadas por cur

3. SUMAS DE RIEMANN

4. ESTIMACIÓN DE SUMAS FINITAS. LAS SUMAS DE
RIEMANN.
Sumas de Riemann =
Considere una función f definida en un intervalo cerrado [a, b]. Puede
haber valores tanto positivos como negativos en el intervalo; incluso, no
necesita ser continua. Su gráfica podría parecerse a la de la figura 1.

5. SUMA DE RIEMANN
Le llamamos una suma de
Riemann para f
correspondiente a la partición
P. Su interpretación
geométrica se muestra en la
figura 3.
A la suma

6. INTEGRAL DEFINIDA

7. DEFINICIÓN: INTEGRAL DEFINIDA
• Sea f una función que está definida en el intervalo cerrado [a,b]. Si
existe, decimos que f es integrable en [a,b]. Además, denominada integral
definida(o integral de Riemann) de f de a hacia b, entonces está dada por:

8. TEOREMA A: TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
• Si f es acotada en [a,b] y si f es continua, excepto en un
número finito de puntos, entonces f es integrable en
[a,b]. En particular, si f es continua en todo el intervalo
intervalo [a,b], es integrable en [a,b].

9. TEOREMA B: PROPIEDAD ADITIVA PARA INTERVALOS.
• Si f es integrable en un intervalo que contenga a los
puntos a, b y c, entonces
no importa el orden de a, b y c.

10. TEOREMA C: PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
Si f es integrable en [a,b] y m ≤ f(x) ≤ M para toda x
en [a,b], entonces

11. TEOREMA D: LINEALIDAD DE LA INTEGRAL DEFINIDA
• Suponga que f y g son integrables en [a,b] y que k es una
constante. Entonces kf y f+g son integrables y:

12. TEOREMA E: SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO
• Sea f continua (y de aquí integrable) en [a,b], y sea F
cualquier antiderivada de f en [a,b]. Entonces

13. ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA

14. UNA REGIÓN POR ARRIBA DEL EJE X
• Supóngase que y=f(x) determina una curva en el plano xy y supóngase
que f es continua y no negativa en el intervalo a ≤ x ≤b (como en la
figura). Considérese la región R acotada por las gráficas de y=f(x),x=a,
x=b y y=0. Nos referiremos a R como la región bajo y=f(x) entre x=a y
x=b. Su área A(R) está dada por

15. UNA REGIÓN DEBAJO DEL EJE X
• El área es un número no negativo. Si la gráfica de y =f(x)
está por debajo del eje x, entonces 𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 𝒅𝒙 es un
número negativo y, por lo tanto, no puede ser un área. Sin
embargo, sólo es el negativo del área de la región acotada
por y=f(x), x=a, x=b y y=0.

16. UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS
• Considere las curvas y=f(x) y y=g(x) con g(x) ≤ f(x) en a ≤ x ≤ b. Ellas
determinan la región que se muestra en la figura . Utilizamos el
método rebane, aproxime, integre para encontrar su área. Asegúrese
de notar que f(x) -g(x) da la altura correcta para la tira delgada, aun
cuando la gráfica de g está por debajo del eje x. En este caso, g(x) es
negativa; de modo que restar g(x) es lo mismo que sumar un número
positivo.

17. EJERCICIOS A RESOLVER(1)
Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura

18. EJERCICIOS A RESOLVER(2)
Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan

19. EJERCICIOS A RESOLVER (3)
Calcule la suma de Riemann que se sugiere en la siguiente figura

20. Calcule la suma de Riemann para los datos que se dan
EJERCICIOS A RESOLVER (4)

21. 1
2
3
EJERCICIOS A RESOLVER (5)

22. Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se dan, muestre una
rebanada representativa, aproxime su área, formule una integral y calcule el área de la
región.
1
2
3
4
5
EJERCICIOS A RESOLVER (6)

23. Encuentre el área de la región R acotada por
𝒚 = 𝒙 𝟐
+1, x=-1; x=2
EJERCICIOS A RESOLVER (7)

24. Encuentre el área de la región R acotada por
𝑦 = 𝑥3
− 𝑥2
- 6x , x=-2; x=3
EJERCICIOS A RESOLVER (8)

25. Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se
dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área,
formule una integral y calcule el área de la región.
• 𝒚 = 𝟑 −
𝟏
𝟑
𝒙 𝟐
+1, y=0; entre x=0 y x= 3
• 𝒚 = 𝒙 𝟐-2x, y=−𝒙 𝟐
EJERCICIOS A RESOLVER (9)

26. Encuentre el área de la región R acotada por
𝒚 = 𝒙 𝟑 − x + 2 , x=-1; x=2
EJERCICIOS A RESOLVER (10)

27. Dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones que se
dan, muestre una rebanada representativa, aproxime su área,
formule una integral y calcule el área de la región.
EJERCICIOS A RESOLVER (11)

28. GRACIAS POR SU ATENCIÓN !!!