prueba matematica

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Lic. Oscar David Rivas Henríquez
1. Par Ordenado
Definición.
Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de
ordenación que establece cuál es primer elemento y cuál el segundo. Se denota (a, b).
Par ordenado (a, b); a "a" se le llama primera componente o abscisa y a "b" se llama
segunda componente u ordenada.
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados son IGUALES si las correspondientes componentes son iguales.
Esto es:
(x, y) = (u, v)  x = u  y = v.
Ejemplo 1
Formar 4 pares ordenados de:
a) Letras de nuestro alfabeto, tal que las dos componentes sean vocales.
b) Números tal que la segunda componente sea el doble de la primera.
Solución
a) (a, e), (o, a), (u, i), (e, u)
b) (1, 2), (8, 16), (3, 6), (10, 20)
Ejemplo 2
Hallar los valores para “x” e “y” tales que hagan ciertas las siguientes igualdades:
a) (x -1, 4) = (5, y + 1)
b) (4x, 8) = (1, 5y)
Solución
a) (x -1, 4) = (5, y + 1)
x – 1 = 5 ; 4 = y + 1
x = 5 + 1 ; 4 – 1 = y
Relaciones y Funciones
Comprobación
Si x = 6  y = 3
(x -1, 4) = (5, y + 1)
(6 – 1, 4) = (5, 3+ 1)
(5, 4) = (5, 4)
Por lo tanto son iguales.

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x = 6 ; y = 3
b) (4x, 8) = (1, 5y)
4x = 1 ; 8 = 5y
x =
4
1
; 8/5 = y
1.2 Gráficos
Los conjuntos formados exclusivamente por pares ordenados reciben el nombre de
GRÁFICOS o GRAFOS.
Definición
G es un Grafo o Gráfico si y sólo si para todo z  G, z es un par ordenado.
Se llama Dominio de G al conjunto de todas las primeras componentes de los pares
ordenados de G.
Se denota: Dom G
Se llama Rango o Recorrido de G al conjunto de todas las segundas componentes de
los pares ordenados de G.
Se denota: Ran G
Ejemplo
Determinar el Dominio y Rango o Recorrido de G = {(2, 3), (3, 1), (1, 4)}
Solución
Dom G = {2, 3, 1} ; Ran G = {3, 1, 4}
2. Producto Cartesiano
Definición.
Comprobación
Si x = 1/4  y = 8/5
(4x, 8) = (1, 5y)
(4(1/4), 8) = (1, 5(8/5))
(1, 8) = (1, 8)
Por lo tanto son iguales.

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Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera
componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama
producto cartesiano de A y B.
Simbólicamente:
A x B = {(x, y) / x  A  y  B}.
En consecuencia: (x, y)  A x B  x  A  y  B
En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:
R x R = {(x, y) / x  R  y  R }.
R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación
geométrica de R x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.
Ejemplo 1
Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5}; encuentre el producto cartesiano A x B y Graficar:
A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
2.2 Plano Cartesiano
El plano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las X, y la
vertical, eje de las ordenadas o de las Y; el punto donde se cortan recibe el nombre de
origen.
Y
( -, +) (+, +)
x
y
5
4
3
2
Eje de las coordenadas
origen

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0 X
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
(-, -) (+, -)
3. Relaciones
En una relación llamaremos al primer conjunto Conjunto de Partida o Alcance; al
segundo conjunto, Conjunto de Llegada o Codominio.
A los elementos del conjunto de Partida en una relación se le llama Dominio; y a los
elementos del conjunto de llegada en la relación se le llama Rango.
3.1 Definición
Una relación es un conjunto de parejas ordenadas.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B si y sólo si R es
subconjunto de A x B.
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5} , encontrar tres relaciones definidas de A en B como sigue:
R1 se puede definir como el conjunto de parejas cuyo segundo elemento es 1, esto es
R1= {(x, y) / y =1}.
R2 está formada por las parejas cuya primera componente es menor que la segunda
componente, R2= {(x, y) / x < y}
Y R3 está conformada por todas las parejas que cumplen que la segunda componente
es dos unidades mayor que la primera, dicho de otro modo, R3= {(x, y) / y = x +2}
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponden a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
Ejemplo 2.
1
-2
-3
-4
Eje de las abscisas

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Dados los conjuntos C = {1, -3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados
(x, y) que satisfagan la relación.
R = {(x, y) / x + y =3}

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Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
C x D = {(1,2),(1,3),(1,6),(-3,2),(-3,3),(-3,6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3
son: R = {(1,2),(-3,6)}
Ejemplo 3
Sea A = {1,2,3,4} y B = {4,5,6,7,8} y R la relación definida de A en B determinada por la
regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El producto cartesiano de A x B está formado por los siguientes pares ordenados:
A x B =














)8,4(),7,4(),6,4(),5,4(),4,4(
),8,3(),7,3(),6,3(),5,3(),4,3(
),8,2(),7,2(),6,2(),5,2(),4,2(
),8,1(),7,1(),6,1(),5,1(),4,1(
Las parejas que pertenecen a la relación R son:
R = {(2,4),(3,6),(4,8)}
Así, el dominio y rango son:
Dom = {2,3,4}
Ran = {4,6,8}
3.3 Representación gráfica de las relaciones
Las parejas ordenadas se pueden representar gráficamente por medio de diagramas
sagitales o por medio de puntos en el plano cartesiano. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 4
Si A = {1,2,3,4,5} y B = {1,3,5,7,9} y R la relación definida por la regla
R = {(x, y) / y = 2x +1}, graficar R.

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Solución
El producto cartesiano de A x B está formado por los pares ordenados siguientes:
A x B =
















)9,5(),7,5(),5,5(),3,5(),1,5(
),9,4(),7,4(),5,4(),3,4(),1,4(
),9,3(),7,3(),5,3(),3,3(),1,3(
),9,2(),7,2(),5,2(),3,2(),1,2(
),9,1(),7,1(),5,1(),3,1(),1,1(
Los pares ordenados que pertenecen a la relación son:
R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}
Y la gráfica correspondiente es la siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
.1
.3
.5
.7
.9
A B
Diagrama sagital
Y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
.(1,3)
.(2,5)
.(3,7)
.(4,9)
Plano cartesiano
4. Funciones, Dominio y Rango
4.1 FUNCIONES
Para que una relación pretenda ser FUNCIÓN debe cumplir estrictamente los dos
requisitos planteados en la definición; con tan sólo un requisito que no cumpla, no
puede ser FUNCIÓN.
Además, toda Función es una Relación, pero no toda Relación es una Función,
precisamente por lo antes expuesto.
4.2 Definición
Se dice que una relación R de A en B es una FUNCIÓN si y sólo si:
1) Ningún elemento del dominio carece de imagen.
2) Cada elemento del dominio tiene una sola “imagen”.

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Ejemplo 1
R R
A B C D
No función Función
Ejemplo 2
Dada la función f(x) = 5x2
+ 2, encontrar el valor de la función para cuando x = 2.
Solución
Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento
en el lugar de la variable, así para x = 2
f(2) = 5(2)2
+ 2
f(2) = 22
por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f(2) = 22.
Ejemplo 3
El costo de fabricación de q unidades de cierto químico empleado para la fumigación de
un cultivo de rosas está dado por la función
C(q) = q3
–2q2
+100q +150
Calcular el costo de fabricación de 10 unidades de químico.
Solución
Se observa claramente que el costo de fabricación depende del número de unidades de
químico que se fabriquen. El costo total de fabricación de 10 unidades equivale al valor
de la función cuando q =10, esto es:
C(10) = costo total de 10 unidades fabricadas
= (10)3
–2(10)2
+100(10)+150
=1950
X
X
X
X
X
Y
Y
Y
X
X
X
X
Y
Y
Y

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4.3 Tipos de Funciones
a) 4.3.1 Función Inyectiva
Es aquella en que todo elemento del Rango es imagen de uno y sólo un
elemento del Dominio; también se le llama Función de Uno a Uno.
Simbólicamente:
f: A  B es Inyectiva  [f(a) = f(b)  a = b]
f g
A B C D
En un Plano de Coordenadas cartesianas, para averiguar si una función es Inyectiva, es
necesario que al trazar líneas horizontales (paralelas al eje X) sobre el gráfico, éstas la
corten en un solo punto.
Así:
f(x) es Inyectiva
4.3.2 Función Sobreyectiva
X
X
X
Y
Y
Y
Y
X
X
X
Y
Y
Y
Y
X1
X
Y1

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Si “f” es una función tal que todo elemento del codominio sea imagen de algún
elemento del Dominio, decimos que dicha Función es Sobreyectiva. En una
Función Sobreyectiva el Rango y el Codominio coinciden; en este caso decimos
también que el codominio está saturado.
Simbólicamente:
f: A  B es Sobreyectiva  yB, xA tal que y = f(x)
f g
A B K L
b) 4.3.3 Función Biyectiva
Si una función “f” cumple con ser Inyectiva y Sobreyectiva simultáneamente (a la
misma vez), se llama Función Biyectiva.
f g
A B C D
4.3.4 Función Identidad
Si “f” es una función tal que a todo elemento del Dominio “x” le corresponde “x” como
imagen, se llama función identidad.
Simbólicamente:
f: A  B es Identidad  f(x) = x
X
X
X
Y
Y
X
X
X
Y
Y
Y
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
X
X
X
Y
Y
Y

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f
C D
4.5 Dominio y rango de una función
El dominio de una función: es el conjunto de valores para los cuales la función está
definida.
El rango es el conjunto formado por todas las imágenes, es decir, es el conjunto
conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos están
determinados, además, por el dominio de la función.
Ejemplos: Identificar El Dominio y Rango de las siguientes funciones:
1) La función f(x) = 3x2
– 5x está definida para todo número real. Así el dominio de esta
función es el conjunto de todos los números reales.
2) La función g(x) =
2
32 2


x
x
, tiene como dominio todos los valores de R, excepto el
valor real de –2.
Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio consiste de todos los
números reales para los cuales la función tiene sentido.
3) En el caso de la función h( x) = 3x , el dominio de esta función son todos los
números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero
para que exista la raíz cuadrada.
4) Identificar dominio y rango de la función f( x) = 2x
a
b
c
b
c
a

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5. Funciones Algebraicas
Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo
y = mx + b, donde mx + b es un binomio
de primer grado.
5.2 Función cuadrática: f(x) = ax2
+ bx + c es un trinomio de segundo grado.
Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma
f(x) = ax2
+ bx + c
siendo ax2
+ bx + c un trinomio de segundo grado, con a, b y c constantes y a  0.
La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los
números reales.
Si a > 0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a < 0,
la parábola es negativa y abre hacia abajo.
Observación.
Notemos que la función f(x)=1/x2
no es cuadrática porque no se puede expresar de la
forma f(x) = ax2
+ bx + c.

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5.4 Función raíz
Sea “n” un número natural no nulo. La función x → xn
define una biyección, de R hacia
R si “n” es impar, y de R+
hacia R+
si “n” es par, donde R+
= [0, +∞[
Se llama enésima raíz, o raíz de orden n, su función recíproca, y se nota:
y = n
x = x1/n
. (dos notaciones posibles)
Para todo “n” natural, a y b reales positivos, tenemos la equivalencia:
a = bn
<=> b = n
a
6. Funciones Inversas
Puesto que vamos a hablar de funciones inversas (también llamadas recíprocas)
debemos tener claro el concepto de función.
Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar
la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la función:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }
y observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }
Hemos obtenido una nueva función.
Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto:
f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }
y, entonces, g será:
g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }
que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no
cumple la condición de función. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma
primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.

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Ejemplo 1:
Sea la función f = { (x, y) / y = 2x - 3 }. Su función inversa será: f-1
= { (x, y) / x = 2y - 3 }.
Solución
Despejamos y en la expresión x = 2y - 3.
Paso a paso: x + 3 = 2y; y
x


2
3
. Ya tenemos f-1
(x) =
2
3x
. Fácil, pues la expresión
de la función f estaba dada por un polinomio de primer grado.
Ejemplo 2:
Sea la función g dada por la expresión g(x) = (-3x + 5)/4. Su función inversa g-1
estará
dada por g-1
(x) = (5 - 4x)/3. Realiza todos los pasos como en el ejemplo anterior y
comprueba que la solución es correcta.
Ejemplo 3:
Sea la función definida por f(x) = x2
- 2x - 2. Ya vimos que no tenía inversa, pero si
restringíamos su dominio a sólo los números mayores que 1, sí tiene.
Cuando despejemos y en la expresión x = y2
- 2y - 2 lo sabremos.
He aquí el problema, despejar; todavía tenemos suficientes conocimientos matemáticos
para realizarlo, pues es equivalente a despejar y en la ecuación
y2
- 2y – 2 – x = 0,
o sea, resolver una ecuación de segundo grado. Utilizando la fórmula tradicional
obtenemos dos soluciones: y = 1+ (3+x)1/2
, y = 1- (3+x)1/2
(Verifícalo).
Ejemplo 4:
- 2.
Su función inversa está definida por: f-1
(x) = (x + 2)1/3
.
Esto se ha obtenido despejando y en la expresión x = y3
- 2.

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Ejemplo 5:
+ 2x - 2. Su función inversa está definida por:
f-1
(x)=...
Para hallarla tendríamos que resolver una ecuación de tercer grado cuya fórmula no
conocemos, aunque existe.
7. Funciones Trascendentes
Se llaman funciones trascendentes las que no pueden ser definidas solamente con
base a operaciones algebraicas. Las principales funciones trascendentes son:
Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas.
7.1 Función Exponencial
Una función exponencial es aquella en la que la variable independiente (x) es el
exponente de una potencia.
La función f(x) = ax
, donde a > 0  a  1, se llama función exponencial de base a.
Son ejemplos de funciones exponenciales:
a) f(x) = 2x
b) f(x) = (0.5)x
c) f(x) = (10)x
, etc.
Ejemplo 1:
Graficar la función exponencial f(x) = 2x

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Solución
Se trata de una función exponencial de base 2.
Dominio de f: R
Recorrido: ] 0,  [
Observe que esta función es uno a uno.
Ejemplo 2:
Graficar la función exponencial f(x) = x
x
2
1
2
1






Solución
Se trata de una función exponencial de base
2
1
Dominio de f: R
Recorrido: ] 0,  [
X Y = 2x
-2
2-2
= = 0.25
-1
2-1
= = 0.5
0 20
= 1
1 21
= 2
2 22
= 4
x
y =
-2
-1
0
1
2
x
y
x
y

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7.2 Función Logarítmica
Como la función exponencial f(x) = ax
, a > 0, a  1 es uno a uno, entonces existe su
función inversa que es la función logarítmica.
Se simplifica de la manera siguiente:
f-1
(x) = loga x Dominio de f-1
(x) = ] 0,  [
Recorrido de f-1
(x) = R
Si en vez de f-1
(x) escribimos “y”, entonces tenemos: y = loga x Esta se llama función
logarítmica de base a.
Ejemplo:
Graficar la función y = log x
Solución
Recordemos que el dominio de la función logaritmo es ] 0,  [ y Recorrido: R
7.6 Solución de Triángulos Rectángulos y Oblicuángulos
Resolución de Triángulos Rectángulos
Definición
Se dice que un triángulo está resuelto cuando se conocen sus tres lados y sus tres
ángulos.
Un triángulo cualquiera se puede resolver a partir del conocimiento de tres de sus
elementos, uno de los cuales debe ser necesariamente un lado.
x y = log x
0.001 -3
0.01 -2
0.1 -1
1 0
2 0.3
3 0.4
10 1
13 1.1

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Las herramientas básicas que se utilizan para resolver un triángulo rectángulo son: el
teorema de Pitágoras y las definiciones de funciones trigonométricas.
Los casos de resolución de triángulos rectángulos son dos:
1) Cuando se conocen dos lados
2) Cuando se conoce un lado y un ángulo agudo
Ejemplo 1:
Resolver el triángulo cuyos catetos son: a = 3 y b = 5
Solución
 c
a = 3

b = 5
Ejemplo 2:
Resolver el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 7 y un ángulo agudo es 19.23º.
Solución
 c = 7
a
19.23º
b
Debemos encontrar el lado c, así como los ángulos  y 
1) Por el teorema de Pitágoras:
2) Para hallar : tan  = = 0.6
tan-1
0.6 = 30.96º
3)  = 90º -  = 90º - 30.96º = 59.04º
Deseamos encontrar a, b y 
1) Para :  + 19.23º = 90º
 = 90º - 19.23º = 70.77º
2) Para a:
= sen 19.23º
a = 7 sen 19.23º = 7(0.32936) = 2.3
3) Para b:
= cos 19.23º
b = 7 cos 19.23º = 7(0.9442) = 6.61 (aprox.)

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7.7 Ángulo de elevación y ángulo de depresión
Definición
Cuando un observador dirige la vista a un punto, entonces el ángulo que forma la línea
visual con la línea del horizonte se llama Ángulo de Elevación, si el punto se
encuentra arriba de la horizontal, y se llama Ángulo de Depresión, si el punto
observado está abajo de la línea horizontal.
Ejemplo 1:
Un observador, cuya estatura es de 1.6 m, se aleja 5 m de la base de un edificio y
desde esta posición dirige la vista al punto más alto de la fachada de dicho edificio. Si
el ángulo de elevación es de 80º ¿Cuál es la altura del edificio?
Solución
Ángulo de Elevación Ángulo de Depresión
Sea x = distancia desde la horizontal hacia
arriba.
= tan 80º
x = 5 tan 80º
x = 5 (5.67128)
x = 28.356 m.
A esta medida se le agrega la altura del
observador:
28.356 m + 1.6 m = 29.956 m.

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Ejemplo 2:
Una persona que mide 1.65 m., está parado en el extremo de un muelle que sobresale
4.5 m por encima del agua. Está observando una lancha de pescadores. Si el ángulo de
depresión es de 4º. ¿A qué distancia del observador está la lancha?
Solución
tan  =
x
mm 65.15.4 
x tan 4º = 4.5 m + 1.65 m
x = m
mm
95.87
0699.0
15.6
º4tan
15.6

La lancha se encuentra a 87.95 m.
7.8 Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Se llama triángulo oblicuángulo al que no posee un ángulo recto. Dicho de otra manera,
un triángulo que no es rectángulo se llama Oblicuángulo.
Para resolver un triángulo oblicuángulo es necesario conocer tres de sus elementos,
uno de los cuales debe ser necesario un lado.
Las herramientas básicas que se utilizan para resolver un triángulo oblicuángulo son: El
teorema del seno y el teorema del coseno.
c
B A
a b
C
7.9 TEOREMA DEL SENO
Si a, b y c son ángulos de un triángulo cualquiera; mientras que A,
B y C son, respectivamente, las longitudes de los lados opuestos a
estos ángulos, entonces se verifica que:

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Ejemplo 1:
Resolver el triángulo
c
B A
40º 31º
C = 53
Solución
Como la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º, tenemos:
c + 40º + 31º = 180º
c = 180º - 40º - 31º
c = 109º
Ahora por el teorema del seno:
º109
53
º40 sensen
A

º109
º4053
sen
sen
A 
A = 36.03
7.10 TEOREMA DEL COSENO
Si a, b y c son ángulos de un triángulo cualquiera; mientras que A,
B y C son, respectivamente, las longitudes de los lados opuestos
a estos ángulos, entonces:
1. A2
= B2
+ C2
– 2BC cos a
2. B2
= A2
+ C2
– 2AC cos b
3. C2
= A2
+B2
– 2AB cos c
B = 28.8699

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Ejemplo 2:
Resolver un triángulo cuyos lados son A = 15, B = 21 y C = 32
Solución
Se deben encontrar los tres ángulos; para ello hacemos uso del teorema del coseno.
1) A2
= B2
+ C2
– 2BC cos a
152
= 212
+ 322
– 2(21)(32) cos a
225 = 441 + 1024 - 1344 cos a
1344 cos a = 441 + 1024 –225
1344 cos a = 1240
cos a =
1344
1240
cos a = 0.9226
a = cos-1
0.9226
a = 22.69º
2) B2
= A2
+ C2
– 2AC cos b
212
= 152
+ 322
– 2(15)(32) cos b
441= 225 + 1024 – 960 cos b
960 cos b = 225 + 1024 – 441
960 cos b = 808
cos b =
960
808
b = cos-1
0.8416
b = 32.68º
3) a + b + c = 180º
22.69º + 32.68º + c = 180º
c = 180º - 22.69º - 32.68º
c = 124.63º

de 39
Para resolver un triángulo oblicuángulo debemos tener presente que:
“La suma de los tres ángulos internos de un triángulo cualquiera es siempre igual a
180º”
Además:
1) Cuando se conocen los tres lados debe utilizarse el teorema del coseno.
2) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos debe
utilizarse primeramente el teorema del coseno y luego el del seno.
3) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos entonces debe
utilizarse el teorema del seno.
4) Cuando se conocen dos ángulos y un lado, entonces debe utilizarse el teorema
del seno.
En resumen se tiene:
Caso Medio a emplear
LLL ........................... Teorema del coseno
LAL ........................... Teorema del coseno y seno
LLA ........................... Teorema del seno
AAL ........................... Teorema del seno
Ejemplo 3:
Una palmera creció recta; pero inclinada 13º de la vertical. Si cuando el ángulo de
elevación del sol es de 39º, la palmera proyecta una sombra que mide 17.4 m. ¿Cuál es
su longitud?
Solución
Sea x = longitud dela palmera.
La sombra y la vertical forman un
ángulo de 90º. Por lo tanto el ángulo
que forma la palmera con su sombra
es de 77º.
Entonces:
39º + 77º + c = 180º
c = 180º - 39º - 77º
c = 64º

de 39
Por el teorema del seno:
senc
m
sen
x 4.17
º39

º64
º39)4.17(
sen
senm
x 
x = 12.183 m.
7.11 Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo
Funciones trigonométricas de ángulos agudos.
Si  (theta) es uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, entonces con
respecto a  se pueden establecer seis razones entre los tres lados de dicho triángulo,
las cuales sirven de base para definir las seis funciones trigonométricas que se
enuncian a continuación.

Cateto Adyacente (A)
Nombre Notación Razón Abreviatura
Seno de  Sen 
Hipotenusa
stoCatetoOpue
Sen  =
H
O
Coseno de  Cos 
Hipotenusa
centeCatetoAdya
Cos  =
H
A
Tangente de  Tan 
centeCatetoAdya
stoCatetoOpue
Tan  =
A
O
Cotangente de  Cot 
stoCatetoOpue
centeCatetoAdya
Cot  =
O
A
Secante de  Sec 
centeCatetoAdya
Hipotenusa
Sec  =
A
H
Cosecante de  Csc 
stoCatetoOpue
Hipotenusa
Csc  =
O
H
Hipotenusa (H)
Cateto
Opuesto
(O)

de 39
Ejemplo 1:
Para el triángulo dado encontrar los valores de las funciones trigonométricas
correspondientes al ángulo .
29
2

5
Solución
Sen  =
29
2
Cot  =
2
5
Cos  =
29
5
Sec  =
5
29
Tan  =
5
2
Csc  =
2
29
Ejemplo 2:
Si se sabe que tan  =
3
4
, encontrar los valores de las funciones trigonométricas
restantes.
Solución
Sabemos que Tan  =
A
O
=
3
4
; con base a estos datos construiremos el triángulo
rectángulo siguiente:
x
4

3
El valor de la Hipotenusa no se conoce; pero al hacer uso del teorema de Pitágoras se
tiene:

de 39
x2
= 42
+ 32
x2
= 16 + 9
x2
= 25
x = 25
x = 5
Ahora que ya conocemos el valor de la Hipotenusa, podemos completar las funciones
trigonométricas:
Sen  =
5
4
Cot  =
4
3
Cos  =
5
3 Sec  =
3
5
Tan  =
3
4
Csc  =
4
5
Ejemplo 3:
Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 25 mm y 40 mm. Calcular las
funciones trigonométricas del ángulo agudo menor.
Solución
Se desconoce el valor de la Hipotenusa; pero al hacer uso del teorema de Pitágoras, se
tiene:
x2
= (25mm)2
+ (40mm)2
x2
= 625 mm2
+ 1600 mm2
x2
= 2225 mm2
x = 2
2225mm
x = mm)89(25
x = 5 89 mm
El triángulo completo es:
mm895
25 mm


de 39
40 mm
Sen  =
89
5
895
25

mm
mm
Cot  =
5
8
Cos  =
89
8
895
40

mm
mm
Sec  =
8
89
Tan  =
8
5
40
25

mm
mm
Csc  =
5
89
Ejemplo 4:
Para los triángulos  ABC y  MNC calcular los valores de las funciones
trigonométricas correspondientes a los ángulos  y .
C

2x
M  N
x
3
A  B
5
Solución
Por semejanza de triángulos se tiene que
x
x
x
x
x
x
23
10
2
235



10 – 3 = 2x
x
x


5.3
2
7

de 39
Al aplicar el teorema de Pitágoras en:
 MNC  ABC
72
= (3.5)2
+ (NC)2
49 – 12.25 = (NC)2
NC75.36
102
= 52
+ (BC)2
100 – 25 = (BC)2
75 = BC
Para el  ABC tenemos:
Sen  =
10
75
= 0.866 Cos  =
10
5
= 0.5 Tan  =
5
75
= 1.73
Cot  =
75
5
= 0.577 Sec  = 2 Csc  =
75
10
= 1.15
Sen  =
10
5
= 0.5 Cos  =
10
75
= 0.866 Tan  =
75
5
= 0.577
Cot  = 1.73 Sec  = 1.15 Csc  = 2
Para el  MNC tenemos:
Sen  =
7
75.36
= 0.866 Cos  =
7
5.3
= 0.5 Tan  =
5.3
75.36
= 1.73
Cot  = 0.577 Sec  = 2 Csc  = 1.15
Sen  =
7
5.3
= 0.5 Cos  =
7
75.36
= 0.866 Tan  =
75.36
5.3
= 0.577
Cot  = 1.73 Sec  = 1.15 Csc  = 2
7.12 Funciones trigonométricas de ángulos peculiares (30º, 45º y 60º)
Triángulos notables
Se conocen con el nombre de triángulos notables a los triángulos rectángulos que
cumplen con la condición de que alguno de sus ángulos agudos mide 30º, 45º ó 60º.

de 39
Primer triángulo notable (45º)
Basándonos en este triángulo notable tenemos:
Sen 45º =
2
1
2

x
x
Cos 45º =
2
1
2

x
x
Tan 45º = 1
x
x
Cot 45º = 1
x
x
Sec 45º = 2
2

x
x
Csc 45º = 2
2

x
x
Segundo triángulo notable (30º y 60º)
Basándonos en este triángulo notable tenemos:
Para 60º
Sen 60º =
2
3
2
32
3

x
x
x
x
Cos 60º =
2
1
2
2 
x
x
x
x
Tan 60º = 3
2
32
2
2
3

x
x
x
x
Cot 60º =
3
1
Sec 60º = 2 Csc 60º =
3
2

de 39
Para 30º
Sen 30º =
2
1
2
2 
x
x
x
x
Cos 30º =
2
3
2
32
3

x
x
x
x
Tan 30º =
3
1
32
2
2
3
2 
x
x
x
x
Cot 30º = 3
Sec 30º =
3
2
Csc 30º = 2
Ejemplo:
Sin hacer uso de la calculadora, obtener el valor de (Sen 60º)2
+ (Tan 30º)2
Solución
Por los triángulos notables se sabe que:
Sen 60º =
2
3
Tan 30º =
3
1
Por lo tanto
(Sen 60º)2
+ (Tan 30º)2
=
22
3
1
2
3














=
3
1
4
3

=
12
49 
=
12
13
Notación:
Cuando las funciones trigonométricas se elevan a una potencia n cualquiera, esto se
indica colocando la potencia correspondiente antes del valor del ángulo .
Así:
(Sen )n
= Senn


de 39
8. Sucesiones Aritméticas y Geométricas
Una sucesión es un conjunto de números reales ordenados de manera que no exista
duda cuál es el primero de ellos, cuál es el segundo o cualquier otro.
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros
naturales N.
Las sucesiones cumplen con dos propiedades:
 Tener un primer elemento
 Cada elemento debe tener, a su vez un sucesor inmediato.
Cada uno de los elementos de una sucesión se llama término. A los términos de una
sucesión se les designa de la siguiente manera: a1, a2, a3, a4, ..., an
Ejemplo 1:
Encontrar los cuatro primeros términos, y el décimo, de la siguiente sucesión:






1n
n
Solución
Para obtener los cuatro primeros términos, se sustituye n = 1, 2, 3 y 4 en la formula de
an . El décimo término se define sustituyendo 10 en lugar de n, así:
Sucesión n-ésimo término Primero 4 términos Décimo
término






1n
n
1n
n
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
11
10
Ejemplo 2:
Calcular los primeros 4 términos y el n-ésimo de la sucesión infinita cuya definición
recurrente (repetido) es la siguiente:
a1 = 3, ak+1 = 2ak para k  1
Solución
a1 = 3
a2 = 2a1 = 2 · 3 = 6
a3 = 2a2 = 2 · 2 · 3 = 12
a4 = 2a3 = 2 · 2 · 2 · 3 = 24
En general an = 2n-1
· 3 para todo entero positivo n.

de 39
Un tipo especial de sucesiones se dividen en:
Sucesiones Aritmética y Sucesiones Geométricas
8.1 Sucesión Aritmética
Ejemplo 1:
Demostrar que la sucesión 1, 4, 7, 10, ..., 3n-2, ... es aritmética, y calcular la diferencia
común.
Solución:
Si an = 3n – 2, entonces, para todo entero positivo k,
ak+1 – ak = [3(k + 1) - 2] - (3k - 2)
= 3k + 3 – 2 - 3k + 2 = 3
Por consiguiente, la sucesión dada es aritmética, y la diferencia común es 3.
El n-ésimo término an de la sucesión aritmética está expresado por la siguiente fórmula:
an = a1 + (n - 1)d
Ejemplo 2:
Los primeros tres términos de una sucesión aritmética son 20, 16.5 y 13. Calcular el
décimo quinto término.
Solución:
La diferencia común es: 16.5 – 20 = - 3.5
Sustituyendo a1 = 20, d = -3.5 y n = 15 en an se tiene:
an = a1 + (n - 1)d
a15 = 20 + (15 - 1)(-3.5) = 20 – 49 = - 29
Ejemplo 3:
Encontrar el término general de la sucesión aritmética cuyos términos son:
5, 12, 19, 26, 33, 40, ...
Una sucesión a1, a2, a3, ..., an, ... es una sucesión aritmética si hay un número
real d tal que para cada entero positivo k,
ak+1 = ak + d
El número d = ak+1 – ak se llama diferencia común de la sucesión.

de 39
Solución
1) La diferencia entre dos términos consecutivos es constante e igual a 7.
La primera parte del término general es por tanto 7n
2) Al sustituir n por 1 resulta 7(1) = 7 este resultado rebasa en dos unidades al
primer término, que es 5. Por lo tanto el término general buscado es:
an = 7n – 2
Ejemplo 4:
Encontrar el término general de la sucesión cuyos términos son:
,...
3
4
,1,
3
2
,
3
1
,0,
3
1
,
3
2

Solución
1) La diferencia entre dos términos consecutivos es -
3
1
La primera parte del término general es por tanto n
3
1

2) Al sustituir n por 1 resulta
3
1
)1(
3
1

A este resultado debe sumársele 1 para que sea igual al primer término,
resultando así que el término general buscado es:
1
3
1
 nan
El término general de una sucesión aritmética siempre tiene la forma siguiente:
8.2 Sucesión Geométrica
Una sucesión a1, a2, a3, ..., an, ... es una sucesión geométrica
si a1  0, tal que para cada entero positivo k,
ak+1 = akr
El número r = se llama razón común de la sucesión.
an = an + b

de 39
Para conocer si una sucesión es geométrica se comprueba si el cociente
entre dos términos consecutivos es constante.
r
a
a

1
2
; r
a
a

2
3
; ... ; r
a
a
n
n

1
En general, una sucesión geométrica se expresa así:
a1, a1r, a1r
2
, ..., a1r
n-1
, ...
a1 a2 a3 an
El n-ésimo término an de esta sucesión está expresado por la fórmula siguiente:
an = a1rn-1
El término general de una sucesión geométrica siempre tiene la forma siguiente:
Ejemplo 1:
Una sucesión geométrica tiene 3 como primer término, y su razón común es
2
1
 .
Calcular los primeros 5 términos y el décimo.
Solución:
Se define a1 = 3, y r =
2
1
 , entonces los primeros 5 términos serán:
16
3
,
8
3
,
4
3
,
2
3
,3 
Con la fórmula an = a1rn-1
, con n = 10, se ve que el décimo término es:
a10 =
512
3
)
2
1
(3 9

an = a rn

de 39
Ejemplo 2:
Los términos 2, 4, 8, 16, ..., 2n
, ... pertenecen a una sucesión geométrica, porque al
dividir un término entre el anterior el cociente es constante e igual a dos. Es decir que la
razón es 2.
Ejemplo 3:
Determine los primeros 5 términos de una sucesión geométrica si a1 = 4 y r =
2
1
Solución
a1 = 4 a2 = (4)(1/2) a3 = (2)(1/2) a4 = (1)(1/2) a5 = (0.5)(1/2)
a2 = (4)(0.5) a3 = (2)(0.5) a4 = (1)(0.5) a5 = (0.5)(0.5)
a2 = 2 a3 = 1 a4 = 0.5 a5 = 0.25
Luego, los primeros cinco términos de la sucesión son:
4, 2, 1, 0.5, 0.25
Ejemplo 4:
Obtener el término general de 9, 27, 81, 243, ...
Solución
El cociente entre un término y el anterior es constante e igual a 3.
1) La primera parte del término general es : 3n-1
2) Al sustituir n por 1 se tiene 31
= 3
Este número debe multiplicarse por 3 para obtener el primer término de la
sucesión, que es 9. Por lo tanto el término general buscado es:
an = 3(3n
) = 3n+1
Los términos de la sucesión son:
32
, 33
, 34
, 35
, ..., 3n+1
, ...
Ejemplo 5:
Obtener el término general de ,...
2048
7
,
512
7
,
128
7
,
32
7
,
8
7


de 39
Solución
El cociente entre un término y el anterior es constante e igual a
4
1

1) La primera parte del término general es por tanto:
n







4
1
2) Al sustituir n por 1 se obtiene
4
1
4
1
1







Este número debe multiplicarse por
2
7
para obtener el primer término de la
sucesión, que es
8
7
 . El término general buscado es:
an =
n







4
1
2
7
Existen también sucesiones que no son aritméticas ni geométricas.
Ejemplo:
Los términos ,...
13
1
,...,
11
1
,
8
1
,
5
1
,
2
1
n
pertenecen a una sucesión que no es aritmética ni
geométrica.

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