1 Capítulo 1 Conjuntos Numéricos

Ing. Carlos Enrique Villa
Arango
Ing. Margarita Patiño
Jaramillo

Adscrita a al Alcaldía de Medellín

COMPETENCIA:

Utiliza adecuadamente los conjuntos numéricos, sus
operaciones y propiedades básicas para solucionar
situaciones problema en diferentes contextos.

INDICADORES DE LOGRO

Resuelve expresiones aritméticas utilizando las propiedades y
operaciones de los conjuntos numéricos.

En una situación específica:
Plantea la o las expresiones aritméticas a partir de enunciados o
situaciones concretas.
Resuelve una situación a partir de la o las expresiones aritméticas
que la representan, utilizando las propiedades, operaciones y/o
métodos desarrollados.

Qué son los CONJUNTOS NUMÉRICOS

Cuando en nuestra infancia comenzábamos a contar, cromos,
amigos que asistían a nuestro cumpleaños, pesos que nos daban de
aguinaldo…, no utilizábamos mas que el conjunto N o conjunto de los
números naturales, y con el nos bastaba; “definimos número natural
como el que resulta de contar los elementos de cualquier conjunto”.

Números Naturales

El ser humano desde sus inicios tuvo la necesidad de contar. De ahí nacieron los
números y más precisamente el conjunto de los Números Naturales, ellos son:

N = Conjunto de los Números Naturales

N = { 1, 2, 3,... }

Donde N, es el símbolo utilizado para su notación

CARACTERÍTICAS DE LOS NÚMEROS NATURALES
USOS DE LOS NÚMEROS NATURALES
OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES:
CRITERIOS DE
DIVISIBILIDAD

•Empieza con el uno.

•Tiene un número infinito de elementos consecutivos (un natural menos
el anterior es igual a uno).

• Cada elemento tiene un siguiente y todos, a excepción del 1 tienen un
anterior

• Los números naturales están ordenados. Esta ordenación permite
indicar que, por ejemplo, 4 es menor que 7. Como los números
naturales están ordenados, también se pueden utilizar para ordenar
conjuntos, en este caso decimos que tienen función ordinal

•Cuando los números naturales se utilizan para contar, decimos que
tienen la función cardinal.

•USOS DE LOS NATURALES:

•Para contar o cuantificar. Ejemplo: 1,2,3,4 personas.

•Para identificar. Ejemplo: Aula número 213

•Para ordenar o jerarquizar. Ejemplo: 1 o, 2 o, 3 o, 4 o.

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES:

Este conjunto numérico acepta operaciones aritméticas como la suma y la
multiplicación con sus propiedades.

SUMA O ADICIÓN MULTIPLICACIÓN

RESTA

SUMA:

Al sumar dos o más números naturales se obtendrá otro número natural y
los términos que interviene n se llaman sumandos.

La suma también recibe el nombre de adición

PROPIEDADES DE LA SUMA
O ADICIÓN DE NATURALES

PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN DE NATURALES

1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA:
Un natural más otro natural da un natural.
Ejemplo: 5 Ν 8 Ν 5 8 13 Ν

2. Asociativa
En una suma de números naturales pueden agruparse los sumandos de
cualquier forma y su resultado no varía.

Ejemplo 1: 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 5 = 12

Ejemplo 2: (2 + 3) + 8 = 2 + (3 + 8) = 13

3. CONMUTATIVA

El orden que se le dé a los sumandos no altera el valor total de la suma.

Ejemplo 1: 8 + 2 = 2 + 8 = 10

Ejemplo 2: 11+ 5 = 5 + 11 = 16

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
NATURALES

1. PROPIEDAD CLAUSURATIVA:
Un natural multiplicado por otro natural da un natural.

Ejemplo: 11 Ν 5 Ν 11 x 5 = 55 Ν

2. ASOCIATIVA: Si a, b y c N, entonces (a x b) x c = a x (b x c)
Ejemplo: 2 x 4 x 8 = (2 x 4) x 8 = 2 X (4 x 8) = 64

3. CONMUTATIVA: Si a y b a N , entonces a x b = b x a
Ejemplo: 4 x 3 = 3 x 4 = 12

4. DISTRIBUTIVA DEL PRODUCTO CON RESPECTO A LA SUMA:

La multiplicación de un número natural por una suma es igual a la suma de los
multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos, así:
a( b + c) = ab + ac

Ejemplo1: 3(5 + 2) = 3 x 7 = 21 Ejemplo2: 3( 2 + 4) = 3 x 2 + 3 x 4
3 x 5 + 3 x 2 = 21 18 = 18

La resta en los naturales no siempre es posible porque no
siempre da un natural.

Ejemplo: 5 – 9 no puede efectuarse en los naturales ya que a
éste conjunto no pertenecen números negativos.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Todo número entero positivo se puede representar de forma única como
producto de factores primos excepto por el orden.

Ejemplo:
4 1 6 1 6 = 2 4 × 32 × 1 72
1 0 8 0 0 = 25 × 33 × 52

No existe otra forma de factorización de 41616 y 10800 en números
primos y puesto que la multiplicación es conmutativa, el orden de los
factores no influye; por esta razón, habitualmente se expresa el teorema
como factorización única exceptuando el orden de los factores.

El teorema vale también para 1 si se toma como el producto de cero
factores, ya que por definición, un producto vacío tiene por resultado 1.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
El mínimo común múltiplo (“m.c.m.” o “mcm”) de dos o más números
naturales es el menor número natural (distinto de cero) que es múltiplo
de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más
números se descompondrán los números en factores primos y se
tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

USO MÁS COMÚN PARA EL mcm CÁLCULO DEL mcm

MANERA TEÓRICA DEL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(MCM)

MÉTODO ABREVIADO PARA EL CÁLCULO DEL mcm EJEMPLO

Cálculo del m.c.m de varios números

El mcm se emplea para 1. Descomponer los números en factores
sumar o restar fracciones primos.
de distinto denominador, lo
que veremos en el 2. Para cada factor común, elegir entre
conjunto de los racionales. todas las descomposiciones aquel factor
con mayor exponente.

3. Multiplicar todos los factores elegidos.

PROCESO PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(mcm)
La teoría es la siguiente:

- Factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

EJEMPLO

Ejemplo: mcm de los siguientes números 24, 36 y 40

1.Descomponemos los números en factores primos.

24 2 36 2 40 2
12 2 18 2 20 2
6 2 9 3 10 2
3 3 3 3 5 5
1 1 1

2. Para cada número, elegir entre todas las descomposiciones
aquellos factores primos comunes y no comunes con su mayor
exponente, así:

Observe que: para 24 = 23 x 3 ,
para 36 = 22 x 32
para 40 = 23 x 5

3. Multiplicar todos los factores elegidos.
m.c.m (24, 12, 36) = 23 x 32 x 5 = 8 x 9 x 5 = 360, esto nos permite

concluir que 360 es el menor múltiplo de 24, 12 y 36 y que además, es divisible
exactamente por cualquiera de ellos.

EJEMPLO: Hallar el MCM entre 30, 60, y 90 por el método abreviado.

30 60 190 2
15 30 95 2
15 15 95 3
5 5 95 5
1 1 19 19
1 1 1

Estos resultados nos permite concluir que el mínimo común múltiplo para 30, 60,
190 corresponde a 22 x 3 x 5 x 19 = 1140

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor («m.c.d.» o «mcd») de dos o más números
naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.

PROPIEDADES CÁLCULO DEL MCD EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 EJEMPLO 3

MÉTODO ABREVIADO

Propiedades

El máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus
factores primos comunes elevados al menor exponente.

En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números
es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al
mismo tiempo.

CÁLCULO DEL MCD

El método más utilizado para el cálculo del máximo común divisor de dos
números es:

Se descomponen los números en factores primos y se toman los
factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales
será el MCD.

El MCD de tres números se puede calcular como sigue: M.C.D. (a, b, c) =
M.C.D. (a, M.C.D. (b, c)).

•EJEMPLO1

Calcular el MCD de 48 y 60.

Solución: Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60, o sea: ( los números
que dividen exactamente a 48 y 60) son:

48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}

60= {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

Por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Veámoslo utilizando los dos
métodos descritos anteriormente:

De la descomposición en factores primos de 48 y 60, obtenemos:

48 = 24 x 3 y 60 = 22 x 3 x 5 podemos inferir que su MCD. es 22.3 = 12 o
comúnmente expresado como MCD (60,48) = 12.

EJEMPLO 2: Calcular el MCD para (6936,1200):

Solución:

1. Descomponiendo en sus factores primos a 6936, se tiene:

6936 = 23 x 3 x 289

2. Descomponiendo en sus factores primos a 1200, se tiene:

1200 = 24 x 3 x 52
Por lo tanto el MCD para 6936 y 1200 es 24 x 3 = 48

•EJEMPLO 3:

Calcula el MCD para los números (7000000 y 7000002)

Tras un sencillo cálculo obtenemos los factores de ambos números:
(cuál es ese calculo?)

7000000 = 26 x 56 x 7
7000002 = 21 x 32 x 157 x 2477

Por lo que su MCD es 2 (Se trata del único factor común elevado al
mínimo exponente, 1)

MÉTODO ABREVIADO PARA HALLAR EL MCD:

El MCD entre varios números, por descomposición en factores primos
puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los
números dados por un factor común; los cocientes nuevamente por un
factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos
entre sí.

Ejemplo: Hallar el MCD entre 3430, 2450, 980 y 4410 por el método
abreviado.

Solución: 3430 2450 980 4410 10
343 245 98 441 7
49 35 14 63 7
7 5 2 9

El MCD para los cuatro números 3430, 2450, 980 y 4410 es: 10 x 72 = 490

EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS (NÚMEROS
NATURALES)

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias
adquiridas en el eje temático de los números naturales, practicarás
cada una de los conceptos estudiados.

Para los siguientes enunciados debes haber estudiado atentamente
cada uno de los conceptos para poder dar las respuestas correctas:

1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) Verdadera(s)?

PREGUNTA
I) Cero es un número Natural
II) Entre dos números naturales existe al menos
un número natural.

III) Todo número natural tiene un siguiente.
IV) Todo número natural tiene un antecesor
v. El conjunto de los números naturales es infinito

Continúa resolviendo tu taller, presentado en el siguiente
documento

CONTINÚA
ESTUDIANDO
LOS NÚMEROS
ENTEROS

ÉXITOS

INTRODUCCIÓN

En algún momento los números naturales no sirvieron para el cálculo de
algunas situaciones, por ejemplo: quedar debiendo 500000 pesos o
hasta millones o tan pocos como $5000, o medir la temperaturas bajo
cero, fue por eso que nacieron los números enteros, los cuales son una
generalización del conjunto de los números naturales, que incluye
números negativos.

A continuación se presentará una breve recuento de la necesidad de
otro conjunto numérico, es decir, el por qué aparecieron, se definirá el
conjunto de los números enteros, también se presentarán una serie de
situaciones de la vida diaria donde están presentes los números
enteros. Luego conoceremos como representarlos en una línea recta,
como ordenarlos de mayor a menor o de menor a mayor. También
conoceremos el valor absoluto de un número entero y además las
cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación y
división. Para luego presentar actividades donde aplicar lo aprendido.

POR QUÉ HA SURGIDO EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
ENTEROS?

Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente
para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus
demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el
mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los
números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.

Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como
restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy
conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los
signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta
entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su
abreviatura m.

Inicia, entonces, la pregunta cómo solucionar expresiones de la forma X +
1 = 0, la que no tiene solución en los naturales, así como otras situaciones
de la vida real como, deudas, depresiones en los terrenos, temperaturas
bajo cero, lo que tampoco es posible representarlas con tales números.

Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a
un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible.
Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los números enteros y
que se simboliza por la letra Z

STIFEL: Michael Stifel (Esslingen, Alemania 1487 - Jena, Alemania 19 de abril de 1567) fue un
matemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una primigenia forma de tablas logarítmicas
antes que John Napier. Su trabajo más importante es Arithmetica integra, publicado en 1544. Contiene
importantes innovaciones en anotación matemática, entre ellas el primer uso de multiplicación por la
yuxtaposición (sin el símbolo entre las condiciones) en Europa. También fue el primero en usar el término
“exponente”, así como exponentes negativos (aunque estos últimos no los consideraba correctos)

Y … ¿Qué es un número entero?

Ahora, ya conoces bien el sistema de los números
naturales, que denotamos con la letra N y en el
cual se definen dos operaciones llamadas suma y
producto cuyas propiedades ya son bien conocidas
para todos ustedes. Por lo tanto, podemos
preguntarnos:

¿Qué es un número entero?

El conjunto de los números enteros se designa por
la letra Z y está compuesto por:

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…}

EJEMPLO

CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
32
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO

Ejemplos :

+ 4, + 2, + 63 serían positivos y – 4, - 2 y – 63 serían negativos.

Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llama
Conjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números {
........, - 4, -3, - 2, - 1, 0, +1, + 2, + 3, + 4, .....}

LOS NÚMEROS ENTEROS, se representan con la letra Z

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS REPRESENTACIÓN

OPERACIONES: SUMA DE NÚMEROSENTEROS PROPIEDADES

SUMAS CONSIGNOS DE AGRUPACIÓN

MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES

POTENCIACIÓN EJERCICIOS
MARGARITA PATIÑO JARAMILLO 33

PROPIEDADES

1.Todo número natural es entero, esto quiere decir que el conjunto de los números
naturales está contenido en el de los enteros.

z
… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … N

2. El conjunto de los números enteros no tiene primer elemento, es decir todo
número entero tiene anterior.

3.Todo número entero tiene siguiente.
4. Todo número entero es menor que su siguiente y mayor que su anterior; es decir
el conjunto de los números enteros está ordenado.

CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO Sigue
34

5. Se llama valor absoluto de un número, y se designa por | |, a dicho número si este es
positivo y a su opuesto si este es negativo. (El valor absoluto de un número entero es el
número natural que resulta al prescindir del signo)

Ejemplo:

|+4|= |-4|= 4
|-5| = |+5| = 5

35

Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos el cero,
los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

Los números enteros crecen en valor según nos movemos de izquierda a derecha en la
recta numérica

Crecen en este sentido

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

36

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Para sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos:

1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números y
al resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números.

EJEMPLOS:

a) Sumar 52+34
Sabemos que 52 = 52 y │34│= 34, y que el signo de los sumandos es
igual (+). Luego, 52 + 34 = +86 = 86.

b) Sumar ─138 + (─25)

Sabemos que │─138│= 138 y │─25│= 25. por lo cual, la suma de sus
valores absolutos es 138 + 25 = 163.

Como los sumandos tienen igual signo (─), entonces ─138 + (─25) = ─163
es la solución.

37
Continúa

2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y al
resultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto.

EJEMPLOS:
Sumar: 5 + (- 8) = - 3 y (- 5) + 8 = + 3

En conclusión lo que se debe hacer es lo siguiente: Cuando vamos a sumar
dos números enteros con diferente signo, realizamos una resta del número mayor
menos el número menor y el signo del resultado es el mismo signo que tiene el
número mayor. Usted puede apreciar este hecho en los ejemplos anteriores

38

PROPIEDADES DELA SUMA

A continuación estudiaremos estas propiedades, las
cuales quedaran explicadas en la siguiente tabla y las
comprobaremos mediante la interpretación del concepto
y lenguaje matemático. Se verificaran por medio de
ejemplos y ejercicios.

PROPIEDADES

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PROPIEDADES DE LA SUMA: La suma de números enteros cumple las
siguientes propiedades:
1.CLAUSURATIVA: Si a y b Z, entonces: a + b Z
La suma de dos números enteros es otro número entero
EJEMPLO: 2 + 3 = 5; 2 Z, 3 Z entonces la suma que es igual a 5 aZ

2. CONMUTATIVA: Sí a y b Z, entonces: a + b = b + a
Si se invierte el orden de los sumandos el resultado no se altera.
EJEMPLO: 3 + 4 = 7 y 4 + 3 = 7

sigue
40

3. ASOCIATIVA: Sí a, b, c Z, entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
El resultado de sumar más de dos números enteros no dependen de la forma como
se asocian.

EJEMPLO:
5 + 4 + 6 = 11, aplicando la propiedad asociativa:
5 + (4 + 6) = (5 + 4) + 6 = 11

4. MODULATIVA: Sí a Z, entonces: a+ 0 = 0 + a = a
Al sumar un entero con el cero, el resultado es el entero sumando.

EJEMPLO: 4 + 0 = 4 y 0 + 4 = 4

Continúa
41

EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO: Si a
Z, entonces: a + (-a) = 0
Todo numero entero sumado con su opuesto
da como resultado cero.

EJEMPLO: 4 + ( -4) = 0; 67 + ( -67) = 0;
23 + (-23) = 0

42

SUMAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más utilizados son:
Las llaves: { }
Los corchetes: [ ]
Los paréntesis: ( )
• Cuando en una operación existen estos signos, deben tenerse en cuenta ciertas
reglas para poder resolver la operación indicada:

1.Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debe
ser como sigue:

• Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no
lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el paréntesis
lleva delante un signo – se escribe el resultado opuesto.

43

2. Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete no
lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchete
lleva delante un signo – se escribe el resultado
opuesto.
Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + adelante, es decir
+5 y 5 es lo mismo.
EJEMPLO: Realizar las siguientes operaciones: 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)]
5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)]

-1

5 – [2 +6 – 1]

7

5- 7

-2

44

EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS ( SUMAS Y RESTAS
CON NÚMEROS ENTEROS)

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el
eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los
conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.

Realiza las siguientes operaciones, aplicando los conceptos relacionados con los
números enteros:
Calcula:
a) 5 – (6 – 7) + (4 – 9) g) 5 – 12 + (3 – 7) – ( - 3 – 6)
b) – [5 + 3 – (6 – 5 + 8)] h) – [(6 – 5) + 8] – [(1+ 3) + 6]
c) 9 – (3 – 5) + (6 + 4 – 7) i) – 5 + [3 + (6 – 5) + 8] - 2
d) – (4 – 7) – [8 + (9 – 2)]
e) – 8 + ( 3 – 5) – (- 3 + 6)
f) – [8 - ( 3 – 5)] – (- 3 + 6)

45

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros hay que distinguir dos casos:
1. Si tienen el mismo signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado
será positivo.

2. Si tienen distinto signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será
negativo.

3. Los numerales 1y dos, hacen referencia a la regla de los signos:

Regla de los signos: + POR + = +; - POR - = +
+ POR - = -; - POR + = -

EJEMPLO: 3 x 2 = 6; 1 x (- 4) = - 4; ( - 3) x (- 5) = + 15; ( - 2) x 4 = - 8

46

1. Regla del producto
a. El producto de dos números positivos es otro número positivo.
b. El producto de dos números negativos es otro positivo.
c. El producto de dos números de diferente signo es otro número negativo.
2. Asociativa. El agrupamiento de los factores no altera el producto.
3. Elemento unidad: el 1 es el elemento neutro o unidad, porque al
multiplicar por cualquier número da dicho número.
4. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto
5. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: el producto de un número
por una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los productos de dicho
número por cada sumando.
2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14

47

POTENCIACIÓN

Una potencia es una multiplicación de factores iguales, el factor que se
repite se llama base y el número de veces que se repite se llama
exponente, se representa como:
a x a x a x a = a4
• Para calcular una potencia de base entera hay que tener en cuenta lo
siguiente:
a) Si la base es positiva entonces el resultado siempre es positivo
b) Si la base es negativa y el exponente es un número par entonces la
respuesta es positiva.
c) Si la base es negativa y el exponente es un número impar entonces la
respuesta es negativa.

EJEMPLO: 23 =8; (-3)2 = 9; (-3)3 = -27; 43 = 64

48

EJERCICIOS:

Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el
eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los
conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.
1. Realiza las siguientes operaciones:
1) 3 x (2 + 5) + (- 6 x 5 + 2) x (3 – 4) – (6 – 8) =
2) 1 – [6 x (2 + 3) – (4 + 1) x 2] x 2 =
3) (4 + 7) x (4 + 5) – 8 x (9 – 7) + (–7 – 2) =
4) 3 + 2 x 3 x ( - 4 x 2) – ( 6 – 7) – 2 x 4 x (–1) =
5) 1 + (3 + 4 x 2 – 6) x 2 – (5 – 7) x 2 =
6) 3 – 4 x (2 – 3) x 2 + ( 4 + 3 + 2) x (–1) x 2 =
7) 2 – [3 – (2 – 5) x 3 + 2 x (1 – 3) x (–2)] + 5 =
8) 4 – 5 x {2 – 3 x [– 4 + 2 x (5 – 4) x (–1)] x (–1)} x (–1) =
9) 8 – [4 + (2 – 5) x 2 – 6 x 3 + (6 – 2)] x (–1) + 5 x (–3 – 2) =
10) 1 – {2 – [3 x (4 – 5) x 2 – 3] x 2} x (–2) =

49

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARA NÚMEROS ENTEROS
Para que continúes practicando, realiza los ejercicios siguientes:

50

51

NÚMEROS PRIMOS

Un número entero P es primo si
es un número mayor que 1 y los
únicos enteros que lo
dividen son 1, -1, P y –P. A los
números de la forma –P donde
es un primo les llamaremos
primos negativos.

Por ejemplo: 5, es divisible por
(1, -1, 5, -5), primo positivo. La sucesión de los números
-5, es divisible por (1, -1, 5, -5), primos, (positivos), comienza con:
primo negativo. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

Hay infinitos números primos, es decir, existen números primos tan
grandes como se quiera. La distribución de los números primos es muy
irregular. Hay algunos que son números impares consecutivos, como 3 y
5; estos se llaman primos gemelos. VILLA ARANGO
CARLOS ENRIQUE
52

NÚMEROS RACIONALES

53

NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones
que se presentaban en la división en el conjunto de los Números
Naturales y Números Enteros.

Al encontrar que la división entre dos números, naturales o enteros, no
siempre daba exacta y que en muchísimos casos los decimales eran
infinitos no periódicos, se inventaron los racionales o fraccionarios, el
a
cual está formado por todos los números de la forma b

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se expresa por comprensión
como: a
Q= / a ,b Z, b 0
b

Lease: El conjunto de los números racionales es el conjunto de los
números tal que a y b pertenecen a los enteros con b diferente de
cero.

54

Operaciones con números racionales
Suma y resta

• Fracciones de igual denominador.
Sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
Ejemplo:

2 8 2+8 10 7 5 7 -5 2
+ = = = 2 y - = =
5 5 5 5 3 3 3 3

•Fracciones de distinto denominador.
Primero calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores y ese valor es
el denominador común de todas las fracciones, luego se divide ese mínimo común
múltiplo por el denominador de cada fracción y el cociente obtenido se multiplica
por el numerador correspondiente.
Ejemplo: 2 + 5 + 1
3 8 12
Solución:

El mcm (3, 8, 12) = 24, entonces
2 5 1 1 6 +1 5 +1 4 45 15
+ + = = =
3 8 12 24 24 8

55

Análogamente para la resta.

Ejemplo:
5 1 7
- - = ?
6 4 12

Solución: El mcm (6, 4, 12) = 12, entonces

5 1 7 1 0 -3 -7 0
- - = = = 0
6 4 12 12 12

Multiplicación de Fracciones

Para multiplicar dos o más fracciones, multiplicamos los
numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Ejemplo:
4 8 4×8 32
× = =
3 9 3×9 27

56

División de Fracciones

Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz los términos de
las fracciones.

Ejemplo:
8 4 8×3 24 6
÷ = = =
5 3 5×4 20 5

FRACCIONES EQUIVALENTES DECIMALES CONVERTIBLES EN CLASES DE
FRACCIONES FRACCIONES

57

FRACCIONES EQUIVALENTES

Toda fracción es un número racional
y cada número racional consta de
infinitas fracciones equivalentes las
cuales se pueden obtener
multiplicando el numerador y
denominador de la fracción por el
mismo número.

Ejemplo:

3 9
y
Las fracciones 5 15 son
fracciones equivalentes ya que
3 m ultiplicado por 3 9
=
5 m ultiplicado por x 3 15
58

DECIMALES CONVERTIBLES EN FRACCIONES:
Al conjunto de los racionales pertenecen los números decimales finitos,
infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden
transformarse en una fracción (Consultar y estudiar procedimientos).

CLASES DE FRACCIONES:

Según sean numerador y denominador las fracciones se clasifican como:

- FACCIONES PROPIAS: Cuando el numerador es menor que el
denominador.
Ejemplos: 1 , 3 , 1 1
7 8 50
- FRACCIONES IMPROPIAS: Cuando el numerador es mayor que el
denominador.
Ejemplos: 1 1 , 3 , 1 1
7 2 3

USOS DE LOS RACIONALES PROPIEDADES DE LAS
OPERACIONES DE LOS RACIONALES
59

USOS DE LOS RACIONALES:
,
•Para expresar una o varias de las partes en que se ha dividido la unidad.
Ejemplo: una de tres partes de la unidad: 1
3
,
• Para expresar la distribución de una cantidad en varias partes iguales:
.
Ejemplo: siete unidades distribuidas en dos: 7
2

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE RACIONALES

Asociativa

En una suma de números racionales pueden agruparse los sumandos de cualquier
forma y su resultado no varía.
.
2 1 7 2 1 7
+ + = + +
Ejemplo: 3 5 15 3 5 15
13 7 2 10
+ = +
15 15 3 15
20 20 2 1 7 2 1 7
=
15 15 3 5 15 3 5 15
13 7 2 10
15 15 3 15
20 20
15 15 60sigue

Conmutativa

El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total
de la suma.
Ejemplo:
2 1 7 1 7 2
+ + = + +
3 5 15 5 15 3

20 20
=
15 15

Elemento neutro

En el conjunto de los números racionales existe un número
que sumado a cualquier otro da siempre este último. Este
número se llama elemento neutro de la suma y es el cero.
Ejemplo:
3 0 9+0 9 3
+ = = =
4 6 12 12 4

61

Existencia del opuesto

El opuesto del número 3 e s - 3
7 7

La suma de dos números opuestos pertenece a la clase del
numerador cero.

Ejemplo: 3 -3 0
+ = = 0
7 7 7

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE RACIONALES

Asociativa

En un producto de números racionales pueden sustituirse dos o
más de los factores por el producto efectuado.
3 5 7 11 1155 77
× × × = =
Ejemplo: 2 3 5 2 60 4

62

Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto.

Ejemplo:
2 7 7 2 14
× = × =
5 3 3 5 15

Elemento neutro

En el conjunto de los números racionales existe un número que, multiplicado por
cualquier otro, da siempre este último. A tal número se le llama elemento neutro
respecto del producto. Es el representado por las fracciones del tipo a = 1
(numerador y denominador iguales). a

Elemento inverso o inverso multiplicativo

Es el que, multiplicado por un número racional, hace que su producto sea el
elemento neutro.

2 5 10
Ejemplo: × = = 1
5 2 10
2 5 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
63
Para 5 el inverso es 2 porque :

RAZONES Y PROPORCIONES

Una razón es la comparación de dos números por medio de un
cociente. Este cociente se interpreta como el número de veces
que uno de ellos es mayor que el otro, esto se expresa como:
a
, b 0
b
Al término a se le llama antecedente y al término b,
consecuente.

Las razones y proporciones tienen una gran aplicación en
diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean las
escalas para realizar planos y maquetas, en las área
estadística y financiera para realizar cálculos de índices y, en
la vida diaria, para distribuciones y desarrollar ciertas
operaciones aritméticas.

64

Ejemplo de razones:

Una persona, al comprar una caja que contiene 30 huevos, observó que seis
salieron quebrados; la razón que se obtiene es:
6 H u e vo s q u e b ra d o s
30 T o ta l d e h u e vo s

Simplificando la razón, se tiene:
6 1
= o 1÷ 5
30 5

lo cual se interpreta como: un huevo de cada cinco está quebrado.

PROPORCIONES

Se llama proporción a la equivalencia entre dos razones y, se
expresa como:
a c
= , donde b y d ≠ 0
b d

en las proporciones, los términos a y d se denominan extremos y
b y c, medios.
65

Una proporción está formada por dos razones igualadas. De este modo, el
producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Propiedad fundamental de las proporciones:

a c
= , si y sólo si a × d = b × c donde b y d ≠ 0
b d

Ejemplo:
Un albañil compró 3.5 m. de tubería y pagó por ella $ 14000. Si necesita 8 m.
de la misma tubería, ¿cuánto deberá pagar?

Solución:
Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones y efectuando las
operaciones se tiene:
3 .5 m 8m
= ; 8 m $ 1 4 0 0 0 = 3 .5 m x
$ 14000 x
8m $ 14000
x = = $ 32000
3 .5 m
L o s 8 m d e tu b e ría c u e s ta n $ 3 2 0 0 0

Recuerde:
Dos razones forman una proporción, solamente cuando el
producto de sus extremos es igual alARANGO
CARLOS ENRIQUE VILLA
producto de sus medios.
66

Fracción mixta

Una fracción es mixta cuando está compuesta por un entero y un
fraccionario.

co rre sp o n d e a : 1 + 1 + 1
4
D o s e n te ro s y u n cu a rto .

E je m p lo : R e d u c ir 6 a u n a fra c c ió n e q u iv a le n te d e d e n o m in a d o r 7 .
6×7 42
S o lu c ió n : 6 = =
1× 7 7

E je m p lo : R e d u c ir 1 7 a n o v e n o s
17 9 153
S o lu c ió n : 17 = =
1 9 9
67

Si a > b entonces:
a
>1 y tenemos por lo tanto una fracción impropia en la que si dividimos:
b

nos da:

Ejemplo:

por lo tanto:

68

La fracción
2
Puede expresarse también como: 1
3
2 1× 3 + 2 5
y: 1 = =
3 3 3

Ejemplos:
E je m p lo 1 :
1
C o n v e rtir 3 e n fra ccio n a rio .
5
S o lu ció n :
1 3×5 +1 16
3 = =
5 3 3

E je m p lo 2 :
16
C o n v e rtir e n m ixto
5
S o lu ció n :
D iv id im o s nos queda por lo tanto:

69

NÚMEROS
IRRACIONALES

70

El conjunto de los números irracionales, Q’, está
constituido por todos los números decimales infinitos
y no periódicos, es decir, son aquellos números que
no pueden transformarse en una fracción .

Los siguientes son números irracionales:

0.12345678910111213...
12.101001000100001...
126.122333444455555... PROPIEDADES
Son también números irracionales aquellos USOS DELOS Q’
que tienen raíces inexactas, como:
SUMA Y SUS
3
7, 3, 2, PROPIEDADES

MULTIPLICACIÓN Y SUS
PROPIEDADES

71

Los números irracionales Q’, tienen la importante propiedad de poder
ser aproximados con el grado de precisión que se necesite.

USOS DE LOS IRRACIONALES:
El número ,es una constante y el número e = 2.718281828… también
considerado constante, ellos están en los cálculos de áreas y volúmenes y en los
exponenciales y logaritmos.
3
Las raíces inexactas como 2, 5 ,tienen que ver con cálculos comunes en las
7,
asignaturas con base matemática.

72

ADICIÓN O SUMA DE NÚMEROS IRRACIONALES:

Es la combinación interna de unidades decimales que se originan
de una suma algebraica de dos o mas sumandos

23 2 e 1 3 .7 9 7 2 9 9 ...

PROPIEDADES
73

PROPIEDADESDE LA SUMA

1. Asociativa
En una suma de números irracionales pueden agruparse los sumandos de
cualquier forma y su resultado no varía.
2 5 7 ( 2 5) 7

6 .2 9 6 0 3 ... 2 ( 5 7)
6 .2 9 6 0 3 ... 6 .2 9 6 0 3

2. Conmutativa
El orden que se le de a los sumandos no altera el valor total de la suma.

2 5 7 5) 2 7

6 .2 9 6 0 3 ... 7 2 5
6 .2 9 6 0 3 ... 6 .2 9 6 0 3
74

Elemento neutro
En el conjunto de los números irracionales existe un número que
sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se llama
elemento neutro de la suma y es el cero.

33 0 33 5 .7 4 4 5 6 ...

75

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES

Para multiplicar los decimales, ellos se multiplican como enteros y en el
producto se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos
factores, escribiendo ceros a la izquierda si son necesarios para separar
las cifras decimales.

Pero en cuanto a la unidad seguida de ceros, se recorre la coma decimal
tantos lugares como ceros tengan el multiplicando, añadiendo a la derecha
del numero decimal los ceros que sean precisos para poder recorrer el
punto decimal
3
11 x 1 7 = 8 .5 2 7 9 7

3 e 1 4 .7 9 1 2 5 ...

76

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

1. Asociativa
En un producto de números irracionales pueden agruparse dos o más de los
factores en una forma cualquiera.

13 x ( 5 x 17 ) ( 13 x 5 ) x 17
3 .6 0 5 5 ... x 9 .2 1 9 5 ... 8 .0 6 2 2 6 ... x 4 .1 2 3 1
3 3 .2 4 1 3 3 .2 4 1
2. Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.

17 x 2 2 x 17
4 .1 2 3 1 x 1 .4 1 4 2 1 3 1 .4 1 4 2 1 3 x 4 .1 2 3 1 5 .8 3 1
77

78

NÚMEROS REALES

79

Números Reales
Se le denominan números reales cualquier número que pertenezca a los racionales (Q) o a
los irracionales (Q’) .
Pueden expresarse de forma decimal, como número entero, decimal exacto, decimal
periódico o no periódico.

Números Reales (R)
R = {Q Q'}

Las propiedades de los reales están separadamente en los números naturales, enteros,
racionales e irracionales.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES DE LOS REALES PORCENTAJES
80

Conmutativa para la adición:

La conmutatividad implica que no importa el orden de operación, el
resultado siempre es el mismo.

Por ejemplo:
4.2 + 2.3 = 2.3 + 4.2

Conmutativa de multiplicación

Ejemplo:

1.4 × 2.5 = 2.5 × 1.4

Asociativa de adición

La asociatividad implica que no importa el orden en que se agrupe, el
resultado es el mismo.

Por ejemplo:
4 × 2 .7 × 9 .1 = 4 .3 × 2 × 9 .1 = 9 8 .2 8
81

Distributiva de multiplicación sobre adición

Por ejemplo:
3 3×2+3×9 33
× 2 + 9 = =
2 2 2

Ejemplo:

Realizar las sigientes operaciones del polinomio aritmético:

1 7 2
3 -2 - + - 3 .5 - 0 .5
5 5 3

1 7 2
3 -2 - + - 3 .5 - 0 .5
Solución: 5 5 3

6 2
3 -2 - 3
5 3
- 12
3 -2
5
- 12 - 10 - 22 -6 6
3 =3 =
5 CARLOS ENRIQUE5
5 VILLA ARANGO
82

PORCENTAJE:

Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica esta cantidad por el
tanto por ciento y se divide por cien.

Ejemplo:
Calcular el 13% de 45

Solución:
45 ×13 585
13 % de 45 = = = 5 .8 5
100 100

Para saber qué porcentaje es una cantidad con respecto a una base se divide la
cantidad por la base y se multiplica por cien.

Ejemplo:

¿Qué porcentaje es 22 de 88?

Solución:
22 100
%: × 100 = = 25%
88 4 CARLOS ENRIQUE VILLA ARANGO
83

Ejemplo: Juan tiene un sueldo de $527.000 y se gasta el 32% en
arriendo. ¿Cuánto dinero le queda después de pagar el arriendo?
32
Solución: El 32% de $ 527000 es : × $ 527000 = $168640
100

32
Observemos que: 32% es = 0 .3 2
100

A Juan le quedan: $ 527000 - $ 168640 = $ 358360

En muchos ejercicios el empleo de la regla de tres es indispensable
para hallar la solución.

En la próxima diapositiva se describe el procedimiento para la regla de
tres simple directa.

84

REGLA DE TRES

La Regla de Tres simple directa

La Regla de Tres simple relaciona tres magnitudes para obtener una cuarta.

Ejemplo: Si 12 naranjas cuestan $ 72, ¿cuál será el precio de 20 naranjas? La
relación entre 12 y 72 determinará la relación entre 20 y el valor desconocido.

Más naranjas cuestan más dinero. D IR E C T A
Menos naranjas cuestan menos dinero.

Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

12 naranjas ------ $72
$72 20
20 naranjas ------ x donde x = $120
12
Es decir que se multiplican los valores que están en la diagonal que no
contiene a X y se divide ese resultado por el valor que está en la diagonal que
contiene a X.

SIEMPRE LOS DATOS QUE CORRESPONDEN A LA MISMA MAGNITUD
DEBEN QUEDAR EN LA MISMAENRIQUE VILLA ARANGO
CARLOS COLUMNA.
85

La Regla de Tres simple inversa

Ejemplo:

Si 6 obreros tardan 12 días en realizar un trabajo, ¿cuánto tardarán 8 obreros? La
relación entre 6 y 12 nos permitirá averiguar la relación entre 8 y el valor
desconocido.

Más obreros tardarán menos tiempo. Menos obreros tardarán más tiempo.

A MÁS CORRESPONDE MENOS - - - - A MENOS CORRESPONDE MÁS

Esto se resolverá aplicando la llamada: REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

6 Obreros --- 12 días
8 Obreros ------ x días
12 días 6 obreros
donde x = 9 días
8 obreros
es decir que se multiplican entre sí los dos valores de la primera línea horizontal
que no contiene a X y se divide el resultado por el valor de la segunda línea
horizontal que contiene a X.
86

Ejemplo: De qué número es 52 el 15%?

Solución:
El 15% del número que se busca es 52, el 100% será X

Se trabaja una regla de tres simple: 15% …….. 52
100% ……. X
52 × 100%
= 3 4 6 .6 6 c o n d o s d e c im a le s
Entonces: X = 15%

Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo 25% es 425?

Solución: Diremos que el 25% del número que se busca es 425; el 100%, o sea el número buscado será x?

La regla de tres sería 425 … … … … … … 25%

�� … … … … . . … 100%
425×100%
Entonces: �� = 25%
= 1700

87

Números Complejos

Números Complejos (C)
�� = �� + �� / a b ∈ R, �� = − 1

Un número complejo se define como �� = �� + �� (forma binómica) donde a y b son reales y bi es la parte
imaginaria. Llamaremos �� = −1 a la unidad imaginaria.

Con a y b reales. La letra i representa la raíz cuadrada de –1

Ejemplos:

7 + 5��, −8 + 4��, −20 − 6��

88

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