es muy buena aplicacion sobre ampetttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt

1. dy1
dy2
−
t
t
t
Tema 7
Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones
Diferenciales
7.1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Nuestro prop´osito no es resolver sistemas de ecuaciones diferenciales cualesquiera:
dx = f1(x, y1, y2, . . . , yn)
dx = f2(x, y1, y2, . . . , yn)
. .
. .
dyn
dx = fn(x, y1, y2, . . . , yn)
ni tampoco resolver una ecuaci´on diferencial cualquiera de orden n
F(x, y, yt
, . . . , yn)
) = 0.
S´olo nos plantearemos resolver una ecuaci´on diferencial de orden n lineal
yn)
+ a1(x)yn−1)
+ a2(x)yn−2)
+ . . . + an 1(x)yt
+ an(x)y = f(x)
y sistemas de ecuaciones lineales
y1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · · + a1n(x)yn + f1(x)
y2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · · + a2n(x)yn + f2(x)
. . . . .
. . . . .
yn = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · · + ann(x)yn + fn(x)
que lo expresaremos en forma matricial como:
Y t
= A(x)Y + F(x)
1

2. 2 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
0 1 · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
. .
... ... .
y
y
y
y
y
.
. .
. =
y2
. +
0
.
donde
t
1
yt a11(x) · · · a1n(x) f1(x)
Y t =
2
A(x) =
a
.
(x) · · · a (x)
y F(x) =
f (x)t n1 nn n
n
Dada una ecuaci´on diferencial lineal de orden n
yn)
+ a1(x)yn−1)
+ a2(x)yn−2)
+ . . . + an 1(x)yt
+ a (x)y = f(x),− n
si hacemos llamar:
y = y1 , yt
= y2 , ytt
= y3 , yttt
= y4 , . . . , yn−1
= yn
obtenemos el sistema:
dy1
dx
dy2
dx
= yt
= y2
= ytt
= y3
.
dyn−1
dx
= yn−1)
= yn
dyn
= yn)
= −a (x)y − a (x)yt
− . . . − a (x)yn−2)
− −a (x)yn−1)
+ f(x)
dx
n n−1 2 1
= −an(x)y1 − an−1(x)y2 − . . . − a2(x)yn−1 − a1(x)yn + f(x)
que en forma matricial quedar´ıa:
t
1
t
2
y1 0
yt
0 0 · · · 0 1 y 0n−1
t
n −an(x) −an−1(x) · · · −a2(x) −a1(x)
n−1
yn f(x)
Por lo tanto basta estudiar los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden ya que sistemas de ecuaciones de orden superior al primero se reducen a un sistema
diferencial lineal de primer orden, en particular tambi´en se reduce una ecuaci´on diferencial
lineal.
Definici´on 7.1 Si en el sistema Y t
= A(x)Y + F(x) es F(x) = 0 obtenemos
el sistema de ecuaciones Y t
= A(x)Y llamado sistema homogeneo. Al sistema de
ecuaciones Y t
= A(x)Y + F(x) se le llama sistema no homogeneo o completo.

3. 7.1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 3
.
1
.
0
.
.
Teorema 7.1 (de existencia y unicidad) Sea Y t
(x) = A(x)Y (x)+F(x) un sistema
de ecuaciones diferenciales lineal de primer orden tal que A(x) y F(x) son funciones
de matrices continuas en un intervalo I ∈ IR, sea x0 ∈ I e
existe una u´nica soluci´on:
y¯0 ∈ IRn
entonces
Y¯ (x) =
y1(x)
y2(x)
.
tal que Y¯ (x0) = y¯0
yn(x)
Estudiemos primero los sistemas homogeneos ya que, igual que suced´ıa en las ecua-
ciones diferenciales de primer orden, toda soluci´on del sistema completo se puede expresar
como suma de la soluci´on general del homogeneo m´as una soluci´on particular del sistema
completo. Por lo tanto si Y (x) es una soluci´on del sistema no homogeneo y Z(x) es
la soluci´on general del sistema homogeneo entonces existe una soluci´on particular Yp(x)
del sistema completo tal que:
Y (x) = Z(x) + Yp(x)
Para probar esto basta demostrar que Y (x) − Yp(x) = Z(x) o lo que es lo mismo la
diferencia de dos soluciones del sistema completo es una soluci´on del sistema homogeneo
(hacerlo como ejercicio).
7.1.1 Sistema Diferencial Homogeneo
Teorema 7.2 Sea S el conjunto de soluciones del sistema lineal homogeneo Y t
(x) =
A(x)Y (x) donde A(x) es una matriz continua de orden n. Entonces S es un espacio
vectorial de dimensi´on n
Demostraci´on
Probar que S es un espacio vectorial es facil, basta comprobar que si Y1(x) , Y2(x)
son soluciones, entonces αY1(x) + βY2(x) tambi´en lo son, (hacerlo como ejercicio).
Probemos ahora que dimS = n. Para ello basta encontrar una base de n elementos;
dicha base es:
{Y1(x), · · · , Yn(x)} donde Yi(x) i = 1, · · · , n son soluciones de los problemas de
valor inicial
Y t
(x) = A(x)Y (x)
Y (x0) = ei i = 1, · · · , n
0
.
donde ei =
i)
0
• Son linealmente independientes:

4. 4 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
. .
.
Supongamos que λ1Y1(x) + · · · + λnYn(x) = 0 ∀x ∈ I =⇒
λ1Y1(x0) + · · · + λnYn(x0) = 0 =⇒ λ1e1 + · · · + λnen = 0 =⇒
λ1 = λ2 = · · · = λn = 0
• Forman un sistema de generadores:
Sea Y (x) una soluci´on cualquiera del sistema homogeneo, sea Y (x0) = y0 y0 ∈ IRn
luego ∃ λi i = 1, · · · , n tal que y0 = λ1e1 + · · · + λnen = 0
Consideremos tambi´en Z(x) = λ1Y1(x0) + · · · + λnYn(x0) = 0 es una soluci´on del
problema de valor inicial
Y t(x) = A(x)Y (x)
Y (x0) = y0
Exactamente igual que Y (x) como la soluci´on es
.n
u´nica es Z(x) = Y (x) =
i=1 λiYi(x) luego {Y1(x), · · · , Yn(x)} forman un sistema de generadores de S.
Definici´on 7.2 A una base del espacio vectorial de soluciones de un sistema homogeneo
se le llama sistema fundamental de soluciones y a la matriz M (x) cuyas colum-
nas forman un sistema fundamental de soluciones se le llama matriz fundamental de
soluciones.
Si {Y1(x), · · · , Yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones del sistema homogeneo
Y t
(x) = A(x)Y (x) entonces cualquier soluci´on se puede expresar como Y (x) = c1Y1(x)+
· · · + cnYn(x) y dejando las constantes c1, c2, · · · , cn como constantes arbitrarias se
obtiene la soluci´on general
Lo podemos expresar en forma matricial Y (x) = M (x)C donde M (x) es la matriz
fundamental de soluciones que tiene por columnas las soluciones Yi(x) y C es el vector
columna que tiene por componentes las constantes ci o sea:
. .
c1
. c2
Y (x) = M (x)C = Y1(x) Y2(x) · · · Yn(x) .
. . .
cn
Nos planteamos las siguientes preguntas:
1. Dadas n soluciones del sistema homogeneo {Y1(x), · · · , Yn(x)}. ¿C´omo sabemos
que forman un sistema fundamental de soluciones?
2. ¿C´omo se encuentra un sistema fundamental de soluciones?
Para responder a la primera pregunta , o sea para saber si {Y1(x), · · · , Yn(x)} son un
sistema fundamental de soluciones, la u´nica condici´on es que sean linealmente indepen-
dientes, y el instrumento para saber si n funciones Y1(x), · · · , Yn(x) son linealmente
independientes es el llamado wronskiano.

5. 7.1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 5
W(Y1(x), · · · , Yn(x)) = . .
ƒ= 0 ∀x ∈
I
. . .
.
.
.
.
. .
... .
Teorema 7.3 Sean:
y11
y21
y12
y22
y1n
y2n
Y1(x) =
.
Y2(x) = . · · · Yn(x) = .
yn1 yn2 ynn
soluciones del sistema homogeneo Y t
(x) = A(x)Y (x) en un intervalo I. Una condici´on
necesaria y suficiente para que Y1(x), · · · , Yn(x) sean linealmente independientes es que
el wronskiano de Y1(x), · · · , Yn(x) sea distinto de cero ∀x ∈ I
.
y11 y12 · · · y1n
.
.
y21 y22 · · · y2n
.
. .
. .
. .
. .
. .
. yn1 yn2 · · · ynn
.
Se puede hacer m´as facil todav´ıa utilizando el siguiente teorema que daremos sin
demostraci´on.
Teorema 7.4 Si Y1(x), · · · , Yn(x) son soluciones del sistema homogeneo Y t
(x) =
A(x)Y (x) entonces se cumplen una de las dos condiciones siguientes:
W(Y1(x), · · · , Yn(x)) = 0 ∀x ∈ I o bien W(Y1(x), · · · , Yn(x)) ƒ= 0 ∀x ∈ I
Luego para saber si {Y1(x), · · · , Yn(x)} es un sistema fundamental de soluciones basta
encontrar algu´n x0 para el que W(Y1(x0), · · · , Yn(x0)) ƒ= 0
Teorema 7.5 Una matriz M (x) es una matriz fundamental de soluciones del sistema
Y t(x) = A(x)Y (x) si y s´olo si M t(x) = A(x)M (x) y detM(0) ƒ= 0. (La derivada de
una funci´on con valores matriciales M (x) es la matriz cuyos elementos son las derivadas
de los elementos correspondientes de M (x)
Demostraci´on
Den´otese por Y1(x), · · · , Yn(x) las n columnas de M (x). Obs´ervese que:
M t
(x) =
.
Y t
(x), · · · , Y t
(x)
.
1 n
y
A(x)M (x) =
.
A(x)Y1(x), · · · , A(x)Yn(x)
.
Por lo tanto, las n ecuaciones vectoriales Y t
(x) = A(x)Y1(x), · · · ,Y t
(x) = A(x)Yn(x)1 n
M t
son equivalentes a la ecuaci´on matricial (x) = A(x)M (x). M´as au´n, n soluciones
Y1(x), · · · , Yn(x) son linealmente independientes si y s´olo si Y1(0), · · · , Yn(0) son vectores
linealmente independientes en IRn
. Los vectores, a su vez, son independientes si y s´olo si
detM(x) ƒ= 0, con lo que queda demostrado el teorema.
La respuesta a la segunda pregunta la abordaremos solo para el caso en el que A(x)
sea una matriz A de coeficientes constantes

6. 6 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
An+1xn .
Anxn .
n!
+ · · · = A I + Ax + · · · +
n!
· · ·
. . . . .
7.1.2 Sistemas Homogeneos de Coeficientes Constantes
Sea el sistema homogeneo de coeficientes constantes Y t
(x) = AY (x) . Hallaremos
la matriz fundamental de una forma muy ingeniosa. Recuerdese que y(x) = eax
c es
una soluci´on de la ecuaci´on diferencial escalar yt
(x) = ay(x), para cualquier constante
c. De manera an´aloga, ser´ıa deseable poder decir que Y (x) = eAx
V es una soluci´on de
Y t
(x) = AY (x) para cualquier vector constante V , donde:
¸
Adx = Ax
Tenemos una dificultad que es definir eAx
, sin embargo hay una manera muy natural
de calcularlo de forma que se asemeje a la exponencial escalar eax
, simplemente se define
como:
eAx
≡ I + Ax +
En particular se cumple que:
A2
x2
2!
+ · · · +
An
xn
n!
+ · · ·
d
eAx
= A + A2
x +
dx
A3x2
2!
+ · · · + + = AeAx
luego:
d
eAx
= AeAx
en particular
dx
d
eAx
V = AeAx
V
dx
En consecuencia, M (x) = eAx = e
¸
Adx
es una matriz fundamental de soluciones ya
que dicha matriz verifica la ecuaci´on M t(x) = AM (x) y M (0) = eA0 = I por lo que
detM (0) = 1 ƒ=
0.
Ahora para calcular la matriz fundamental podemos hallar directamente la matriz eAx
como se hizo en la asignatura de Algebra de primero o bien hallamos n soluciones inde-
pendientes, de cualquier forma hay que hallar los autovalores, autovectores y autovectores
generalizados de la matriz de los coeficientes A.
Al final del cap´ıtulo damos un pequen˜o resumen de todas estas t´ecnicas.
Ya conocemos una matriz fundamental de soluciones del sistema homog´eneo Y t
(x) =
AY (x) la matriz eAx
, pero es dif´ıcil de calcular. Resolveremos el problema con el siguiente
teorema:
Teorema 7.6 Sean {v1, · · · , vn} los autovectores y autovectores generalizados de la ma-
triz A. Entonces las funciones eAx
vi i = 1, · · · , n son n soluciones independientes del
sistema homog´eneo Y t(x) = AY (x).
Demostraci´on
Que son soluciones ya lo hemos probado, veamos que son independientes.
. . . . . .
W(eA0
v1, · · · , eA0
vn) = det Inv1 Inv2 · · · Invn = det v1 v2 · · · vn = detP ƒ=
0
. . . . . .

7. 7.1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 7
i i
n!
Comencemos a calcular las soluciones del sistema homog´eneo Y t
(x) = AY (x) sepa-
rando en diferentes casos, segu´n sean los autovectores y autovalores de A.
A tiene n vectores propios independientes
Sean v1, · · · , vn los n autovectores independientes de A asociados a autovalores λi que
pueden ser iguales.
Las soluciones son : eAxvi i = 1, · · · , n hallemos cada una de ellas:
eAx
vi = e(A−λiI)x
eλiIx
vi
La anterior igualdad es cierta basandose en la propiedad de que eAB
= eA
eB
⇐⇒
AB = BA en nuestro caso es (A − λiI)(λiI) = (λiI)(A − λiI)
Pero:
eλiIx
vi =
.
I + λiIx +
λ2I2x2
2!
.
+ · · · vi =
.
1 + λix +
λ2x2
2!
.
+ · · · vi.I = eλix
vi.I
Por lo tanto:
Ahora bien:
eAx
vi = eλix
e(A−λiI)x
vi
xn
e(A−λiI)x
vi = vi + x(A − λiI)vi + · · · + (A − λiI)n
vi + · · ·
Luego :
(A − λiI)vi = · · · = (A − λiI)n
vi = 0∀n ∈ N
eAx
vi = eλix
vi
A tiene autovalores complejos distintos
Si λ = a + ib es un autovalor complejo de A con autovector v = v1 + iv2, entonces
Y (x) = eλxv es una soluci´on con valores complejos del sistema Y t(x) = AY (x).
Teorema 7.7 Sea Y (x) = U(x) + iV (x) una soluci´on del sistema Y t
(x) = AY (x)
con valores complejos. Entonces tanto U(x) = Re(Y (x)) como V (x) = Im(Y (x)) son
soluciones reales del sistema y adem´as son independientes.
En nuestro caso la soluci´on es :
Y (x) = e(a+ib)x
(v1 + iv2) = eax
(cosbx + isenbx)(v1 + v2) =
= eax
[(v1cosbx − v2senbx) + i(v2cosbx + v1senbx)]
Por lo que sus soluciones reales son:
Y1(x) = eax
(v1cosbx − v2senbx)
Y2(x) = eax
(v2cosbx + v1senbx)
Del autovalor a − ib se obtienen las mismas soluciones.

8. 8 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
− i i−1 i−2
· · · + v − n−1
n!
2!
−
Caso en que la forma can´onica de Jordan de la matriz del sistema, A, sea un
bloque de Jordan de orden mayor que uno, con autovalor λ ∈ IR
Sean v1 el autovector asociado a λ y v2, v3, · · · , vn los autovectores generalizados.
Ya conocemos la soluci´on eAx
v1 = eλx
v1 hallemos las restantes:
eAx
vi = eλx
e(A−λI)x
vi
Ahora bien:
e(A−λI)x
vi = vi + x(A − λI)vi + · · · + xn
(A − λI)n
vi + · · ·
Pero vi verifica que (A − λ)i
)vi = 0 y tambi´en (A − λ)m
vi = 0∀m ≥ i
Luego:
e(A−λI)x
vi = vi + x(A − λI)vi +
y utilizando el hecho de que:
x2
(A − λI)2
vi · · · +
xi−1
(i − 1)!
(A − λI)i−1
vi 1
(A−λI)vi = vi 1 (A−λI)2
v = (A−λI)v = v · · · (A−λI)
obtenemos la soluci´on:
i−2
vi = v2 (A−λI)i−1
vi = v1
.
eAx
vi = eλx
v1
xi−1
+ v2
xi−2
· · · + vi
x2
2 + vi
.
1x + v
(i − 1)! (i − 2)!
−
2!
− i
Luego las n soluciones linealmente independientes son:
Y1(x) = eλx
v1
Y2(x) = eλx
[v1x + v2]
Y3(x) = eλx
.
.
x2
v1
2!
.
+ v2x + v3
.
xn−2 xn−3
.
Yn−1(x) = eλx
v1 + v2 n 2x + v
(n − 2)! (n − 3)!
Yn(x) = eλx
.
xn−1
v1
(n − 1)!
+ v2
xn−2
(n − 2)!
x2
· · · + vn−2
2!
+ vn
.
−1x + vn
A tiene autovalores complejos mu´ltiples
Las mismas soluciones que en el caso de autovalores reales mu´ltiples pero por cada
soluci´on compleja obtenemos dos solucines reales, la parte real y la parte imaginaria.

9. 7.2. ECUACIO´N DIFERENCIAL HOMOGENEA DE ORDEN N CON COEFICIENTES CONSTA
0 1 0
0 0 1 0
0 0 1 0
y
y
y
y
y
. .
−
. =
3
.
y
.
7.2 Ecuaci´on Diferencial Homogenea de Orden n con
Coeficientes Constantes
Transformando la ecuaci´on diferencial:
yn)
+ a1yn−1)
+ a2yn−2)
+ . . . + an 1yt
+ a y = 0− n
a sistema, nos queda:
t
1
t
2
t
3
... ... ... ...
y1
y2
n−2 0 0 1 n−2
yt
n−1 yn−1yt
t
n
0 0 1
−an −an−1 · · · · · · −a2 −a1 yn
Calculemos su polinomio caracter´ıstico:
.
.
.
.
.
.
.
.
|A − λI| =
.
.
.
.
.
.
.
−λ 1 0
0 −λ 1 0
0 −λ 1 0
... ... ... ...
0 −λ 1
0 −λ 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
= 0
.
.
.
.
.
.
. −an −an−1 · · · · · · −a2 −a1 − λ .
Desarrollando por la u´ltima fila obtenemos:
λn
+ a1λn−1
+ a2λn−2
+ . . . + an 1λ + an = 0
Otra caracter´ıstica propia de los sistemas que provienen de ecuaciones diferenciales
lineales de orden n es que si λ es un autovalor entonces dimker(A − λI) = 1, solo hay
un u´nico autovector independiente; luego no puede ocurrir que haya 2 bloques de Jordan
con el mismo autovalor, cada autovalor genera un bloque de Jordan y solo uno.
Demostr´emoslo.
Sea v ∈ ker(A − λI) =⇒ (A − λI)v = 0
−λv1 + v2 = 0 =⇒ v2 = λv1
−λv2 + v3 =
.
0 =⇒ v3 = λv2 = λ2
v1
−λvn−12 + vn = 0 =⇒ vn = λvn−1 = λ
−anv1 − an−1v2 − . . . − a2vn−2 − a1vn−1 − λvn = 0
n−1
v1

10. 10 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
=
· · · + v − n−1
λ
. .
.
.
.
v1
v2
v = v3
v1
λv1
λ2
v
1
2
1 = v1 λ
.
vn λn−1
v1 λn−1
se ve que solo depende de un par´ametro, v1, el autovalor λ es fijo.
Veamos ahora los diferentes casos segu´n las raices del polinomio caracter´ıco:
• Si solo tiene autovalores reales simples: λ1, λ2, · · · , λn sus soluciones son eλ1x
, eλ2x
, · · · , eλnx
y son un sistema fundamental de soluciones.
• Si tiene un autovalor complejo simple a+ib una soluci´on independiente es e(a+ib)x
=
eax
(cosbx+isenbx) genera dos soluciones reales independientes eax
cosbx y eax
senbx
• si tiene un autovalor real λ de multiplicidad k las soluciones que nos sal´ıan como
sistema eran:
Y1(x) = eλx
v1
Y2(x) = eλx
[v1x + v2]
Y3(x) = eλx
.
.
x2
v1
2!
.
+ v2x + v3
.
xn−2 xn−3
.
Yn−1(x) = eλx
v1 + v2 n 2x + v
(n − 2)! (n − 3)!
Yn(x) = eλx
.
xn−1
v1
(n − 1)!
+ v2
xn−2
(n − 2)!
x2
· · · + vn−2
2!
+ vn
.
−1x + vn
Agrupando t´erminos, la soluci´on general es:
Y (x) = c1Y1(x) + c2Y2(x) + c3Y3(x) + · · · + cn−1Yn−1(x) + cnYn(x) =
= eλx
. .
x2
v1 1 + x +
2!
+ · · · +
xn−2
(n − 2)!
xn−1
.
+ +(n − 1)!
.
xn−3 xn−2
. .
x2
. .
v2 1 + x + · · · +
(n − 3)!
+
(n − 2)!
+ · · · + vn−2 1 + x +
2!
+ vn−1 (1 + x) + vn
Escrito en forma de vectores quedar´ıa:
y1(x)
.
y11(x)
.
yn1(x)
.= c1 + · · · + cn . =
yn(x) y1n(x) ynn(x)

11. 7.3. LA ECUACIO´N NO HOMOGENEA. VARIACIO´N DE PARA´METROS 11
= e
+
+ .
t
t
t
.
c
λx
v11
.
v1n
v21
.
x2
c1 + c2x + c3
2!
.
+ · · · + cn−1
xn−2
(n − 2)!
+ cn
xn−1
.
+(n − 1)!
.
v2n
c2 + c3x + · · · + cn−1
xn−3
(n − 3)!
+ cn
xn−2
(n − 2)!
+ · · ·
· · · +
v(n−2)1
.
v(n−2)n
.
cn 2 + c x + c
x2
. v(n−1)1
.
v(n−1)n
(cn−1 + cn x) +
vn1
.
vnn
nn
Como de la soluci´on general Y (x) u´nicamente nos interesa la primera coordenada
y1(x), las restantes son las derivadas sucesivas , en la ecuaci´on anterior basta con-
siderar las primeras coordenadas, entonces si llamo y(x) = y1(x) reagrupo t´erminos
y renombro las constantes nos queda
y(x) = k1eax
+ k2xeax
+ k3x2
eax
+ · · · + knxn−1
eax
Luego:
eax
, xeax
, x2
eax
, · · · , xn−1
eax
es un sistema fundamental de soluciones
• y por u´ltimo si tiene un autovalor complejo a + ib de multiplicidad m sus soluciones
complejas son:
e(a+ib)x
, xe(a+ib)x
, x2
e(a+ib)x
, · · · , xm−1
ea+ib)x
y las soluciones reales son:
eax
cosbx, eax
senbx, xeax
cosbx, xeax
senbx, · · · , xm−1
eax
cosbx, xm−1
eax
senbx
7.3 La Ecuaci´on no Homogenea. Variaci´on de Par´ametros
Para resolver la ecuaci´on no homogenea
y1 = a11y1 + a12y2 + · · · + a1nyn + f1(x)
y2 = a21y1 + a22y2 + · · · + a2nyn + f2(x)
. . . . .
yn = an1y1 + an2y2 + · · · + annyn + fn(x)
que lo expresaremos en forma matricial como:
Y t
= AY + F(x)

12. 12 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
y
y
y
. .
.
i=1 i
. .
.
.
.
2
.
donde
t
1
t
Y t =
2
A =
a11
.
· · · a1n
.
f1(x)
.
. y F(x) =
t
n
an1
· · · ann fn(x)
Hay que resolver primero la ecuaci´on homogenea Y t
(x) = AY (x).
Sean Y1(x), · · · , Yn(x) un sistema fundamental de soluciones de la ecuaci´on homoge-
nea, entonces la soluci´on general es Y (x) = c1Y1(x) + · · · + cnYn(x) donde c1, · · · , cn son
constantes arbitrarias, y se puede expresar
. .
c1
. c2
Y (x) = M (x)C = Y1(x) Y2(x) · · · Yn(x) .
. . . cn
El m´etodo de variaci´on de par´ametros se utiliza para encontrar una soluci´on particular
de la no homogenea y consiste en buscar una soluci´on del tipo Y (x) = M (x)C (x) donde
sustituimos el vector de constantes .
c1
c2
C =
cn
por otro de funciones de x C(x) =
c1(x)
c (x)
cn(x)
Sea Y (x) = M (x).C (x) =⇒ Y t(x) = M t(x).C (x)+M(x).C t(x) como debe ser soluci´on
de la completa cumplir´a:
M t
(x).C (x) + M (x).C t
(x) = A.M (x).C (x) + F(x)
Pero M t(x).C (x) =
.n
es
Y t
(x).ci(x) como cada Yi(x) es una soluci´on de la homogenea
n n
Y t t
. .
i (x) = A.Yi(x) =⇒ M (x).C (x) =
Luego la ecuaci´on queda:
i=1
A.Yi(x).ci(x) = A
i=1
Yi(x).ci(x) = A.M (x).C (x)
AM (x).C (x) + M (x).C t
(x) = AM (x).C (x) + F(x) =⇒ M (x).C t
(x) = F(x)
Por ser M (x) matriz fundamental es M (x) ∀x ∈ IR regular, de esta forma ∃M−1
(x) =⇒
Ct
(x) = M −1
(x).F(x). Luego:
¸
C(x) = M −1
(x).F(x)dx

13. 7.3. LA ECUACIO´N NO HOMOGENEA. VARIACIO´N DE PARA´METROS 13
. . . . . .
eAx
v1 eAx
v2 · · · eAx
vn = eA x
v1 v2 · · · vn
. .
= eAx
.P
−
As´ı la soluci´on particular de la ecuaci´on completa ser´a:
¸
Y (x) = M (x). M −1
(x).F(x)dx
Entonces la soluci´on general de la ecuaci´on completa es la suma de la soluci´on general
de la homogenea m´as una soluci´on particular de la completa.
¸
Y (x) = M (x).C + M (x). M −1
(x).F(x)dx
Si tomo como matriz fundamental de soluciones M (x) = eAx
entonces la ecuaci´on
anterior se simplifica bastante ya que, su principal escollo es el c´alculo de M −1
(x) que en
nuestro caso vale e−Ax
y asi tenemos:
Y (x) = eAx
.C + eAx
.
¸
e−Ax
.F(x)dx
Cambiando la variable dentro de la integral se simplica la expresi´on:
Y (x) = eAx
.C + eAx
.
¸
e−At
.F(t)dt
y metiendo la exponencial dentro de la integral queda:
Y (x) = eAx
.C +
¸
eAx
.e−At
.F(t)dt = eAx
.C +
¸
eA(x−t)
.F(t)dt
ATENCION.- Nosotros no hemos calculado en este tema la matriz fundamental eAx
sino la matriz fundamental cuyas solucines son eAx
v1, · · · , eAx
vn le llamar´e B(x) donde
v1, · · · , vn son los autovectores y autovectores generalizados, estos vectores son las colum-
nas de la matriz P de paso para el c´alculo de la forma can´onica de Jordan de la matriz A
o sea:
B(x) =
. . . . . .
Luego eAx
= B(x).P −1
y eA(x−t)
= B(x − t).P−1
y la soluci´on quedar´a:
Y (x) = B(x).P −1
.C +
¸
B(x t).P−1
.F(t)dt
renombrando la matriz P−1
.C como una matriz C queda:
¸
Y (x) = B(x).C + B(x − t).P−1
.F(t)dt

14. 14 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Si queremos resolver un problema de valor inicial:
.
Y t
(x) = AY (x) + F(x)
Y (X0) = Y0
La soluci´on ser´a:
Y (x) = B(x).C +
¸ x
B(x − t).P−1
.F(t)dt
x0
Como Y (x0) = B(x0).C = Y0 =⇒ C = B−1
(x0).Y0 y as´ı la soluci´on es:
¸ x
Y (x) = B(x).B−1
(x0).Y0 + B(x − t).P−1
.F(t)dt
x0
7.4 Resumen sobre formas can´onicas de Jordan
• Sea A una matriz de orden n, un escalar λ ∈ IR se llama autovalor (valor propio)
de A si existe un vector v ∈ IRn
llamado autovector (vector propio) asociado al
autovalor λ tal que:
Av = λv ⇐⇒ (A − λI)v = 0
La condici´on para que exista v ƒ= 0 es que det(A − λI) = 0 es el llamado
polinomio caracter´ıstico que nos proporciona todos los autovalores de A
• Si λ es un autovalor de A, al conjunto de todas las soluciones del sistema (A−λI)x =
0 es el K er(A − λI), es el espacio vectorial de todos los autovectores asociado al
autovalor λ
• Si λ es un autovalor complejo de A, λ¯ tambi´en es autovalor de A y si x es un
autovector complejo del autovalor λ entonces tambi´en es x¯ autovector de λ¯
• Si λ1, λ2, · · · , λn son autovalores de A distintos y x1, x2, · · · , xn son sus autovectores
asociados, entonces x1, x2, · · · , xn son independientes.
• Si denotamos por ma(λ) la multiplicidad de λ como raiz del polinomio caracter´ıstico
(se llama multiplicidad algebraica) y por mg(λ) a la dimK er(A − λI) (llamada
multiplicidad geom´etrica entonces:
1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ)
• teorema. (Forma can´onica de Jordan)
Sea A una matriz cuadrada. Sean λ1, λ2, . . . , λr los autovalores de A con multi-
plicidades ma(λi) = mi i = 1, · · · r. Entonces existe P ∈ Mn×n(IR) regular, tal

15. 7.4. RESUMEN SOBRE FORMAS CANO´NICAS DE JORDAN 15
P−1
AP = J =
J
J
i
i
i
J
i
que:
(m1 )
λ1
(m2 )
λ2
...
(mr)
λr
λi 1 0
0 λ 1 0
Donde J
(mi))
=
0 λi 1 0
...
...
...
...λi
0 λi 1 0
0 λi 1
0 λi
es el bloque de Jordan de orden mi con λi en la diagonal y unos en la sobrediagonal.
• Hay tantos bloques de Jordan en la diagonal como autovectores independientes. Por
lo tanto el nu´mero de bloques de Jordan coincide no con el nu´mero de autovalores,
sino con el nu´mero de autovectores independientes.
• Las columnas de la matriz P son precisamente los autovectores independientes, por
eso P es regular.
• Si mg(λi) = ma(λi) ∀i = 1, · · · , r tendr´ıamos n autovectores independientes y
podr´ıamos calcular la matriz P y consecuentemente la forma can´onica de Jordan,
que en este caso es diagonal
• ¿Y si para algu´n i es mg(λi) < ma(λi)?. Hay que encontrar otros vectores llamados
autovectores generalizados que suplan a los autovectores que faltan. Veamos como
se hallan.
• Si vi es un autovector asociado al autovalor λi entonces (A − λiI)vi = 0
Para encontrar un autovector generalizado asociado a λi buscamos un vector V 1
tal
que:
(A − λiI)v1
= vi ⇐⇒ (A − λiI)2
v1
= 0i i
Seguimos buscando otro v2
tal que:
(A − λiI)v2
= v1
⇐⇒ (A − λiI)3
v2
= 0i i i
y otro v3
tal que :
(A − λiI)v3
= v2
⇐⇒ (A − λiI)4
v3
= 0i i i
y asi hasta que no sea posible encontrar m´as.

16. 16 TEMA 7. ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
i
En general los autovectores generalizados cumplen la condici´on de que:
vr r r−1
o lo que es lo mismo:
i ∈ ker((A − λi) ) − ker((A − λi) )
(A − λi)r
)vr
= 0 y (A − λi)r−1
vr
ƒ= 0i i
De esta forma la matriz de P estar´a formada por ejemplo por:
. . . . . . . .
.
. . . . . . .
P = v1 v1
v2
v2 v3 v1
v2
v3
· · ·1 1
.
. . . .
3 3 3
. . .. . . . . . . .
cuyas columnas son autovectores Vi seguidos de sus correspondientes autovectores
generalizados V k de modo que a cada autovector Vi le corresponda un bloque de
Jordan Ji de orden igual al nu´mero de autovectores generalizados m´as uno.
7.5 M´etodo de los coeficientes indeterminado para
ecuaciones diferenciales
El m´etodo de los coeficientes indeterminados aplicado a una ecuaci´on diferencial no ho-
mog´enea de orden n con coeficientes constantes
yn)
+ a1yn−1)
+ a2yn−2)
+ . . . + an 1yt
+ a y = g(x)− n
es un procedimiento sencillo para encontrar una soluci´on particular yp(x), cuando el
t´ermino no homog´eneo g(x) es de un tipo especial. A continuaci´on se presenta una tabla
de la forma de una soluci´on particular yp(x) en funci´on del t´ermino no homog´eneo.
g(x) yp(x)
pn(x) = anxn
+ · · · + a1x + a0 xs
Pn(x) = xs
{Anxn
+ · · · + A1x + A0}
aeαx
xs
Aeαx
a cos(βx) + b sen(βx) xs
{Acos(βx) + Bsen(βx)}
pn(x)eαx
xs
Pn(x)eαx
pn(x) cos(βx) + qm(x) sen(βx),
donde qm(x) = bmxm
+ · · · + b1x + b0
xs
{PN (x) cos(βx) + QN (x) sen(βx)} ,
donde QN (x) = BN xN + · · · + B1x + B0
y N = m´ax(n, m)
aeαx
cos(βx) + beαx
sen(βx) xs
{Aeαx
cos(βx) + Beαx
sen(βx)}
pn(x)eαx
cos(βx) + qm(x)eαx
sen(βx)
xs
eαx
{PN (x)cos(βx) + QN (x)sen(βx)},
donde N = m´ax(n, m)
s es el menor entero no negativo tal que ningu´n t´ermino de la soluci´on particular
yp(x) sea soluci´on de la ecuaci´on homog´enea correspondiente.