Guía ETS Matemáticas V

1. GUÍA DE ETS DE MATEMÁTICAS V
TEMA I - SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DE UNA SOLA VARIABLE.
1.- En ingeniería ambiental se utiliza la siguiente ecuación para calcular el nivel de
oxígeno en un río aguas abajo desde una descarga de aguas residuales, si x es la
distancia en kilómetros, determinar la distancia aguas abajo donde el nivel de
oxígeno cae a una lectura de n=5.
( )xx
een 75.02.0
2010 −−
−−=
2.- La concentración de bacterias contaminantes b de un lago decrece por la
aplicación de productos químicos de acuerdo a la ecuación mostrada, determinar
el tiempo t requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a una
lectura b=9.
tt
eeb 075.05.1
2570 −−
+=
3.- La fórmula de Bazin para la velocidad de un fluido en canales abiertos está
dada por:
( ) 2
1
recv =
Con
( ) 2
1
552.0
87
r
m
c
+
=
Donde:
m= Coeficiente de rugosidad
r= radio hidráulico en pies (área dividida entre el perímetro mojado)
e= Pendiente de la superficie del fluido
v= velocidad del fluido en pies/segundos
Calcule el radio hidráulico para los siguientes datos por el método de punto fijo.
Redondeé los cálculos a tres cifras decimales y utilice un valor inicial ro=3.
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
UNIDAD ZACATENCO
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
TURNO MATUTINO

2. m=1.1 e=0.001 v=5
4.- Calcule una aproximación a la raíz de f(x) que se encuentra en el intervalo
[ ]5,5.3 , con un error de 5
100.1 −
x y utilizando el método de bisección.
5.- Exprese las siguientes ecuaciones de manera que pueda calcularse una de sus
raíces aplicando el método de iteración de punto fijo.
)cos()sen(d)
8-7x
783
c)
1
3
24
53
b)6
1
353
a)
4
3 2
233
2
xxx
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xx
=
=
+−−
++=
+
−
−=
−
−+
6.- Un jugador de futbol americano
lanza un pase a un receptor (otro
jugador) que corre en cierta
dirección. El jugador que lanza
libera el balón a una altura hQ. El
receptor se supone capturará el
balón a una distancia en línea recta
de 60 pies y a una altura hR. La
ecuación que describe el
movimiento del balón es la
siguiente:
𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛 𝜃 −
1
2
𝑥!
𝑔
𝑉!
!
1
𝑐𝑜𝑠!(𝜃)
+ ℎ!
Donde x y y representan las distancias horizontal y vertical, respectivamente,
g=32.2 pies/s2
es la aceleración debida a la gravedad, V0 es la velocidad inicial del
balón de futbol mientras sale de la mano del jugador que lanza. Para V0=50 pies/s,
x=60 pies, hQ=6.5 pies, y hR=7 pies, encuentre el ángulo θ con el cual debe
lanzarse el balón, aplicando el método de Bisecciones o el de Falsa Posición, y
considerando en sus cálculos una precisión de dos cifras decimales.
24503510)( 234
+−+−= xxxxxf

3. TEMA II. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
7.- Aplique el Método de Gauss- Seidel al siguiente sistema de ecuaciones
lineales y realice tres iteraciones, considerando los valores iníciales dados:
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−
−−
20.3
20.2
71.0
70.7
95.3
36.6
88.401.378.1
78.481.939.3
27.206.163.4
)0(
3
)0(
2
)0(
1
X
X
X



8.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando los métodos de
Eliminación Gaussiana y Gauss – Jordan.
53
4225
12X
2522
10242
2012
321
321
321
321
321
321
=++
−=++
=−+
=++
=+−−
−=−+−
XXX
XXX
XX
XXX
XXX
XXX
9.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la
factorización de Cholesky.
TEMA III.- SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.
10.- Empleando el Método de Newton – Raphson calcule
( ) ( )
[ ]t
XX 1
2
1
1 , para el
siguiente sistema de ecuaciones no lineales, empleando los valores iniciales
dados
( ) ( )
[ ] [ ]tt
XX 0,0, 0
2
0
1 = utilice en sus cálculos una precisión de dos cifras
decimales.
0852
2
1
08
4
1
204
21
2
21
2
211
=+−+
=++−
XXXX
XXX
152z3y3x
142y2x
54z-yx-
c)
-23wz-x-
-1w-4zyx
7z4y2x
0w-z2y6x
b)
12zy-
-3z-2yx-
3y-2x
a)
=++
=+
=+
=+
=++
=++
=++
=+
=+
=

4. 11.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales empleando el
método de Newton - Raphson.
12.- Utilice el método de punto fijo multivariable para encontrar una solución del
siguiente sistema, considerando ( ) ( )
[ ] [ ]tt
ZYX 0,0,0,, )0(00
=
a)
( )
( )
( ) 0log
0log42
010log42
=−
=−++
=−++
ZXYZ
YZYX
XZYX
b)
( )
01
7
0001.0108
02
2
22
22
=−
=+−
=−−+
XY
X
ZYX
ZYYX
c)
13.- Aplicando el Método de Puntos Fijos obtenga X1
(1)
y X2
(1)
considerando X1
(0)
=0
X2
(0)
=0 y 3 decimales.
852
2
1
8
4
1
204
21
2
21
2
211
−=−+
−=+−
XXXX
XXX
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=+−+
=++−
0
0
0810
0810
2
22
y
x
yxxy
yxx
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=+−
=−+
1
1
044
052
2
3
y
x
yxy
xyx
0)0001.00002.02(
0)0004.00003.04(
=−−
=−−
YXY
YXX
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
0
0
Y
X

5. 14.- Utilizando el método de Newton - Raphson encontrar una aproximación a la
solución del siguiente sistema, considerando como valores iniciales
a)
b)
c)
15.- Resuelva los sistemas de ecuaciones no lineales utilizando los métodos de
Newton-Raphson y de Broyden.
( )( )
( ) ( ) { }
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−−++
=−++−
=−+
1
1
1
xcon
001.01.01
115.005.01
01cos
0
22
4
1
2
1
zyyx
zzyx
xyzx
( )
( )( ) ( ) ( ) 0265256.812920423.0
05.0
4
5.0
=−+−
=−−
XEXPYEXPXEXP
X
Y
XYSEN
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
0
0
Y
X
( )
( ) xyxzSen
yzy
xzeyx yx
−=+
−=
−=++ +
141.1
10
1718.62
2
22
{ } { }0,0,0,, =
t
zyx
( )
( ) ( )
01.01
115.005.01
01
22
4
1
2
1
=−++
=−++−
=−+
ZYX
ZZYX
COSXYZX
( ) ( )
[ ] [ ]tt
ZYX 0,0,0,, )0(00
=

6. TEMA IV. INTERPOLACIÓN.
16.- Aplique el método de Coeficientes Indeterminados para generar el polinomio
de interpolación que une los puntos cuyas coordenadas se dan en la siguiente
tabla. Utilice dicho polinomio para calcular Y(4).
X Y
0 10
1 5
5 325
7 689
17.- Durante una prueba de laboratorio se aplica una carga puntual a una viga de
concreto hasta llegar a la falla. Calcular la deformación de la viga con una carga
de 4.6 toneladas.
P (ton) Δ (cm)
2 0.3010
3 0.4771
4 0.6021
5 0.6990
6 0.7781
18.- Aplique los métodos de interpolación de Lagrange y el diferencias divididas
para generar una aproximación a Y(3) y Y(7).
x 5 -3 -1 1
y 92 28 223 95

7. 19.- Obtenga el polinomio de interpolación que pasa por los puntos cuyas
coordenadas se dan en el ejercicio anterior (18) y utilícelo para calcular una
aproximación a ( )∫−
7
5
dxxP , con h=12 y aplicando los métodos:
a) Simpson 1/3,
b) Simpson 3/8,
c) Regla Trapezoidal.
20.-Utilice diferencias divididas para calcular el polinomio de interpolación que une
los puntos:
P1 P2 P3 P4 P5 P6
x 1.5 1.7 1.9 2.1 3.3 3.5
f(x) 3.2 3.6 2.4 4.0 1.8 3.2
Grafique el polinomio interpolante para los mismos valores de x y compare con la
gráfica correspondiente a los puntos proporcionados en la tabla.
TEMA V.- DERIVACIÓN NUMÉRICA.
21.- Calcule una aproximación a F´(2.5) utilizando la fórmula de dos, tres y cinco
puntos.
i 0 1 2 3 4
xi 2 2.2 2.4 2.6 2.8
f(xi) 2017.9117 3451.5215 6022.9905 10656.049 19041.553
133 2
1
23
)sen()( −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+= x
e
x
x
xxxF

8. 22.- En una prueba de rendimiento de un automóvil se obtuvieron los siguientes
datos en cuanto a tiempo y desplazamiento.
t (seg) X (mts)
0 0
2 25.6
4 58.3
6 185.4
Calcular la velocidad y aceleración del automóvil para los mismos valores de t
dados en la tabla.
TEMA V.- AJUSTE DE CURVAS.
23.- Dados los siguientes datos
X -0.15 -0.1 -0.025 0.125 0.375
Y 4.5 2 0.75 0.5 0.225
Determine los coeficientes m y b en la función
bmx
y
+
=
1
que mejor se ajusta a
los datos.
24.- En la tabla siguiente se presentan los alargamientos de un resorte
correspondientes a fuerzas de diferente magnitud que lo deforman.
Puntos 1 2 3 4 5
Fuerza (kgf): x 0 2 3 6 7
Longitud del resorte
(m): y
0.120 0.153 0.170 0.225 0.260
Determine por el método de mínimos cuadrados la ecuación de regresión Y=mx+b
que represente la función dada. (Utilice 3 decimales)

9. TEMA VI.-INTEGRACIÓN NUMÉRICA.
25.- Calcule, en 10 pasos, una aproximación al valor de la siguiente integral:
1
𝑥!
−
1
𝑥!
𝑑𝑥
!
!!
26.- Una barra de acero fue sometida a una prueba de carga axial y se obtuvo la
gráfica esfuerzo deformación con los datos mostrados a continuación. El área bajo
la curva se denomina módulo de rigidez del material. Calcular dicho módulo de
rigidez de la barra de acero utilizando integración numérica.
Є 0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
σ (klb/in2
) 40 37.5 43.0 52.0 60.0 55.0
27.- La ecuación de la elipse mostrada en la figura es 14 22
=+ yx calcule el valor
de la superficie sombreada. Utilice el método de Simpson 3/8 múltiple
considerando un número de subintervalos n=9. Considere una precisión de 2
cifras decimales en sus cálculos.
28.- Calcule una aproximación al valor de la integral:
∫
−
=
π2
1
3
)(ln)( dxxCosxexf x
a) Utilizando el Método de Simpson 1/3 para segmentos múltiples.
b) Compare su resultado integrando un polinomio de interpolación equivalente
al integrando.

10. TEMA VII.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.
29.- Use el método de Euler con h=0.1 para aproximar la solución de
Para t=1 hasta t=2 ( )21 ≤≤ t con y(1)=0
Compare las aproximaciones con los valores obtenidos de la solución exacta.
30.- Calcular aplicando el método de las Tangentes (Euler), una aproximación a la
solución particular de la siguiente ecuación diferencial, considerando h=0.5,
y(0)=2, desde x=0 hasta x=2.
𝑦!
=
4𝑦
𝑥
31.- Un tanque cilíndrico de 5m de diámetro y 11 m de largo aislado con asbesto
se carga con un líquido que está a 104°C y el cual se deja reposar durante cinco
días. A partir de los datos de diseño del tanque, las propiedades térmicas y físicas
del líquido, y el valor de la temperatura ambiente, se encuentra la ecuación:
T
t
dt
dT
0114.0
12
cos175.0615.0 −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
π
Que relaciona la temperatura T del líquido (en °C) con el tiempo t en horas. ¿Cuál
es la temperatura final del líquido? Aplique el Método de Euler modificado
utilizando 5 subintervalos. (Utilice 3 decimales)
32.- Dado que
)())((30 tSenytCos
dt
dy
+−=
Si ( ) 10 =y , emplee el Método de Runge-Kutta de cuarto orden para obtener la
solución de t=0 hasta t=4, considerando una n=4 y tres decimales.
GUÍA ELABORADA POR:
ING. CÉSAR HUERTA AVILÉS
ING. JOSÉ LUIS SÁNCHEZ HERNÁNDEZ
ING. MAURICIO JESÚS SUÁREZ LEDESMA
ING. ANTONIA FERREIRA MARTÍNEZ
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