Este documento explica los conceptos básicos de los radicales, incluyendo definiciones, propiedades y operaciones. Introduce radicales, índices y subradicales. Explica cómo simplificar radicales extrayendo factores comunes y reduciendo el índice. También cubre sumar, restar, multiplicar y dividir radicales del mismo índice.

1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
1
MATEMÁTICAS BÁSICAS
RADICALES
OPERACIONES CON RADICALES
Un radical es cualquier raíz indicada de una expresión. La radicación es la operación inversa de la
potenciación y se representa por el símbolo n , donde n es el índice del radical y dentro se ubica una
expresión denominada subradical.
Para resolver una raíz, se busca una cantidad que elevada a un exponente igual al índice del radical sea
igual al subradical.
El radical puede ser racional si la raíz indicada es exacta o irracional si no lo es.
Ejemplos.
1) El subradical de la expresión 35 +x es 35 +x
2)
2
16x es un radical racional porque su resultado, x4 , es exacto.
3) 3 4
17x es un radical irracional porque su resultado no es exacto.
5) 4
46 dc − es un radical de cuarto grado
En los radicales de segundo grado se omite su índice, esto es: 2
aa = .
Si ban
= , a es una raíz enésima de b .
Ejemplos
1) Si 932
= entonces 3 es una raíz cuadrada de 9
2) Si 62554
= entonces 5 es una raíz cuarta de 625
Si n es par, 0≥n
a , por lo que un número negativo no puede tener raíz enésima .
Ejemplos
1) Si 16− no tiene raíz cuadrada en R.
2) Si 6
64− no tiene raíz sexta en R.
Si n es par y
n
ab = , también ( )n
ab −= , así que b tiene dos raíces enésimas, a y a− .
Ejemplos
1) Como 2552
= y ( ) 255
2
=− , 5 y 5− son raíces cuadradas de 25.
2) Como 8134
= y ( ) 813
4
=− , 3 y 3− son raíces cuartas de 25.

2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
2
Si n es impar, todo número real tiene exactamente una raíz enésima.
Ejemplos
1) 62163
= .
2) 2325
−=−
Si 0≥b , hay una única raíz enésima no negativa de b representada por n
b
Ejemplo.
Si
2
749 = , entonces 7 es una raíz cuadrada de 49 y como ( )2
749 −= , 7− es otra raíz cuadrada de
49. Pero 49 denota exclusivamente a la raíz no negativa de 49.
Si ∈≥ n,m,x 0 N, a ley de exponentes fraccionarios establece que:
n mn
m
xx =
Esto es, cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el
denominador y el subradical es la misma expresión elevada a la potencia que tiene el numerador.
En el caso particular, si nm = , se tiene que: n n
xx =
Los radicales cumplen con las siguientes propiedades:
1) El producto de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del producto de los subradicales.
Esto es: nnn
baba ⋅=⋅ si ∈>> n,b,a 00 N.
2) El cociente de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del cociente de los subradicales.
Esto es: n
n
n
b
a
b
a
= si ∈>> n,b,a 00 N.
3) Un radical de índice n elevado a una potencia m equivale a una raíz de índice n y de subradical
elevado a la potencia m . Esto es: ( ) n mm
n
aa = si ∈> n,m,a 0 N.
4) La raíz de índice m de un radical de índice n es equivalente a una raíz de índice n de un radical de
índice m y es igual a una raíz de índice nm⋅ . Esto es: nmn mm n
aaa ⋅
== si ∈> n,m,a 0 N.
Es importante notar que la suma algebraica de dos radicales de cualquier índice no es igual a la raíz de la
suma algebraica de los subradicales. Es decir: nnn
baba ±≠±
De acuerdo con la ley de exponentes fraccionarios y de las propiedades de los radicales, el objetivo de
simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple. Es decir, un radical está simplificado cuando:
• No se puede extraer ningún factor del radicando (es el menor posible).
• No puede reducirse su índice (es el menor posible).
• El radicando no es una fracción.
• No hay radicales en el denominador de una fracción.

3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
3
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES A TRAVÉS DE LA EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL
SUBRADICAL
Un radical se puede simplificar cuando contiene factores cuyos exponentes son divisibles por el índice y
se procede de la siguiente manera:
• La parte numérica del subradical se descompone en factores de tal forma que sean potencias con
exponentes múltiplos del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical.
• La parte literal del subradical se descompone de tal manera que se exprese la mayor parte posible
con exponentes múltiplos del índice de la raíz.
Ejemplos.
1) aaaaaaa 23232918 24245
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
2)
4 34 3444 344 7
3333381243 kkkkkkk =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=
3) 3 223 62333 6233 75
45454125500 yxxyyyxxyyxxyx =⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=
4)
5 435 4553555 9685 968
222223264 wzvvwzzzwwvvzwvzwv =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
5) ( ) ( ) abaaabaaabaabaa 22222484 22222234
−=−=−=−
6) ( ) ( ) ( )nmanmanmnmaanamnam +=+=++=++ 2222242
22222
7) 3
2
3
2
2
3
233
36
3
23
3
3
5
4
22
9
22
3
22
3
28
729
16
729
b
a
b
a
b
a
b
a
bb
aa
bb
aa
b
a
==
⋅⋅⋅
⋅⋅
=
⋅⋅⋅
⋅⋅
=
8) abccabccbbaaccbbaacba 11211211444 438622862973
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
INCLUSIÓN DE UN FACTOR EN UN SUBRADICAL
En este caso se eleva la expresión por introducir a la potencia que indique el índice del radical, se efectúa
el producto de subradicales y el resultado se expresa con el mismo índice.
Ejemplos.
1) 805165454 2
===
2) ( ) 322
12343232 aaaaaaa ===
3) ( ) βαβαβαβα 222
252555 ===
4) 218
9
1
18
3
1
18
3
1
2
==





=
5) ( ) ( ) ( ) ( ) xyxxyx
yx
xyx
yx
x
yx
yx
x
yx +=+=
+
+
=
+
+=
+
+ 2
2
2
6) ( ) 3 53 23 33 23 33 2
1282642424 wwwwwww ===
7) ( ) 4 354 34 44 34 44 3
966166262 baabaabaaba ===
8) ( ) 5 135
4
3
5 5105
4
3
5 525
4
3
2
9
27
243
27
3
27
3 mk
m
k
mk
m
k
mk
m
k
mk ===

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4
EXPRESAR UN RADICAL COMO UNO DE ÍNDICE MENOR
Otra forma de simplificación de un radical consiste en transformarlo a uno equivalente que posea un
índice menor. Para ello, se expresa cada uno de los factores del subradical en su forma de exponente
fraccionario, se simplifican las fracciones y se vuelve a transformar a radical.
Ejemplos.
1) xxxx === 2
1
4
2
4 2
2) ( ) 4 34
3
8
6
8
1
68 6
kkkkk ====
3) ( ) 44
1
12
3
12
1
312
6666216 ====
4) ( ) 33
1
3
1
6
1
226 22
mnnmnmnm ==⋅=
5)
22
22
232
2
1
2
1
2
1
10
5
10
5
10
1
5
5
10
5
aaaaaa
=





===





=
6) ( ) ehhehehehe 555525 2
1
2
1
2
1
4
2
4
2
4
2
4
1
2224 22
=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
7) ( ) 3 223
2
3
2
3
2
9
6
9
6
9
6
9
1
6669 66
422264 βαβαβαβαβα ===⋅⋅=
8) ( ) 4 24
2
4
1
4
2
8
4
8
2
8
4
8
1
4248 42
422216 xyyxyxyxyx ===⋅⋅=
OPERACIONES CON RADICALES DEL MÍSMO ÍNDICE.
Radicales semejantes son aquellos que tienen igual radicando y el mismo índice, es decir, sólo difieren
por el coeficiente.
Ejemplos.
1) x4 y x9 son radicales semejantes
2)
3 2
6 ab− y 3 2
4
5
ab son radicales semejantes
3) x8 y 3
7 x no son radicales semejantes
Para sumar o restar radicales se simplifican a su forma más elemental y se reducen los radicales semejantes.
Ejemplos.
1) 5652545254545162080 22
=+=⋅+⋅=⋅+⋅=+
2) 523353523353543959202745 222
−−=⋅−⋅−⋅=⋅−⋅−⋅=−−
335 −=
3) 32527938172575263243175 ⋅−⋅−⋅+⋅=−−+

5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
5
310733975352733975352733975 2222
−−+=⋅−−+=⋅−⋅−⋅+⋅=
372 −=
4) 0373235373235349343251471275 222
=−+=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+
5) 21625551634516429257800580332044507 ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=−+−
245554352442357245554325442357 2222222
⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=
5202521005125322105 −=−+−=
6) 262524236225216725032 222
⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+ 262524 −+=
23=
7) 2102529210022528120050162 222
⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=−+
242102529 =−+=
8) 3232353493433953169123275489 222
⋅+⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=+−
32736315336323335349 =+−=⋅+⋅−⋅=
Para efectuar la multiplicación de radicales se multiplican respectivamente los coeficientes y los
subradicales, ubicando este último producto bajo el signo de radical y se simplifica.
Ejemplos.
1) 23231863 2
=⋅==⋅
2) 73073107310631032215 2
=⋅=⋅==⋅
3) 333 333 2
183627
4
24
389
4
3
bababaaba =⋅==⋅
4) 333 333333
4304352435250013220415
6
1
453 =⋅⋅=⋅⋅==⋅⋅ ,
Para dividir dos radicales, se dividen respectivamente los coeficientes y los subradicales, ubicando este
último cociente bajo el signo de radical y se simplifica.
Ejemplos.
1) 22
32
64
=
2) 3
5
1
10
32
=
a
a
3) kkkkk
k
k
2
3
4
6
2
4
3
2
4
3
8
4
3
24
163 3 333 3
3 2
3 5
==⋅⋅===
4) yyyyyyy
xy
xy
23
6
4
3
6
4
9
6
4
4
4
3
36
2
1
223
5
8
=⋅=⋅==

6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
6
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES DE ÍNDICE DIFERENTE
Los radicales no semejantes no se pueden reducir, por lo que la suma y la resta no son posibles.
Para multiplicar dos radicales de diferente índice:
• Se halla el MCM de los índices.
• El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado.
• Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.
• Se multiplican los radicandos como potencias de la misma base, es decir sumando los exponentes.
• El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos
del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita.
Ejemplos.
1) 3 2
2xx ⋅
el índice común es 6 , por lo tanto:
( ) 66 66 76 436 226 33 2
444422 xxxxxxxxxxx =⋅==⋅=⋅=⋅
2)
4 3
8423 aab ⋅
el índice común es 8, por lo tanto:
( ) ( ) ( ) 8 664448 6234448 238 44 3
2212221284238423 abaabaaabaab ⋅=⋅=⋅=⋅
8 428288 41010
2212212 baaba == 4 28 422
2242212 ababaa =⋅=
3)
4 33 22
32 baba ⋅
el índice común es 12 , por lo tanto:
( ) ( ) 12 11512312 1117312 3938812 3312 4224 33 22
3232323232 baabababababababa ==⋅=⋅=⋅
12 115
272 baa=
4) 5 43 2
16
4
3
4
3
2
nmm ⋅
el índice común es 15, por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )15 31234105215 312310515 3415 525 43 2
22
2
1
164
2
1
164
12
6
16
4
3
4
3
2
nmmnmmnmmnmm ⋅=⋅=⋅=⋅
15 312121010
22
2
1
nmm ⋅= 15 3715 37715 371571515 32222
12822
2
1
22
2
1
2
2
1
nmmnmmnmmnm =⋅===
Para dividir dos radicales de diferente índice:
• Se halla el MCM de los índices.
• El MCM se divide entre cada índice de la raíz y cada radicando se eleva a este resultado.
• Se resuelven los radicandos como potencia de otra potencia, es decir multiplicando los exponentes.
• Se dividen los radicandos como potencias de la misma base, es decir restando los exponentes.
• El radicando se descompone en factores procurando que sean potencias con exponentes múltiplos
del índice de la raíz, a fin de poder extraer del radical aquella parte que lo permita.

7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
7
Ejemplos.
1)
3
2
3
3
x
x
el índice común es 6 , por lo tanto:
( )
( )
6 46
2
6
6 2
6 32
3
2
3
9
27
3
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
===
2)
4 2
3 3
4
8
a
ba
el índice común es 12 , por lo tanto:
( )
( )
6 2312 46212 4612
6
412
12
63
4124
12 32
12 43
4 2
3 3
8864
64
0964
4
8
4
8
4
8
bababa
a
ba,
a
ba
a
ba
a
ba
======
3)
5 2
3 34
5
mn
nm
el índice común es 15, por lo tanto:
( )
( )
15 9215 921515 91715
63
1520
15 32
15 534
5 2
3 34
125312531253
125355
nm,mnmm,nm,
nm
nm,
mn
nm
mn
nm
=====
4)
4 322
6 543
3
18
zyx
zyx
el índice común es 12 , por lo tanto:
( )
( )
12 2
12
966
1086
12 3322
12 2543
4 322
6 543
12
27
324
3
18
3
18
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
===
para extraer la raíz de un radical, se multiplican los índices y se simplifica.
Ejemplos.
1) 36 23 2
aaa ==
2) 2288 6 363
===
3) ( ) 48 28 24 2
552525 aaaa ===
4) ( ) 3 215 5215 105 3 10
xxxx ===
RACIONALIZACIÓN DE RADICALES
Racionalizar consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción. Para lograr esto, se
multiplican las dos componentes del cociente por una expresión que contenga el radical por eliminar y
que cumpla que al multiplicarse, el denominador resulte una expresión racional.

8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
8
Ejemplos.
Racionalizar las siguientes fracciones:
1)
3
1
multiplicando el numerador y el denominador por 3 :
3
3
3
3
3
1
=⋅
2)
54
3
multiplicando el numerador y el denominador por 5 :
( ) 20
53
54
53
5
5
54
3
==⋅
3)
4
9
3
a
multiplicando el numerador y el denominador por ( )4 3
9a :
( )
( )
( )
a
a
a
a
a
a
a
a
a 3
729
9
7293
9
93
9
9
9
3 4 34 34 3
4 3
4 3
4
===⋅
4)
3
35
6
x
multiplicando el numerador y el denominador por ( )3 2
3x :
( )
( )
( )
( ) x
x
x
x
x
x
x
x
x 5
92
15
96
35
36
3
3
35
6 3 23 23 2
3 2
3 2
3
===⋅
Ejemplo.
Efectuar la operación
4
3
2
1
3
1
+− y racionalizar el resultado.
Solución.
32
3
2
2
3
1
3
3
2
3
2
2
2
1
3
1
2
3
2
1
3
1
4
3
2
1
3
1
4
3
2
1
3
1
+−=⋅+⋅−=+−=+−=+−
2
2
6
35
2
2
3
3
32
5
2
2
32
5
−=−⋅=−=
Cuando se quiere racionalizar una fracción cuyo denominador sea un binomio que posea radicales de
segundo grado, se multiplican las dos componentes del cociente por el binomio conjugado del
denominador y se simplifica.
Ejemplos.
Racionalizar las siguientes fracciones:

9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Radicales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
9
1)
21
23
+
−
multiplicando el numerador y el denominador por 21− , que es el binomio conjugado del denominador:
524
1
245
21
22233
21
21
21
23
−=
−
−
=
−
+−−
=
−
−
⋅
+
−
2)
34
325
−
+
multiplicando el numerador y el denominador por 34 + , que es el binomio conjugado del denominador:
32
13
31326
316
6383520
34
34
34
325
+=
+
=
−
+++
=
+
+
⋅
−
+
3)
3425
19
−
multiplicando el numerador y el denominador por 3425 + , que es el binomio conjugado del denominador:
2
376295
4850
376295
316225
376295
3425
3425
3425
19 +
=
−
+
=
⋅−⋅
+
=
+
+
⋅
−
4)
7332
7334
+
−
multiplicando el numerador y el denominador por 7332 − , que es el binomio conjugado del denominador:
51
211887
6312
63211824
7934
79216211238
7332
7332
7332
7334
−
−
=
−
+−
=
⋅−⋅
⋅+−−⋅
=
−
−
⋅
+
−
17
29216
51
872118 −
=
−
=