90 lecciones-de-trigonometria-y-geometria-analitica

ÌÊÁ ÇÆÇÅ ÌÊ ÇÅ ÌÊ
Æ Ä ÌÁ ¸
Ù ×
Ð × Ô Ö ¼ Ð

ÓÒ ×
ÙØÓÖ ×
ÂÓ Ò ÝÖÓÒ Ò º
Ý Ð Ò ÖÓ Ù×Ø Ñ ÒØ Åº
Ò Ð Ö
× Âº
Ç×
Ö ÁÚ Ò Ö Ð Ó º
ÂÓ× Å ÒÙ Ð Â Ñ Ò Þ Íº
Ð Ò
ÙÖÓÖ Ä Ò Áº
Ò Ä Ô Þ Êº
Å ÙÖ
Ó Ò Ö × Ç×ÓÖ Ó Äº
ÖÐÓ× Ù Ù×ØÓ Î Ð Þ Äº
ØÖ Þ Î ÐÐ
Ë Í Ä Å Ì ÅýÌÁ Ë
ÍÆÁÎ ÊËÁ Æ ÁÇÆ Ä ÇÄÇÅ Á
Ë Å ÄÄ Æ

Ì Ð ÓÒØ Ò Ó
Ä

Ò È Ò
½ ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ Á ½
Ê
Ø ×¸ Ö ÝÓ× Ý ÔÐ ÒÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ý
Ö
ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ýÒ ÙÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¾ ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ ÁÁ
ýÒ ÙÐÓ×
ÒØÖ Ð × Ý Ö
Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ë ×Ø Ñ × Ü × Ñ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ð ×

Ò ÐÓ× Ò ÙÐÓ× × Ò ×Ù Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º
ýÒ ÙÐÓ×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×¸
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ý ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× º º º º º º º º º º
¿ ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ ÁÁÁ
ÁÒØ Ö×

Ò Ö
Ø ×¸ Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö Ý Ô Ö Ð Ð ×ÑÓº º º º º º º º º º º º
ýÒ ÙÐÓ× Ý Ö
Ø × Ô Ö Ð Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
ÌÖ Ò ÙÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ ÁÎ ½¿
ÌÖ Ò ÙÐÓ× × Ñ ÒØ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
ÌÖ Ò ÙÐÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ×º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ Î ½
Ð ×

Ò ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ×
Ù Ö Ó
ÓÒ Ð ÐÓÒ ØÙ ×Ù× Ð Ó× º º º ½
Ê
Ø × Ð ØÖ Ò ÙÐÓ × ¸ ÐØÙÖ ¸ Ñ Ò Ý ×
ØÖ Þ º º º º º º º º º º º º ½
ÌÖ Ò ÙÐÓ× × ×
Ð × Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Á ¾½
ÓÒ ÙÒØÓ× ÒÙÑ Ö
Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
Ê ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾
Ê
Ø Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÁÁ ¾
Ê Ð
ÓÒ × ÓÖ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × º º º º º º º º º º º º º º ¾
ÔÖÓÜ Ñ
Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º Å ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Óº º º º º º º º º º º ¾
Å Ò ÙÐÓ× × ×Ø Ñ
Ö
ÙÐ Ö ¿½
Å Ò ÙÐÓ× Ò Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½
ÓÒÚ Ö× Ò Ö Ó× × Ü × Ñ Ð × ¹ Ö Ò × º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
Ê Ð
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ¿

È Ò
Ê Ð
ÓÒ ×
Ó
ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½¼ Ê Ð
× Ò ÙÐÓ×
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× ¿
½½ Ê Ð
× Ò ÙÐÓ× ×Ô
Ð × ¿
Ê Ð
× Ð Ò ÙÐÓ
ÙÝ Ñ × 45◦
º º º º º º º º º º ¿
Ê Ð
× ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
ÓÒ Ñ 60◦
Ý 30◦
º º º º º º
½¾ ËÓÐÙ
Ò ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ× Á
Ì Ð × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Í×Ó
Ð
ÙÐ ÓÖ × Ô Ö ÐÐ Ö Ö Ð
× º º º º º º º º º
Ê ×ÓÐÙ
Ø Ò ÙÐÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½¿ ËÓÐÙ
Ø Ò ÙÐÓ× ÁÁ ½
ÓÖÑ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
Ð Ö ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½ ÈÖÓ Ð Ñ × ÔÐ

Ø Ò ÙÐÓ× Á
ýÒ ÙÐÓ× Ð Ú
Ò Ý ÔÖ × Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ÈÖÓ Ð Ñ × ÔÐ

Ø Ò ÙÐÓ× ÁÁ
½ Ë ×Ø Ñ
ÓÓÖ Ò ×
ÖØ × Ò × ¿
×Ø Ò
ÒØÖ Ó× ÔÙÒØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÈÙÒØÓ Ñ Ó ÒØÖ Ó× ÔÙÒØÓ× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ÙÒ
ÓÒ × Á
Ò
Ò¸ ÓÑ Ò Ó Ý Ö Ò Ó ÙÒ ÙÒ
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ö
ÙÒ ÙÒ
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼
½ ÙÒ
ÓÒ × ÁÁ ¿
Ä ÙÒ
Ò f(x) = 1
x
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
Ä ÙÒ
Ò g(x) = 1
x2 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½ ÙÒ
ÓÒ × ÁÁÁ
ÌÖ ×Ð
ÓÒ × Ú ÖØ
Ð × Ö
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÌÖ ×Ð
ÓÒ × ÓÖ ÞÓÒØ Ð × Ö
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾¼ ýÒ ÙÐÓ× Ò ÔÓ×
Ò ×Ø Ò Ö Ó
Ò Ò
Á ½
ýÒ ÙÐÓ× ÓÖ ÒØ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¾½ ýÒ ÙÐÓ× Ò ÔÓ×
Ò ×Ø Ò Ö Ó
Ò Ò
ÁÁ
ýÒ ÙÐÓ× Ò ÔÓ×
Ò ×Ø Ò Ö Ó
Ò Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ýÒ ÙÐÓ×
ÓØ ÖÑ Ò Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾¾ ÙÒ
× Ò ÙÐÓ× Ò ÔÓ×
Ò
Ò Ò
Á
¾¿ ÙÒ
Ò
Ò Ò
ÁÁ
Ú

Ë ÒÓ× Ð × ÙÒ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ ÙÒ
Ò
Ò Ò
ÁÁÁ
¾ ÙÒ
Ò
Ò Ò
ÁÎ ½¼¿
ýÒ ÙÐÓ× Ö Ö Ò
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¿
¾ ÙÒ
Ò
Ò Ò
Î ½¼
Ê Ù

Ò Ð ÔÖ Ñ Ö
Ù Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
È Ö Ó
Ð × ÙÒ
× º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼
¾ ÙÒ
Ò
Ò Ò
ÎÁ ½½½
ÙÒ
× Ò ÙÐÓ×
Ù Ö ÒØ Ð × º º º º º º º º º º º º º º ½½½
¾ ÙÒ
Ò
Ò Ò
ÎÁÁ ½½
ÙÒ
ÓÒ × (−θ) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÙÒ
ÓÒ × Ô Ö × ÑÔ Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
¾ ÙÒ
× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Á ½½
Ö
ÙÒ Ö Ò
ÙÒ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¼
ÓÑ Ò Ó Ý Ö Ò Ó Ð × ÙÒ
ÓÒ × z = sen t Ý z = cos t º º º º º º º º º º º º ½¾½
¿¼ ÙÒ
× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÁÁ ½¾
ÈÖÓÔ × Ý Ö
Ð ÙÒ
Ò × ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾
¿½ ÙÒ
× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÁÁÁº ½¿½
ÈÖÓÔ × Ý Ö
Ð ÙÒ
Ò
Ó× ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿½
¿¾ ÙÒ
× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÁÎ ½¿
ÓÑ Ò Ó Ð × ÙÒ
ÓÒ × Ø Ò ÒØ Ý ×
ÒØ ¸
ÓØ Ò ÒØ Ý
Ó×
ÒØ º º º º ½¿
È Ö Ó Ó Ð × ÙÒ
ÓÒ × Ø Ò ÒØ Ý
ÓØ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
ÈÖÓÔ × Ý Ö
Ð ÙÒ
Ò Ø Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¿
¿¿ ÙÒ
× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Î ½ ¿
ÈÖÓÔ × Ý Ö
Ð ÙÒ
Ò
ÓØ Ò ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
¿ ÙÒ
× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÎÁ ½
ÓÑ Ò Ó Ð × ÙÒ
ÓÒ × ×
ÒØ Ý
Ó×
ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Ö
Ð ÙÒ
Ò ×
ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Ö
Ð ÙÒ
Ò
Ó×
ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿ Ö
× Ý ÔÐ

ÓÒ × Ð × ÙÒ
ÓÒ × × ÒÙ×Ó Ð × Á ½ ½
Ð Ø
Ò Ý
ÓÑÔÖ × Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½
Ê Ü Ò
ÓÒ Ö ×Ô
ØÓ Ð ÓÖ ÞÓÒØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
Ê Ü Ò Ö ×Ô
ØÓ Ð Ú ÖØ
Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿ Ö
× Ý ÔÐ

ÓÒ × Ð × ÙÒ
ÓÒ × × ÒÙ×Ó Ð × ÁÁ ½
È Ö Ó Ó Ð × ÙÒ
ÓÒ × a sen bx Ý a cos bx º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Ú

¿ ÌÖ ×Ð
ÓÒ × Ð × ÙÒ
× ½ ¿
×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ× ÓÖ ÞÓÒØ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
ÙÒ
ÓÒ × y = a sen(bx + c) Ý y = a cos(bx + c) Ý ×Ù× Ö
× º º º º º º º º ½ ¿
ÌÖ ×Ð
ÓÒ × Ú ÖØ
Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¿ Ö
× Ð × ÙÒ
ÓÒ × y = a sen(bx + c) + d Ý y = a cos(bx + c) + d ½
¿ ÌÖ ×Ð
ÓÒ × Ð × ÙÒ
× ½ ¿
×ÔÐ Þ Ñ ÒØÓ× ÓÖ ÞÓÒØ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
ÙÒ
ÓÒ × y = a sen(bx + c) Ý y = a cos(bx + c) Ý ×Ù× Ö
× º º º º º º º º ½ ¿
ÌÖ ×Ð
ÓÒ × Ú ÖØ
Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
¼ Á ÒØ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÁÁ ½
½ Á ÒØ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÁÁÁ ½ ¿
¾ Á ÒØ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÁÎ ½
¿ Á ÒØ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× Î ½
ÖÑÙÐ ×
Ò Ý ×Ù×ØÖ

Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Á ÒØ ×
Ó ÙÒ
Ò ½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼
Á ÒØ ×
Ó ÙÒ
Ò ¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾
Á ÒØ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÎÁ ½ ¿
ÜÔÖ × ÓÒ × Ð ÓÖÑ A sen x + B cos x º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿
× ÎÁÁ ½
Á ÒØ × Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ Ð ×ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
Á ÒØ × Ð ×ÙÑ Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
× ÎÁÁÁ ¾¼½
Á ÒØ × Ò ÙÐÓ× Ó Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½
Á ÒØ × ÔÖÓ Ù
ØÓ ¹ ×ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¾
× Á ¾¼
ÖÑÙÐ × Ô Ö ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ñ Ó× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
× ¾¼
Ä Ý
Ó× ÒÓ Á ¾½¿
Ê ×ÓÐÙ
Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½¿
Ä Ý
Ó× ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½
¼ Ä Ý
Ó× ÒÓ ÁÁ ¾½
½ Ä Ý × ÒÓ Á ¾¾½
Ä Ý × ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾½
¾ Ä Ý × ÒÓ ÁÁ ¾¾
Ú

¿ Ä Ý × ÒÓ ÁÁÁ ¾¾

Ù
× Á ¾¿

Ù
× ÁÁ ¾ ½

Ù
× ÁÁÁ ¾

Ù
× ÁÎ ¾
Ä Ò Ö
Ø Á ¾ ¿
Ä Ò Ö
Ø ÁÁ ¾
¼ Ä Ò Ö
Ø ÁÁÁ ¾ ½
×Ø Ò
ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÒ Ö
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½
½ Ä Ò Ö
Ø ÁÎ ¾
Ê
Ø × Ô Ö Ð Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¾ Ä Ò Ö
Ø Î ¾
ÑÔÐÓ×
ÓÒ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿ Ä Ò Ö
Ø ÎÁ ¾ ¿
Ê
Ø × Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¿
Ä Ò Ö
Ø ÎÁÁ ¾
ÑÔÐÓ×
ÓÒ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
ýÒ ÙÐÓ ÒØÖ Ö
Ø × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
Ä Ò Ö
Ø ÎÁÁÁ ¾ ½
ÑÔÐÓ×
ÓÒ Ð × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½
Ä
Ö
ÙÒ Ö Ò
Á ¾
Ò
Ò Ý
Ù
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
Ö
Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò

ÓÒ
ÒØÖÓ Ò (0, 0) Ý Ö Ó r > 0 º º º º º º º º ¾
Ä
Ö
ÙÒ Ö Ò
ÁÁ ¾
Ö
Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò

ÓÒ
ÒØÖÓ Ò C = (h, k) Ý Ö Ó r º º º º º º º ¾
Ä
Ö
ÙÒ Ö Ò
ÁÁÁ ¾
ÌÖ ×Ð
Ò × ¾
¼ È Ö ÓÐ × Á ¿¼¿
Ò
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼¿

Ù
Ò Ð È Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼
½ È Ö ÓÐ × ÁÁ ¿¼
Ú

¾ È Ö ÓÐ × ÁÁÁ ¿½¿
¿ È Ö ÓÐ × ÁÎ ¿½
È Ö ÓÐ
ÓÒ Ó
Ð Ô Ö Ð ÐÓ ÐÓ× ×
ÓÓÖ Ò Ó× º º º º º º º º º º º º ¿½
È Ö ÓÐ × Î ¿¾½
Ä Ð Ô× Á ¿¾
Ò
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾

Ù
Ò ÙÒ Ð Ô× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
Ä Ð Ô× ÁÁ ¿¾
Ð Ñ ÒØÓ× ÓÑ ØÖ
Ó× ÙÒ Ð Ô× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾
Ö
Ð Ð Ô×
ÓÒ Ó
Ó× Ò (−c, 0) Ý (c, 0)º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿¼
Ä Ð Ô× ÁÁÁ ¿¿¿
Ð Ô×
ÓÒ Ó
Ó× Ò (0, c) Ý (0, −c)º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿¿
Ä Ð Ô× ÁÎ ¿¿
Ð Ô×
ÓÒ
ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ (h, k) º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿
À Ô Ö ÓÐ × Á ¿ ½
Ò
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½

Ù
Ò Ð Ô Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½
¼ À Ô Ö ÓÐ × ÁÁ ¿
Ö
Ð Ô Ö ÓÐ
ÓÒ Ó
Ó× ´¹
¸¼µ Ý ´
¸¼µ º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
½ À Ô Ö ÓÐ × ÁÁÁ ¿
Ö
Ð Ô Ö ÓÐ
ÓÒ Ó
Ó× ´¼¸¹
µ Ý ´¼¸
µ º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¼
¾ À Ô Ö ÓÐ × ÁÎ ¿ ¿
À Ô Ö ÓÐ
ÓÒ
ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ ´ ¸ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿
¿
Ù
Ò Ò Ö Ð × ÙÒ Ó Ö Ó Ý ×
Ö Ñ Ò ÒØ º ¿
ÔÐ

ÓÒ × Ð ×
Ò
× Á ¿ ½
ÔÐ

ÓÒ × Ð Ð Ô× º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½
ÔÐ

ÓÒ × Ð ×
Ò
× ÁÁ ¿
ÔÐ

ÓÒ × Ð Ô Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
ÔÐ

ÓÒ × Ð Ô Ö ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
Î
ØÓÖ × Ð Ö
Ó× ¿ ¿
ËÙÑ Ý ÔÖÓ Ù
ØÓ ÔÓÖ ÙÒ ×
Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
Ò
Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
Å Ò ØÙ Ý Ö

Ò ¿
Ú

Ù
Ò Ú
ØÓÖ Ð Ð Ö
Ø ¿ ¿

Ù
Ò Ò ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð Ð Ö
Ø ¿
ÈÖÓ Ù
ØÓ ×
Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿

Ù
Ò Ð Ö
Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿
¼ ÔÐ

ÓÒ × Ð ×
¿ ¿
½ Ê ×ÔÙ ×Ø × Ö

Ó× × Ð

ÓÒ Ó× ¿
Ð Ó Ö ¾½
Ü

ÈÖ ÐÓ Ó
ÍÒÓ ÐÓ× Ó Ø ÚÓ× Ð ËÓ
ÓÐÓÑ Ò Å Ø Ñ Ø
× ´Ë Åµ × Ð Ñ ÓÖ Ñ ÒØÓ
Ð Ò× ÒÞ Ý Ð Ù× Ò Ð × Å Ø Ñ Ø
× Ò ÒÙ ×ØÖÓ Ñ Óº Ì Ò Ò Ó ÔÖ × ÒØ
×Ø Ó Ø ÚÓ¸ Ð Ó ÖÒ
Ò ÒØ ÓÕÙ ÒÚ Ø Ð Ë Å × Ö ÙÒ ÔÐ Ò ØÖ Ó
Ô Ö Ñ ÓÖ Ö Ð Ò× ÒÞ Ð × Å Ø Ñ Ø
× Ò Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÕÙ º Ä ×
Ö ÞÓÒ × ×Ø ÒÚ Ø
Ò × Ú Ò Ö × Ò ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ò Ð Ö Å Ø Ñ Ø
×
Ð × ÔÖÙ × Ë Ê ´Ñ ÝÓ ¾¼½¾µ Ý ÐÓ× Ü Ñ Ò × Ñ × Ò Ð ÍÒ Ú Ö×
ÒØ ÓÕÙ ´Ñ ÝÓ ¾¼½¾µ¸ Ý Ò ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ð ÈÖÙ Å Ø Ñ Ø
× Ò¹
Ø ÓÕÙ ´ÇÐ ÑÔ × Ð ÓÒÓ
Ñ ÒØÓ¸ ÙÐ Ó ¾¼½¾µ Ð ÒÓØ ÔÖÓÑ Ó Ò Å Ø Ñ Ø
×¸

ÓÒ× Ö Ò Ó ×ØÓ× ØÖ × Ü Ñ Ò ×¸ Ù ½º ×Ó Ö º
ÓÒ Ð Ò Ò Ö ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ó Ò Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø
Ó ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × ÐÓ×
ÐØ ÑÓ× Ö Ó× Ð Ù

Ò ×
ÙÒ Ö Ò Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÕÙ ¸ Ð Ë Å
× Ð ÈÐ Ò Ñ ÓÖ Ñ ÒØÓ Ð Ò× ÒÞ Ý ÔÖÓÔ
Ò Ð × Å Ø Ñ Ø
× Ò
Ð × Ò×Ø ØÙ
ÓÒ × Ù
Ø Ú × ÒØ ÓÕÙ º ×Ø Ø ÜØÓ¸ ÕÙ ÐÐ ÓÝ ×Ù× Ñ ÒÓ×¸ ×
ÙÒÓ ÐÓ× ÑÙ
Ó× ÔÖÓ Ù
ØÓ× ÕÙ Ð ÈÐ Ò ÕÙ Ö ÒØÖ ÖÐ ÒØ ÓÕÙ Ý
Ô ÖØ
ÙÒ
ÓÐ

Ò
Ò
Ó Ø ÜØÓ×¸
Ó× Ð × Ù ×
Ð × Ô Ö ¼ Ð

ÓÒ ×¸ Ò Ð ×
Ö × ÈÖ
Ð
ÙÐÓ¸ ýÐ Ö ¸ ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¹ ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø
¸ ÓÑ ØÖ Ù
Ð Ò
Ý Ö ØÑ Ø
º ÄÓ× Ø ÜØÓ× Ð
ÓÐ

Ò Ù ÖÓÒ ×
Ö ØÓ× Ô Ö ÝÙ ÖÐ × ÐÓ× Ñ ×ØÖÓ× Ò
Ð ÔÖ Ô Ö
Ò ×Ù×
Ð × ×º
Ä × Å Ø Ñ Ø
× ×ÓÒ
ÓÑÓ ÙÒ
Óº È Ö ÕÙ Ð
Ó × ×Ó×Ø Ò ÖÑ Ñ ÒØ ×
Ò
× Ö Ó ÕÙ Ø Ò Ù Ò × × ×º ÄÓ×
ÓÒ
ÔØÓ× Ð Ñ ÒØ Ð × ÕÙ × Ö
Ó Ò Ò ÐÓ× Ø ÜØÓ×
×Ø
ÓÐ

Ò ×ÓÒ Ð × × × ÕÙ Ö
ÓÒ×ØÖÙ Ó¸
ÓÒ ÝÙ ×Ù× Ñ ×ØÖÓ×¸ ÙÒ
ÐÙÑÒÓ ×
ÙÒ Ö ÕÙ ×Ô Ö ÒØÖ Ö Ð ÍÒ Ú Ö× º Ë Ó × ÖÚ Ö ÕÙ Ò ÐÐÓ× ×
ØÖ Ø Ó ×
Ö Ö Ò Ø ÐÐ ÐÓ× Ô ×Ó× × Ù Ö Ò
Ø Ñ ¸ Ö

Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ
ÔÖÓÔÙ ×ØÓº È Ò× ÑÓ×¸ × Ó× Ò ÒÙ ×ØÖ ÔÖÓÔ ÜÔ Ö Ò
¸ ÕÙ ×Ø × ÙÒ Ù Ò
Ñ Ò Ö
Ø Ö ÙÒ
Ð × Å Ø Ñ Ø
×º ÎÓÐÚ Ò Ó Ð Ò ÐÓ Ò
Ð¸ ×
ÓÑÓ
ÙÒ ÑÙÖÓ Ð
Ó ×
ÓÒ×ØÖÙÝ ÔÓ
Ó ÔÓ
Ó
ÓÐÓ
Ò Ó
ÙÒÓ ÐÓ× Ð Ö ÐÐÓ× ÕÙ ÐÓ

ÓÑÔÓÒ Ò¸ Ð ×ÓÐÙ
Ò ÙÒ Ö

Ó Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ñ Ø
Ó × ÙÒ ×Ù
× Ò ÓÖ Ò
Ô ×Ó× Ð
Ó× Ý
Ó Ö ÒØ ×º Ë Ò Ð
ÓÒ×ØÖÙ

Ò Ð ÑÙÖÓ ÐØ Ò Ð Ö ÐÐÓ× Ó Ý Ð Ö ÐÐÓ×
Ñ Ð
ÓÐÓ
Ó× × ÑÙÝ ÔÓ× Ð ÕÙ Ð ÑÙÖÓ × ÖÖÙÑ º Ë Ò Ð ×ÓÐÙ
Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ
Ü

Ñ Ø Ñ Ø
Ó ÐÓ× Ô ×Ó× ×Ø Ò Ñ Ð
ÓÒ
Ø Ò Ó× Ó ÐØ Ò Ô ×Ó×¸ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ð ×ÓÐÙ
Ò
× Ò
ÓÖÖ
Ø º
×
ÓÑÓ ÙÒ ÔÓÖØ ×Ø
Ö ÑÙ
× ÓÖ × Ö × ×Ù ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ¸ Ô Ö ÔÓ Ö
×Ó Ö
ÓÒ ØÖ ÙÒ Ö¸ × ÕÙ Ö ÑÓ× Ñ ÓÖ Ö ÒÙ ×ØÖ
ÓÑÔÖ Ò× Ò Ð × Å Ø Ñ Ø
× × Ò
¹
× Ö Ó Ö Ô × Ö ÐÓ Ñ ×ÑÓ ÑÙ
× Ú
×¸ ÙÒÕÙ Ô Ö Þ
ÑÓÒ ØÓÒÓ Ý Ö Ô Ø Ø ÚÓ¸ ×Ø
ÓÖÑ ÔÓ Ö ÑÓ× Ò Ö ÒØ Ö
ÓÒ Ñ ÝÓÖ ÐÙ
Þ Ð
ÓÒ×ØÖÙ

Ò Ð
Ó Ð × Å Ø Ñ Ø ¹

×º
Ò ÐÑ ÒØ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð Ö ÕÙ ×ØÓ× Ø ÜØÓ× ÒÓ ÔÖ Ø Ò Ò × Ö ÙÒ ØÖ Ø Ó È ¹
Ó º Å × Ò
ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ ÖØ
ÙÐ Ó
ÓÒÓ
Ñ ÒØÓ× Ñ Ø Ñ Ø
Ó× ÕÙ
ÙÒ Ó
ÒØ ×
ÙÒ Ö ÔÙ Ò× Ö Ñ Ò Ö
Ø Ú
ÓÒ Ð Ù×Ó ÐÓ× × Ö ×
Ô
Ó× ÕÙ Ö Ó× Ò ×Ù ÓÖÑ
Ò
Ñ
º Ê ×ÔÓÒ Ò ÒØÓÒ
× ×ØÓ× Ø ÜØÓ×
ÒÙ ×ØÖ
ÓÒÚ

Ò ÕÙ × × ÕÙ Ö Ò× Ö Ò Ð Ó ÒÓ ×ÓÒ ×Ù
ÒØ × Ò Ð × ×ØÖ Ø ×
Ô
× ÙØ Ð Þ × Ò Ð Ù×Ó Ð × ÒÙ Ú × Ø
ÒÓÐÓ × Ò ÓÖÑ Ø
×¸ × Ò ×Ô Ò× Ð
Ø Ò Ö ÔÖ Ú Ñ ÒØ ÙÒ
ÓÒÓ
Ñ ÒØÓ × Ð Ó Ð Ñ Ø Ö ÕÙ ÕÙ Ö ÑÓ× Ò× Öº
ÖÐÓ× ÅÓÒØ Ò ÖÓ
ÈÖ × ÒØ ¸ ËÓ
ÓÐÓÑ Ò Å Ø Ñ Ø
×
Ü

ÈÖ
Ó
Å ÓÖ Ö Ð Ò× ÒÞ Ð × Å Ø Ñ Ø
× × ÑÔÖ × ÙÒ Ö ØÓº ÄÓ×
ÓÒ
ÔØÓ× Ñ Ø Ñ Ø
Ó×
×
Ó× Ø Ò Ò
ÖØÓ Ö Ó
ÓÑÔÐ Ý Ò
ÓÒ×
Ù Ò
×
ÖÙ
Ð ÕÙ ÐÓ× Ø ÜØÓ×
Ñ Ø Ñ Ø
Ó× ÕÙ × ×
Ö Ò Ô Ö ÔÓÝ Ö Ð ÔÖÓ
×Ó ×Ù Ò× ÒÞ Ý ÔÖ Ò Þ Ù× Ò
ÙÒ Ð Ò Ù
Ð ÖÓ ÕÙ
ÓÒ
ÒØÖ ×Ù Ø Ò
Ò Ò ÐÓ× ×Ô
ØÓ× Ö ÐÑ ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ ×
×ØÓ×
ÓÒ
ÔØÓ× Ý
Ð Ø ×Ù
ÓÑÔÖ Ò× Òº
Ð ÔÖ × ÒØ Ø ÜØÓ × ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Ù ×
Ð × Ò ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ý ÓÑ ØÖ Ò Ð Ø
Ô Ö ÐÓ× Ñ ×ØÖÓ× Ð Ù

Ò ×
ÙÒ Ö Ð Ô ÖØ Ñ ÒØÓ ÒØ ÓÕÙ ¸ ÒØÖÓ
Ð ÔÖÓ Ö Ñ ÒØ ÓÕÙ Ð Ñ × Ù
¸ Ð Ö Ó ÔÓÖ Ð Ó ÖÒ ÓÖ Ë Ö Ó Ö Ó
Î Ð ÖÖ Ñ º ÓÒ× Ö ÑÓ× ÕÙ ×Ø × Ù ×
ÓÒ×Ø ØÙÝ Ò ÙÒ × ÒØ × × Ð Ñ Ø Ö Ð ÕÙ ×
Ò ×Ô Ò× Ð ÔÖ × ÒØ Ö Ò Ð ÙÐ
Ð × ÔÓÖ Ô ÖØ Ð Ñ ×ØÖÓº ÐÐ ÕÙ Ð ÜÔÓ×
Ò

Ò ÐÐ × Ð × ÒÓ
ÓÒ × Ñ Ø Ñ Ø
× ×
×¸ ÕÙ Ò × Ö Ð
ÓÒÓ
Ñ ÒØÓ ØÓ Ó

ÐÐ Ö ÒØ × ×Ù Ò Ö ×Ó Ð ÙÒ Ú Ö× ¸ × ÐÓ Ñ ×
Ð Ö ÔÓ× Ð º È Ö Ð
ÒÞ Ö ×Ø
Ó Ø ÚÓ ÑÓ× Ö Ù
Ó Ð Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ñ Ø Ñ Ø
Ð ×ØÖ
Ø Ñ ÒØ Ò
× Ö Ý ÑÓ×
ÔÖ ×
Ò Ó Ø Ñ ×

×ÓÖ Ó×¸ ÕÙ
ÓÒ× Ö ÑÓ× ÒÓ ×ÓÒ × Ò
Ð × Ô Ö Ð ÓÖÑ
Ò
Ñ Ø Ñ Ø
ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × Ý ÕÙ ÔÓÖ Ð
ÓÒØÖ Ö Ó ÔÙ Ò ×Ô ÖØ Ö Ò ÐÐÓ× ÙÒ Ö
ÞÓ
Ð ×ØÙ Ó Ð × Å Ø Ñ Ø
×º ÁÒ× ×Ø ÑÓ× Ò ÕÙ Ð ÙÒ
Ò ÔÖ Ò
Ô Ð ×Ø Ñ Ø Ö Ð ×¸
ÙÒ Ô ÖØ ¸ ÝÙ ÖÐ Ð Ó
ÒØ Ò ×Ù Ø Ö
ÓØ Ò ÔÖ Ô Ö
Ò
Ð × ×¸ Ý
ÓØÖ ¸ Ö Ò ÖÐ Ð ×ØÙ ÒØ ÙÒ Ö ×ÙÑ Ò ÐÓ×
ÓÒÓ
Ñ ÒØÓ× Ñ Ò ÑÓ× ÕÙ Ø Ò Ö
×Ó Ö Ð Ñ Ø Ö º × ÔÓÖ ÐÐÓ ÕÙ Ò ÐÙ Ö Ð Ö Ð ÖÓ Ó Ø ÜØÓ ÑÓ× ÔÖ Ö Ó
Ù× Ö Ð Ô Ð Ö Ù × Ô Ö Ö Ö ÖÒÓ× ×Ø Ñ Ø Ö Ðº Ò Ð Ð Ó Ö ÐÓ× Ð
ØÓÖ ×
Ò
ÓÒØÖ Ö Ò Ð ÖÓ× Ý Ø ÜØÓ× ÕÙ Ð × Ô ÖÑ Ø Ö Ò
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð
ÓÒÓ
Ñ ÒØÓ ×
Ó ÕÙ
Ð × Ö Ò Ò ×Ø × Ù ×º Ò ÐÑ ÒØ Ø Ò ÑÓ× Ð ×Ô Ö ÒÞ ÕÙ Ð × Ù ×
Ð × ¸ ÕÙ
ÓÝ ÔÓÒ ÑÓ×
ÓÒ× Ö
Ò ÐÓ× Ð
ØÓÖ ×¸ Ñ ÓÖ Ò ×Ù Ô Ö
Ô
Ò Ð ÑÔÓÖØ Ò
Ð × Å Ø Ñ Ø
× Ý ×Ù ÒÑ Ò×Ó ÔÓ Ö Ò Ð ×ÓÐÙ
Ò ÔÖÓ Ð Ñ ×
ÓÒ
Ö ØÓ×¸ Ø ÒØÓ
Ð ×
Ò
× Ò ØÙÖ Ð ×
ÓÑÓ Ð Ú
ÓØ Ò º
ÓÑ Ø ØÓÖ Ð
Ü

Ä

Ò ½
ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ Á
Ò Ð × ÔÖ Ñ Ö ×
Ò
Ó Ð

ÓÒ × ×Ø
ÙÖ×Ó ÔÖ × ÒØ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ú Ö×Ó× ×Ô
ØÓ× Ð
ÓÑ ØÖ ¸ ÙÒ Ñ ÒØ Ð × Ô Ö Ð ÔÓ×Ø Ö ÓÖ × ÖÖÓÐÐÓ ÐÓ× Ø Ñ × Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ º
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × Ò Ø Ò Ó Ð ÓÔÓÖØÙÒ
ÓÒÓ
Ö¸ Ò ÙÒ
ÙÖ×Ó ÔÖ Ú Ó
ÓÑ ØÖ ¸ ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÕÙ ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Òº ×Ø × ÔÖ Ñ Ö × Ð

ÓÒ × ×Ø Ò ÓÖ Ò¹
Ø × ÔÖ × ÒØ Ö Ò ÓÖÑ Ö Ú Ð × Ò
ÓÒ ×¸
ÓÒ
ÔØÓ× Ý Ö ×ÙÐØ Ó×¸
ÓÒ Ð ÔÖÓÔ × ØÓ
ÙÒ
Ö Ð ÒÓØ
Ò Ý ×Ø
Ö ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× ÔÖ Ò
Ô Ð ×º
ÁÒ
Ö ÑÓ× ÒÙ ×ØÖÓ ×ØÙ Ó
ÓÒ ÐÓ×
ÓÒ
ÔØÓ× ÔÙÒØÓ¸ Ö
Ø Ý ÔÐ ÒÓº ÄÙ Ó × Ö Ò
ØÖ Ø Ó× Ð
Ö
ÙÐÓ Ý ×Ù× Ð Ñ ÒØÓ× ÔÖ Ò
Ô Ð × Ý ÔÓÖ ÐØ ÑÓ ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð
ÓÒ
ÔØÓ
Ò ÙÐÓ × Ð ÔÙÒØÓ Ú ×Ø Ð ÓÑ ØÖ º
Ê
Ø ×¸ Ö ÝÓ× Ý ÔÐ ÒÓ×
Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ Ð ÓÑ ØÖ × Ð Ü ×Ø Ò
×Ù× Ð Ñ ÒØÓ× ×
Ó× Ð ÔÙÒØÓ¸
Ð Ö
Ø ¸ ÐÓ× ÔÐ ÒÓ×¸ Ý Ð × Ö Ð
ÓÒ × ÒØÖ ÐÐÓ×¸ Ð ×
Ù Ð × ×Ø Ð
Ò ×Ù× ÔÖÓÔ ×º
ÈÖÓÔ × Ð Ð Ò Ù Ð ÓÑ ØÖ ×ÓÒ Ð × Ö Ð
ÓÒ × Ü ×Ø Ò
¸ ÙÒ
¸
ÓÒ ÖÙ Ò
Ý Ô Ö Ð Ð ×ÑÓ¸ ÒØÖ ÓØÖ ×º
q
ÈÙÒØÓ
A
q
qL
Ä Ò Ê
Ø
A B
C
q
q
q
P
ÈÐ ÒÓ
ÙÖ ½º½
Ë
ÕÙ ØÖ × ÔÙÒØÓ× ×ÓÒ
ÓÐ Ò Ð × × ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ð Ò Ö
Ø º ÄÓ× ÔÙÒØÓ×¸ Ö
Ø ×
Ý ÔÐ ÒÓ× Ò × Ø ×
Ö Ð × × Ù ÒØ × ÔÖÓÔ ×
ÈÖÓÔ ½ ÈÓÖ Ó× ÔÙÒØÓ× ×Ø ÒØÓ× Ô × ÙÒ Ý × ÐÓ ÙÒ Ö
Ø º
ÈÖÓÔ ¾
ÈÓÖ ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÒÓ
ÓÐ Ò Ð × Ô × ÙÒÓ Ý × ÐÓ ÙÒ ÔÐ ÒÓº
½

Ë Ó× ÔÙÒØÓ× A Ý B ×Ø Ò × ØÙ Ó× ×Ó Ö ÙÒ Ö
Ø L¸ ÒÓØ Ö ÑÓ× ×Ø Ö
Ø ÔÓÖ ABº
Ð × Ñ ÒØÓ Ö
Ø AB × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÔÙÒØÓ× Ð Ö
Ø AB¸ ÐÓ
Ð Þ Ó× Ò Ð
ØÖ ÑÓ Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ A Ý Bº
r
A
r
B
Ê
Ø AB
L
r
A
r
B
Ë Ñ ÒØÓ AB
r
A
r
B
Ê ÝÓ
−→
AB Ó Ö ÝÓ R
R
ÙÖ ½º¾
ÙÒ Ö
Ø L Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ A ×Ó Ö ×Ø Ö
Ø ¸ Ð ÔÙÒØÓ A Ú Ð Ö
Ø Ò Ó×

ÓÒ ÙÒØÓ× ÔÙÒØÓ×¸ ÕÙ ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ× × Ñ ÖÖ
Ø × Ó Ö ÝÓ×
ÓÒ ÓÖ Ò Aº È Ö

Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ B ×Ó Ö ×Ø Ö
Ø ÒÓÑ Ò Ö ÑÓ× Ö ÝÓ
−→
AB Ð × Ñ ÖÖ
Ø
ÓÒ
ÓÖ Ò A ÕÙ
ÓÒØ Ò Ð ÔÙÒØÓ Bº Ò Ð ÙÒ × Ó
× ÓÒ × Ð × Ñ ÖÖ
Ø
−→
AB Ø Ñ Ò ×
Ð ÒÓÑ Ò Ö ÝÓ Rº
ÄÓ× × Ñ ÒØÓ× Ö
Ø × Ñ Ò Ò ÙÒ × ÐÓÒ ØÙ º ×Ø × ÙÒ × Ô ÖØ Ò
Ò ÙÒ
× ×Ø Ñ Ñ º Ò Ö ÐÑ ÒØ Ù× Ö ÑÓ× Ð × ÙÒ × ÐÓÒ ØÙ Ð Ë ×Ø Ñ Å ØÖ
Ó

Ñ Ðº Ô Ò Ò Ó Ð Ó ØÓ ÕÙ × Ú Ñ Ö ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ×
ÓÑÓ ÙÒ Ð Ñ Ð Ñ ØÖÓ¸
Ð
ÒØ Ñ ØÖÓ¸ Ð Ñ ØÖÓ¸ Ý Ð Ð Ñ ØÖÓ¸ ÒØÖ ÓØÖÓ×¸ Ö Ú Ó×¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ
ÑÑ¸
Ñ¸ Ñ Ý Ñº Ë Ó× × Ñ ÒØÓ× Ö
Ø Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ ÐÓÒ ØÙ Ö ÑÓ× ÕÙ ×ÓÒ

ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ý
Ö
ÙÐÓ
s
Ñ ØÖÓ
ÒØÖÓ
Ê Ó
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ö
ÙÐÓ
r
r
r
Ç
d = 2r
d
r
r
ÙÖ ½º¿
Ä
Ö
ÙÒ Ö Ò
× Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÙÒ ÔÐ ÒÓ ÕÙ ÕÙ ×Ø Ò Ó ×Ø Ò Ð
Ñ ×Ñ ×Ø Ò
ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ Ó Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÔÐ ÒÓ ÐÐ Ñ Ó
ÒØÖÓ º ×Ø ×Ø Ò
Ð ÐÐ Ñ ÑÓ× Ö Ó Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ý Ð ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ rº
¾

Ð
Ö
ÙÐÓ × ÙÒ ÙÖ ÔÐ Ò Ð Ñ Ø ÔÓÖ ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
º ÄÐ Ñ ÑÓ× Ñ ØÖÓ
Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
ØÓ Ó × Ñ ÒØÓ Ö
Ø ÕÙ ÙÒ Ó× ÔÙÒØÓ× ×Ó Ö Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ý
Ô × ÔÓÖ Ð
ÒØÖÓº Ë d × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ñ ØÖÓ¸ d = 2rº Î × Ð ÙÖ ½º¿º
Ù Ò Ó × Ú Ð ÐÓÒ ØÙ C ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
ÔÓÖ d¸ Ð Ö ×ÙÐØ Ó × Ð
ÓÒ×Ø ÒØ
π
C
d
=
C
2r
= π.
Ä ÐÓÒ ØÙ Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
× C = 2πrº
Ð Ö ÙÒ
Ö
ÙÐÓ Ö Ó r × A = πr2
º
Ð Ò Ñ ÖÓ π × ÙÒ Ð ×
ÓÒ×Ø ÒØ × Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð × Ñ Ø Ñ Ø
×º ËÙ Ú ÐÓÖ
ÔÖÓÜ Ñ Ó
ÓÒ Ó×
Ö ×
Ñ Ð × × 3, 14¸ Ý
ÓÒ
Ù ØÖÓ
Ö ×
Ñ Ð × × 3, 1416º
ÇÖ Ò Ö Ñ ÒØ ×
Ö Ö ÑÓ× π ≈ 3.14¸ π ≈ 3.1416º
ÑÔÐÓ
• ÍÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ø Ò ÙÒ Ö Ó 5
Ñº Ä ÐÓÒ ØÙ Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
×
C = 2π r = 10π
Ñº Ð Ö Ð
Ö
ÙÐÓ × A = πr2
= π(5)2

Ñ
2
= 25π
Ñ
2
º
• ÍÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ø Ò ÙÒ Ñ ØÖÓ ¾ Ñ ØÖÓ×º Ð Ö Ó × 1 Ñ ØÖÓº Ä ÐÓÒ ØÙ
Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
× C = 2π r = 2π(1) Ñ = 2π Ñº Ð Ö Ð
Ö
ÙÐÓ ×
A = πr2
= π(1)2
Ñ
2
= π Ñ
2
º
ýÒ ÙÐÓ×
ÍÒ ýÒ ÙÐÓ × Ð ÖØÙÖ ÓÖÑ ÔÓÖ Ó× Ö ÝÓ× ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ ÓÖ Ò
ÓÑ Ò¸ ÐÐ Ñ Ó
Ú ÖØ
Ð Ò ÙÐÓº ÙÒÓ ÐÓ× Ö ÝÓ× R1 Ý R2 × ÒÓÑ Ò Ð Ó Ð Ò ÙÐÓº Ë
ÙØ Ð Þ Ò Ú Ö × ÒÓØ
ÓÒ × Ô Ö ÒÓØ Ö ÐÓ× Ò ÙÐÓ×º Ä × Ñ ×
ÓÑÙÒ × ×ÓÒ
• ∠AOB¸ Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð × × Ñ ÖÖ
Ø ×
−→
OA Ý
−−→
OBº Ì Ñ Ò ÔÙ Ù× Ö× ∠BOAº
Ç × ÖÚ ÕÙ Ò ×Ø ÒÓØ
Ò Ð Ð ØÖ O¸ ÕÙ × Ò Ð Ú ÖØ
¸ Ú Ò Ð
ÒØÖÓº
• Ò Ó
× ÓÒ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× × ÒÓØ Ö Ò ÔÓÖ ÙÒ Ð ØÖ Ñ Ò ×
ÙÐ a¸ b¸ c¸ . . . º
• Ì Ñ Ò × ÑÙÝ Ù×Ù Ð Ù× Ö Ð ØÖ × Ö ×
ÓÑÓ α ´ Ð µ¸ β ´ Ø µ¸ γ ´ ÑÑ µ¸ δ
´ ÐØ µ¸ ϕ ´ µ¸ λ ´Ð Ñ µ¸ . . .
• Ì Ñ Ò × ÙØ Ð Þ Ö Ð Ð ØÖ O ÕÙ ÒÓØ Ð Ú ÖØ
Ð Ò ÙÐÓº
r
A
R1
r
B
R2
O
r α
ÙÖ ½º
¿

Ö

Ó×
½º Ð Ö Ó ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
× rº Ò
Ù ÒØÖ Ð Ñ ØÖÓ Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð

Ö
ÙÒ Ö Ò
C Ý Ð Ö Ð
Ö
ÙÐÓ A¸ Ô Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ó× rº
´ µ r = 5
Ñ¸
´ µ r = 2 Ñ¸
´
µ r = 1.5 Ñº
¾º Ð Ñ ØÖÓ ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
× dº Ò
Ù ÒØÖ Ð Ö Ó Ý Ð ÐÓÒ ØÙ Ð

Ö
ÙÒ Ö Ò
C Ý Ð Ö Ð
Ö
ÙÐÓ A¸ Ô Ö ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ó× dº
´ µ d = 4
Ñ¸
´ µ d = 5 Ñ¸
´
µ d = 14 Ñº
¿º Ë Ð Ö Ó ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
× ÙÔÐ
º
´ µ ú Ò
Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ñ Ð Ñ ØÖÓ
´ µ ú Ò
Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ñ Ð ÐÓÒ ØÙ C Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
´
µ ú Ò
Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ñ Ð Ö A Ð
Ö
ÙÐÓ
º Ë Ð Ñ ØÖÓ ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
× Ö Ù
Ð Ñ Ø º
´ µ ú Ò
Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ñ Ð Ö Ó
´ µ ú Ò
Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ñ Ð ÐÓÒ ØÙ C Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
´
µ ú Ò
Ù Ð ÔÖÓÔÓÖ
Ò
Ñ Ð Ö A Ð
Ö
ÙÐÓ

Ä

Ò ¾
ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ ÁÁ
Ò ×Ø Ð

Ò ×ØÙ Ö ÑÓ× ÐÓ×
ÓÒ
ÔØÓ× Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð Ý Ö
Ó
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ý Ð
Ñ Ò ÙÐÓ× Ò Ö Ó× × Ü × Ñ Ð ×º Ò ×Ø
ÙÖ×Ó × ÖÖÓÐÐ Ö ÑÓ× Ó× × ×Ø Ñ ×
Ô Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ×¸ Ð × ×Ø Ñ × Ü × Ñ Ð ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ó× × Ü × Ñ Ð × Ý Ð × ×Ø Ñ

Ö
ÙÐ Ö ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö Ò ×º ×Ø ÐØ ÑÓ × Ö ×ØÙ Ó Ñ × Ð ÒØ Ò Ð Ð

Ò º
ýÒ ÙÐÓ×
ÒØÖ Ð × Ý Ö
Ó×
Ò
Ò ¾º½
ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ö Ó r Ý
ÒØÖÓ O¸ ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
× ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÓÒ Ú ÖØ
Ò O
ÙÝÓ× Ð Ó× ×ÓÒ Ö ÝÓ× Ó × Ñ ÒØÓ× Ö
Ø ÕÙ
ÓÖØ Ò Ð

Ö
ÙÒ Ö Ò
º Ò Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ ¾º½ × ÑÙ ×ØÖ Ð Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð α Ý ÐÓ×
Ö ÝÓ× R1 Ý R2
ÓÒ ÓÖ Ò Ò Oº
Ó× Ó× ÔÙÒØÓ× A Ý B ×Ó Ö Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
¸ Ð Ö
Ó
Ö
ÙÒ Ö Ò
⌢
AB × Ð
ÔÓÖ
Ò Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò

ÓÑÔÖ Ò ÒØÖ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A Ý Bº Î × Ð Ô ÖØ Ö
Ð ÙÖ ¾º½º
ÄÓ× × Ñ ÒØÓ× OA Ý OB Ø ÖÑ Ò Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð αº Ë
ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ α
×Ù Ø Ò Ð Ö
Ó
⌢
ABº Ì Ñ Ò ×
ÓÑ Ò
Ö ÕÙ Ð Ö
Ó
⌢
AB ×Ù Ø Ò Ð Ò ÙÐÓ
αº
R1r
R2
O
α
Ar
B
O
α
ÙÖ ¾º½

Å Ò ÙÐÓ×
Å Ö ÙÒ Ò ÙÐÓ ×
ÓÑÔ Ö ÖÐÓ
ÓÒ ÓØÖÓ ÕÙ × ØÓÑ
ÓÑÓ ÙÒ º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× Ó×
ÙÒ × Ñ Ð Ö Ó × Ü × Ñ Ð Ý Ð Ö Òº
Ë ×Ø Ñ × Ü × Ñ Ð
Ú ÑÓ× ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ò 360 Ö
Ó× Ù Ð Ñ º ÙÒÓ ×ØÓ× Ö
Ó×
×Ù Ø Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð
ÙÝ Ñ × ÙÒ Ö Ó × Ü × Ñ Ð¸ ×
Ö ØÓ 1◦
º

Ù Ö Ó
ÓÒ ×Ø Ò
Ò¸ Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ×Ù Ø Ò ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ñ 360◦
º
ÑÔÐÓ ¾º½
Ð Ò ÙÐÓ ×Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ
Ù ÖØÓ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ñ 90◦
º
È Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ× × ÙØ Ð Þ Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÓÖº Ò Ð ØÖ Ò×ÔÓÖØ ÓÖ¸ ÕÙ × ÔÖ × ÒØ Ò
Ð ÙÖ ¾º¾¸ × ÔÖ
Ò Ð × 180 Ú × ÓÒ × ÙÒ × Ñ
Ö
ÙÒ Ö Ò
º
ÑÔÐÓ ¾º¾
Ò Ð ÙÖ ¾º¾¸ Ð Ò ÙÐÓ α ÕÙ ÓÖÑ Ò ÐÓ× Ö ÝÓ× R1 Ý R2 × ÙÒ Ò ÙÐÓ 55◦
º
R2
R1
q
O
α
ÙÖ ¾º¾
ÓÒ Ð ÔÖÓÔ × ØÓ × ÑÔÐ
Ö Ð ×
Ö ØÙÖ ÙØ Ð Þ Ö ÑÓ× Ð Ñ ×Ñ ÒÓØ
Ò Ô Ö Ö ÔÖ ¹
× ÒØ Ö Ø ÒØÓ Ð Ò ÙÐÓ
ÓÑÓ ×Ù Ñ º Ð Ø ÜØÓ
ÓÑÔÐ ØÓ ÒÓ× Ú Ô ÖÑ Ø Ö ÒØ ÖÔÖ Ø Ö

ÓÖÖ
Ø Ñ ÒØ Ò ÕÙ × ÒØ Ó × ÙØ Ð Þ Ò ÐÓ× × Ñ ÓÐÓ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ×
Ö ÑÓ× a = b Ô Ö
× Ò
Ö ÕÙ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ a × Ù Ð Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ bº Ì Ñ Ò ÔÓ Ö ÑÓ×
×
Ö Ö α + β = 180◦
¸ Ô Ö Ò
Ö ÕÙ Ð ×ÙÑ Ð × Ñ × Ò Ö Ó× ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
α Ý β × 180◦
º
Ð ×

Ò ÐÓ× Ò ÙÐÓ× × Ò ×Ù Ñ
• ýÒ ÙÐÓ ÒÙÐÓ × Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 0◦
º
• ýÒ ÙÐÓ Ù Ó × Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ñ × 0◦
Ý Ñ ÒÓ× 90◦
º

• ýÒ ÙÐÓ Ö
ØÓ × Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ü
Ø Ñ ÒØ 90◦
º
• ýÒ ÙÐÓ Ó ØÙ×Ó × Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ Ñ × 90◦
Ý Ñ ÒÓ× 180◦
º
• ýÒ ÙÐÓ ÐÐ ÒÓ × Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ Ñ 180◦
º
ýÒ ÙÐÓ ÆÙÐÓ ýÒ ÙÐÓ Ù Ó ýÒ ÙÐÓ Ö
ØÓ ýÒ ÙÐÓ Ó ØÙ×Ó ýÒ ÙÐÓ ÐÐ ÒÓ
ÙÖ ¾º¿
ýÒ ÙÐÓ×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×¸
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ý ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×
• ýÒ ÙÐÓ×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×
ÑÓ× ÕÙ Ó× Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × × Ø Ò Ò Ð
Ñ ×Ñ Ñ º Ë ÐÓ× Ò ÙÐÓ× α Ý β ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × ×
Ö ÑÓ× α ∼= βº
• ýÒ ÙÐÓ×
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ó× Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× × Ð ×ÙÑ
×Ù× Ñ × × 90◦
º
• ýÒ ÙÐÓ× ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ó× Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× × Ð ×ÙÑ ×Ù×
Ñ × × 180◦
º
ÑÔÐÓ ¾º¿
Ò Ð ÙÖ ¾º × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× Ò ÙÐÓ× a Ý b¸ ÐÓ×
Ù Ð × ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º ÄÓ× Ò ÙÐÓ×
c Ý d ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ý ÐÓ× Ò ÙÐÓ× e Ý f ×ÓÒ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×º
ýÒ ÙÐÓ×

ÓÒ ÖÙ ÒØ ×
a30◦
30◦
b
ýÒ ÙÐÓ×

ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×
55◦
35◦
c
d
ýÒ ÙÐÓ×
×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×
e
f
ÙÖ ¾º
Ë Ó× Ò ÙÐÓ× α Ý β ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×¸
ÑÓ× ÕÙ α × Ð Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó
βº Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ ¸ × Ó× Ò ÙÐÓ× α Ý β ×ÓÒ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×
ÑÓ× ÕÙ α × Ð Ò ÙÐÓ
×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó βº
ÑÔÐÓ ¾º
Ð Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ð Ò ÙÐÓ a
ÙÝ Ñ × 60◦
× Ð Ò ÙÐÓ b
ÙÝ Ñ ×
30◦
¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ 90◦
− 60◦
= 30◦
º

ÆÓØ ¾º½
ÈÓÖ
ÓÑÓ Ý
Ù Ò Ó ÒÓ Ý ÐÙ Ö
ÓÒ Ù× Ò¸ × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÑÓ× Ð Ò ÙÐÓ
ÓÑ¹
ÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó 60◦
× 30◦
º
ÑÔÐÓ ¾º
Ð Ò ÙÐÓ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó 60◦
× 120◦
¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ 180◦
− 60◦
= 120◦
º
Ö Ó×¸ Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×
ÍÒ Ö Ó ÔÙ × Ö Ú Ó Ò Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×¸ Ò Ð Ñ ×Ñ ÓÖÑ ÕÙ ÙÒ ÓÖ ×
Ú Ò Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×º ÍÒ Ö Ó × Ú Ò 60 Ô ÖØ × Ù Ð × ÐÐ Ñ × Ñ ÒÙØÓ×
(′
) Ý
Ñ ÒÙØÓ × Ú Ò 60 × ÙÒ Ó× (′′
)º
ÑÔÐÓ ¾º
Ë ÙÒ Ò ÙÐÓ a Ñ 50 Ö Ó×¸ 15 Ñ ÒÙØÓ× Ý 10 × ÙÒ Ó× ×
Ö ÑÓ×
a = 50◦
15′
10′′
.
Ö

Ó×
½º Ð × ÕÙ
ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ×
ÓÑÓ ÒÙÐÓ¸ Ù Ó¸ Ö
ØÓ¸ Ó ØÙ×Ó Ó
ÐÐ ÒÓ ÜÔÐ ÕÙ × Ð Ò ÙÐÓ ÒÓ × Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×
´ µ α = 35◦
¸
´ µ β = 110◦
¸
´
µ γ = 180◦
¸
´ µ ν = 0◦
¸
´ µ η = 190◦
º
¾º Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ×¸ Ò
Ù ÒØÖ ×Ù× Ò ÙÐÓ×
´ µ 30◦
¸
´ µ 45◦
¸
´
µ 55◦
º
¿º Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ×¸ Ò
Ù ÒØÖ ×Ù× Ò ÙÐÓ× ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×
´ µ 30◦
¸ ´ µ 45◦
¸ ´
µ 75◦
, ´ µ 120◦
¸ ´ µ 135◦
, ´ µ 180◦
.

Ä

Ò ¿
ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ ÁÁÁ
×ØÙ Ö ÑÓ× Ð × ÒÓ
ÓÒ × Ô Ö Ð Ð ×ÑÓ Ý Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö Ð Ò × Ö
Ø × Ò Ð ÔÐ ÒÓº
Ò ÓÑ ØÖ × ×ØÙ Ò Ú Ö Ó× Ö ×ÙÐØ Ó× ÑÔÓÖØ ÒØ × Ö Ð Ø ÚÓ× Ð Ù Ð
ÖØÓ×
Ô Ö × Ò ÙÐÓ× Ø Ð ×
ÓÑÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
¸ ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ ×¸ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÐØ ÖÒÓ× ÒØ ÖÒÓ× Ý ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÐØ ÖÒÓ× ÜØ ÖÒÓ× ×Ø × Ö Ð Ø Ñ
×Ø Ð

Òº
Ì Ñ Ò ×ØÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÔ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ö Ð Ø Ú × Ð × Ñ ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
ÒØ Ö ÓÖ × Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý Ð × ÒÓ
ÓÒ × ×
× ×Ó Ö × Ñ ÒÞ ØÖ Ò ÙÐÓ×º ËÓ Ö
×Ø ÐØ ÑÓ Ø Ô
Ó ×ØÙ Ö ÑÓ× ÙÒÓ ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ñ × ×Ø
× Ð ÓÑ ØÖ Ý
ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ô Ö Ð × ÖÖÓÐÐÓ Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ×¸ ×Ó Ö × Ñ ÒÞ
ØÖ Ò ÙÐÓ×º
ÁÒØ Ö×

Ò Ö
Ø ×¸ Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö Ý Ô Ö Ð Ð ×ÑÓº
Ë
ÕÙ Ó× Ö
Ø × L1 Ý L2 × ØÙ × Ò ÙÒ Ñ ×ÑÓ ÔÐ ÒÓ × ÒØ Ö
ÔØ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ O
Ð ÔÐ ÒÓ¸ × Ð × Ó× Ö
Ø × Ø Ò Ò O
ÓÑÓ ×Ù Ò
Ó ÔÙÒØÓ Ò
ÓÑ Òº Ò Ð ÙÖ ¿º½¸
Ð × Ö
Ø × L Ý H × ÒØ Ö
ÔØ Ò Ò Oº
Ë Ó× Ö
Ø × L1 Ý L2 ×Ø Ò × ØÙ × Ò ÙÒ Ñ ×ÑÓ ÔÐ ÒÓ Ý ÒÓ × ÒØ Ö
ÔØ Ò Ò Ò Ò Ò
ÔÙÒØÓ ×
ÕÙ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð × Ý ×
Ö Ö ÑÓ× L1 L2º
Ë Ó× Ö
Ø × L Ý H × ÒØ Ö
ÔØ Ò ÓÖÑ Ò Ó Ò ÙÐÓ× Ö
ØÓ×¸ ×
ÕÙ ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ¹

ÙÐ Ö × Ý ×
Ö Ö ÑÓ× L⊥Hº
Ê
Ø × Ô Ö Ð Ð ×
L1
L2
Ê
Ø × Ô ÖÔ Ò
ÙÐ Ö ×
O
L
H
ÙÖ ¿º½
Ù Ò Ó Ó× Ö
Ø × M Ý N × ÒØ Ö
ÔØ Ò¸ × ÓÖÑ Ò
Ù ØÖÓ Ò ÙÐÓ× x¸ y¸ z Ý w
ÓÑÓ
× ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ ¿º¾º ÄÓ× Ò ÙÐÓ× x Ý w × ÒÓÑ Ò Ò ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
º
Á Ù ÐÑ ÒØ ×ÓÒ ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
ÐÓ× Ò ÙÐÓ× y Ý zº

Ì ÓÖ Ñ ¿º½
ÄÓ× Ò ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
Å
Æ
ýÒ ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ×
ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
s
x
y
z w
È Ö × Ò ÙÐÓ×
a b
c d
L3
e f
g h
L4
ÙÖ ¿º¾
ÑÔÐÓ ¿º½
Ò Ð ÙÖ ¿º¾¸ x ∼= w Ý z ∼= y¸ ÔÓÖ × Ö Ò ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
º
ÑÔÐÓ ¿º¾
Ë Ð ÙÖ ¿º¾¸ Ð Ò ÙÐÓ x Ñ 75◦
¸
Ð
ÙÐ Ð × Ñ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× y, w Ý zº
ÄÓ× Ò ÙÐÓ× x Ý w ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × ÔÓÖ × Ö ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
¸ ÔÓÖ ÐÓ
Ù Ð w Ñ
75◦
º
ÓÑÓ x Ý z ×ÓÒ Ò ÙÐÓ× ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×¸ ÒØÓÒ
× z = (180 − 75)◦
= 105◦
º
ÓÑÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× z Ý y ×ÓÒ ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ y = 105◦
º
Ç × ÖÚ ÕÙ
Ù Ò Ó Ð × Ð ØÖ × x, y, z, w ÒÓØ Ò Ð × Ñ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ×
Ö ÑÓ× Ð
× Ñ ÓÐÓ = º
ýÒ ÙÐÓ× Ý Ö
Ø × Ô Ö Ð Ð ×
Ò
Ò ¿º½
Ù Ò Ó Ó× Ö
Ø × Ô Ö Ð Ð × L3 Ý L4 ×
ÓÖØ Ò ÔÓÖ ÙÒ Ö
Ø ØÖ Ò×Ú Ö× Ð
ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ
Ò Ð ÙÖ ¿º¾ × ÓÖÑ Ò Ò ÙÐÓ×º Ù ØÖÓ Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ ÒØ Ö ÓÖ × Ð × Ó× Ö
Ø ×
Ô Ö Ð Ð × Ý
Ù ØÖÓ Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ ÜØ Ö ÓÖ × ÐÐ ×º Ð ÙÒÓ× Ô Ö × ×ØÓ× Ò ÙÐÓ× Ô Ö
Ò

ÓÒ ÑÙ
Ö
Ù Ò
Ò Ð ÓÑ ØÖ Ý
ÙÑÔÐ Ò ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ
ÓÑÓ Ú Ö ÑÓ×
Ò Ð Ì ÓÖ Ñ ¿º¾º
• ËÓÒ Ò ÙÐÓ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × ÐÓ× Ô Ö ×
a Ý e; b Ý f;
c Ý g; d Ý h.
• ËÓÒ Ò ÙÐÓ× ÐØ ÖÒÓ× ÒØ ÖÒÓ× ÐÓ× Ô Ö ×
c Ý f; d Ý e.
½¼

• ËÓÒ Ò ÙÐÓ× ÐØ ÖÒÓ× ÜØ ÖÒÓ× ÐÓ× Ô Ö ×
a Ý h; b Ý g.
Ì ÓÖ Ñ ¿º¾
Ë Ð × Ö
Ø × L3 Ý L4 Ð Ò
Ò ÒØ Ö ÓÖ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð ×¸ ÒØÓÒ
× ÐÓ× Ó× Ò ÙÐÓ× ÕÙ
ÓÖÑ Ò
ÙÒÓ ÐÓ× Ô Ö × Ò Ð Ò
Ò ÒØ Ö ÓÖ ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
ÑÔÐÓ ¿º¿
Ò Ð Ô ÖØ Ö
Ð ÙÖ ¿º¾ Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ
• a ∼= e ÔÓÖ × Ö Ò ÙÐÓ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×º
• b ∼= c ÔÓÖ × Ö Ò ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ
º
• c ∼= f ÔÓÖ × Ö Ò ÙÐÓ× ÐØ ÖÒÓ× ÒØ ÖÒÓ×º
ÌÖ Ò ÙÐÓ×
Ó× ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÒÓ
ÓÐ Ò Ð × A¸ B Ý C¸ × ÐÐ Ñ ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ý × ÒÓØ ÔÓÖ
∆ABC¸ Ð Ö Ò Ð ÔÐ ÒÓ Ð Ñ Ø ÔÓÖ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× Ö
Ø AB¸ BC Ý AC. ÄÓ×
ÔÙÒØÓ× A¸ B Ý C × ÒÓÑ Ò Ò Ú ÖØ
× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× AB¸ BC Ý AC ×
ÒÓÑ Ò Ò ÐÓ× Ð Ó× Ð ØÖ Ò ÙÐÓº
A B
C
ab
c
α β
γ
ÙÖ ¿º¿
ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ò ØÖ × Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×¸ ÒÓØ Ó× Ò Ð ÙÖ ¿º¿ ÔÓÖ α¸ β Ý γº
Ù Ò Ó × ÙØ Ð Þ Ò Ð ØÖ × Ñ Ý ×
ÙÐ × Ô Ö ÒÓØ Ö ÐÓ× Ú ÖØ
× ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ù×Ù ÐÑ ÒØ
ÐÓ× Ð Ó× ÓÔÙ ×ØÓ× ×ØÓ× Ú ÖØ
× × ÒÓØ Ò
ÓÒ Ð × Ð ØÖ × Ñ Ò ×
ÙÐ ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×¸

ÓÑÓ × ÔÖ
Ò Ð ÙÖ ¿º¿º ÓÒ Ö
Ù Ò
× ÙØ Ð Þ Ò ×Ø × Ð ØÖ × Ô Ö ÒÓØ Ö Ø ÒØÓ
Ð Ð Ó
ÓÑÓ ×Ù ÐÓÒ ØÙ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ Ð Ö × a = 5
Ñ¸ × Ò
ÕÙ Ð Ð Ó a Ø Ò ÙÒ
ÐÓÒ ØÙ Ù Ð 5
Ñº
ÑÔÐÓ ¿º
Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ p ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × Ð ×ÙÑ Ð × ÐÓÒ ØÙ × ×Ù× ØÖ × Ð Ó×
p = a + b + c.
½½

Ë ÐÓ× Ð Ó× a¸ b Ý c Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ ¿º¿ Ñ Ò ¿¸ Ý
ÒØ Ñ ØÖÓ×¸ Ö ×Ô
Ø Ú ¹
Ñ ÒØ ¸ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ p × Ù Ð
p = a + b + c = 3 + 4 + 6 = 13
Ñ.
Ì ÓÖ Ñ ¿º¿
Ä ×ÙÑ Ð × Ñ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × 180◦
º
r
A B
C L
α β
γ
x y
α + β + γ = 180◦
.
ÙÖ ¿º
ÈÖÙ
Í× Ö ÑÓ× Ð ÒÓØ
Ò Ð ÙÖ ¿º º ÈÓÖ Ð ÔÙÒØÓ C¸ ØÖ Þ ÑÓ× ÙÒ Ö
Ø L Ô Ö Ð Ð Ð
Ö
Ø ABº ÒÓÑ Ò ÑÓ× x Ý y ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð × Ö
Ø L Ý ÐÓ× × Ñ ÒØÓ×
Ö
Ø AC Ý BC¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× x¸ γ Ý y ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÐÐ ÒÓº ÒØÓÒ
× Ø Ò ÑÓ×
x + γ + y = 180◦
.
ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸
Ù Ö Ó
ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ñ ¿º¾¸ x ∼= α Ý y ∼= β ÔÓÖ × Ö Ò ÙÐÓ× ÐØ ÖÒÓ×
ÒØ ÖÒÓ×º × ¸ Ö ÑÔÐ Þ Ò Ó Ø Ò ÑÓ×
α + β + γ = 180◦
.
ÑÔÐÓ ¿º
Ë Ò Ð ÙÖ ¿º α = 55◦
Ý β = 65◦
¸
Ð
ÙÐ γº
α + β + γ = 180◦
, ÒØÓÒ
× γ = 180◦
− α − β = (180 − 55 − 65)◦
= 60◦
.
Ö

Ó×
½º Ë Ò Ð ÙÖ ¿º¾ Ð Ò ÙÐÓ z Ñ 100◦
¸
Ð
ÙÐ Ð × Ñ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× x, y Ý
wº
¾º Ë Ò Ð ÙÖ ¿º¾ d = 77◦
20′
¸ ´ µ Ø ÖÑ Ò
Ù Ð × Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×
ÓÒ d
ÔÓÖ × Ö Ò ÙÐÓ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×º ´ µ Ð
ÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ b Ý Ø ÖÑ Ò

Ù Ð × Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×
ÓÒ b ÔÓÖ × Ö ÐØ ÖÒÓ× ÜØ ÖÒÓ×º
¿º Ë Ò Ð ÙÖ ¿º¾ b = 98◦
¸
Ð
ÙÐ Ð × Ñ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× a, c, d, e, f, g Ý hº
º Ë Ò Ð ÙÖ ¿º¿¸ α = 50◦
Ý γ = 75◦
¸
Ð
ÙÐ βº
º Ë Ò Ð ÙÖ ¿º¿¸ α = β = 50◦
¸
Ð
ÙÐ γº
½¾

Ä

Ò
ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ ÁÎ
Ò ×Ø Ð

Ò
ÓÒ× Ö Ö ÑÓ× Ð × Ñ ÒÞ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ý Ú Ö ÑÓ× ÙÒÓ ÐÓ× Ø ÓÖ Ñ ×
Ñ × Ù× Ó× Ò Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ö Ð Ø ÚÓ ×Ø Ø Ñ Ð Ø ÓÖ Ñ Ì Ð ×º
ÌÖ Ò ÙÐÓ× × Ñ ÒØ ×
Ò
Ò º½
Ë
ÕÙ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× ∆ABC Ý ∆A′
B′
C′
Ò Ð ÙÖ º½ ×ÓÒ × Ñ ÒØ × ×
α ∼= α′
, β ∼= β′
Ý γ ∼= γ′
´ º½µ
Ý × Ú Ö
Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖ
Ò ÒØÖ ×Ù× Ð Ó×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×
a
a′
=
b
b′
=
c
c′
. ´ º¾µ
A B
C
ab
c
α β
γ
A′
B′
C′
a′
b′
c′
α′ β′
γ′
ÙÖ º½
Ë
Ó×ØÙÑ Ö ×
Ö Ö ∆ABC ∼ ∆A′
B′
C′
¸ Ô Ö Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ð × Ñ ÒÞ ÒØÖ ×ØÓ× Ó×
ØÖ Ò ÙÐÓ×º Ð ÓÖ Ò Ò Ð ×
Ö ØÙÖ ÐÓ× Ú ÖØ
× × ÑÙÝ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÓÖÕÙ Ò
Ð

ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
ÒØÖ ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º ÄÓ× Ô Ö × Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ô Ö
Ò Ò Ð

Ù
Ò ´ º½µ × ÒÓÑ Ò Ò Ò ÙÐÓ×
Ò ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× × Ñ ÒØ × ∆ABC Ý ∆A′
B′
C′
¸
ÑÓ× ÕÙ Ó× Ð Ó× ×ÓÒ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ¹
ÒØ × × × ÓÔÓÒ Ò Ò ÙÐÓ×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×º × ¸ ÐÓ× Ð Ó× AB Ý A′B′ ×ÓÒ Ð Ó×

ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×º Á Ù ÐÑ ÒØ ¸ ÐÓ× Ô Ö × Ð Ó× BC Ý B′C′ Ý AC Ý A′C′ ×ÓÒ Ð Ó×

Ó ÕÙ Ð ×
ÓÒ
ÓÒ × Ò
× Ö × Ô Ö ÕÙ ÙÒ Ô Ö ØÖ Ò ÙÐÓ× × Ò × Ñ ÒØ × ×ÓÒ
ÑÙÝ Ü ÒØ × ÔÙ ×ØÓ ÕÙ Ö ÕÙ Ö Ò Ð
ÓÒ ÖÙ Ò
Ò ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ý Ð ÔÖÓÔÓÖ
ÓÒ Ð Ò
ÐÓ× Ð Ó× × Ò ´ º½ µ Ý ´ º¾µ¸ × ÑÔÓÖØ ÒØ Ò
ÓÒØÖ Ö Ô Ø × × Ñ Ò Ñ × ÕÙ Ö ÒØ
Ò
½¿

ÕÙ Ð ×
ÓÒ
ÓÒ × ´ º½µ Ý ´ º¾µ ×
ÙÑÔÐ Òº ÍÒÓ ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ñ × ÑÔÓÖØ ÒØ × Ò
×Ø Ö

Ò¸ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò Ð ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ¸ × Ð × Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º
Ì ÓÖ Ñ Ì Ð × ÌÓ Ö
Ø Ô Ö Ð Ð ÙÒ Ð Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ó Ý ÕÙ ÒØ Ö
ÔØ
ÐÓ× ÓØÖÓ× Ó× Ð Ó×¸ Ø ÖÑ Ò ÙÒ × ÙÒ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ × Ñ ÒØ Ð ÔÖ Ñ ÖÓº
Ë Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ∆ABC ØÖ Þ ÑÓ× Ð Ö
Ø DE Ô Ö Ð Ð BC¸ ÒØÓÒ
× ∆ABC ∼ ∆ADEº
Î × Ð ÙÖ º¾º
A
D B
E
C
ÙÖ º¾
ÌÖ Ò ÙÐÓ× Ö
Ø Ò ÙÐÓ×
Ò
Ò º¾
ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ × ÕÙ Ð ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ Ö
ØÓº Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ
× ÐÐ Ñ ÔÓØ ÒÙ× Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ð Ò ÙÐÓ Ö
ØÓº ÄÓ×
Ø ØÓ× ×ÓÒ ÐÓ× Ð Ó× ÕÙ
ÓÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ Ö
ØÓº
90◦
C
b
A
α
ca
B
β
Ø ØÓ× a Ý bº
À ÔÓØ ÒÙ× cº
ÙÖ º¿
Ë ÒÓØ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º¿ ÔÓÖ ∆ACB¸ Ø Ò Ò Ó Ò
Ù ÒØ ÕÙ Ð
Ú ÖØ

ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð Ò ÙÐÓ Ö
ØÓ Ú Ò Ð
ÒØÖÓº
Ð × Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ × ÒÑ ØÓ Ô ÖØ Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ¿º¿¸ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ 90◦
+ α + β =
180◦
º
Ì ÓÖ Ñ º½
ÄÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×º
ÑÔÐÓ º½
Ë Ò Ð ÙÖ º¿ α = 50◦
¸ Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ βº
½

Ë ÑÓ× ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ º½ ÕÙ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× α Ý β Ò Ð ÙÖ º¿ ×ÓÒ
× α + β = 90◦
. ×Ô Ò Ó β Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
β = 90◦
− α = (90 − 50)◦
= 40◦
.
Ä ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ × Ò

ÓÒ Ð ×ØÙ Ó Ð × Ö Ð
ÓÒ × ÒØÖ ÐÓ× Ð Ó× Ý ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓº ÍÒ Ð × Ö Ð
ÓÒ × Ò
ÓÒÓ
× Ò Ð ÓÑ ØÖ × Ð ÕÙ
Ü ×Ø ÒØÖ Ð × ÐÓÒ ØÙ × ÐÓ×
Ø ØÓ× Ý Ð ÔÓØ ÒÙ× º Ê
ÓÖ ÑÓ× Ð Ø ÓÖ Ñ ÕÙ
×
Ö
Ö Ð
Òº
Ì ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ×º
Ò ØÓ Ó ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ¸ Ð
Ù Ö Ó Ð ÐÓÒ ØÙ Ð ÔÓØ ÒÙ× × Ù Ð Ð
×ÙÑ ÐÓ×
Ù Ö Ó× Ð × ÐÓÒ ØÙ × ÐÓ×
Ø ØÓ×º
c a
b
B
A C
90◦
a2
+ b2
= c2
ÙÖ º
ÑÔÐÓ º¾
½º Ë Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º Ð
Ø ØÓ a Ñ
Ñ Ý Ð ÔÓØ ÒÙ×
½¿
Ñ¸ Ò
Ù ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð
Ø ØÓ bº
ËÓÐÙ
Ò
ÓÒ Ð ÒÓØ
Ò Ò
Ò Ð ÙÖ º ¸ ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ × Ø Ò ÑÓ×
132
= 52
+ b2
, 169 = 25 + b2
,
b2
= 169 − 25 = 144, b = ±12.
ÓÑÓ b × ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ¸ ×
ÖØ ÑÓ× Ð ×ÓÐÙ
Ò Ò Ø Ú º
b = 12
Ñº
¾º ÂÙ Ò Ö
ÓÖÖ Ð × Ù ÒØ ØÖ Ý
ØÓÖ × ÙÒ ÔÙÒØÓ O
Ñ Ò 8 Ñ Ð ÒÓÖØ ¸ 3 Ñ
Ð Ó ×Ø ¸ 7 Ñ Ð ÒÓÖØ Ý ÔÓÖ ÐØ ÑÓ 11 Ñ Ð ×Ø º ú ÕÙ ×Ø Ò
×Ø Ð ÔÙÒØÓ
Ô ÖØ
ËÓÐÙ
Ò
Ò Ð ÙÖ º ¸ ×
Ö ÑÓ× Ð ØÖ Ý
ØÓÖ ÕÙ × Ù ÂÙ Òº ÑÓ×
Ð
ÙÐ Ö Ð
ÐÓÒ ØÙ d Ð × Ñ ÒØÓ Ö
Ø OQ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ∆ODQ × Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ý Ð ÐÓÒ ØÙ
×Ù ÔÓØ ÒÙ× × d Ð ÐÓÒ ØÙ ÙÒÓ ×Ù×
Ø ØÓ× × m + n Ý Ð Ð ÓØÖÓ × bº
½

q
O
ÔÙÒØÓ Ô ÖØ
Q
ÔÙÒØÓ ÐÐ
AB
C
D
m
n
a b
d
90◦
ÙÖ º
m + n = 15¸ b = 8.
ÈÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ×
d2
= 82
+ 152
= 64 + 225 = 289,
d = ±
√
289 = ±17;

ÓÑÓ d × ÙÒ ÐÓÒ ØÙ ¸ ×
ÖØ ÑÓ× Ð ×ÓÐÙ
Ò Ò Ø Ú º
Êº ÂÙ Ò × Ò
Ù ÒØÖ ½ Ñ Ð ÔÙÒØÓ Ô ÖØ º
Ö

Ó×
½º ÓÒ Ð ÒÓØ
Ò Ð ÙÖ º½¸ × ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× ∆ABC Ý ∆A′
B′
C′
×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸
Ò
Ù ÒØÖ Ð ÐÓÒ ØÙ Ò
´ µ a = 1¸ b = 2¸ a′
= 3¸ b′
=?º
´ µ b = 10, c = 15¸ b′
= 12¸ c′
=?º
´
µ a = 2¸ b =?¸ a′
= 9¸ b′
= 11º
´ µ a = 2¸ b =?¸ a′
= 2¸ b′
= 9º
¾º × ÔÓ× Ð ÕÙ Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ× × Ñ ÒØ × Ø Ò Ò Ð Ó×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ ×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×
ÜÔÐ ÕÙ
¿º Ò
Ù ÒØÖ Ð × Ñ × x Ý y Ò
ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Ð ÙÖ º
(b)
A
x
3
8
4
y
(a)
y
8 4
x
10
ÙÖ º
½

Ä

Ò
ÓÒ
ÔØÓ× ×
Ó× Ð ÓÑ ØÖ Î
×Ø Ð

Ò ×Ø
Ð × ÖÖÓÐÐÓ ÑÔÓÖØ ÒØ × ×
Ö
ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ×
× ×
Ð × Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ×º
Ð ×

Ò ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ×
Ù Ö Ó
ÓÒ Ð ÐÓÒ ØÙ ×Ù×
Ð Ó×
• ÌÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ËÙ× ØÖ × Ð Ó× ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
• ÌÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð ×º × ÕÙ Ð ÕÙ Ø Ò Ó× Ð Ó×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
• ÌÖ Ò ÙÐÓ ×
Ð ÒÓº Ä × ÐÓÒ ØÙ × ×Ù× ØÖ × Ð Ó× ×ÓÒ Ö ÒØ ×º
ÌÖ Ò ÙÐÓ ×
Ð ÒÓ
a = b, a = c, b = c
A B
C
ab
c
ÌÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð ×
a = b
A B
C
ab
c
ÌÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ
a = b = c
A B
C
ab
c
ÙÖ º½
Ì ÓÖ Ñ º½
Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò ÙÐÓ×
ÓÒ ÖÙ ÒØ × × ÓÔÓÒ Ò Ð Ó×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
Ê
Ø × Ð ØÖ Ò ÙÐÓ × ¸ ÐØÙÖ ¸ Ñ Ò Ý ×
ØÖ Þ
• ÍÒ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ×
Ù ÐÕÙ Ö ×Ù× Ð Ó×º
• ÍÒ ÐØÙÖ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × Ð × Ñ ÒØÓ Ö
Ø ØÖ Þ Ó × ÙÒ Ú ÖØ
Ð
ØÖ Ò ÙÐÓ¸ Ô ÖÔ Ò
ÙÐ ÖÑ ÒØ Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ó ×Ù ÔÖÓÐÓÒ
Òº Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ
Ý ØÖ × ÐØÙÖ ×¸ ÙÒ ×
Ú ÖØ
º
½

• ÍÒ Ñ Ò × Ð × Ñ ÒØÓ Ö
Ø ØÖ Þ Ó × ÙÒ Ú ÖØ
Ð ØÖ Ò ÙÐÓ¸ Ð
ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓº Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ØÖ × Ñ Ò ×¸ ÙÒ ×Ó Ö
Ð Óº
• ÍÒ ×
ØÖ Þ × ÙÒ Ö
Ø ÕÙ Ú ÙÒ Ò ÙÐÓ ÒØ Ö ÓÖ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ó×
Ò ÙÐÓ×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º ÓÒ×
Ù ÒØ Ñ ÒØ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý ØÖ × ×
ØÖ
×¸ ÙÒ
Ô Ö
Ò ÙÐÓº
Ò Ð ÙÖ º¾ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÐØÙÖ CD ×Ó Ö Ð Ð Ó AB Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ∆ABC Ð
Ñ Ò GH Ð Ð Ó EF Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ∆EFG Ý Ð ×
ØÖ Þ JK Ð Ò ÙÐÓ ∠IJH Ò
Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ∆IJHº
A D B
ÐØÙÖ CD
C
E H F
G
Å Ò GH
K
J
×
ØÖ Þ JK
H
I
ÙÖ º¾
ÌÖ Ò ÙÐÓ× × ×
Ð × Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ×
ÄÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× × ×
Ð × Ø Ò Ò
Ö
Ø Ö ×Ø
× ÑÔÓÖØ ÒØ ×º È Ö ×Ø Ð
ÖÐ × Ú ÑÓ× Ö
ÙÒ Ô Ö Ò
ÓÒ ×
• Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð × Ð Ò ÙÐÓ Ú ÖØ
× Ð Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÖ Ò Ó ÒØÖ ÐÓ× Ó×
Ð Ó×
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
• Ë ÐÐ Ñ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð × Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ð Ò ÙÐÓ Ú ÖØ
º
Ì ÓÖ Ñ º¾
Ë Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ∆ABC × × ×
Ð ×¸ ÒØÓÒ
× ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ð × ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º Ò Ð
ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð × Ò Ð ÙÖ º¿¸ β ∼= γº
½

B CD
A
β γ
α
α2α1
ÙÖ º¿
ÓÑÓ
ÓÒ×
Ù Ò
ÐÓ× Ø ÓÖ Ñ × º¾ Ý º½ Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ ×
Ö
Ø Ö Þ
ÓÒ ×
ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× × ×
Ð × Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ×º
Ì ÓÖ Ñ º¿
ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × × ×
Ð × × Ý × ÐÓ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ð × ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
Ì ÓÖ Ñ º
ÍÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ÕÙ Ð Ø ÖÓ × Ý × ÐÓ × ×Ù× ØÖ × Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
Ì ÓÖ Ñ º
Ä ×
ØÖ Þ Ð Ò ÙÐÓ Ú ÖØ
ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð × × Ø Ñ Ò ÐØÙÖ Ý Ñ Ò
Ð × º
Ò Ð ÙÖ º¿ × ÑÙ ×ØÖ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð × ∆ABC¸ Ò Ð
Ù Ð AB ∼= ACº Ä × ×
Ð Ð Ó BC Ý
ÓÑÓ
ÓÒ×
Ù Ò
Ð Ø ÓÖ Ñ º ¸ Ð Ö
Ø AD × Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÑÔÓ ÐØÙÖ
×Ó Ö Ð × ¸ ×
ØÖ Þ Ð Ò ÙÐÓ ∠BAC Ý Ñ Ò Ð × º
× ¸ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ∠ADB Ý ∠ADC ×ÓÒ Ö
ØÓ×¸ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× BD Ý DC ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × Ý
× Ñ ×ÑÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× α1 Ý α2 ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
ÑÔÐÓ º½
Ë Ð Ò ÙÐÓ α Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð ×
ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º¿ Ñ 80◦
¸ Ò
Ù ÒØÖ ÐÓ×
Ò ÙÐÓ× β Ý γº
ÓÑÓ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × 180◦
Ý β Ý γ ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×¸
Ø Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ × ×Ø Ñ
Ù
ÓÒ ×
80◦
+ β + γ = 180◦
y β = γ.
Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð × ÙÒ Ù Ð Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ý ×Ô Ò Ó β Ø Ò ÑÓ×
2β = 180◦
− 80◦
= 100◦
,
β = 50◦
= γ.
½

ÑÔÐÓ º¾
Ë Ð Ò ÙÐÓ β Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð ×
¸ Ò
Ù ÒØÖ ÐÓ×
Ò ÙÐÓ× α Ý γº
ÓÑÓ β Ý γ ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × Ý Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × 180◦
Ø Ò ÑÓ× ÕÙ γ = 60◦
Ý
α + 60◦
+ 60◦
= 180◦
,
α = 180◦
− 120◦
= 60◦
.
Ò
ÓÒ×
Ù Ò
¸ Ò ×Ø
×Ó¸ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ × ÕÙ Ð Ø ÖÓº
Ì ÓÖ Ñ º
Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ Ð ×
ØÖ Þ
ÙÒÓ ×Ù× Ò ÙÐÓ× × Ø Ñ Ò ÐØÙÖ Ý
Ñ Ò Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓº
Ö

Ó×
½º Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ó× Ý Ò ÙÐÓ× Ò ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ô Ö
Ò Ò Ð × Ö
×
´ µ¸ ´ µ¸ ´
µ Ý ´ µ Ð ÙÖ º º
´ µ
A
B
c =
√
2 Ñ
b
a
C
45◦
90◦
´ µ
A
B
b = 3 Ñ
c
C
a = 3 Ñ
90◦
´
µ
A
60◦
B
C
60◦
a = 3
Ñb
c
´ µ
A
60◦
B
Ä ÐØÙÖ ×Ó Ö Ð
× AB Ñ ¿
Ñº
60◦
C
ab
c
ÙÖ º
¾º Ë Ð Ò ÙÐÓ β Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð ×
¸ Ò
Ù ÒØÖ
ÐÓ× Ò ÙÐÓ× α Ý γº
¿º Ë Ð Ò ÙÐÓ α Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × ×
Ð ×
¸ Ò
Ù ÒØÖ
ÐÓ× Ò ÙÐÓ× β Ý γº
¾¼

Ä

Ò
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Á
Ò ×Ø Ð

Ò Ò
ÑÓ× Ð ×ØÙ Ó Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸
ÓÒ Ð Ò
Ò
×Ù× ÔÖ Ò
Ô Ð × ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ×º Î Ö ÑÓ× Ñ ×¸ Ð ×
Ö ØÙÖ
Ñ Ð ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×
Ý ×Ù Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
ÓÑÓ ÔÙÒØÓ× ×Ó Ö Ð Ö
Ø Ö Ðº ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð Ð
ØÓÖ
ÓÒÓ
ÐÓ×
Ð Ñ ÒØÓ× ×
Ó× Ð Ø ÓÖ
ÓÒ ÙÒØÓ× Ý Ð Ð Ö º
Ó×
ÄÓ× × Ù ÒØ ×
Ó× ×ÓÒ ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× ÑÔÓÖØ ÒØ × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º
½º Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÕÙ × ÙØ Ð Þ Ô Ö
ÓÒØ Ö × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × º
ÄÓ ÒÓØ Ö ÑÓ× ÔÓÖ N Ý ×Ø Ó ÔÓÖ
N = {1, 2, 3, 4, . . .}.
¾º Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ×¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ Z¸ × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .};
Z
ÓÒØ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð ×¸ ×Ù× ÒÚ Ö×Ó× Ø ÚÓ×¸ Ý Ð
ÖÓº
¿º Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð × Ó Ö

ÓÒ Ö Ó×¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ Q¸ ×Ø
ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ×
Ó
ÒØ × ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ×º Ê
ÓÖ ÑÓ× ÕÙ ÒÓ ×Ø Ò
Ð Ú × Ò ÔÓÖ 0 ÔÓÖ ×ØÓ Ò ÑÓ× ×Ø
ÓÒ ÙÒØÓ ÔÓÖ
Q =
a
b
| a, b ∈ Z, b = 0 .
Ð Ò Ñ ÖÓ a ×
ÓÒÓ

ÓÑÓ ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý Ð Ò Ñ ÖÓ b
ÓÑÓ ÒÓÑ Ò ÓÖº
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ×Ø
ÓÒØ Ò Ó Ò Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ×
Ö
ÓÒ Ð ×¸ Ó ÕÙ × a × ÙÒ ÒØ ÖÓ¸ a = a
1
Ý ×Ø × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ðº
º Ü ×Ø Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ò ×
Ö Ö×
ÓÑÓ Ð
Ó
ÒØ Ó× Ò Ñ ÖÓ×
ÒØ ÖÓ×º ×ØÓ× Ò Ñ ÖÓ× × ÒÓÑ Ò Ò Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ
ÓÒ Ð × Ð
Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ
ÓÒ Ð × × ÒÓØ ÔÓÖ Iº
Ð ÙÒÓ× ÑÔÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ
ÓÒ Ð × ×ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ×
√
2 = 1.41421356 . . .¸
√
3 = 1.732050808 . . . Ý π = 3.141592654 . . .º
¾½

º Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ R¸ × Ð ÙÒ Ò ÐÓ×
ÓÒ ÙÒØÓ×
Q I ×
Ö
R = Q ∪ I.
Ê ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×
ÌÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ø Ò Ò ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð¸ Ð
Ù Ð Ø Ò Ó Ò Ð ÓÖÑ
r = b.a1a2a3 . . . an Ó Ð ÓÖÑ r = b.a1a2a3 . . . .
Ð Ò Ñ ÖÓ b × ÙÒ ÒØ ÖÓ Ý ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ Ô Ö
Ò ×ÔÙ × Ð ÔÙÒØÓ
Ñ Ð ÒÓ¹
Ø Ó× ÔÓÖ ai¸ ÐÐ Ñ Ó× ØÓ×¸ ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ×¸ Ø Ð × ÕÙ 0 ≤ ai ≤ 9º Ä ×Ù
× Ò
ØÓ× a1a2a3 . . . a1a2 . . . an × ÒÓÑ Ò Ô ÖØ
Ñ Ð rº
È Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð
a
b
¸ Ú ÑÓ× Ð ÒÙÑ Ö ÓÖ
a ÔÓÖ Ð ÒÓÑ Ò ÓÖ bº Ù Ò Ó Ú ÑÓ× a ÔÓÖ b Ø Ò ÑÓ× Ó× ÔÓ× Ð ×
½º Ä Ô ÖØ
Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ r1 = 3
4
= 0.75º Ò
×Ø
×Ó b = 0 Ý Ð Ô ÖØ
Ñ Ð 75¸ ×ÓÐ Ñ ÒØ Ø Ò Ó× ØÓ×º
¾º Ä Ô ÖØ
Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø Ó ØÓ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö Ð Ò Ñ ÖÓ
Ö
ÓÒ Ð r2 = 4
3
¸ Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð × r2 = 1.333333 . . .º × ¸ b = 1Ý
ÓÒ
ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ×Ù×Ô Ò× ÚÓ× Ò
ÑÓ× ÕÙ Ð Ô ÖØ
Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø Ó
ØÓ×º Ð ØÓ 3 × Ö Ô Ø Ò Ò Ñ ÒØ º
Ö ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ø Ò ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð Ô Ö
× Ô ÖØ Ö
ÙÒÓ ×Ù× ØÓ×¸ Ð Ô ÖØ
Ñ Ð ÓÔØ Ð ÓÖÑ ppppp . . . ¸ ÓÒ p × ÙÒ
ÓÐ

Ò
ØÓ×º Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð Ô Ö
Ø Ò ÙÒ Ô Ö Ó Ó pº ÒÓ¹
Ø Ö ÑÓ× Ð Ô ÖØ Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÕÙ × Ö Ô Ø
ÓÒ Ô Ö Ó Ó p
ÓÒ ÙÒ Ð Ò
ÓÖ ÞÓÒØ Ð Ò Ð Ô ÖØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ô Ö Ó Óº ×
Ö pppppp... ≡ pº ×ØÓ ÐÓ ÐÙ×ØÖ ÑÓ× Ò
ÐÓ× ÑÔÐÓ× º½¸ º¾ Ý º¿º
ÑÔÐÓ º½
Ð Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð r2 = 4
3
= 1.3333 . . . Ø Ò ÙÒ Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð Ô Ö

ÙÝÓ
Ô Ö Ó Ó × 3º ×
Ö Ö ÑÓ× Ø Ñ Ò r2 = 1.3º
ÑÔÐÓ º¾
Ð Ò Ñ ÖÓ r3 = 2
7
Ø Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð r3 = 0.285714285714285714 . . .¸ ×Ù
Ô Ö Ó Ó × 285714 Ý ÔÓ ÑÓ× ×
Ö Ö r3 = 0.285714.
ÑÔÐÓ º¿
Ð Ò Ñ ÖÓ r4 = 12.13456 Ø Ñ Ò × ÔÙ ×
Ö Ö
ÓÑÓ r4 = 12.13456456456 . . . Ý Ø Ò
Ô Ö Ó Ó p = 456º
Ò
ÙÖ×Ó× Ñ × Ú ÒÞ Ó× Ñ Ø Ñ Ø
× × ÔÙ ÔÖÓ Ö Ð × Ù ÒØ Ø ÓÖ Ñ º
¾¾

Ì ÓÖ Ñ º½
Ë Ð Ò Ñ ÖÓ r × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð¸ ×Ù Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ
ØÓ× Ó × Ô Ö
º Ê
ÔÖÓ
Ñ ÒØ ¸ × Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð r
Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ× Ó × Ô Ö
¸ Ð Ò Ñ ÖÓ r × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ðº
Ð Ø ÓÖ Ñ º½ × Ò
ÔÓÖ ÙÒ Ô ÖØ ¸ ÕÙ ÐÐÓ ÕÙ Ý ×Ô Ö ÑÓ× Ô ÖØ Ö ÐÓ× ÑÔÐÓ×
ÒØ Ö ÓÖ × Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ
ØÓ× Ó × Ô Ö
º
Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð Ø ÓÖ Ñ
ÑÙ
Ó Ñ × Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ó
x Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ò ØÓ ØÓ× Ý ÒÓ × Ô Ö
× Ý × ÐÓ × Ð Ò Ñ ÖÓ x × ÙÒ
ÖÖ
ÓÒ Ðº × ¸ Ð Ø ÓÖ Ñ ÒÓ× ÙÒ ÓÖÑ Ô Ö
ÓÑÔÖ Ò Ö Ñ ÓÖ Ð
Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ
ÓÒ Ð ×º
ÑÔÐÓ º
Ä Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ
ÓÒ Ð
√
2 = 1.414213562 . . .¸ ÒÓ × Ô Ö
Ý

ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ×Ù×Ô Ò× ÚÓ× Ò
ÑÓ× ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ Ø Ó ØÓ×º
ÆÓØ º½
ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ
ÓÒ Ð × ×ÓÒ Ò ×Ô Ò× Ð × Ò Ð
ÙÖ×Ó ÕÙ Ò
ÑÓ× Ý ÐÓ× Ù× Ö ÑÓ× Ö ¹

Ù ÒØ Ñ ÒØ º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ Ð
Ð
ÙÐÓ Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÖÖ
ÓÒ Ð
× ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ
Ð ÕÙ × ×ØÙ Ò
ÙÖ×Ó× Ñ × Ú ÒÞ Ó× Ñ Ø Ñ Ø
×º
ÆÓØ º¾
Ò Ð ÔÖ
Ø
ÔÖÓÜ Ñ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÖÖ
ÓÒ Ð ×¸ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð ×

ÙÝ Ô ÖØ
Ñ Ð Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ ØÓ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ò ÐÙ Ö
ØÙ Ö

Ð
ÙÐÓ×
ÓÒ π = 3.14159 . . .¸ ØÖ Ö ÑÓ×
ÓÒ π ≈ 3.14º ×Ø × Ö Ð Ø Ñ Ð ÔÖ Ü Ñ

Ð × º
ÑÔÐÓ º
Î ÑÓ× Ð
ÓÒÚ Ö× Ò Ð Ñ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ó Ò Ö Ó× Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×
Ö Ó×
Ñ Ð × Ý Ú
Ú Ö× º
ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ a ×Ø
ÓÑÓ a = G◦
m′
s′′
¸ ÒØÓÒ
× ÔÖ Ñ ÖÓ
ØÓÑ ÑÓ× Ð Ñ Ò Ö Ó×¸
ÓÑÓ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð a Ý
ÐÙ Ó
ÓÒÚ ÖØ ÑÓ× ÐÓ× Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó× Ö

ÓÒ × Ø Ò Ò Ó Ò
Ù ÒØ ÕÙ ÙÒ Ö Ó
Ø Ò 60 Ñ ÒÙØÓ× Ý 3600 × ÙÒ Ó×º
ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ Ô Ö
ÓÒÚ ÖØ Ö Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ a = 30◦
15′
12′′
Ö Ó×
Ñ Ð × ÔÖÓ¹

ÑÓ×
ÓÑÓ × Ù
a = 30 +
15
60
+
12
3600
◦
= (30 + 0.25 + 0.00¯3)◦
= 30.25¯3◦
.
Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ö Ö Ó×
Ñ Ð × Ò Ö Ó×¸ Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×¸ Ø Ò Ò Ó
Ò
Ù ÒØ ÕÙ Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ð
Ñ Ð × Ð Ñ Ò Ö Ó×º ÄÙ Ó
ÓÒÚ ÖØ ÑÓ×
¾¿

Ð Ô ÖØ
Ñ Ð Ñ ÒÙØÓ× Ó Ø Ò Ò Ó Ñ ÒÙØÓ×
Ñ Ð × Ý ÐÙ Ó
ÓÒÚ ÖØ ÑÓ× Ð Ô ÖØ

Ñ Ð ×ØÓ× × ÙÒ Ó×¸ Ø Ò Ò Ó Ò
Ù ÒØ ÕÙ × ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð
Ñ Ð ÕÙ
Ö ÔÖ × ÒØ ÐÓ× × ÙÒ Ó×¸ Ô Ö ÕÙ ÒÓ Ø Ò
Ö ×
Ñ Ð ×º
ÑÔÐÓ º
ÜÔÖ × α = 52.203◦
Ò Ö Ó×¸ Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×
α = 52◦
+ 0.203(60)′
= 52◦
+ 12.18′
= 52 + 12′
+ 0.18(60)′′
= 52◦
+ 12′
+ 10.8′′
≈ 52◦
+ 12′
+ 11′′
≈ 52◦
12′
11′′
.
Ê
Ø Ö Ð
Ü ×Ø ÙÒ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
ÙÒ ÚÓ
ÒØÖ Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ý ÐÓ×
ÔÙÒØÓ× ×Ó Ö ÙÒ Ö
Ø º
Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ð
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ Ò
Ó ÔÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ö
Ø
Ý Ö
ÔÖÓ
Ñ ÒØ ¸
ÓÒ
ÔÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ö
Ø ×Ó
ÑÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð Ò
Óº
O P(x)Q
0 1 2 3 π 4 x1
2
1
3
4
3
q q q q q q qqq q
−1
2−2 −
√
2−3−4
qqq qqq
ÙÖ º½
×Ø
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
×
Ø Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ ØÓÑ ÑÓ× ÔÓÖ
ÓÒÚ Ò Ò
ÙÒ
Ö
Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ðº ËÓ Ö ×Ø Ö
Ø Ñ Ö
ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó O¸ ÒÓÑ Ò Ó ÓÖ Ò¸ ÕÙ
Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð 0º Ë Ð

ÓÒ ÑÓ× ÙÒ ÙÒ ÐÓÒ ØÙ Ý ÙÒ ÔÙÒØÓ Q Ð
Ö
O ÙÒ ×Ø Ò
ÙÒ ÙÒ Oº Ð ÔÙÒØÓ Q Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð
1º
ÄÙ Ó ×Ó
ÑÓ× Ð ÔÙÒØÓ × ØÙ Ó Ð Ö
O ÙÒ ×Ø Ò
¾ ÙÒ ×
ÓÒ Ð
Ò Ñ ÖÓ ¾º Ë Ñ Ð ÖÑ ÒØ × ØÙ ÑÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ 3¸ Ý ÐÓ× Ñ × ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ×º
Ð ÔÙÒØÓ × ØÙ Ó Ò Ð Ñ Ø Ð ×Ø Ò
ÒØÖ O Ý Q × Ð × Ò Ð Ò Ñ ÖÓ
1
2
º Ð
ÔÙÒØÓ × ØÙ Ó ÙÒ Ø Ö
Ó ×Ø Ò
ÒØÖ O Ý Q × Ð × Ò Ð Ò Ñ ÖÓ
1
3
º Ë Ñ Ð Ö¹
Ñ ÒØ ÔÓ ÑÓ× × Ò Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓØÖÓ× Ö
ÓÒ Ð ×º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ò
Ö

ÓÒ × Ð ÙÒ ÐÓÒ ØÙ º
ÍÒ Ò Ñ ÖÓ Ý ×Ù ÒÚ Ö×Ó Ø ÚÓ × × Ø Ò × Ñ ØÖ
Ñ ÒØ Ö ×Ô
ØÓ Ð ÓÖ Òº ÈÓÖ ÑÔÐÓ
Ð ÞÕÙ Ö O ×Ø Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× −1
3
¸ −1
2
−1¸ −2 −3, . . . º
Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ×Ó
Ó
ÓÒ ÙÒ ÔÙÒØÓ P × ÐÐ Ñ
ÓÓÖ Ò P Ó Ð ×
×
P Ý Ð Ö
Ø
ÙÝÓ× ÔÙÒØÓ× × Ò × Ò Ó
ÓÓÖ Ò × × Ð ÐÐ Ñ Ö
Ø Ö Ð º
ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ö
Ø Ö Ð ×Ø Ò ×Ó
Ó× ØÖ × ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ× ×ÓÒ Ð ×
ÓÓÖ Ò × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ö
O Ð
¾

Ò Ñ ÖÓ Ö Ð
ÖÓ × Ð
ÓÓÖ Ò Ð ÓÖ Ò O ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ò Ø ÚÓ× ×ÓÒ Ð ×

ÓÓÖ Ò × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ð ÞÕÙ Ö Oº
ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸ × a Ý b ×ÓÒ Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ð ×Ø Ò
ÒØÖ a Ý b, ÒÓØ ÔÓÖ
d(a, b), × Ð Ñ Ð × Ñ ÒØÓ ÕÙ ÐÓ× ÙÒ Ò Ð Ö
Ø Ö Ðº
• d(a, b) ≥ 0¸ d(a, b) = 0
Ù Ò Ó a = bº
• d(a, b) = d(b, a).
Ð Ú ÐÓÖ ×ÓÐÙØÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ a¸ ÒÓØ Ó ÔÓÖ |a|¸ × Ð ×Ø Ò
× a ×Ø 0¸ ×

Ö |a| = d(a, 0). ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸
|a| =
a × a 0
−a × a < 0
Ò Ò Ö Ð¸ × a Ý b ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × d(a, b) = |a − b| .
Ö

Ó×
½º Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × s = 2¸ t = 0¸ u = −3¸ v = 1
4
¸ w = 2.5¸
x = −3.14¸ Ý z = 12.134¸ Ø ÖÑ Ò
Ù Ð × ÐÐÓ× Ô ÖØ Ò
Ò
ÙÒÓ ÐÓ×
× Ù ÒØ ×
ÓÒ ÙÒØÓ×
´ µ Æ Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð ×¸ ´ µ Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ×¸ ´
µ Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð ×º
¾º ×
Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð
ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð × x = 1
4
¸
y = 8
5
¸ z = 1
3
Ý z = 3
7
º
¿º ×
Ö Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð
ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð × Ò Ð ÓÖÑ
b.a1, a2a3.... Ý Ø ÖÑ Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × b¸ a1¸ a2 Ý a3 Ý ×Ù Ô Ö Ó Óº
´ µ z = 7
3
¸ ´ µ w = 1
7
º
º ÓÒÚ ÖØ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ a = 43◦
25′
10′′
Ö Ó×
Ñ Ð ×º
º ÜÔÖ × α = 32.5◦
Ò Ö Ó×¸ Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×º
º ÜÔÖ × α = 100.46◦
Ò Ö Ó×¸ Ñ ÒÙØÓ× Ý × ÙÒ Ó×º
º ÍÒ ØÐ Ø A
ÓÖÖ ÙÒ Ñ Ö Ø Ò Ò 2 ÓÖ ×¸ 43 Ñ ÒÙØÓ× Ý 15 × ÙÒ Ó×º ÍÒ ØÐ Ø B

ÓÖÖ Ð Ñ ×Ñ Ñ Ö Ø Ò Ò 2.74 ÓÖ ×º ú Ù Ð ÐÓ× Ó× ØÐ Ø × × Ñ × Ö Ô Ó
¾

Ä

Ò
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÁÁ
Ò ×Ø Ð

Ò
ÓÒØ ÒÙ ÑÓ×
ÓÒ Ð ×ØÙ Ó Ð × ÔÖ Ò
Ô Ð × ÔÖÓÔ × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ
ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ÆÓ× Ø Ò Ö ÑÓ× Ò Ð ×ØÙ Ó Ð × Ö Ð
ÓÒ × ÓÖ Ò Ý ÐÓ×
ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º Ì Ñ Ò Ú Ö ÑÓ× Ð ÔÖÓÜ Ñ
Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓÖ
Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð
ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ó
Ö ×
Ñ Ð ×¸ ÙØ Ð Þ Ò Ó Ð
Ñ ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Óº
Ê Ð
ÓÒ × ÓÖ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×
• Ó× Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × a Ý b¸
ÑÓ× ÕÙ a × Ñ ÝÓÖ ÕÙ b Ý ×
Ö ÑÓ× a > b¸
× a − b × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº Ò ×Ø
×Ó¸ Ø Ñ Ò
ÑÓ× ÕÙ b × Ñ ÒÓÖ ÕÙ
a Ý ×
Ö ÑÓ× b < aº
•
ÑÓ× ÕÙ a × Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ b¸ Ý ×
Ö ÑÓ× a ≥ b¸ × a > b a = b Ò
×Ø
×Ó Ø Ñ Ò
ÑÓ× ÕÙ b × Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ a Ý ×
Ö ÑÓ× b ≤ aº
• Ë a > x Ý x > c¸ ×
Ö ÑÓ× a > x > cº Á Ù ÐÑ ÒØ a ≥ x ≥ c × Ò
ÕÙ a ≥ x Ý
x ≥ cº
ÄÓ× ÒØ ÖÚ ÐÓ× ×ÓÒ ×Ù
ÓÒ ÙÒØÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÕÙ × Ò Ò Ô ÖØ Ö Ú Ö× ×
Ö Ð
ÓÒ × ÓÖ Òº
ÓÒØ ÒÙ
ÓÒ ×
Ö ÑÓ× ×ØÓ×
ÓÒ ÙÒØÓ× Ý ×Ù× Ö
× Ô Ö
Ò
Ò Ð × ÙÖ × º½ Ý º¾º
• Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a, b) × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ a < x < bº
• Ð ÁÒØ ÖÚ ÐÓ
ÖÖ Ó [a, b] × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ a ≤ x ≤ bº
• ÁÒØ ÖÚ ÐÓ× × Ñ ÖØÓ×
(a, b] × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ a < x ≤ b,
[a, b) × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ a ≤ x < b.
❝ ❝
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ ÖØÓ (a, b)
a b
s s
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ
ÖÖ Ó [a, b]
❝ s
a b
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (a, b]
s ❝
a b
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ [a, b)
ÙÖ º½
¾

• ÁÒØ ÖÚ ÐÓ× Ò Ò ØÓ×
(−∞, b] × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ x ≤ b,
(−∞, b) × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ x < b,
[a, ∞) × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ x ≥ a,
(a, ∞) × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x Ø Ð × ÕÙ x > a,
(−∞, ∞) × Ð
ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×.
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, b]
s
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, b)
❝
b
s
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ [a, ∞)
a
❝
a
ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (a, ∞) ÁÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, ∞)
ÙÖ º¾
ÔÖÓÜ Ñ
Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ö
ÓÒ Ð
ÓÒ ÙÒ
Ò Ñ ÖÓ Ó
Ö ×
Ñ Ð ×º Å ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Ó
ÓÒ Ð ÔÖÓÔ × ØÓ
Ð Ø Ö Ó × ÑÔÐ
Ö ÐÓ×
Ð
ÙÐÓ×
ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×¸ Ò Ð ÙÒ ×
Ó
× ÓÒ × ÕÙ Ö ÑÓ× ×Ñ ÒÙ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓ× Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð ÐÓ×
Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ ÔÙ Ö ×ÙÐØ Ö Ñ ×
ÑÓ Ó Ö Ð Þ Ö
Ð
ÙÐÓ×
ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ
r = 1.21 Ò ÐÙ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ x = 1.212345º
Ë ÕÙ Ö ÑÓ× ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ r ÕÙ Ø Ò n
Ö ×

Ñ Ð ×¸ Ö ÕÙ Ö ÑÓ× ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ x Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× n + 1
Ö ×
Ñ Ð ×
ÓÒÓ
×º
×
Ö¸ x Ø Ò Ö Ð ÓÖÑ x = b.a1a2...anan+1 . . . º
ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖÓ
Ñ ÒØÓ¸
ÓÒÓ
Ó
ÓÑÓ Ð Ñ ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Ó¸ Ô Ö
ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ x ÔÓÖ Ñ Ó rº
ÆÓØ º½
• × Ò ÑÓ× r¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ b Ý ØÓ Ó× ÐÓ× ØÓ× Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò ÓÖ Ò Ð
Ð Ò Ñ ÖÓ x ×Ø Ð ØÓ ÕÙ Ó
ÙÔ Ð ÔÓ×
Ò n − 1º
• È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ØÓ r ÕÙ Ó
ÙÔ Ð ÔÓ×
Ò n¸ Ó × ÖÚ ÑÓ× Ð ØÓ ÕÙ
Ó
ÙÔ Ð ÐÙ Ö n + 1 Ò Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð x¸ ×
Ö Ð ØÓ an+1 ×
0 ≤ an+1 < 5¸ Ð ØÓ ÕÙ Ó
ÙÔ Ð ÔÓ×
Ò n r¸
Ó Ò

ÓÒ Ð ØÓ ÕÙ
Ó
ÙÔ ×Ø ÔÓ×
Ò Ò x ×
Ö × anº Ë an+1 ≥ 5¸ Ð ÐØ ÑÓ ØÓ r × Ù Ð
an + 1º ×
Ö Ò
Ö Ñ ÒØ ÑÓ× Ð ØÓ an Ò ÙÒ ÙÒ º Ù Ò Ó Ò ×Ø
ÐØ ÑÓ
×Ó × Ø Ò ÕÙ Ð ØÓ an × Ù Ð 9¸ Ð Ò
Ö Ñ ÒØ Ö Ð ØÓ an Ò ÙÒ
ÙÒ × Ó Ø Ò ½¼ × ¸ Ð ØÓ an ×
ÓÒÚ ÖØ Ò 0 Ý Ð ØÓ ÒØ Ö ÓÖ an−1
Ò
Ö Ñ ÒØ Ö× Ò ÙÒ ÙÒ º
¾

ÓÒ ÐÓ× × Ù ÒØ × ÑÔÐÓ× ÐÙ×ØÖ ÑÓ× Ð ÔÖÓ
Ñ ÒØÓº
ÑÔÐÓ º½
ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ x = 3.452¸ ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð r¸
ÓÒ Ó×
Ö ×

Ñ Ð ×º
× Ò ÑÓ× r Ð Ô ÖØ ÒØ Ö x Ý ×Ù ÔÖ Ñ Ö ØÓ
Ñ Ð b = 3 Ý a1 = 4º
È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð × ÙÒ
Ö
Ñ Ð r¸ Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ö
Ö
Ö
Ñ Ð
x × a3 = 2º ÓÑÓ a3 < 5¸ ÒØÓÒ
× Ð × ÙÒ
Ö
Ñ Ð r
Ó Ò

ÓÒ Ð × ÙÒ

Ö
Ñ Ð xº × ¸ r = 3.45º
Ò ×Ø
×Ó Ø Ñ Ò ÔÓ ÑÓ×
Ö ÕÙ r ÔÖÓÜ Ñ x Ð
ÒØ × Ñ Ñ ×
Ö
Ò º
ÑÔÐÓ º¾
ÔÖÓÜ Ñ ÑÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ x = 3.452 ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð r
ÓÒ ÙÒ
Ö

Ñ Ðº × Ò ÑÓ× r Ð Ô ÖØ ÒØ Ö x
ÓÑÓ Ð × ÙÒ
Ö
Ñ Ð x ×
a2 = 5¸ ÒØÓÒ
× Ð ÔÖ Ñ Ö
Ö
Ñ Ð r × Ù Ð a1 + 1 = 4 + 1 = 5º × ¸ r = 3.5º

ÑÓ× ÕÙ r ÔÖÓÜ Ñ x Ð
Ñ Ñ ×
Ö
Ò º
ÑÔÐÓ º¿
Î ÑÓ× ÔÖÓÜ Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ
ÓÒ Ð π = 3.141592654 . . . ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
Ö
ÓÒ Ð r
ÓÒ Ó×
Ö ×
Ñ Ð ×º È Ö
Ð
ÙÐ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ r¸ ÔÖ Ñ ÖÓ × Ð

ÓÒ ÑÓ×
Ð Ô ÖØ ÒØ Ö Ý Ð ÔÖ Ñ Ö ØÓ b = 3 Ý a1 = 1º ÄÙ Ó Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ö
Ö
ØÓ Ð Ö ÔÖ × ÒØ
Ò
Ñ Ð π × a3 = 1º ÓÑÓ a3 < 5¸ Ð × ÙÒ Ó ØÓ
Ð ÔÖÓÜ Ñ
Ò r
Ó Ò
Ö
ÓÒ Ð × ÙÒ Ó ØÓ πº Ç Ø Ò ÑÓ× ÕÙ r = 3.14º
×
Ö ÑÓ× π ≈ 3.14¸ Ô Ö Ò
Ö ÕÙ π ÒÓ × Ù Ð 3.14¸ × ÒÓ ÕÙ × ×Ø Ù× Ò Ó Ð
Ö
ÓÒ Ð r = 3.14 Ô Ö ÔÖÓÜ Ñ ÖÐÓº
ÑÔÐÓ º
Ì Ñ Ò ÔÓ ÑÓ× ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ÙÒ Ñ × ÔÖ Ü Ñ º ÈÓÖ ÑÔÐÓ α = 41◦
ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò ÙÐÓ β = 40, 52◦
Ð Ö Ó Ñ ×
Ö
ÒÓº
ÆÓØ º¾
ÍÒ Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ð Ó Ø Ò Ó Ô ÖØ Ö ÙÒ Ó Ñ × ÓÔ Ö
ÓÒ ×
ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÔÖÓÜ ¹
Ñ Ó×¸ ÒÓ Ø Ò Ö Ñ ×
Ö ×
Ñ Ð × ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð
ÓÒ Ñ ÒÓ×
Ö ×
Ñ Ð ×
ÙØ Ð Þ Ó Ò Ð
Ð
ÙÐÓº
Ö

Ó×
½º Ø ÖÑ Ò × a > b¸ a = b a < b¸ Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ô Ö × Ò Ñ ÖÓ×
´ µ a = 1.5152¸ b = 1.52¸ ´ µ a = 1.21152¸ b = 1.21º
¾º ÓÑÔÐ Ø ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ô Ö ÕÙ Ð ÜÔÖ × Ò × Ú Ö Ö
´ µ 0.25 9 < 0.2519¸ ´ µ 10. 9 >= 10.19¸ ´
µ 3.1 9 ≤ 3.149º
¿º ÜÔÖ × Ò Ø ÖÑ ÒÓ× × Ù Ð × ÐÓ× × Ù ÒØ × ÒØ ÖÚ ÐÓ× Ý Ö ÔÖ × ÒØ ÐÓ× Ö ¹

Ñ ÒØ
¾

´ µ A = (−2, 3)¸ ´ µ B = (−1, +∞)¸ ´
µ C = (−5, 8]¸ ´ µ D = (−∞, 9)¸ ´ µ
E = (−∞, ∞)¸ ´ µ F = (−2, ∞)º
º Ø ÖÑ Ò
Ù Ð × ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ô ÖØ Ò
Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−2, 3]
´ µ s = 1¸ ´ µ t = 0¸ ´
µ u = −2¸ ´ µ v = −3¸ ´ µ w = 5¸ ´ µ x = 3º
º Ø ÖÑ Ò
Ù Ð × ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ô ÖØ Ò
Ò Ð ÒØ ÖÚ ÐÓ (−∞, −3) :
´ µ s = −1¸ ´ µ t = 0¸ ´
µ u = −2¸ ´ µ v = −3º
º ÔÖÓÜ Ñ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× ÔÓÖ Ñ Ó Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð ×
ÓÒ Ó×
Ö ×

Ñ Ð ×
´ µ v = 1.254¸ ´ µ v = 1.456¸ ´
µ v = 1.939¸ ´ µ v = 1.999º
º ÔÖÓÜ Ñ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ð
Ñ Ñ ×
Ö
Ò ×º
´ µ v = 1.254¸ ´ µ v = −12.456¸ ´
µ v = −1.939º
º ÔÖÓÜ Ñ w = 1.25654¸
ÓÒ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð
ÓÒ 1
Ö
Ñ Ðº
º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ
ÓÒ Ð
√
2 = 1.414213562 . . .¸ ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
Ö
ÓÒ Ð
ÓÒ Ó×
Ö ×
Ñ Ð ×º
½¼º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò Ñ ÖÓ ÖÖ
ÓÒ Ð
√
3 = 1.732050808 . . .¸ ÔÓÖ Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ
Ö
ÓÒ Ð
ÓÒ ÙÒ
Ö
Ñ Ðº
½½º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ñ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ× Ð Ö Ó Ñ × ÔÖ Ü ÑÓ
´ µ α = 21.25◦
¸ ´ µ β = 45, 05◦
¸ ´
µ γ = 125.12◦
º
½¾º ÔÖÓÜ Ñ Ð Ò Ñ ÖÓ π = 3.141592654 . . .
ÓÒ
Ù ØÖÓ
Ö ×
Ñ Ð ×º
½¿º Ø ÖÑ Ò
Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ
ÓÒ × ×
ÓÖÖ
Ø º Ù Ò Ó ÙØ Ð Þ ÑÓ× Ð
Ñ ØÓ Ó Ð Ö ÓÒ Ó Ô Ö ÔÖÓÜ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x¸
ÓÒ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð r¸

ÓÒ Ó×
Ö ×
Ñ Ð ×
´ µ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð r
´ µ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð r
´
µ ÒÓ × ÑÔÖ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö Ð x × Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ Ö
ÓÒ Ð rº
¿¼

Ä

Ò
Å Ò ÙÐÓ× × ×Ø Ñ
Ö
ÙÐ Ö
Ò ×Ø Ð

Ò ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð × ×Ø Ñ
Ö
ÙÐ Ö Ô Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ× Ý Ú Ö ÑÓ× Ð ÓÖÑ
Ö Ð
ÓÒ Ö Ð × Ñ × Ò Ö Ó× Ý Ö Ò × ÙÒ Ò ÙÐÓº
Å Ò ÙÐÓ× Ò Ö Ò ×
È Ö Ñ Ö Ò ÙÐÓ× Ò Ð × ×Ø Ñ
Ö
ÙÐ Ö × ÙØ Ð Þ
ÓÑÓ ÙÒ Ñ Ð Ö Ò¸
ÒÓØ Ó Ö º
ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò

ÓÒ
ÒØÖÓ Ò Ð ÔÙÒØÓ O Ý Ö Ó r¸ ÙÒ Ö Ò × Ð Ñ ÙÒ
Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð
ÓÒ Ú ÖØ
Ò O¸ ×Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö
Ó
ÙÝ ÐÓÒ ØÙ × Ù Ð Ð Ö Ó
Ð
Ö
ÙÒ Ö Ò
º Î × Ð Ô ÖØ ÞÕÙ Ö Ð ÙÖ º½
r
O
Ö
Ó
r
r
r
1 rad r
O
s
r
r
α
ÙÖ º½
ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ö Ó r¸ Ù× ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖ
Ò Ô Ö
Ð
ÙÐ Ö Ò ×
Ð Ö Ó¸ Ð ÐÓÒ ØÙ s Ð Ö
Ó Ó Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ α Ò Ö Ò ×¸
Ù Ò Ó
ÓÒÓ
ÑÓ×
Ð × Ñ × Ó× ×ØÓ× Ð Ñ ÒØÓ×
s
r
=
α
1
.
Ä × ÙÒ × ÐÓÒ ØÙ s Ý r Ò × Ö Ù Ð ×º ÒØÓÒ
× Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ö
Ó
×Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ Ð Ò ÙÐÓ α Ó Ò Ö Ò × ×
s = r α. ´ º½µ
Ð Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð α Ó Ò Ö Ò × ×Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ Ð Ö
Ó s ×
α =
s
r
. ´ º¾µ
¿½

ÑÔÐÓ º½
Ð
ÙÐ Ð Ö
Ó ×Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð
ÙÝ Ñ × 2 Ö Ò × Ò ÙÒ
Ö¹

ÙÒ Ö Ò

ÙÝÓ Ö Ó Ñ 6
ÒØ Ñ ØÖÓ×º
ÈÓÖ Ð
Ù
Ò ´ º½µ¸ s = rα = (6)(2)
Ñ = 12
Ñ.
ÑÔÐÓ º¾
Î ÑÓ× ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ α ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ÖÓØ
Ò
ÓÑÔÐ Ø ÐÖ ÓÖ Ð
ÒØÖÓ¸ Ò
ÙÒ
Ö
ÙÐÓ Ö Ó r¸ Ñ 2π Ö Ò ×º Ò
ØÓ¸ Ö
ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ð ÐÓÒ ØÙ Ð

Ö
ÙÒ Ö Ò
× C = 2πrº ÈÓÖ Ð
Ù
Ò ´ º¾µ¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ð Ñ α Ò Ö Ò ×
×
α =
C
r
=
2πr
r
= 2π.
Ð Ò ÙÐÓ α Ñ 2π Ö º
ÑÔÐÓ º¿
ÈÓÖ Ð ÑÔÐÓ º¾¸ Ð Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð Ò Ö Ò × ÕÙ ×Ù Ø Ò ÙÒ × Ñ
Ö
ÙÒ Ö Ò
× π Ö Ò × Ý Ð Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð ÕÙ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÙÒ
Ù ÖØÓ
Ö
ÙÒ Ö Ò
×
π
2
Ö Ò ×º
q
0 AB
π rad
q
0 A
B
π
2
rad
ÙÖ º¾
ÓÒÚ Ö× Ò Ö Ó× × Ü × Ñ Ð × ¹ Ö Ò ×
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ 180◦

ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò π Ö Ò ×¸ Ù× Ö ÑÓ× Ð × Ù ÒØ ÔÖÓÔÓÖ
Ò Ô Ö
ÓÒ¹
Ú ÖØ Ö Ö Ó× × Ü × Ñ Ð × Ö Ò × Ó Ö Ò × Ö Ó× × Ü × Ñ Ð ×¸
αg
180◦
=
αr
π rad
, ´ º¿µ
ÓÒ αg × Ð Ñ Ò Ö Ó× Ð Ò ÙÐÓ α
Ý αr × ×Ù Ñ Ò Ö Ò ×º
ÑÔÐÓ º
Ë αr = 1 Ö Ò¸ Ð Ñ Ò Ö Ó× αg ÔÙ
Ð
ÙÐ Ö× ÔÓÖ
αg = 180◦ 1 Ö
π Ö
=
180◦
π
.
¿¾

× ¸
1 Ö =
180◦
π
, Ú ÐÓÖ Ü
ØÓ ÙÒ Ö Ò,
1 rad ≈ 57.32◦
, Ú ÐÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ó ÙÒ Ö Òº
ÑÔÐÓ º
Ë αg = 1◦
¸ ÒØÓÒ
× αr ÔÙ
Ð
ÙÐ Ö× ÔÓÖ
αr = π Ö
1◦
180◦
=
π
180
Ö .
ÒØÓÒ
×
1◦
=
π
180
Ö .
ÑÔÐÓ º
½º Ë Ð Ò ÙÐÓ α Ñ 30◦
º Ä Ñ α Ò Ö Ò × ×
Ð
ÙÐ
30◦
= 30
π
180
Ö =
π
6
Ö .
¾º Ð Ò ÙÐÓ c Ñ ¾ Ö Ò ×º Ò
Ù ÒØÖ Ð Ú ÐÓÖ Ü
ØÓ Ð Ñ c Ò Ö Ó×
Ý ×Ù Ú ÐÓÖ ÔÖÓÜ Ñ Ó
ÓÒ Ó×
Ö ×
Ñ Ð ×º Ê ÔÖ × ÒØ ×Ø Ò ÙÐÓ ÓÑ ØÖ ¹

Ñ ÒØ º
2 Ö = 2 180 ◦
π
=
360
π
◦
¸
c =
360◦
π
¸
c ≈ 114.64◦
º
c
ÙÖ º¿
ýÒ ÙÐÓ×
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ý ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ Ð × Ñ × Ò Ö Ò × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× 90◦
Ý 180◦
×ÓÒ Ù Ð ×
π
2
Ö Ý π Ö ¸
Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
• Ó× Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×¸ × Ð ×ÙÑ ×Ù× Ñ × Ò Ö Ò × ×
π
2
Ö .
• Ó× Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×¸ × Ð ×ÙÑ ×Ù× Ñ × Ò Ö Ò × × π Ö º
¿¿

ÑÔÐÓ º
Ë α =
π
4
Ö ¸ Ò
Ù ÒØÖ ×Ù Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ý ×Ù Ò ÙÐÓ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Óº
ÈÙ ×ØÓ ÕÙ
π
2
−
π
4
=
π
4
¸ Ð Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó
π
4
Ö ×
π
4
Ö º
Ð Ò ÙÐÓ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó
π
4
Ö ×
3π
4
Ö ¸ Ý ÕÙ π − π
4
= 4π−π
4
= 3π
4
º
Ö

Ó×
½º Ð Ò ÙÐÓ b Ñ
π
5
Ö Ò ×º Ò
Ù ÒØÖ ×Ù Ñ Ò Ö Ó×
¾º ÜÔÖ × ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ× Ò Ð × ×Ø Ñ
Ö
ÙÐ Ö
´ µ 30◦
¸ ´ µ 45◦
¸ ´
µ 60◦
¸ ´ µ 90◦
¸ ´ µ 120◦
¸ ´ µ 150◦
¸ ´ µ 180◦
º
¿º Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ×¸ Ò
Ù ÒØÖ ×Ù× Ò ÙÐÓ×
´ µ
π
5
Ö ´ µ
π
3
Ö .
º Ó× ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ×¸ Ò
Ù ÒØÖ ×Ù× Ò ÙÐÓ× ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×
(a) π
2
Ö ¸ (b) π
4
Ö ¸ (c) π
6
Ö .
º Ò
Ù ÒØÖ Ð Ñ Ò Ö Ò × ÙÒ Ò ÙÐÓ
ÒØÖ Ð ×Ù Ø Ò Ó ÔÓÖ ÙÒ Ö
Ó
13
ÒØ Ñ ØÖÓ× Ò ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò

ÓÒ Ö Ó 10
ÒØ Ñ ØÖÓ×º
º Ò
Ù ÒØÖ Ð Ñ Ò Ö Ò × ÙÒ Ò ÙÐÓ
Ó 3

Ö
ÙÒ Ö Ò

ÓÒ ÐÓÒ ØÙ 6
ÒØ Ñ ØÖÓ×º
º Ò
Ù ÒØÖ Ð Ñ Ò Ö Ó× ÙÒ Ò ÙÐÓ
Ó 3

Ö
ÙÒ Ö Ò

ÓÒ ÐÓÒ ØÙ 4
ÒØ Ñ ØÖÓ×º
º Ä Ñ ÙÒ Ò ÙÐÓ α × 30◦
¸ ú
ÑÓ Ú Ö ×Ù Ñ Ò Ö Ò × × Ð Ñ
α Ò Ö Ó× × Ü × Ñ Ð × × ØÖ ÔÐ
º Ë Ð Ñ Ò Ö Ò × ÙÒ Ò ÙÐÓ α × ÑÙÐØ ÔÐ
ÔÓÖ 2¸ ú
ÑÓ Ú Ö Ð Ñ
α Ò Ö Ó×
½¼º Ð Ö Ó ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ñ 12
Ñº Ë Ð Ö Ó × Ú ÔÓÖ 3¸ ú
ÑÓ Ú Ö
Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ö
ÙÝ Ñ ×
π
4
Ö Ò × Ç × ÖÚ
ÕÙ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ Ô ÖÑ Ò

ÓÒ×Ø ÒØ º
½½º Ð Ö Ó ÙÒ
Ö
ÙÒ Ö Ò
Ñ R
Ñº Ë Ð Ö Ó × ØÖ ÔÐ
¸ ú
ÑÓ Ú Ö Ð
ÐÓÒ ØÙ Ð Ö
ÙÝ Ñ × α Ö Ò ×
½¾º Ë Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ù Ñ ÒÙØ Ö ÙÒ Ö ÐÓ × ½¼
ÒØ Ñ ØÖÓ×º ú Ù Ð × Ð
×Ø Ò
Ö
ÓÖÖ ÔÓÖ Ð ÔÙÒØ Ð Ù Ò ½ Ñ ÒÙØÓ×
½¿º Ë ÐÓ× Ö Ó× Ð × ÖÙ × ÙÒ

Ð Ø Ñ Ò ¾¼
ÒØ Ñ ØÖÓ×¸ ÕÙ ×Ø Ò
Ö
ÓÖÖ Ð

Ð Ø
Ù Ò Ó Ð × ÖÙ × Ò
ØÙ Ó ½¼¼ Ö ÚÓÐÙ
ÓÒ ×
½ º ÄÓ× Ö Ó× Ð × ÖÙ × Ð ÒØ Ö Ý ØÖ × Ö ÙÒ

Ð Ø Ñ Ò Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ
½¾º Ý ¾
ÒØ Ñ ØÖÓ×º ´ µ Ë Ð ÖÙ ØÖ × Ö
ÓÑÔÐ Ø 100 Ö ÚÓÐÙ
ÓÒ ×¸ ú
Ù ÒØ ×
Ö ÚÓÐÙ
ÓÒ ×
ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö ´ µú Ù Ð × Ð Ñ Ò Ö Ò × Ð
Ò ÙÐÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ Ð ÖÓØ
Ò Ð ÖÙ ØÖ × Ö ¸ × Ð ÖÙ Ð ÒØ Ö ÖÓØ
¾¼ Ö Ò ×
¿

Ä

Ò
Ê Ð
× ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× ÙÒ
ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ
Ò ×Ø Ð

Ò ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð × Ö Ð
× ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× ÙÒ
ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ò ×
ÓÑÓ Ö ÞÓÒ × ÒØÖ ×Ù× Ð Ó×º ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð × Ö Ð
ÓÒ ×
Ö
ÔÖÓ
× Ý Ð ×
Ó ÙÒ
ÓÒ ×º

ÓÒØ ÒÙ
Ò Ú ÑÓ× Ò Ö Ð × Ö Ð
ÓÒ × × ÒÓ¸
Ó× ÒÓ¸ Ø Ò ÒØ ¸
ÓØ Ò ÒØ ¸
×
ÒØ ¸ Ý
Ó×
ÒØ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ
ÓÑÓ Ö ÞÓÒ ×
ÒØÖ Ð × Ñ × ×Ù× Ð Ó× ÔÓÖ × ÑÔÐ
ÒÓØ Ö ÑÓ× ×Ø × Ö Ð
ÓÒ × ÔÓÖ sen¸
cos¸ tan¸ cot¸ sec Ý csc¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ º È Ö Ð × Ò
ÓÒ × × ÙÒ ÒÓÑ Ö ×Ô
Ð
ÐÓ×
Ø ØÓ× Ø Ò Ò Ó Ò
Ù ÒØ ×Ù Ù

Ò
ÓÒ Ö ×Ô
ØÓ
Ò ÙÐÓº
c
a
b
B
AC
90◦
a × Ð
Ø ØÓ ÓÔÙ ×ØÓ Ð Ò ÙÐÓ A¸
b × Ð
Ø ØÓ Ý
ÒØ Ð Ò ÙÐÓ A¸
c × Ð ÔÓØ ÒÙ× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓº
ÙÖ º½
Ä × Ö Ð
× × Ò Ò ÔÓÖ
sen A =

Ø ØÓ ÓÔÙ ×ØÓ
ÔÓØ ÒÙ×
=
a
c
,
cos A =

Ø ØÓ Ý
ÒØ
ÔÓØ ÒÙ×
=
b
c
,
tan A =


Ø ØÓ Ý
ÒØ
=
a
b
,
cot A =

Ø ØÓ Ý
ÒØ

=
b
a
,
sec A =
ÔÓØ ÒÙ×

Ø ØÓ Ý
ÒØ
=
c
b
,
csc A =
ÔÓØ ÒÙ×

=
c
a
.
Ä × Ö Ð
× Ø Ñ Ò × ÒÓÑ Ò Ò Ö ÞÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×º
¿

ÑÔÐÓ º½
Ë Ò Ð ÙÖ º½ a = 3¸ b = 4 Ý c = 5¸
Ð
ÙÐ Ð × Ö Ð
× Ð Ò ÙÐÓ
Aº
sen A =
a
c
=
3
5
, cos A=
b
c
=
4
5
,
tan A =
a
b
=
3
4
, cot A=
b
a
=
4
3
,
sec A =
c
b
=
5
4
, csc A=
c
a
=
5
3
.

Ù Ö Ó
ÓÒ Ð Ò
Ò Ð × Ö Ð
× Ý Ô Ö × Ö ÞÓÒ × ÕÙ
×ÓÒ Ö
ÔÖÓ
×º ×ØÓ ×¸ Ð ÔÖ Ñ Ö Ö Þ Ò × Ð ÒÚ Ö×Ó ÑÙÐØ ÔÐ
Ø ÚÓ Ð × ÙÒ
a
c
× Ð Ö
ÔÖÓ
c
a
,
b
c
× Ð Ö
ÔÖÓ
c
b
,
a
b
× Ð Ö
ÔÖÓ
b
a
.
Ì Ò ÑÓ× ÒØÓÒ
× Ð × × Ù ÒØ × Ù Ð × ÕÙ Ö
Ò Ð ÒÓÑ Ö Ö Ð
ÓÒ × Ö
¹
ÔÖÓ
×
sen A =
1
csc A
,
cos A =
1
sec A
,
tan A =
1
cot A
.
ÑÔÐÓ º¾
Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ð Ñ Ð
Ø ØÓ ÓÔÙ ×ØÓ Ð Ò ÙÐÓ A ×
Ñ Ý Ð
×Ù
Ø ØÓ Ý
ÒØ ×
Ñº Ò
Ù ÒØÖ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð × Ö Ð
×

Ó Ò ÙÐÓº
ËÓÐÙ
Ò
Ê ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÐÓ× ØÓ× Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ º¾º
c6
8
B
AC
90◦
ÙÖ º¾
¿

È Ö Ò
ÓÒØÖ Ö Ð × Ö Ð
× ÑÓ×
ÓÒÓ
Ö¸ Ñ × Ð ÐÓÒ ØÙ
×Ù×
Ø ØÓ×¸ Ð ÐÓÒ ØÙ ×Ù ÔÓØ ÒÙ× º ÈÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ × Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
c2
= 62
+ 82
= 36 + 64 = 100,
c = 10
Ñ.
ÈÓÖ Ð × Ò
ÓÒ ×
sen A =
6
10
=
3
5
, cos A =
8
10
=
4
5
, tan A =
6
8
=
3
4
.
Í× ÑÓ× Ð × Ö Ð
ÓÒ × Ö
ÔÖÓ
× Ý Ó Ø Ò ÑÓ×
csc A =
1
senA
=
5
3
, sec A =
1
cosA
=
5
4
, cot A =
1
tanA
=
4
3
.
Ê Ð
ÓÒ ×
Ó
ÒØ
Ð × Ò
ÓÒ × Ð × Ö ÞÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÔÓ ÑÓ× Ñ ×
ÓÒ
ÐÙ Ö ÕÙ
tan A =
sen A
cos A
Ý cot A =
cos A
sen A
. ´ º½µ
Ò
ØÓ¸
sen A
cos A
=
a
c
b
c
=
a
b
= tan A,
cos A
sen A
=
b
c
a
c
=
b
a
= cot A.
ÑÔÐÓ º¿
Ë ×
ÓÒÓ
ÕÙ sen α =
√
3
2
Ý cos α =
1
2
¸ ÒØÓÒ
×
Ù Ö Ó
ÓÒ Ð × Ù Ð × Ò
´ º½µ
tan α =
sen α
cos α
=
√
3
2
1
2
=
√
3.
Ö

Ó×
½º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ∆BAC¸ Ð Ò ÙÐÓ A × Ö
ØÓº Ð
ÙÐ Ð × Ö Ð
ÓÒ ×
ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× × ÒÓ¸
Ó× ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× B Ý C¸ × b = 2
Ñ Ý c = 4

Ñº
¿

¾º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ∆BAÇ Ð Ò ÙÐÓ A × Ö
ØÓº Ð
ÙÐ Ð × ÙÒ
ÓÒ ×
ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÐÓ× Ò ÙÐÓ× B Ý Ç × a = 12
Ñ Ý c = 4
Ñº
¿º Ð
ÙÐ cot A × sen A = cos A =
√
2
2
.
º Ð
ÙÐ csc A × sen A = 1
2
.
º Ð
ÙÐ sec A × cos A = 1º
º ú × ÔÓ× Ð ÕÙ sen C = 3
2
¸ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ∆ABÇ
ÓÒ ∠B = 90◦
º ú × ÔÓ× Ð ÕÙ tan C = 3
2
¸ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ∆ABÇ
ÓÒ ∠B = 90◦
º Ò Ð × Ù ÒØ Ø Ð × Ò ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð Ö Ð
Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
sen A Ô Ö
Ö ÒØ × Ò ÙÐÓ× A¸
ÓÑÔÐ Ø ÐÓ× ØÓ× ÐØ ÒØ × Ô Ö csc Aº
A sen A csc A
30◦ 1
2
45◦
√
2
2
60◦
√
3
2
¿

Ä

Ò ½¼
Ê Ð
× Ò ÙÐÓ×

Ò ×Ø Ð

Ò ×ØÙ Ö ÑÓ× Ð × Ö Ð
× Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ
Ô Ö ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ACB Ð ÙÖ ½¼º½ ÔÓ ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ö Ð × Ö Ð
×
ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× A Ý B Ý
ÓÑÔ Ö ÖÐ ×
c
a
b
B
AC
90◦
sen A =
a
c
, cos A =
b
c
,
tan A =
a
b
, cot A =
b
a
,
sec A =
c
b
, csc A =
c
a
º
ÙÖ ½¼º½
sen B =
b
c
,
tan B =
b
a
,
sec B =
c
a
,
cos B =
a
c
,
cot B =
a
b
,
csc B =
c
b
.
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ sen B = cos A Ý cos B = sen A tan B = cot A Ý cot B = tan A
sec B = csc A Ý csc B = sec Aº
ÓÑÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× A Ý B ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ
ÓÒ ×
• Ð × ÒÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ × Ù Ð Ð
Ó× ÒÓ ×Ù Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Óº
• Ä Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ × Ù Ð Ð
ÓØ Ò ÒØ ×Ù Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ ¹
Ñ ÒØ Ö Óº
• Ä ×
ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ × Ù Ð Ð
Ó×
ÒØ ×Ù Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ Ñ Ò¹
Ø Ö Óº
¿

ÐÓ× ÒØ Ö ÓÖ × Ö ×ÙÐØ Ó× × Ó Ø Ò Ò Ð × ÐÐ Ñ × ÒØ × ÔÓÖ
Ó ÙÒ
Òº
È Ö
Ò ÙÐÓ Ù Ó A ×
ÙÑÔÐ ÕÙ
sen A = cos (90◦
− A) ,
cos A = sen (90◦
− A) ,
tan A = cot (90◦
− A) ,
cot A = tan (90◦
− A) ,
sec A = csc (90◦
− A) ,
csc A = sec (90◦
− A) .



´½¼º½µ
ÑÔÐÓ ½¼º½
ÄÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ ×ÓÒ α Ý βº Ë sen α = 1
2
¸ Ò
Ù ÒØÖ cos α¸
tan α¸ sen β¸ cos β Ý tan βº
ËÓÐÙ
Ò
Ì Ò Ò Ó Ò
Ù ÒØ Ð Ò
Ò Ð Ö Ð
Ò ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÒÓ¸ ÔÓ ÑÓ× Ñ Ò Ö ÙÒ
ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ð
Ù Ð ÙÒ
Ø ØÓ Ý Ð ÔÓØ ÒÙ× Ø Ò Ò ÐÓÒ ØÙ × Ù Ð × ½ ÙÒ Ý ¾
ÙÒ ×¸ Ö ×Ô
Ø Ú Ñ ÒØ ´Ð ÙÒ Ñ × Ù Ð Ô Ö Ð × Ó× Ñ Ò× ÓÒ ×µº È Ö
ÐÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð
Ó× ÒÓ ÑÓ×
Ð
ÙÐ Ö Ð Ú ÐÓÖ bº Î × Ð ÙÖ ½¼º¾
C
B
A
a = 1
b
c =
2
α
β
90◦
ÙÖ ½¼º¾
ÈÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ ×
22
= 1 + b2
.
ÈÓÖ ÐÓ
Ù Ð
b2
= 4 − 1; Ý ÒØÓÒ
× b =
√
3.
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ
cos α =
√
3
2
Ý tan α =
1
√
3
=
√
3
3
.
ÍØ Ð Þ Ò Ó Ð × Ö Ð
ÓÒ × ÕÙ Ü ×Ø Ò ÒØÖ Ð × Ö ÞÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÙÒ Ò ÙÐÓ Ý ×Ù
Ò ÙÐÓ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó Ó Ø Ò ÑÓ×
sen β =
√
3
2
y cos β =
1
2
.
¼

ÈÓÖ ÐØ ÑÓ
tan β =
sen β
cos β
=
√
3
2
1
2
=
√
3.
ÑÔÐÓ ½¼º¾
Ë Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ A × 35◦
Ý × × ÕÙ sen A ≈ 0.57 Ý cos A ≈ 0.82¸ Ò
Ù ÒØÖ ÐÓ×
Ú ÐÓÖ × × ÒÓ¸
Ó× ÒÓ Ý Ø Ò ÒØ Ð Ò ÙÐÓ
ÙÝ Ñ × 55◦
º
ËÓÐÙ
Ò
Ò Ö ÐÑ ÒØ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð × Ö ÞÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× ÒÓ ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÓÒ Ð ×¸ ÔÓÖ
ÐÐÓ ØÓÑ ÑÓ× ÔÖÓÜ Ñ
ÓÒ × ØÓÑ Ò Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÓ
Ö ×
Ñ Ð ×º ÍØ Ð Þ Ö ÑÓ×
Ð × ÒÓ Ô Ö Ð ×
ÒØ × Ü
Ø × Ý ≈ Ô Ö Ð ×
ÒØ × ÔÖÓÜ Ñ ×º Î × ¸
× × Ö ÕÙ Ö ¸ Ð ÒÓØ º½ Ò Ð Ô Ò ¾ º
ÓÑÓ 55◦
= 90◦
− 35◦
¸ ÙØ Ð Þ ÑÓ× Ð × ÒØ × ÔÓÖ
Ó ÙÒ
Ò
sen 55◦
= cos 35◦
≈ 0.82,
cos 55◦
= sen 35◦
≈ 0.57.
Ë ÑÓ× ÕÙ Ð Ø Ò ÒØ ÙÒ Ò ÙÐÓ × ÔÙ ÐÐ Ö Ö Ð Þ Ò Ó Ð Ú × Ò Ð × ÒÓ ÔÓÖ
Ð
Ó× ÒÓ
Ó Ò ÙÐÓº Ì Ò ÑÓ× ÒØÓÒ
×
tan 55◦
≈
0.82
0.57
≈ 1.44.
ÑÔÐÓ ½¼º¿
Ë sen 27◦
≈ 0.45 Ý sen 63◦
≈ 0.89 Ò
Ù ÒØÖ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ØÓ × Ð × Ö Ð
ÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ¹
ØÖ
× ÐÓ× Ó× Ò ÙÐÓ×º
ËÓÐÙ
Ò
ÓÑÓ 27◦
+ 63◦
= 90◦
¸ ÐÓ× Ó× Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×º ÒØÓÒ
× ÐÐ ÑÓ× Ð × Ö Ð ¹

×
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × 27◦
Ý ÙØ Ð Þ ÑÓ× Ð × Ö Ð
×
ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ô Ö Ò
ÓÒØÖ Ö Ð × Ö Ð
× 63◦
cos 27◦
= sen (90◦
− 27◦
) = sen 63◦
≈ 0.89,
tan 27◦
≈
0.45
0.89
≈ 0.51, csc 27◦
≈
1
0.45
≈ 2.22,
sec 27◦
≈
1
0.89
≈ 1.12, cot 27◦
≈
1
0.51
≈ 1.96.
ÓÖ ÐÐ ÑÓ× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð × Ö Ð
ÓÒ × Ð Ò ÙÐÓ
ÓÒ Ñ 63◦
cos 63◦
= sen 27◦
≈ 0.45, tan 63◦
= cot 27◦
≈ 1.96,
cot 63◦
= tan 27◦
≈ 0.51, sec 63◦
= csc 27◦
≈ 2.22,
csc 63◦
= sec 27◦
≈ 1.12.
½

Ö

Ó×
Ì Ò Ò Ó Ò
Ù ÒØ ÕÙ α Ý β ×ÓÒ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ¸ Ò
ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ × ÒÙÑ Ö Ð ×
ÓÒ×ØÖÙÝ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ð Ò ÓÖÑ
Ò
Ý Ò
Ù ÒØÖ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÐØ ÒØ × Ð × Ö Ð
× ×
ÓÒØ ÒÙ
Ò
sen α¸ cos α¸ tan α¸ sen β, cos β Ý tan βº
½º cos α = 1
2
,
¾º cos α =
√
3
2
,
¿º tan β = 2¸
º sec β = 1.5º
¾

Ä

Ò ½½
Ê Ð
× Ò ÙÐÓ× ×Ô
Ð ×
Ò ×Ø Ð

Ò Ú Ö ÑÓ× Ð × Ö Ð
ÓÒ Ñ 45◦
, 60◦
Ý 30◦
¸ ÙØ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓÔ × ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× × ×
Ð × Ý ÕÙ Ð Ø ÖÓ×º Ì Ñ Ò Ö ÑÓ×
Ð ÙÒÓ× Ö

Ó× ÔÐ

Òº
Ê Ð
× Ð Ò ÙÐÓ
ÙÝ Ñ × 45◦
º
ÌÓÑ ÑÓ× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ × ×
Ð × ∆ACB Ö ÔÖ × ÒØ Ó Ò Ð ÙÖ ½½º½ ×Ù× Ó×

Ø ØÓ× Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ ÐÓÒ ØÙ a¸ Ð Ò ÙÐÓ Ò C × Ö
ØÓ Ý ×Ù× Ó× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× Ñ Ò
45◦
Ý ×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó×º Î × Ð Ð

Ò Ò Ð
Ù Ð ×ØÙ ÑÓ× Ð × ÔÖÓÔ ×
ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× × ×
Ð ×º È Ö Ò
ÓÒØÖ Ö Ð × Ö ÞÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
×¸ Ú ÑÓ× ÜÔÖ × Ö Ð
ÔÓØ ÒÙ× Ò Ø ÖÑ ÒÓ× a
A
B
c = a
√
2
a
C
a
45◦
45◦
90◦
c2
= a2
+ a2
= 2a2
,
c =
√
2a2,
c = a
√
2.
ÙÖ ½½º½
ÈÓÖ Ð × Ò
ÓÒ × Ð × Ö Ð
× Ø Ò ÑÓ×
sen 45◦
=
a
a
√
2
=
1
√
2
=
√
2
2
,
tan 45◦
=
a
a
= 1.
ÍØ Ð Þ ÑÓ× Ð × Ö Ð
ÓÒ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ×
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ý Ð × Ö Ð
ÓÒ × Ö
ÔÖÓ
× Ô Ö

Ð
ÙÐ Ö Ð × Ö Ð
× Ö ×Ø ÒØ ×
cos 45◦
= sen 45◦
=
√
2
2
, cot 45◦
= tan 45◦
= 1,
¿

sec 45◦
=
1
cos 45◦
=
√
2 Ý csc 45◦
= sec 45◦
=
√
2.
Ê Ð
ÓÒ Ñ 60◦
Ý 30◦
Ò Ð ÙÖ ½½º¾ Ö ÔÖ × ÒØ ÑÓ× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ ∆ABCº ËÙ× ØÖ × Ò ÙÐÓ× ∠CAB¸
∠ABC Ý ∠BCA ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × Ý ×Ù Ñ × 60◦
º ËÙ× Ð Ó× ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ × Ý Ø Ò Ò
ÐÓÒ ØÙ lº
ÈÓÖ ÔÖÓÔ × ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ð Ø ÖÓ×¸ Ð ÐØÙÖ CD ×Ó Ö Ð Ð Ó AB × ×
ØÖ Þ
Ð Ò ÙÐÓ ∠BCA Ý Ú Ð Ð Ó AB Ò Ó× × Ñ ÒØÓ×
ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ñ ¸
l
2
´ Ú ×
Ð Ø ÓÖ Ñ º Ò Ð Ð

Ò µº
A B
C
30◦
D
60◦
l
h
90◦
ÙÖ ½½º¾
Ð ØÖ Ò ÙÐÓ △ADC × Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ò D¸ Ð ÐÓÒ ØÙ ×Ù ÔÓØ ÒÙ× × l¸ ÙÒÓ ×Ù×

Ø ØÓ× Ñ
l
2
Ý Ð ÓØÖÓ hº
Í× ÑÓ× Ð Ø ÓÖ Ñ È Ø ÓÖ × Ô Ö
Ð
ÙÐ Ö h Ò Ø ÖÑ ÒÓ× Ð Ð Ó l
l2
= h2
+
l
2
2
= h2
+
l2
4
,
h2
= l2
−
l2
4
=
4l2
− l2
4
=
3l2
4
,
h =
3l2
4
=
√
3
2
l.
ÈÓÖ Ð × Ò
ÓÒ × Ð × Ö ÞÓÒ × ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ
× Ó Ø Ò ÑÓ×

A
C
30◦
B
l
2
60◦
l
√
3
2
l
90◦
sen 60◦
=
√
3
2
l
l
=
√
3
2
, cos 60◦
=
l
2
l
=
1
2
,
tan 60◦
=
√
3
2
l
l
2
=
√
3¸ cot 60◦
=
l
2
√
3
2
l
=
√
3
3
¸
sec 60◦
=
l
l
2
= 2, csc 60◦
=
l
√
3
2
l
=
2
√
3
3
.
ÙÖ ½½º¿
ÄÓ× Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ñ Ò 30◦
Ý 60◦
×ÓÒ
ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× ×
sen 30◦
= cos 60◦
=
1
2
, cos 30◦
= sen 60◦
=
√
3
2
,
tan 30◦
= cot 60◦
=
√
3
3
, cot 30◦
= tan 60◦
=
√
3
sec 30◦
= csc 60◦
=
2
√
3
3
, csc 30◦
= sec 60◦
= 2
ÑÔÐÓ ½½º½
Ò
Ù ÒØÖ Ð Ú ÐÓÖ x =
√
2 sen 45◦
(2 csc 45◦
− sen 30◦
)º
ËÓÐÙ
Ò
Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ð × Ö Ð
× Ó Ø Ò ÑÓ×
x =
√
2 sen 45◦
(2 csc 45◦
− sen 30◦
) = (
√
2)
√
2
2
2
√
2 −
1
2
,
x = 2
√
2 −
1
2
=
4
√
2 − 1
2
.
ÑÔÐÓ ½½º¾
Ò
Ù ÒØÖ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ð ÙÖ ½½º
M N
L
n
=
3

Ñ
π
4
m
l
90◦
ÙÖ ½½º

ËÓÐÙ
Ò
Ê
ÓÖ ÑÓ× ÕÙ
Ù Ò Ó ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ù Ó× ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö
Ø Ò ÙÐÓ Ñ 45◦
¸
×Ø ØÖ Ò ÙÐÓ × × ×
Ð × × ¸ ÐÓ× Ó×
Ø ØÓ× ×ÓÒ
ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º
ÒØÓÒ
× Ø Ò ÑÓ× Ð × Ù ÒØ × ×Ø Ñ
Ù
ÓÒ ×
m = l, m2
+ l2
= 9.
Ê ÑÔÐ Þ Ò Ó Ð ÔÖ Ñ Ö
Ù
Ò Ò Ð × ÙÒ Ø Ò ÑÓ×
2m2
= 9, m =
9
2
.
Ë ÑÔÐ
Ò Ó × Ø Ò ÕÙ
m =
3
√
2
=
3
√
2
2
.
Ë × Ò ÑÓ× ÔÓÖ P Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
P = 3 + m + l = 3 + m + m = 3 + 2m
= 3 + 2
3
√
2
2
= 3 + 3
√
2 = 3(1 +
√
2)
Ñ.
Ö

Ó×
½º À ÐÐ Ð × × × Ö Ð
ÙÝ × Ñ × ×ÓÒ
π
6
Ý
π
3
º
¾º ÍÒ ÜØÖ ÑÓ ÙÒ Ð Ñ Ö ×ÓÔÓÖØ × Ö
ÓÐÓ
Ó Ò Ð ÜØÖ ÑÓ ×ÙÔ Ö ÓÖ
ÙÒ ÔÓ×Ø Ø Ð Ò
Ó ¿ Ñ ØÖÓ× ÐØÙÖ Ý Ð ÓØÖÓ Ö× Ò Ð ×Ù ÐÓ ÓÖÑ Ò Ó
ÙÒ Ò ÙÐÓ 45◦

ÓÒ Ð ×Ù ÐÓº ú Ù Ð × Ö Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ñ Ö
¿º Ò
Ù ÒØÖ Ð Ú ÐÓÖ x = 3 sen2
(45◦
) − 5 sen 30◦
º
º × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ò Ú Ð Ð ×Ù ÐÓ Ý ÙÒ ×Ø Ò
º Ñ ØÖÓ× Ð × ÙÒ
×Ø Ò Ö × Ú ×Ù ÔÙÒØ º Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò Ð ×Ù ÐÓ Ý Ð Ð Ò ÕÙ Ú

Ó ÔÙÒØÓ ×Ø Ð ÔÙÒØ Ð ×Ø × 30◦
º Ð
ÙÐ Ð ÐØÙÖ Ð ×Ø º

90 lecciones-de-trigonometria-y-geometria-analitica

90 lecciones-de-trigonometria-y-geometria-analitica

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a 90 lecciones-de-trigonometria-y-geometria-analitica

Semelhante a 90 lecciones-de-trigonometria-y-geometria-analitica (10)

Último

Último (8)

90 lecciones-de-trigonometria-y-geometria-analitica