7. Esempio: reticolo quadrato bidimensionale Reticolo quadrato 2-D con due elettroni per sito. Reticolo reciproco quadrato di lato 2 /a. no. k in BZ = no. punti reticolo, quindi si possono sistemare esattamente due elettroni: il volume (area) della sfera di Fermi eguaglia quello della BZ. k F > /a quindi gli elettroni parzialmente fuoriescono dalla I zona.
8. Superfici di Fermi e zone di Brillouin (caso bidimensionale) Costruzione delle BZ occupate (A), (B) e (C). Costruzione di Harrison (D).
9. Casi tridimensionali Superficie di Fermi nel caso di tre elettroni per sito in un cristallo fcc . La sup. non interseca la prima zona ed è ripartita tra la seconda e la terza. Notare la differenza tra schema esteso e quello ridotto.
13. Elettroni fortemente legati Consideriamo gli elettroni del solido come come appartenenti ai singoli atomi, quindi descritti da funzioni d’onda atomiche: metodo tight-binding Funzioni di Wannier : set di funzioni ortonormali costruite da funzioni di Bloch e localizzate sui siti atomici. Supponiamo di avere trovato le autofunzioni dell’Hamiltoniana che soddisfano il teorema di Bloch:
14. Modello Tight Binding Scriviamo l’eq. di Schroedinger per le funzioni di Wannier L’Hamiltoniana si può limitare alla n-esima banda, come verrà dimostrato nel seguito. L’espressione precedente è utile se la funzione di Wannier in R presenta un’ampiezza trascurabile a distanze maggiori di quella a primi vicini, cioè si possono trascurare elementi di matrice del tipo (a meno che R e R ’ siano primi vicini):
16. Modello Tight Binding “ hopping term ” energia d’interazione tra elettroni su siti differenti “ on-site term ” energia necessaria per “piazzare” un elettrone su un sito insieme di vettori che “puntano” ai primi vicini di R
17. Modello Tight Binding (semplice soluzione) La semplicità della soluzione precedente potrebbe suggerire un metodo molto facile per determinare, approssimativamente, la struttura a bande di solidi reali: basta inserire sufficienti termini in R nella H TB . Tuttavia in presenza di bande degeneri lo sviluppo di Wannier non è esponenzialmente localizzato e non si può troncare lo sviluppo.
![Elettroni quasi liberi Benchè l’approssimazione di ignorare l’interazione elettrone-elettrone e considerare il potenziale dei nuclei trascurabile sembri poco realistica, (approssimazione ad elettroni quasi liberi, Peierls 1930) le superfici di Fermi determinate sperimentalmente (1956) coincidevano molto bene con le previsioni del modello. Consideriamo un elettrone in un potenziale debole, come un’onda che “viaggia” nel reticolo. Come già visto sarà soggetta a scattering quando ,[object Object],[object Object],[object Object]](https://image.slidesharecdn.com/08quasilibtightbind-1210622334777984-8/85/Elettrone-quasi-liberi-tight-binding-1-320.jpg)
