fundamentos matematicos

1. UnidadI

2. 12
Matemáticas financieras
Esquema conceptual: Unidad I
UNIDAD I
Fundamentos
matemáticos
2. Exponentes: cero, negativo
y fraccionario
3. Cálculo de logaritmos4. Progresiones: aritméticas,
geométricas e infinitas
1. Exponentes
y sus leyes
Operaciones básicas
Operaciones de exponentes
Leyes de los exponentes
Progresiones aritméticas
Progresiones geométricas
Progresiones infinitas
Exponente cero
Exponentes negativos
Exponentes fraccionarios
Definición de logaritmo
Bases estandarizadas
Resolución de logaritmos

3. 13
Unidad I. Fundamentos matemáticos
Semana1
Presentación
Bienvenido al curso de Matemáticas Financieras en el que te introduciremos a
los cálculos que tienen que ver directamente con cuestiones de dinero. Para
el desarrollo del curso recurrirás a la aplicación de distintas operaciones, las cua-
les te presentamos en esta unidad. Te sugerimos tener a la mano una calculadora
para efectuar dichas operaciones.
En esta semana iniciaremos con el repaso de los exponentes y sus leyes, así
como los exponentes cero, negativo y fraccionario.
I.1 Exponentes y sus leyes
I.2 Exponentes: cero, negativo y fraccionario
I. Fundamentos matemáticos
Tema y subtemas
I
Objetivos específicos
El alumno identificará las operaciones que tengan exponentes, ya sean enteros•
o fraccionarios, positivos y también negativos.
El alumno resolverá ejercicios con operaciones que tengan exponentes enteros,•
fraccionarios, positivos y negativos.

4. 14
Matemáticas financieras
Características
de las operaciones
con exponentes
Características
de las operaciones
de exponentes
Implicación de las leyes
de los signos
I.1 Exponentes y sus leyes
Las matemáticas financieras son una ciencia noble en sus operaciones en las que
comúnmente empleamos la suma, resta, multiplicación y división. Junto con
ellas aplicamos las operaciones con exponentes y logaritmos. En este tema nos
ocuparemos de repasar las operaciones con exponentes.
Las operaciones con exponentes son una continuación de la multiplicación,
que se simbolizan de la siguiente manera:
ab
donde:
• a: recibe el nombre de base y puede ser un número, que es lo que normal-
mente nos ocupará, aunque también puede ser una letra.
• b: es la potencia a la cual debe elevarse la base, indica el número de veces
que la base se debe multiplicar por sí misma. Este exponente puede ser
un número entero, fraccionario, positivo o negativo o alguna combina-
ción de éstos.
Por ejemplo:
42
= significa que debemos multiplicar 4 × 4 = 16
83
= significa que debemos multiplicar 8 × 8 × 8 = 512
Por esta razón se dice que las operaciones de exponentes son continuación
de la multiplicación.
En una calculadora se puede comprobar la operación de 83
, utilizando las te-
clas Xy
o bien el símbolo ^. Por ejemplo, al teclear 8, luego ^ (según sea el caso)
y por último 3.
En ocasiones la base puede tener signo negativo, por ejemplo: –32
= (–3)2
y,
de acuerdo con la definición de la operación de exponentes, la solución del ejem-
plo sería: (–3)2
= (–3) (–3) = 9.
Recuerda que en matemáticas los paréntesis significan multiplicación. Aquí
también se ven implicadas las leyes de los signos, las cuales nos indican que cuan-
do se multiplican los mismos signos el resultado es siempre positivo:
(–) × (–) = (+) ó (+) × (+) = (+).
Y cuando se multiplican signos distintos, el resultado siempre será negativo:
(–) × (+) = (–).
¿Qué significan estos símbolos y cómo se representan?

5. 15
Unidad I. Fundamentos matemáticos
Ejemplo de las leyes
de los signos
Definición de las leyes
de exponentes
En la operación (–2)3
el resultado se calcula de la siguiente forma:
(–2)3
= (–2) (–2) (–2) = –8
El signo negativo del resultado se debe a que se multiplica (–) × (–) = (+) y
después se debe multiplicar (+) × (–) = (–).
Ahora, ¿cómo se desarrollarían las siguientes operaciones?
4
4
4
2
y 42
× 44
En este tipo de expresiones se dice que la misma base se está dividiendo pero
tiene diferentes exponentes. También aparece la operación con las bases multi-
plicándose.
Leyes de exponentes
Para poder realizar las operaciones con exponentes se han dictado algunas le-
yes que reciben el nombre de leyes de los exponentes; a continuación se presenta
cada una:
1. an
× am
= an + m
2.
a
a
a
n
m
n m
= −
3. a
a
n
n
−
=
1
4. (an
)m
=am × n
5.
a
b
a
b
m m
m
=
Cuando estés trabajando en los temas de interés compuesto y anualidades encontra-
rás expresiones que se resolverán con la ayuda de las dos primeras propiedades.
Recuerda estas leyes porque serán importantes al momento
de resolver operaciones con exponentes

6. 16
Matemáticas financieras
En el caso del ejemplo: 42
× 44
, el resultado sería: 42+4
= 46
; se puede verificar el
resultado realizando las operaciones por separado y, luego, en un solo paso. Observa a
continuación el desarrollo de las operaciones:
41. 2
= 4 × 4 = 16; y
42. 4
= 4 × 4 × 4 × 4 = 256; al multiplicar 16 × 256 se obtiene 4,096
Y si se efectúa la operación 43. 6
= 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4,096.
La utilidad de estas leyes se pone de manifiesto cuando en lugar de números
se trabajan con expresiones algebraicas como x
x
4
2 ; en donde el resultado es x2
, sin
importar el valor numérico que pueda tomar la variable x.
La propiedad a–n, es de uso común en matemáticas financieras cuando se
desean trasladar cantidades de dinero del futuro hacia el presente; seguramente
esto nos suena desconocido y hasta ilógico, pero no es así: imagina que te pagan
mercancía con un documento comercial que vence 90 días después, el problema
es que necesitas el dinero para resurtir inventarios, ¿qué podrías hacer? Venderle
el documento a una empresa de factoraje y ésta te lo descontará con una tasa
de interés pactada entre ambos. Estas operaciones se denominan operaciones de
descuento y consisten en traer flujos futuros de dinero a valor presente.
En sentido estricto los exponentes negativos no existen porque estas opera-
ciones son una extensión de la multiplicación; entonces, si se quiere resolver la
operación 10–2
, ¿de qué manera podrías escribirla y resolverla?, ¿en dónde inclui-
rías el signo negativo del exponente?
La forma de resolverlo es moviendo la base del numerador al denominador,
o viceversa, y en ese momento cambiar el signo del exponente; una vez resuelto
el problema del signo, la operación se realiza en la forma ya mencionada. Revise-
mos los siguientes ejemplos:
250 10
250
10
250
100
2 52
2
( )× = = =−
.•
25
2
25 2 25 8 2003
3
−
= × = × =•
Las últimas dos propiedades nos ayudarán a simplificar operaciones y re-
solverlas de manera adecuada, no son de uso común en matemáticas financieras
pero cuando se presente la oportunidad sabrás qué hacer con ellas.
6 6 6 46 6562 3 2 3 6
( ) =( ) =( ) =
×
,•
8
6
8
6
64
36
16
9
2 2
2
= = =•
6
8
6
6
8
6
6 8
6
62 3
2
6
2
2
6 2
2( ) × = × =
×
= 66 2 2 4 2
8 6 8 1 296 64 82 944−( )
× = × = × =, ,•
Ejemplos del uso
de las propiedades
de los exponentes
Sobre los exponentes
negativos
Sobre las propiedades
4 y 5 de los exponentes

7. 17
Unidad I. Fundamentos matemáticos
I.2 Exponentes: cero, negativos
y fraccionarios
Hasta ahora se ha trabajado con exponentes enteros y positivos pero es necesario
extender la operación a potencias negativas y fraccionarias. Empecemos por el
exponente cero y su definición como operación.
Estarás de acuerdo que la expresión 8
8 es igual a 1; si desarrollamos la ope-
ración siguiendo los pasos y las reglas de los exponentes tendríamos que:
8
8
1
1 = 81–1
= 80
por ello se dice que todo número elevado a la potencia “0” es igual a la unidad. Tó-
malo como una definición o propiedad matemática.
En el caso de los exponentes negativos, por ejemplo 7–2
, se debe considerar lo
antes mencionado: es imposible realizar la operación ya que la potencia indica
el número de veces que hay que multiplicar la base por sí misma, por lo que el
signo negativo no tendría un lugar en dónde colocarse. De hecho, en términos
matemáticos se dice que los exponentes negativos no existen.
Sin embargo, si realizamos la operación en la calculadora el resultado que
arrojará será 0.0204081, pero, ¿cómo es que se tiene tal resultado? Para escla-
recerlo debemos hacer uso de la tercera propiedad de los exponentes que dice:
para eliminar el signo negativo de un exponente se debe trabajar con el recíproco de
ese número, es decir, se debe cambiar de posición la base del numerador al deno-
minador, o viceversa, según se requiera.
En el ejemplo 7–2
es necesario transformar la expresión por medio
de su recíproco1
, o sea, 1
72 y resolver la operación de la siguiente forma:
1
49 0 0204081= . , observa que el resultado es el mismo que obtuvimos en la
calculadora.
Ahora practiquemos lo que hemos visto hasta el momento con los siguientes
ejercicios:
1 En matemáticas el recíproco significa que se pueden intercambiar los números y las letras de posición del
numerador al denominador y viceversa cambiando el signo del exponente que tenga originalmente
Características
del exponente cero
Características de los
exponentes negativos
Solución de operaciones
con exponentes
negativos
Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a 1.
6
1
6
1
216
0 0046293
3
−
= = = .•
−( ) =
−( )
= =
−
4
1
4
1
16
0 062500
2
2 .•
1
2
2
1
2
1
4
2 2 2
2
= = =
−
•
1
3
1 3 1 9 92
2
−
= × = × =•

8. 18
Matemáticas financieras
Finalmente, queda por explicar el funcionamiento de los exponentes fraccio-
narios. Utilicemos el siguiente ejemplo para demostrar cómo se deben interpre-
tar. En el ejemplo 91/2
,se dice que la base9 esta elevada a la potencia ½ que es
igual a 0.5.
Para encontrar el resultado es necesario recordar que en matemáticas las
operaciones están definidas por pares, es decir, la suma con la resta, la multiplica-
ción con la división y, en este caso, elevar al cuadrado con la obtención de la raíz
cuadrada. La potencia o exponente fraccionario m/n
indica, en forma general, lo
siguiente:
• m: número de veces al que hay elevar la base
• n: raíz que se debe obtener de esa base
El término 91/2
indica que se debe elevar el 9 a la potencia 1 y, también, se le
debe sacar la raíz cuadrada. Como 9 a la 1 es igual a 9 y la raíz cuadrada de 9 es 3,
entonces el resultado de 91/2
= 3
Trabajemos otro ejemplo: 82/3
donde se indica que hay que elevar el número
8 al cuadrado y, de manera simultánea2
, obtener la raíz cúbica.
Otra forma de representar la operación sería 823
, y para resolverla empeza-
remos por buscar un número que multiplicado 3 veces por sí mismo dé 8. En este
caso la respuesta es 2, lo que significa que la raíz cúbica de 8 es 2. Ahora elevare-
mos este número al cuadrado (22
) que nos de como resultado 4. Así, tenemos que
823
es igual a 4.
Resolvamos otros ejercicios sobre exponentes fraccionarios:3
a) 16 = 16
b) 27 = 27
c)
3/4 34
1/3 13
=( ) =
= =
−
2 8
3 3
2
3
1
77 27 3 3
16
1
16
1 3 13 1
3 4
( ) = −( ) = −( ) =−
−( ) =
−( )
−
/
/
d) 33
4
1
16
34
=
−( )
= no existe
2 Eltérminosimultáneo,(almismotiempo)implicaquenoimportaelordenenelcualsehagalaoperación.
3 Toma en cuenta que para este momento ya has aprendido paso a paso la forma en que se deben traba-
jar los diferentes tipos de exponentes y los signos de las bases.
Características
de los exponentes
fraccionarios
Ejemplo de exponentes
fraccionarios
No hay raíces pares de bases negativas

9. Reactivos de autoevaluación
19
Unidad I. Fundamentos matemáticos
Instrucciones: Escribe en la línea la letra correspondiente, F para falso y V para verdadero.
1. (–64)1/2
= – 8 _____
2. (5 – 3) × 53 = 56 _____
3. (–2)3
× (–2)2
= (–2)5 _____
4. (2xy)3
/ xy = (2xy)2
_____
5. (–64)–1/3
= 1 / 4 _____
Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta. aplicando las leyes de los exponentes.
1. (27)–1/3
× (256)1/4
a) 3 / 4
b) 2 / 3
c) 4 / 3
d) 4 / 9
2. 1 0 18 1
0 18
4
+( ) −.
.
a) 5.1154
b) 6.3422
c) 5.2054
d) 5.2154
3. (1.05)–4
× (1.05)–1/2
a) 0.702875
b) 0.802875
c) 0.801875
d) 0.701875

10. 20
Matemáticas financieras
Glosario
Exponente: Es el número situado en el ángulo superior derecho de una indeter-
minada o de una cantidad dada y que indica las veces en que dicha inde-
terminada o cantidad debe ser tomada como factor.
Fuentes de información
Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson.
Lecturas complementarias
Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ecafsa.
Díaz, A. (1999). Matemáticas Financieras. México: McGraw Hill.

11. 21
Unidad I. Fundamentos matemáticos
Instrucciones: Escribe en la línea la letra correspondiente, F para falso y V para verdadero.
1. (–64)1/2
= – 8 _____
2. (5 – 3) × 53 = 56 _____
3. (–2)3
× (–2)2
= (–2)5 _____
4. (2xy)3
/ xy = (2xy)2
_____
5. (–64)–1/3
= 1 / 4 _____
Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta. aplicando las leyes de los exponentes.
1. (27)–1/3
× (256)1/4
a) 3 / 4
b) 2 / 3
c) 4 / 3
d) 4 / 9
2. 1 0 18 1
0 18
4
+( ) −.
.
a) 5.1154
b) 6.3422
c) 5.2054
d) 5.2154
3. (1.05)–4
× (1.05)–1/2
a) 0.702875
b) 0.802875
c) 0.801875
d) 0.701875
F
V
V
F
F
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