Sistemas de medidas angulares

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Sistemas de medidas angulares

  1. 1. TRIGONOMETRIA CONTEMPORANEA
  2. 2. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO • EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO  ) POSITIVO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. B SENTIDO DE GIRO HORARIO O ) A OA : LADO INICIAL  ) NEGATIVO OB : LADO FINAL O: VÉRTICE
  3. 3. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR • SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) o ' " GRADO : 1 MINUTO : 1 SEGUNDO : 1 EQUIVALENCIAS o ' ' " o " 1  60 1  60 1  3600 o 1vuelta= 3 6 0
  4. 4. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos o B ' C ''  A  B '  C '' o A Los números de y C deben ser menores de 60 Para convertir B grados a segundos se multiplica por 3600 RELACIONESdede minutos a segundos se multiplica por 60 Para convertir DE CONVERSIÓN Para convertir grados a minutos se multiplica por 60 x 3600 x 60 Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600 x 60 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS : 60 : 60 Para convertir de minutos a grados se divide entre 60 : 3600 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
  5. 5. o EJEMPLO :   20 36 ' 45 '' EXPRESAR  EN GRADOS SEXAGESIMALES o ' ''   20  36  45 o o o o o 36 45 o 3 1   20    20   60 3600 5 80 Al número 36 se le divide entre 60 y o 1entre 3600 Al número 45 se le divide 649 CONCLUSIÓN:   80 RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y SEGUNDOS NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
  6. 6. EJEMPLO Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal , sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S Dato : 6 0 S  2 S  1 5 5 62S  155 155 5(3 1) 5 S   S  62 2(3 1) 2 5º 4º 60 ' El ángulo mide :   2º 30 ' 2 2
  7. 7. ¿ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR
  8. 8. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR • SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS) m s GRADO : g 1 MINUTO : 1 SEGUNDO : 1 EQUIVALENCIAS m s 1  100 1  10000 g m g s 1  100 g 1vuelta= 4 0 0
  9. 9. En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en grados, minutos y segundos g m s C  A B  C g m s A B Los números de y C deben ser menores de 100 Para convertir B grados a segundos se multiplica por 10000 RELACIONES DEminutos a segundos se multiplica por 100 Para convertir de de CONVERSIÓN Para convertir grados a minutos se multiplica por 100 x 10 000 x 100 Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000 x 100 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS : 100 : 100 Para convertir de minutos a grados se divide entre 100 : 10 000 Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
  10. 10. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y SEGUNDOS SABES QUE : SABES QUE : SABEMOS QUE9 CENTESIMALES 200 g g = C NÚMERO DE GRADOS º  1 0 g 180 º 9º  10 NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES  (1 0(1= ) 100C g SIMPLIFICANDO ) OBTIENE 9(1º ) 9(1º SE 1 0(1 ) n) g g NÚMERO DE SEGUNDOS 1 0(109(3 ) 0 0 )  ( q ) = 0 ) ' 9 º CENTESIMALES 1 0(1 0 0 010 000C  1 0 0 m 6 '' S 9(6 0 )  '' s 27  SISTEMAS  250 81 ' m RELACIÓN ENTRE LOS50 SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL O g ' m " s 9  10 27  50 81  250 GRADOS MINUTOS SEGUNDOS S C m n p q    9 10 27 50 81 250
  11. 11. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR • SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE R MEDIDA ES EL RADIÁN. UN RADIÁN ES LA . . )1ra d R MEDIDA DEL R ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA 1v u e lta  2  ra d UN ARCO DE LONGITUD IGUAL o ' '' 1ra d  5 7 1 7 4 5 AL RADIO.
  12. 12. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS 0 g 180  200   rad ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO. EJEMPLOS EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES 0 A )  5 4 EL  ra d DE 3 VUELTA SABES QUEO ÁNGULO  UNA  MIDE : 5 4  o   ra d g 360 º  400  2  rad  180  10 g B )   1SIMPLIFICANDO SE OBTIENE : 25   ra d  g 5 125  g   ra d  200  8
  13. 13. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL o 2 2(1 8 0 ) A) ra d ...........  120 o 3 3 o g g  9 B )7 0 ................. 70  g   63 o  10  EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL 3 3(2 0 0 ) g A) ra d ...........  150 g 4 4 g o o 1 0  g B )2 7 ................ 27  o   30  9 
  14. 14. FACTORES DE CONVERSIÓN DE GRADOS SEXAGESIMALES  ra d A RADIANES 180 o g DE GRADOS SEXAGESIMALES 10 A CENTESIMALES o 9 DE GRADOS CENTESIMALES  ra d A RADIANES g 200 o DE GRADOS CENTESIMALES 9 A SEXAGESIMALES g 10 DE RADIANES A GRADOS o SEXAGESIMALES  ra d  1 8 0 DE RADIANES A GRADOS g CENTESIMALES  rad  200
  15. 15. ESTAN ENTENDIENDO ? NO REPITE POR FAVOR
  16. 16. FÓRMULA DE CONVERSIÓN S C R   180 200  S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES R : NÚMERO DE RADIANES EJEMPLO CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE: 8R 3S  2C   37  SOLUCIÓN EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN
  17. 17. S C R S  1 8 0k    K R  k 180 200  C  2 0 0k SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA 8(k ) 3 (1 8 0 k )  2 ( 2 0 0 k )   3 7,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE  1 1 4 8k  3 7 k  4  1  FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R     4 4 NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA S  9k S C 2 0R   C  1 0k 9 10  k R  20
  18. 18. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES  * ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 9 0 o  1 0 0 g  ra d O g 2 * ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180  200   rad SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S CENTESIMAL C 100 - C 200 - C  RADIAL R  R   R 2 * EQUIVALENCIAS USUALES:  o  o  o ra d  6 0 ra d  4 5 ra d  3 0 3 4 6
  19. 19. EJERCICIOS 1. CALCULAR :  45º  ra d E  12 g 50  33º SOLUCIÓN Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA SEXAGESIMAL  180º g 9º ra d   1 5 º ; 50 ( g )  45º 12 12 10 Reemplazamos en E 45 º 15 º 60º E    5 45 º 33º 12º
  20. 20. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más el triple de su número de grados centesimales es 78, calcular su número de radianes SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales C = número de grados centesimales Sabes que : S C  =K S = 9K y C = 10K 9 10 Dato : S + 3C = 78 9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2 El número de radianes es : k 2  R  R   20 20 10
  21. 21. 3. Determinar si es verdadero o falso A )  ra d  1 8 0 g g B) El complemento de 30 es 7 0 24º 2º C)  g g 36 3 D ) Los ángulos interiores de un triángulo suman  ra d E )   180º F ) 1º  1g G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al 90% de su número de grados centesimales
  22. 22. TRIGONOMETRIA CONTEMPORANEA

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