mecánica de fluidos

1. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
AMH
ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012
AMH
rmercado@tlaloc.omta.mx
pedroguido@tlaloc.imta.mx
COEFICIENTE DE ARRASTRE Y ECUACIÓN DE FALKNER-SKAN
jsanchez@tlaloc.imta.mx
mic@tlaloc.imta.mx
Mercado Escalante Roberto, Guido Aldana Pedro, Sánchez Sesma Jorge, Íñiguez
Covarrubias Mauro
Inst. Mexicano de Tecnología del Agua - IMTA, P. Cuauhnáhuac # 8532, CP 62550, Jiutepec, Mor., México
Resumen
Para el equilibrio se consideran las fuerzas: inercial, de
fricción viscosa, y también el gradiente de presión, bajo la
hipótesis de la dependencia de la velocidad libre de una
potencia de la coordenada longitudinal. Con la participación
de la viscosidad y del gradiente de presión se determinan dos
jerarquías de longitudes independientes. Se obtiene que el
coeficiente de arrastre se comporte como una potencia del
inverso del número de Reynolds indexado; y la potencia
depende tanto del índice de ocupación espacial, como del
exponente de la velocidad libre; el primero como
manifestación de la viscosidad, y el segundo, del gradiente
de presión. Alternativamente, la fuerza de fricción puede
describirse como la derivada fraccional de una potencia del
número de Reynolds indexado, donde el orden de la derivada
dependen del índice de ocupación espacial, en tanto la
potencia depende del índice de ocupación espacial y de la
potencia de la velocidad libre.
La existencia de la solución de similaridad presenta una
disyuntiva, porque sólo una de las dos jerarquías de
longitudes puede quedar libre. Con la libertad de la segunda
jerarquía, la asociada al gradiente de presión, surgen dos
formas genéricas para los fragmentos de fondo. Con su
extensión periódica y la acción de la fuerza de fricción como
derivada fraccional pueden transformase unas en otras, y
después es posible describir el levantamiento y la entrega de
los vórtices horquillas y de embudo.
1. Introducción
El objetivo del presente artículo es contribuir en la
descripción de la fuerza de fricción entre corrientes y fondos.
En efecto, se explica tanto el decaimiento con el crecimiento
del número de Reynolds, como la meseta del coeficiente de
arrastre; se obtienen las formas particulares de un fragmento
del fondo que aporte la rugosidad, para extenderlas
periódicamente; y describir la interacción de los vórtices con
esas formas de fondo.
Se expone la ecuación Navier-Stokes fraccional, (Mercado et
al., 2009), y luego se estudia la aproximación de la capa
límite, (Mercado, 2010).
Se aborda primero el problema de la fuerza de fricción y
luego se estudian las condiciones de existencia de una
solución de similaridad.
En el estudio de la fuerza de fricción, se considera la
contribución de la fuerza del gradiente de presión al
equilibrio, junto a la fuerza de fricción viscosa y la fuerza
inercial. Se admite como hipótesis que la velocidad libre
dependa de la coordenada longitudinal, y ello se hace a
través de una velocidad libre o exterior que se comporta
como una potencia de la coordenada longitudinal, (White,
2006).
El resultado muestra que el coeficiente de arrastre se
describe como una potencia negativa del número de
Reynolds indexado. La potencia depende tanto del índice de
ocupación espacial como del exponente de la velocidad libre,
y además en forma acoplada; el primero como manifestación
de la viscosidad, y el segundo, del gradiente de presión; en
tanto los dos exponentes definen también dos jerarquías de
longitudes, (Chester et al., 2007).
Se estructura la ecuación del momentum. De la ecuación de
continuidad se obtiene una expresión para la velocidad
transversal, que reintroducida en la ecuación del momentum,
la transforma en una ecuación integro-diferencial para la
velocidad principal. Con una transformación de escala
similar al caso de la ecuación de Blasius, se introduce un
coeficiente que cambia el cociente de la velocidad sobre la
viscosidad; se obtiene una ecuación diferencial para la
función subpotencial, que depende de otros 3 coeficientes; el
último de los cuales resulta ser nulo, la diferencia de los dos
primeros se normaliza a la unidad, lo que produce el cuarto
coeficiente. Y se obtiene una ecuación Falkner-Skan
fraccional, la cual contiene su versión clásica en el límite
cuando el índice de ocupación espacial tiende a la unidad y
el movimiento en la capa límite se hace laminar. Para el
rango de interés, se obtiene un debilitamiento de la velocidad
exterior, y por tanto un aumento del espesor de la capa
límite, (White, 2006).
Para la existencia de una solución de similaridad, los
coeficientes de la ecuación plantean una disyuntiva. O bien,
como primera opción, el índice de ocupación es
estrictamente menor que la unidad, siendo la única
posibilidad de independizar los coeficientes de la coordenada
longitudinal; lo que significa que la velocidad libre se
comporte en forma lineal con dicha coordenada; que arroja
como consecuencia que el exponente de la velocidad media
en la pendiente hidráulica sea también la unidad, como
ocurre con el modelo de variación de la presión con la
velocidad en el flujo laminar de Hagen-Poiseuille; quedando
libre la primera jerarquía de longitudes, y fija la segunda. En
la segunda opción, el índice de ocupación espacial es la
unidad, entonces los coeficientes se hacen independientes de

2. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
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la coordenada longitudinal, y el coeficiente de arrastre puede
asumir el comportamiento de una potencia del inverso del
número de Reynolds; en la forma conocida para el régimen
laminar, tanto para la subcapa viscosa como para la subcapa
de mezcla; y quedando libre la segunda jerarquía de
longitudes, en tanto se fija la primera. Por tanto, los
resultados son compatibles con el conocido descenso del
coeficiente de arrastre con el incremento del número de
Reynolds.
Una meseta para el coeficiente de arrastre, característica del
movimiento turbulento, se obtiene para el valor negativo del
exponente de la velocidad exterior, e igual al inverso del
índice de ocupación espacial; lo que alternativamente, puede
lograrse si el índice de ocupación espacial tiende a cero. En
tanto, que el exponente de la velocidad media en la pendiente
hidráulica asume su valor máximo 2, como ocurre en el
modelo de variación de la presión con la velocidad del flujo
turbulento, que se expresa en la fórmula de Chézy; y se
aplica, por ejemplo, en la ecuación de Manning, (Rouse,
1946).
Con la ecuación Falkner-Skan resultan dos tipos de formas
de fragmentos: una cuña con elevación dado por un ángulo
positivo o antihorario; o una depresión dado por un ángulo
negativo u horario. Se establece su extensión periódica y se
le representa como serie de Fourier. La fuerza de fricción
actuando sobre esas formas como derivada fraccional
transforma unas en otras, por ejemplo desde la onda
triangular hasta la onda rectangular; en tanto la integral
fraccional lo hace en sentido inverso.
Para estas formas periódicas se introducen dos longitudes
características: el periodo y la altura de la rugosidad; y es
posible describir la interacción del fluido con los distintos
valores de periodicidad, abriendo también la posibilidad de
describir el levantamiento de los vórtices nudos horquillas
desde estas formas y su posterior entrega a la corriente
principal, que eventualmente emergen en la superficie del
fluido como bursting, o bien el comportamiento intermitente
de “eyecciones y barridos”, (Clifford et al., 1993).
2. Métodos
Ecuación fraccional de Navier-Stokes
El movimiento del fluido se describe desde el punto de vista
Eureliano, considerando un volumen de fluido limitado por
una superficie de frontera; su momentum se da por ρv ,
calculado por unidad de volumen. Se considera la interacción
por fricción. El gradiente fraccional se expresa por
∇M ρv ,
β
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la difusividad del momentum es la
viscosidad cinemática
momentum es
να ,
α
-
así que el flujo de Darcy de
q D = − α ∇β ρv,
ν
M
(1)
La composición del esfuerzo de fricción viscosa y la presión
conforma el tensor
β
T =να ∇M ρv − pI , que da la ley
de deformación. Así la divergencia del esfuerzo
T
es el
cambio de momentum
∇⋅ T =
d
ρv por unidad de volumen
dt
d
ρv .
dt
Se incorpora una fuerza potencial externa, por unidad de
ρ
volumen, del tipo −∇ φ . Se toma en cuenta la
incompresibilidad. Se hace explícita la derivada material
modificando
el
aporte
advectivo
( v ⋅ ∇) v = −v × rotv + ∇ 1 ( v ⋅ v ) ,
(Sommerfeld,
2
1950). Y se describe la dinámica de la evolución del campo
de velocidades como la contradicción entre la vorticidad y la
viscosidad; en tanto que al otro término se le interpreta como
la restricción que contiene la ecuación de Bernoulli,
(Mercado et al., 2009),
1

∂
p
α/2
v = − α ( − ∆) v + v × rotv − ∇ ( v ⋅ v ) + + φ 
ν
2

∂t
ρ


(2)
Al coeficiente να los autores también lo llaman viscosidad
fraccional debido a sus unidades, y puede compararse con la
viscosidad turbulenta de Boussinesq, y por tanto, emerge el
número de Reynolds indexado Rlβ = ul
β el índice de ocupación espacial,
β
/ν α , siendo
3. Ecuaciones de capa límite
Las ecuaciones de la capa límite surgen de la ecuación
fraccional de Navier-Stokes como una aproximación
inducida por la premisa de su espesor relativamente delgado.
Ésta se expresa como: la dirección principal para la
velocidad es la de aguas abajo y con un gran gradiente de
velocidad vertical, comparado con el longitudinal, que lleva
a la velocidad a cumplir la condición de no deslizamiento en
el fondo del canal; y por el contrario, los gradientes de
presión son leves en la dirección vertical comparados con los
fuertes en la longitudinal, (Landau & Lifshitz, 1987).
Se definen las variables adimensionales identificando
apropiadamente las longitudes y velocidades características.
De la ecuación del momentum y la de la divergencia nula, y
buscando la invarianza de forma, se obtienen las variables
adimensionales, cuyas expresiones definen la relación de
renormalización para las coordenadas y las velocidades,
(Mercado, 2010).
x
l
u
u=
u0
x=
( )1 / 1+ β
y = Reβ
(3)
(4)
y
l
(5)

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( )1 / 1+ β uv
v = Reβ
(6)
0
Por lo que la transformación de renormalización refleja
también la hipótesis esencial de la delgadez de la capa límite,
cuyo espesor es una función decreciente con el número de
Reynolds indexado. Análogamente, para el cambio de escala
de la velocidad vertical se tiene
λu =
y
u0
(R )
eβ
1 / 1+ β
, lo que
muestra que la velocidad vertical decrece también con el
crecimiento del número de Reynolds indexado. Así mismo,
se constata que al tomar el límite cuando el índice de
ocupación espacial tiende a 1, se recupera la transformación
de renormalización por cambios de escala de la ecuación
clásica de Navier-Stokes. La versión estacionaria se escribe
( v ⋅ ∇) v =να ∇α v − ∇p / ρ
M
La
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ecuación
de
la
capa
límite
bidimensional
en
su
permanente
es
y
la
estacionaria
o
u∂ x u + v∂ y u = −(1 / ρ ) ∂ x p +ν α ∂α u ;
y
conservación de la masa en su forma de divergencia nula
∂x u + ∂ y v = 0 ,
con
la
condición
− ∂ x ( p / ρ) = U
− (1 / ρ ) ∂x p = U
d
U , donde U =u ( x, y ) y →
∞
dx
es la velocidad libre o exterior, (Landau & Lifshitz, 1987),
por o que la ecuación del momentum adquiere la forma (8),
junto a la divergencia nula (9),
u∂x u +v∂y u =να∂αu +U∂xU
y
(8)
∂x u +∂y v =0
(9)
y
con
d
U , se tiene la nueva versión de
dx
la ecuación del momentum (10), que refleja el equilibrio
entre la fuerza inercial y la que resulta de la composición
entre la fuerza viscosa con la del gradiente de presión:
 y 
d
u∂ xu −  ∂ x ∫ udy  ∂ yu = ν α ∂ αy u + U U


dx
 0 
(7)
∂ t u + u∂ x u + v∂ y u = −(1 / ρ ) ∂ x p +ν α ∂α u ,
y
versión
 y 
u∂ xu −  ∂ x ∫ udy  ∂ yu = − ( 1/ ρ ) ∂ x p + ν α ∂ αy u ;


 0 
(10)
5. La fuerza de fricción
Se aborda el estudio de la fuerza de fricción y se quiere ver
de qué manera se manifiesta el gradiente de presión
longitudinal cuando se admite que la velocidad libre varía
como una potencia de la coordenada longitudinal, que es
denotada por
; y también cómo lo hace el esfuerzo
viscoso. Conviene dividir la tarea en dos casos: el m ≠ 0
que se estudia en el caso de Falkner-Skan fraccional; y el
m = 0 que conduce a la ecuación Blasius fraccional.
m
El esfuerzo
El esfuerzo se concibe proporcional al gradiente fraccional
de la deformación. Se aplica la aproximación de la capa
límite, por lo que predomina el gradiente longitudinal, que se
expresa por el gradiente transversal del potencial de la
velocidad, mismo que surge en la búsqueda de una solución
de similaridad para la ecuación Falkner-Skan.
4. Ecuación Falkner-Skan fraccional
Por
En la aproximación Falkner-Skan está presente el gradiente
longitudinal de la presión y su contribución al equilibrio; a
través de permitir que la velocidad libre o exterior dependa
de la coordenada longitudinal. En la aproximación Blasius se
asume nulo el aporte del gradiente de presión, y el equilibrio
se establece sólo entre la fuerza viscosa y la fuerza inercial.
fundamental del cálculo y la regla de la cadena, para
derivadas
de
orden
entero,
se
obtiene
Para ello de la ecuación de continuidad se obtiene una
expresión
para
la
velocidad
transversal
y
0
0
v =− ∂ udy =− x ∫udy
∂
∫ x
asume que
la
u
,
razón,
el
esfuerzo
τ xy = ρνα ∂ y ∂ yψ ( u , v ) .
β
El método consiste en combinar la ecuación del momentum
con la conservación de la masa, para luego buscar una
variable de similaridad análogo a lo elaborado en la ecuación
de Blasius.
y
tal
donde
se
es al menos localmente integrable. Luego en
del
momentum
τ xy = (ν α )
β /α
Cg β ρU
2−
se
calcula
como
Con el aporte del teorema
β
α
x
−
1
α .
Por
lo
que
intervienen tres factores primordiales: la integral fraccional
−(1−β )
′
( g ′(ξ)) ξ=0 ; una
que se denota por C gβ = ∂y
potencia de la velocidad exterior, y otra potencia de la
coordenada
longitudinal,
por
tanto,
resulta
τ xy = (ν α )
β /α
Cg β ρU
2−
β
α
x
−
1
α ,
mismo
que
se
rescribe como coeficiente de arrastre local,
c fβ = 2C g β (1 / Re , xβ )
β /α
x −( 1−β )
(11)

4. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
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El resultado se valora observando su comportamiento cuando
β →1 .
En
efecto
se
observa
que
c fβ = 2C g 1 (1 / Re, x1 )
1/ 2
,
lo
que
corresponde
al
comportamiento conocido, en donde el coeficiente desciende
cuando crece la coordenada longitudinal, y lo hace
proporcional a la potencia 1 / 2 del inverso del número de
Reynolds, (Rouse, 1946).
1
lβ = (ν 2 /ν α ) 1− β , β < 1 ,
El parámetro
representa
una longitud para cada valor particular del índice de
ocupación espacial β. Por tanto, la interacción del fluido
se da con una jerarquía de longitudes, la cual tiene dos
extremos para el número de Reynolds indexado; si β → 0 ,
se tiene lβ →1 ; y el otro extremo, si β →1 , es
Re , x =
Ux
ν2
.
La fuerza de fricción, por unidad de longitud binormal, se
calcula por
l
F f / l3 = 2 ∫τxy dx , se introduce el
0
esfuerzo, representando la velocidad libre por U = Kx m ,
se reagrupan los diferentes factores en el coeficiente
~
C g , β m , y se obtiene que el coeficiente de arrastre resulta
,
ser proporcional a una potencia recíproca del número de
Reynolds indexado, estando la potencia representada por
θ( β, m ) =
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
β 
1+ 1 
1+β 
mβ 


y se le ha denominado exponente de
generalización del resultado experimental de Blasius,
(Mercado et al., 2011).
El resultado experimental de Blasius también queda
contenido
en
la
representación
1
1
θ(1, m ) = 1+ ,


2

β
1
2 −θ = 2 − 1+β 1+mβ  , con lo que varía con la


viscosidad y con el gradiente de presión a través de
.
m
β
y
Como dimensión el exponente debe ser positivo, lo que
restringe el rango de variación del exponente
a la unión
m
de intervalos { m ≤ −1 / β }  { m > 0} . En tanto como
exponente, en la ley de variación de la presión con la
velocidad, su valor máximo debe ser θ =1 , por lo que
m ≥1 .
Es posible la representación
θ = β ( σ + 1 / (1 + β ) ) ,
m > 0 tal que σ = 1 / (1 + β ) βm ,
σ > 0 . Además, se observa que si m se
porque existe un
siempre que
acerca a cero, por la derecha, el valor de
puede llegar a
ser bastante alto. Esta representación constituye una
σ
, porque si
m = −2
se
Se obtiene la meseta en el coeficiente de arrastre con el valor
m = −1 . Lo que implica que en la pendiente hidráulica
J , el exponente de la velocidad media es 2; lo que
corresponde al modelo turbulento en donde la variación de la
presión con la velocidad se expresa por la fórmula de Chézy,
y es asumida en la ecuación de Manning. Alternativamente,
el mismo resultado se obtiene si β → 0 .
Puede describirse el coeficiente de arrastre como el resultado
de la acción de la derivada, de cierto orden fraccional, sobre
una potencia del recíproco del número de Reynolds
indexado, lo que produce el exponente de Blasius.
En efecto, existe un coeficiente que depende de g , β y
tal que la derivada de orden γ = β 2 / (1 + β ) del
recíproco del número de Reynolds indexado elevado a la
potencia −1 / m(1 + β ) reproduce el coeficiente de
arrastre
m
γ
C f = C ( g , β, m ) Dx (1 / Re , xβ )
(12)


m ≠0
1
−
m (1+β )
Una primera consecuencia es que el exponente de la
velocidad en la pendiente hidráulica no es fija sino que
asume el valor 2 − θ ; y por tanto, la ley de variación de la
presión
con
la
velocidad
tiene
exponente

β= ,
1
tiene θ = 1 / 4 . Este modelo reproduce además el modelo
laminar de Hagen-Poiseuille con m = 1 , que produce
θ =1 .
Blasius,
~
θ( β,m )
C f = C g , β , m (1 / Re , lβ )
m
x =l
(13)
Solución de similaridad
Se quiere ahora encontrar una solución de similaridad para la
ecuación Falkner-Skan, y se sigue un método análogo al de
u = ∂ yψ = Ug ′(η ) , con la
particularidad que la velocidad exterior U varía aguas
la ecuación de Blasius
abajo. Se observa que la velocidad adimensional longitudinal
con respecto a la velocidad libre queda representada por la
u
= g ′(η ) , (White,
U
derivada de la función subpotencial
2006).
Se
introduce
la
variable
de
η = y / λ xβ , λxβ = ( (ν α / C4U ) x )
similaridad
1/α
, donde
por
C4
es una constante. En la ecuación del momentum se calculan
y superponen las dos contribuciones de la aceleración
inercial, luego se suprime el término
U 2 g ′ ′∂xη y se
g′

5. XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
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U
sustrae
(
d
U;
dx
lo
) (
que
finalmente
produce
)
UU ' g ′ 2 − gg ′ − 1 + ( ∂ yη ) ∂ 2xyη U 2 gg ′ .
−1
Para la expresión del esfuerzo viscoso se obtiene
ρνα∂αu = U (∂yη)2 ρνα∂β −1 g ′′′ .
y
y
Por tanto, finalmente la ecuación del momentum queda:
()
(14)
(
)
La que se ha denominado ecuación Falkner-Skan fraccional,
junto
a
las
dos
condiciones
de
contorno
g 0 = g ′ 0 = 0 y g ′( ∞) = 1 ; siendo C1 el
( )
coeficiente principal y
C2 el secundario, (White, 2006).
Para el coeficiente principal
la
coordenada
C1 = m
el
mC2 =
K
1− 2 / α
ν2
α
es
(να / C4 ) 2 / α x ( m −1)(1−2 / α ) . En tanto,
coeficiente
m −1
C1 su relación explícita con
longitudinal
secundario
C2
resulta
C1 .
En consecuencia, la ecuación Falkner-Skan contiene dos
coeficientes, denominados principal y secundario. Para que
exista la variable de similaridad se requiere que estos
coeficientes se hagan independientes de la coordenada
longitudinal
; emergen por tanto dos opciones: o bien
m = 1 y β <1 , lo que deja la primera jerarquía libre; o
bien β =1 y
arbitrario, y queda la segunda libre.
x
m
C1 − C2 = 1 , se
m
C1 = 2
, y
m +1
Para la denominada segunda opción, con
produce
m +1
C4 =
, luego
2
coinciden; mientras que en el caso contrario
m
< 0 , el gradiente de presión es positivo o
m +1
6. Fondo y vórtices
(15)
( )
.
desfavorable.
2
U ∂ xyη
C1 =
, C2 =
ν 2 ∂ yη 3
ν 2 ∂ yη 2
)
( )
m 2
g′ + gg′ + 2 1− g′ = 0
m+ 1
U′
De donde,
(
m −1
; y resulta la ecuación Falkner-Skan clásica
m +1
m
> 0 el gradiente de presión longitudinal es
m +1
negativo o favorable, debido a que los signos de C1 y de
ν α β −1
− C11− g − ( C1 − C2) g ′ = ∂ y ( g′ ) ,
ν2
U′
C2 =
Si
2′
para
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Los vórtices o estructuras coherentes que se forman cerca del
fondo son los patrones de flujo más significativos de la capa
límite. En general, una estructura coherente puede definirse
como un patrón de flujo con un tiempo de vida y una
extensión en el espacio mayor que el promedio de las escalas
de turbulencia en un flujo. En sus investigaciones, Kaftory
(1993) y Guido (2007) observaron la ocurrencia de este
fenómeno, aplicando técnicas ópticas de medición no
intrusivas como la anemometría láser Doppler y la
velocimetría por imágenes de partículas (PIV por sus siglas
en inglés) en flujo en canales sin y con transporte de
sedimentos. Las formas de fondo ocasionan un rompimiento
de la capa límite desarrollada y una recirculación aguas abajo
de las mismas, cuya principal característica es la baja
velocidad del fluido y la formación de vórtices que
finalmente se desprenden e incorporan al flujo de alta
velocidad, por encima de la capa cortante. Kaftory (1993)
comenta que han sido observadas tres tipos de estructuras:
barridos de baja velocidad muy cerca del fondo o pared,
vórtices con forma de herradura u horquilla que aparecen a
alturas un poco mayores y eyecciones de fluido desde el
fondo al flujo medio (fenómeno conocido como bursting),
que se complementa con barridos de flujo desde la zona
media hacia la región de la pared.
La forma del fondo se aproxima realizando una extensión
periódica de los fragmentos que resultan del análisis de la
ecuación de Falkner-Skan clásica, los cuales tienen la forma
de una elevación o cuña con ángulo positivo o antihorario; o
bien una depresión de ángulo horario; los dos siendo
circuidos por el flujo inviscoso. Entonces, la forma de fondo
se aproxima por una serie de Fourier.
Por ejemplo, la onda rectangular, de período espacial
altura
h,
se representa por
r( x) =
4
π2
∞
l
y
hl ∑sn ( x )
n =1

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con
sn ( x ) =
1
π
sin ( 2n −1) x . Sin embargo,
2 n −1
l
para realizar las representaciones gráficas conviene usar los
filtros de Lanczos para regularizar la aproximación en las
esquinas, debido a que se sabe que la convergencia de la
misma falla en dichas esquinas. Así que se introduce como
π 

sin  ( 2n − 1)

2κ  , y en
 π

filtro la función sc n  =
 κ
( 2n − 1) π
2κ
particular se escoge κ = 50 . Los fragmentos regularizados
∞
4
 π 
se describen por rf ( x ) = 2 hl ∑sc  n
sn ( x ) .
π
 50 
n =1
La derivada fraccional de esos fragmentos, de tipo Weyl y de
γ (m) ,
orden
resulta
γ
Dx r f ( x ) =
50
4
 π  γ
hl ∑ sc n Dx sn ( x )
2
π
 50 
n =1
y
γ
π

 ( 2n − 1) 
π
π 
l 

γ
Dx sn = 
sin  ( 2n − 1) x + γ .
2n − 1
l
2 

Dichos
hl = π
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fragmentos se representan
y con período 3π ,
normalizados
se grafican
por
por
1
(1 + Dxγ rf ( x ) ) , y se ilustran para tres
2
valores de γ . Así para γ = 0 son rectángulos de altura
0
unitaria; para γ = − .5 los mismos tiene una forma
1
similar a las aletas de tiburón; y para γ = − se obtiene
fγ ( x ) =
un tren de onda triangular. Las figuras 1, 2 y 3 muestran la
evolución que produce la acción de la integral fraccional,
desde los rectángulos, pasando por las formas de aleta, hasta
los triángulos. Y por supuesto, la derivada fraccional realiza
la transformación en orden inverso.
Con la representación de la rugosidad por medio de series de
Fourier, como la onda rectangular y su evolución inducida
por los diversos órdenes de la integral fraccional, se tienen
dos longitudes: el periodo y la altura de la rugosidad.
Figura 1. Gráfica de fragmentos para γ
=0 .
Puede considerarse la razón de las dos longitudes l / h . Por
lo que resultan, entonces, por lo menos dos tipos de
situaciones: l es relativamente alto con respecto a h ,
luego l / h << 1 . Lo que permite que vórtices se anuden
circundando cada fragmento y se extiendan hasta el
siguiente, que eventualmente podría estar muy distante.
Estos vórtices podrían describirse como nudos vórtices
horquillas. El tamaño del vórtice nudo 2r0 podría ser del
orden de la longitud de periodicidad, o bien r0 ≈ l , o tal
vez un múltiplo de ella para dar lugar a los vórtices anidados.
Estos vórtices horquillas son levantados por la corriente, se
reproducen formando vórtices anudados y posteriormente se
integran a la corriente del flujo medio externo, así que
alimentan la capa libre de corte desde la zona de separación
del flujo, (Clifford et al., 1993).
En el otro extremo l es relativamente bajo con respecto a
h , o sea l / h >> 1 . Los eventos anteriores tienen poco
espacio en donde desarrollarse y el flujo se comporta de
forma rasante.
g= 0.51020
10
8
6
4
2
0
50
100
150
x
2
4
6
8
Figura 2. Gráfica de fragmentos para
γ = − .5 .
0
Figura 3. Gráfica de fragmentos para
7. Conclusiones
γ =− .
1

7. AMH
XXII CONGRESO NACIONAL DE HIDRÁULICA
ACAPULCO, GUERRERO, MÉXICO, NOVIEMBRE 2012
El equilibrio en la capa límite se determina por el triángulo
dinámico de las fuerzas: inercial, viscosa, y gradiente de
presión; por lo que se obtiene el coeficiente de arrastre y
resulta representado por una potencia del recíproco del
número de Reynolds indexado; y a la potencia se le
denominó exponente de Blasius.
El exponente de Blasius es función tanto del índice de
ocupación espacial, lo cual refleja la viscosidad; como del
exponente de la velocidad libre, que trasluce el gradiente de
presión.
El resultado también exhibe una estructura multifractal,
donde la resolución se da por el recíproco del número de
Reynolds indexado y el exponente de Blasius por el espectro
de dimensiones.
Alternativamente, la fuerza de fricción se describe como un
operador dado a través de una derivada fraccional cuyo
orden depende tanto del índice de ocupación espacial como
de la potencia de la velocidad libre.
La existencia de una solución de similaridad presenta una
disyuntiva, o bien el índice de ocupación espacial es
estrictamente menor que la unidad, lo que significa que la
velocidad exterior es lineal con la coordenada longitudinal; y
por tanto, que la pendiente hidráulica se da de acuerdo con el
flujo de Haggen-Poiseuille. O bien, el índice de ocupación
espacial es la unidad, y se tiene el caso del régimen laminar
de movimiento; caso en que la interacción entre el fluido y la
frontera presenta sólo una longitud característica. Sin
embargo, el exponente de la velocidad exterior queda libre y
puede asumir cualquier valor diferente de cero, pero debido a
la compatibilidad con la descripción como dimensión
1
,
multifractal, se excluye el intervalo ( − / β 0] . Esta
libertad del exponente de la velocidad exterior, permite
considerar diversas formas para los fragmentos de fondo que
pueden ir desde un rectángulo hasta un triángulo.
La acción del fluido sobre las formas de fondo puede
describirse por medio de la actuación de la integral
fraccional que eventualmente puede cambiar la forma de los
fragmentos periódicos desde el rectángulo hasta el triángulo
pasando por etapas intermedias, como las formas de aleta de
tiburón; mientras, por supuesto, la derivada fraccional realiza
la transformación en orden inverso.
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