2. Brojevni sistemi
Brojevni sistem je skup pravila
formulisanih u cilju izražavanja
kvantitativnih svojstava koda brojnih
podataka
3. Kod
U komunikacijama, kod je skup pravila po
kojima se jedna informacija (slovo, reč...)
konvertuje u neki objekat ili akciju, koji ne
moraju biti iste prirode.
Primer koda je telegrafski kod, po čijim
pravilima se svako slovo engleske abecede
reprezentuje kombinacijom kratkih i dugih
zvučnih signala iste frekvencije, što je
pogodno za transfer putem različitih nosača
(žica, radio odašiljač, izvor svetlosti itd).
4. Svi podaci u računaru su predstavljeni u binarnom
brojevnom sistemu. To je pozicioni brojevni sistem
sa osnovom dva, odnosno pozicioni brojevni sistem
koji poznaje samo dve različite cifre: 0 (nulu) i 1
(jedinicu).
Iz tog razloga, nadalje će akcenat biti stavljen najviše
na proučavanje binarnog brojevnog sistema.
Pored njega biće pomenuti i heksadecimalni i
oktalni sledeći brojevni sistemi.
6. Podela brojevnih sistema
Nepozicioni brojevni sistemi
Simbol koji označava broj (cifra) ima istu
vrednost nezavisno od toga gde se nalazi u
zapisu broja.
Primer za nepozicioni brojevni sistem su
rimski brojevi.
Vrednost zapisa broja računa se tako što se
cifre saberu.
Jedini izuzetak je kada je manja cifra levo od veće,
onda se ona od te veće oduzima, namesto njih
dve u zbir ulazi rezultat tog oduzimanja.
7. Podela brojevnih sistema
Pozicioni brojevni sistemi:
Simbol koji označava broj (cifra) ima
različitu vrednost u zavisnosti na kojoj
se poziciji nalazi u zapisu broja.
Primer za pozicioni brojevni sistem je
dekadni (naš) brojevni sistem, binarni,
heksadekadni itd.
8. Prevođenje brojeva između
različitih brojevnih sistema
S obzirom na to da je za poznavanje
funkcija računara najbitnije poznavanje
binarnog brojevnog sistema, a da se u
svakodnevnom životu koristi dekadni
BS, akcenat će biti stavljen upravo na
prevođenje brojeva između ova dva
brojevna sistema.
9. Prevođenje brojeva između
različitih brojevnih sistema
Osim binarnog, biće obrađena još dva BS,
takođe bliska unutrašnjosti računara:
heksadecimalni brojevni sistem (osnova:
16) i oktalni brojevni sistem (osnova: 8).
Pokazaće se da su ova dva brojevna
sistema srodna binarnom, te da su postupci
prevođenja između ova tri brojevna sistema
gotovo trivijalni.
10. Prevođenje brojeva između
različitih brojevnih sistema
Zapis broja u binarnom brojevnom
sistemu najjednostavnije je pokazati na
primeru.
U nerednoj tabeli su dati zapisi
određenih brojeva u dekadnom i
binarnom brojevnom sistemu.
11. Prevođenje brojeva između
različitih brojevnih sistema
Dekadni brojevni sistem Binarni brojevni sistem
0 000
1 001
2 010
3 011
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
14. binarni → dekadni
Zaključak: zna se koja binarna
cifra nosi koliku vrednost (ako je njena
težina p, onda ona nosi vrednost 2p).
Uzmu se u obzir samo jedinice, i saberu
im se pripadajuće vrednosti.
Na sličan način prevodi se i
razlomljeni deo binarnog broja.
16. Dekadni u binarni
Ova transformacija biće pokazana na konkretnom
primeru (na način na koji se u praksi najčešće izvodi).
Konverzija iz binarnog u dekadni zasnivala se na
množenju (binarna cifra se množila stepenom
osnove, i onda dodavala na sumu).
Logično je da se suprotna transformacija zasniva na -
deljenju.
I u ovom slučaju prevodimo nezavisno ceo deo broja i
njegov razlomljeni deo a zatim prevedeni razlomljeni
deo dopisujemo do prevedenog celog dela broja.
17. Dekadni u binarni
Primer: Prevedimo broj 44 iz dekadnog u binarni
brojni sistem
44:2 = 22 ostatak: 0 Ostatak 0 biće cifra najmanje
težine binarnog broja. Upisujemo je na poziciju
najmanje težine.
22:2 = 11 ostatak: 0
11:2 = 5 ostatak: 1
5:2 = 2 ostatak: 1
2:2 = 1 ostatak: 0
1:2 = 0 ostatak: 1
Postupak se završava kada se u deljenju dođe do
nule (1:2=0, ost. 1)
Rezultat: Dekadni broj 44 preveli smo u binarni broj
101100
18. Dekadni u binarni
Postupak prevođenja razlomljenog dela je sličan
prevođenju celog broja, osim što se sada:
umesto deljenja, vrši množenje ciljnom osnovom
(dakle množenje sa 2), i
umesto da se gleda ostatak pri deljenju, ovde se
gleda da li se, pri množenju dvojkom, pojavila
jedinica ispred zareza (u celom delu broja), i ako
se pojavila - ona se upisuje u dobijeni binarni broj.
Nakon upisivanja jedinice u dobijeni binarni broj,
nadalje se množi samo razlomljni deo broja.
19. Dekadni u binarni
Primer: Prevodimo dekadni broj 0,84375 u binarni
broj.
0,84375·2=1,6875 Prilikom množenja dvojkom,
pojavila se jedinica u celobrojnom delu. To je prva
cifra prevedenog binarnog broja iza decimalnog
zareza, a na mestu gde je dekadni broj, pišemo samo
razlomljeni deo a to je 0,6875
0,6875·2=1,375
0,375·2=0,75
0,75·2=1,5
0,5·2=1,0
0,0
Prevođenje prekidamo kada dekani broj postane 0.
Dobijeni prevedeni binarni broj je sada: 0,11011
20. Računske operacije sa binarnim
brojevima
Aritmetičke operacije u binarnom sistemu obavljaju
na način potpuno identičan onome na koji smo navikli
u dekadnom.
U memoriji računara binarni brojevi sa pamte kao
označeni i neoznačeni.
Kod označenih brojeva se jedan bit odvaja za
predstavljanje znaka broja (0 za pozitivne i 1 za
negativne brojeve). Neoznačeni brojevi su
pordazumevano pozitivni (jer ne postoji bit koji
označava znak broja).
Ovde će biti prikazane 4 osnovne aritmetičke
operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i
deljenje) nad dva neoznačena binarna broja i
sabiranje označenih binarnih brojeva.
21. Sabiranje neoznačenih binarnih
brojeva
Treba npr. sabrati dekadne brojeve 55 i 11
odnosno odgovarajuće binarne vrednosti:
(55)10 = (110111)2
(11)10 = (001011)2
Sabiramo cifre počev od mesta najmanje
težine (prvo sa desne strane).
22. Sabiranje neoznačenih binarnih
brojeva
1 + 1 daju dekadnu vrednost 2 odnosno
binarnu vrednost 10. U ovom slučaju za
rezultat pišemo cifru 0 i imamo prenos 1
na mesto veće težine:
1
1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0
23. Sabiranje neoznačenih binarnih
brojeva
Sabiramo sledeću cifru: 1 + 1 + 1 = 3 (dekadno)
odnosno 11 (binarno). U ovom slučaju se za rezultat
piše binarna cifra 1 i na mesto veće težine se prenosi
1:
1
1 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
0 0
Istom logikom sabiranje se vrši do kraja.
26. Oduzimanje neoznačenih
binarnih brojeva
Od broja 100111 treba oduzeti broj
1011. Da bi bilo jasnije drugi broj
dopunjujemo vodećim 0 sa leve strane.
1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
27. Oduzimanje neoznačenih
binarnih brojeva
Oduzimanje započinjemo od mesta najmanje
težine.
Kod prve dve cifre jasno je da je 1 - 1 = 0 pa
cifru 0 pišemo kao rezultat. Kod treće cifre je
1 - 0 = 1 pa 1 pišemo kao rezultat.
1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
1 0 0
28. Oduzimanje neoznačenih
binarnih brojeva
Ali, kod četvrte cifre od 0 treba oduzeti 1
što nije moguće pa u tom slučaju
pozajmljujemo jednu jedinicu sa prvog
sledećeg mesta koje nema vrednost 0
(odnosno ima vrednost 1) a to je šesta cifra
prvog broja.
Kada sa neke pozicije pozajmimo 1 i
prebacimo na prvo sledeće mesto manje
težine, na tom mestu se dobija vrednost 2
(odnosno binarno 10).
30. Oduzimanje neoznačenih
binarnih brojeva
Kako još uvek nismo došli do
odgovarajućeg mesta (četvrta cifra) od pete
cifre (koja trenutno ima vrednost 10, dekadno
2) pozajmimo 1 (na tom mestu ostaje 1) pa
na mesto sledeće manje težine dobijamo
vrednost 10 (dekadno2).
Sada možemo da od 10 (dekadno 2)
oduzmemo 1 pa dobijamo rezultat 1.
33. Množenje neoznačenih binarnih
brojeva
Treba pomnožiti binarne brojeve 110111 i
1011.
Množenje binarnih brojeva se izvodi na
potpuno isti način kao i množenje dekadnih
brojeva pa je:
35. Deljenje neoznačenih binarnih
brojeva
Radi podsećanja, prvo će biti pokazan primer
dekadnog deljenja. Broj 3742 delimo sa 27:
3742 : 27 =
Pogleda se prva cifra (cifra najveće težine)
deljenika. Da li je veća od delioca? U našem slučaju
nije (3 nije veće od 27).
Ili kako se to drugačije kaže: 27 se ne sadrži u 3
ni jednom, odnosno 0 puta.
U skladu sa ovim mogli bismo u rezultatu da
pišemo nulu, što ne menja tačnost, ali se to preskače
jer nema mnogo smisla.
36. Deljenje neoznačenih binarnih
brojeva
Onda se uzima sledeća cifra deljenika (7)
zajedno sa prvom, i posmatra se kombinacija (37).
Da li je ta kombinacija veća od delioca (da li se delioc
bar jednom sadrži u njoj)?
Ako ne, uzećemo i treću cifru. Ali kod nas se
sadrži. 27 (delioc) se u 37 ne sadrži više od jednom,
pa pišemo 1 kao prvu cifru rezultata...
Onda cifrom rezultata koju smo dobili množimo
delioc. 1x27=27.
Rezultat množenja potpisujemo ispod grupe (37).
Od grupe (37) oduzmemo potpisani broj (27),
zapišemo rezultat.
39. Deljenje neoznačenih binarnih
brojeva
Kada nema više cifri deljenika (što se ovde desi kada
dopišemo dvojku), na rezultat stavljamo zarez, a dole
dalje dopisujemo nule (jer deljenik može da se
posmatra kao 3742,0000...), i računamo razlomljeni
deo.
40. Deljenje neoznačenih binarnih
brojeva
Naisti način se izvodi i deljenje binarnih brojeva.
Podelimo sada binarne brojeve 110111 i 1011:
Pošto su brojevi deljivi ne postoji razlomljeni deo, ali,
kada brojevi nisu deljivi stavljamo zarez i dopisujemo
0 pa nastavljamo sa deljenjem i izačunavamo
razlomljeni deo broja.
