Tsikaloudakis

1. ΤΤΣΣΙΙΚΚΑΑΛΛΟΟΥΥΔΔΑΑΚΚΗΗΣΣ
ΓΓΙΙΩΩΡΡΓΓΟΟΣΣ
Τεύχος o1
Ιανουάριος 2010
 Βασικές Γνώσεις
 Συλλογές Ασκήσεων
Επιλεγμένες ασκήσεις :
βασικές - μέτριες - έξυπνες ,
για να γίνεις άριστος και
ταλαντούχος στα
μαθηματικά που
χρειάζεσαι για να επιτύχεις
στις πανελλήνιες

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
2
Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
MAΘHMATIKA
ΓΓ΄΄ ΛΛΥΥΚΚ ΕΕΙΙ ΟΟΥΥ
ΠΡΩΤΟΤΥΠΑ
ΘΕΜΑΤΑ
ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
900 σελίδες με
πρωτότυπα Θέματα
κατασκευασμένα από
το συγγραφέα
Ένα βιβλίο για να γίνεις άριστος
73 Κριτήρια Αξιολόγησης
με πρωτότυπα θέματα
(λυμένα) και
ΘΕΜΑΤΑ (2ο , 3ο, 4ο)

3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Σελίδα
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Επίλυση τύπων -πρωτοβάθμια παραμετρική εξίσωση ---------------- 6
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
Παράλληλες ευθείες - άθροισμα γωνιών τριγώνου -------------------12
Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Διανύσματα - ευθεία:
 Τυπολόγιο ------------------------------------------------------------------28
 Επιλεγμένες ασκήσεις---------------------------------------------------- 38
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Πρωτότυπα - Πιθανά θέματα - πανελληνίων -----------------------------50
 CCooppyyrriigghhtt ΓΓ.. ΤΤσσιικκααλλοουυδδάάκκηηςς
Τηλ. 69 73 82 76 22
ΣΗΜΕΙΩΣΗ
Οι ΑΣΚΗΣΕΙΣ και τα ΘΕΜΑΤΑ που έχουν το σήμα  είναι
κατασκευασμένα από τον συγγραφέα και δεν επιτρέπεται η οικει-
οποίηση τους από τρίτους και παρουσίαση σε βιβλίο ή σε φωτο-
τυπίες .
Η παρουσία των ασκήσεων αυτών σε άλλα βιβλία , αυτούσιες ή
τροποποιημένες , είναι μεταγενέστερη .
Απαγορεύεται η αναδημοσίευση και γενικά η μερική ή ολική
αναπαραγωγή και μετάδοση σε τρίτους έστω και μιας σελίδας
του παρόντος βιβλίου κατά παράφραση ή διασκευή με οποιο-
δήποτε τρόπο (μηχανικό, ηλεκτρονικό, φωτοτυπικό κ.τ.λ.) χωρίς
την γραπτή άδεια του συγγραφέα. Ν. 2121/ 93, άρθρο 51.
Οι παραβάτες διώκονται (άρθ.13) και τους επιβάλλονται :
κατάσχεση, αστικές και ποινικές κυρώσεις (άρθρο 64-66).

4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
4
ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟ ΓΟΥ
Πιστεύω ότι η μάθηση και η κατανόηση των μαθηματικών προκύπτει μέσα
από την εξάσκηση και λύση ασκήσεων , όχι πολύπλοκων και εξεζητημένων,
αλλά ασκήσεων απλών συνδυαστικών που περιέχουν γνώσεις από πολλά
κεφάλαια των μαθηματικών .
Αυτός είναι και ο κύριος στόχος του παρόντος περιοδικού.
Με πολλές ασκήσεις απλές συνδυαστικές , να μπορέσει ο μαθητής να κάνει
έλεγχο των γνώσεων του και να εμπεδώσει σε βάθος τη χρήση και την αξία
των θεωρημάτων και ιδιοτήτων που εμπεριέχονται στα σχολικά βιβλία.
Από τα σχολικά βιβλία, ως επί το πλείστον , απουσιάζουν σε κάθε κεφάλαιο
τέτοιες ασκήσεις και οι μαθητές επιδίδονται στη λύση ασκήσεων απλής εφαρ-
μογής της αντίστοιχης διδακτικής ενότητας.
Για τους συγγραφείς των σχολικών βιβλίων επικρατεί επίσης η λάθος αντί-
ληψη, ότι πρέπει να είναι λιτά με μικρό όγκο και συμπύκνωση της ύλης.
Αυτό είναι και το μέγα λάθος , που τα κάνει δυσνόητα και ακατάλληλα στο να
μπορέσει ο μαθητής, μόνος του, χωρίς δάσκαλο και φροντιστήρια να μάθει
μαθηματικά.
Από την πείρα των 32 χρόνων μου πάνω στον πίνακα και την παρακολού-
θηση πολλών μαθητών σε ατομικό επίπεδο, πιστεύω ότι ένα σχολικό βιβλίο
πρέπει :
α. Να περιέχει περιορισμένη ύλη , αναλυτικά γραμμένη.
β. Η κάθε έννοια να συνοδεύεται από πληθώρα παραδειγμάτων , χωρισμένα
σε απλά βασικά και συνδυαστικά .
γ. Σε κάθε κεφάλαιο να υπάρχει πληθώρα ασκήσεων χωρισμένες σε τέσσε-
ρις κατηγορίες:
Η 1η κατηγορία να περιέχει απλές εφαρμογές της διδακτικής ενότητας.
Η 2η κατηγορία να περιέχει απλές συνδυαστικές ασκήσεις , για τη λύση των
οποίων να απαιτούνται απλές γνώσεις και προηγούμενης θεωρίας.
Η 3η κατηγορία να περιέχει επαναληπτικές ασκήσεις που να καλύπτουν όλη
την προηγηθείσα θεωρία .
Οι τρεις αυτές κατηγορίες να αποτελούνται από λίγες ασκήσεις, ώστε να προλα-
βαίνει ο μαθητής να τις επεξεργαστεί όλες για το επόμενό μάθημα .
Η 4η κατηγορία να αποτελείται από μια μεγάλη συλλογή ασκήσεων ώστε,
ο μαθητής με μεράκι να έχει υλικό για καλλιέργεια του ταλέντου του.
Βασικός στόχος στο περιοδικό αυτό είναι η 4η κατηγορία ασκήσεων, όπως
παραπάνω έγινε η διάρθρωση που πρέπει να έχει το σχολικό βιβλίο.
Ο όγκός ενός βιβλίου (με περιορισμένη περιεχόμενη ύλη ) δεν πρέπει να είναι
πανάκεια ούτε πρέπει να φοβίζει. Αντιθέτως πρέπει να θεωρείται πλούτος
και δεξαμενή γνώσεων.
Σε κάθε τεύχος του παρόντος περιοδικού, θα υπάρχουν άρθρα τα οποία θα
αναφέρονται σε με μία διδακτική ενότητα από τα σχολικά μαθηματικά και
θα γίνεται προσπάθεια παρουσίασης μεγάλης γκάμας ασκήσεων.

5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
5
Επειδή τελικός στόχος, εκτός από την αρίστευση στα μαθηματικά και καλλιέ-
ργεια ταλέντου, είναι και οι πανελλήνιες εξετάσεις, σε κάθε τεύχος θα
παραθέτουμε θέματα πανελληνίων εξετάσεων, βασικά πρωτότυπα, σε επιμέ-
ρους λεπτομέρειες και σε συνδυασμό της ύλης.
Πιστεύω ακόμα ότι ο κύκλος του σχολείου και γενικά της μάθησης με την
σημερινή της μορφή έχει κλείσει και πρέπει να γίνει μια αλλαγή εκ θεμελίων
τόσο στη μορφή του σχολείου όσο και στην διάρθρωση και τον τρόπο παρου-
σίασης της διδασκόμενης ύλης.
Σε επόμενο τεύχος θα γίνει προσπάθεια παρουσίασης ενός νέου μοντέλου
εκπαίδευσης, που θα είναι συμβατό με την σημερινή εξέλιξη της κοινωνίας.
ΑΘΗΝΑ
Ιανουάριος 2010
Γ ι ώ ρ γ ο ς Τ σ ι κ α λ ο υ δ ά κ η ς
Μαθηματικός

6. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
6
Είναι γνωστή σε όλους η δυσκολία επίλυσης τύπων και παραμετρικών
εξισώσεων , ακόμα και πρωτοβάθμιων, από τους μαθητές της Α΄ Λυκείου
και όχι μόνο. Ακόμα πολλοί μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την
έννοια της αντικατάστασης καθώς και την πρόσθεση κατά μέλη
ισοτήτων, διαφορών και ανισοτήτων.
Στο παρόν άρθρο γίνεται μια προσπάθεια βαθύτερης και πιο εκτεταμένης
θεώρησης του θέματος αυτού.
Ένας τύπος (π.χ. G x y α β( , , , ,...) )με πολλές μεταβλητές δεν είναι πάντοτε
επιλύσιμος ως προς κάθε μεταβλητή του ή ακόμα είναι επιλύσιμος υπό
ορισμένες συνθήκες.
Για παράδειγμα ο τύπος:
( )  3 3
α β t α β, , , α β t (1)
Είναι επιλύσιμος ως προς t με:

 2 2
1t
α αβ β
, για  α β 0
ενώ για α β 0  αληθεύει για κάθε t  .
Με κατάταξη ως προς α η (1) γίνεται:
   3 3
tα α β t β 0 (2)
Η επίλυση του τύπου (2) ως προς α δεν είναι πάντοτε δυνατή και σε πολλές
περιπτώσεις είναι πολύπλοκη.
Είναι πολύ σημαντικό οι μαθητές της Α΄ Λυκείου να μάθουν σωστή επίλυση
τύπων . Για εξάσκηση παραθέτουμε τις παρακάτω ασκήσεις
1. Να επιλυθεί ο τύπος o t    , ως προς t
2. Να επιλυθεί ο τύπος
1 2
1 1 1
R R R
  ,
α. ως προς 1R , β. ως προς R
3. Να επιλυθεί ο τύπος 2 2 2 2 3 3
x 3 3 y         ,
ως προς   .
4. Αν
x y
x y


 

 
3 2 9
5 2 7
, να βρεθούν οι x,y συναρτήσει του  .
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ
Α. Επίλυση τύπων - μέθοδος αντικατάστασης
Επίλυση τύπων και πρωτοβάθμια
παραμετρική εξίσωση

7. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
7
5. Αν
xy y
xy y

 
 

 2
, να βρεθούν οι x,y συναρτήσει των  ,β .
6. Να επιλυθεί ο τύπος x (x )( ) x      1 1 , ως προς x
7. Αν για τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα AB , B ,  μιας
ευθείας ισχύουν :
AB = 2B = 3  και A cm  44 ,
να βρείτε το μήκος των AB , B ,  .
8. Αν για τους αριθμούς x , y , z , ισχύουν:
x = 3y = 4z = 62 και x +y +z +  1 ,
να υπολογιστούν οι x , y , z , .
9. Αν   0 ή   0 , να αποδειχθεί ότι υπάρχει πραγματικός
αριθμός ox ώστε να ισχύει:
2 2
1o o(1 x ) ( x )   
10. Αν   ή   ή   , να αποδειχθεί ότι υπάρχει
πραγματικός αριθμός ox , ώστε να ισχύει:
2 2 2
o( )x + +             
11. Αν 

 4
4
1 47 , να αποδείξετε ότι 

  1 3
12. Αν είναι       
2 23 3
3α 4α 3β 4β 1, να αποδείξετε ότι:
2 2
α β 1  ή  
2 2 1
α β
4
13. Έστω ότι οι αντίστοιχες τιμές x , y δύο μεγεθών A,B σε
ένα φυσικό φαινόμενο συνδέονται με την σχέση:
2x 3y
2x 6


, x [0 ,10] (1)
Να επιλυθεί ο τύπος (1) ως προς x .
14. Να επιλυθεί ο τύπος 2
10xy
x 1


, x [0 ,8] , ως προς x
15. Να επιλυθεί ο τύπος 2
y x 6x 5   , x [0 ,8] , ως προς x

8. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
8
16. Να επιλυθεί ο τύπος 2
y x 4x  , ως προς x
17. Να επιλυθεί ο τύπος
| x | 4
y
| x | 2



, ως προς x
18. Να επιλυθεί ο τύπος y | x | 2  , ως προς x
19. Να επιλυθεί ο τύπος y | x | | x 2|   , ως προς x
20. Να επιλυθεί ως προς x ο τύπος:
1.  ,
,
x 4 x 0
y
x 2 x 0
 

 
, 2.
,
,
x x 1
x 1
y
x x 1
x+1
 
 
 
 
21. Αν 
3 3
1 2
1 2
x x 35
x x 5
 
 
, να υπολογιστεί το γινόμενο 1 2
x x
22. Να αποδείξετε ότι για κάθε x [0,2] η εξίσωση:
2
xy | x | y | y | 0  
έχει ακριβώς μια λύση ως προς y
23. Να αποδείξετε ότι: 
3 2 3
3 2 3
2x x y α
2y xy α
 
 
 x y α 
24. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ
με κάθετες πλευρές β,γ και ένα εγγεγραμμένο σε αυτό τετράγωνο
AΔEZ πλευράς x . Να εκφράσετε το x συναρτήσει των β,γ .
A
B
Γ
Δ
E
Z

9. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
9
25. Να επιλυθεί ως προς x R η εξίσωση:
1. 2 2 2 2 2
(α β 2αβ β )x α β    
2. 2 2
(4α 4αβ 2β 4β 4)x α 1     
26. Να προσδιορίσετε συνθήκη μεταξύ των α,β R , ώστε η εξίσωση:
 2 2 2 2
(α β) (α 1) x α β    
να έχει λύση .
27. Να αποδείξετε ότι για κάθε α R έχει λύση η εξίσωση:
2 2 2 2
(α 4) (α 2α) x α 2      
28. Να αποδείξετε ότι για κάθε α 2 υπάρχει μοναδικός λ 
ώστε να ισχύει: 3 4λ α
6 2λ
 

.
29. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός α , ώστε το
κλάσμα 3α 9
2α 8


, να είναι φυσικός αριθμός.
30. Δίνεται η εξίσωση:
2 2
αβ( x 1) α x β   (1)
Να βρείτε για ποιες τιμές του α,β η (1) :
α. είναι ταυτότητα , ως προς x
β. έχει λύση , ως προς x
31. Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση:
1.
2 2
αβx α β 
2.
2 2
(αβ α β 1)x α β    
32. Να βρεθούν οι λ , μ ώστε να ισχύει:    2 x 1 λ μx 4 ,
για κάθε τιμή του x .
Β. Πρωτοβάθμια παραμετρική εξίσωση:

10. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
10
33. Να αποδείξετε ότι το κλάσμα:
2 x 6
x 4


, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
τιμή εκτός από την τιμή 2 .
34. Να βρείτε για ποια τιμή λ του η εξίσωση:    3 2
λ 1 x λ 1
είναι ταυτότητα.
35. Να βρείτε για ποια τιμή λ του η εξίσωση:     4 2
λ λ 2 x λ 1
είναι ταυτότητα.
36. Να βρεθούν οι τιμές των α , β έτσι ώστε για κάθε τιμή του x
να ισχύει:    α x 1 β x 1 6 0    
.
37. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  ισχύει:
4 2
λ x λ ( x 1) 2 x λ   
για κάθε τιμή του x .
38. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  ισχύει:
2 3 2
( λ 2 λ)x λ λ 4   
για κάθε τιμή του x .
39. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  ισχύει:
2
( λ λ)x 1 
για κάθε τιμή του x .
40. Να βρείτε για ποιες τιμές των λ ,μ  ισχύει:
λ( 2 x 1) μ( x 2) 3 x 1    
για κάθε τιμή του x .
41. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  ισχύει:
5 3 3
( λ λ 2)x λ λ   
για κάθε τιμή του x .
42. Να λυθεί (ως προς x) η εξίσωση:
2 2
(α β )( x 1) αβ( x 1)   

11. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
11
43. Να βρεθεί για ποια τιμή του x  ισχύει:
2
(α 1)x ( 3 x 2)α x 2      , για κάθε   .
44. Να βρεθεί για ποιες τιμές των ,x y  ισχύει:
(1 2α)x (α 2)y 2α 4     ,
για κάθε   .
45. Να αποδείξετε ότι για κάθε ox  , με ox 2 ,
υπάρχει oy   , ώστε να ισχύει:
o o o( y 1)x 2 y 1  
46. Δίνεται η εξίσωση:
2
λ ( x 1) λx   (1)
Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  η (1) :
α. είναι ταυτότητα.
β. έχει λύση x 1
γ. έχει λύση x 2 και x 4
δ. έχει λύση x 2 ή x 4
ε. δεν έχει λύση το x 3 .
47. Δίνεται η εξίσωση:
2 2
αβ( x 1) α x β   (1)
Να βρείτε για ποιες τιμές του α,β  η (1) :
α. είναι ταυτότητα.
β. έχει λύση
48. Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση:
1.
2 2
αβx α β 
2.
2 2
(αβ α β 1)x α β    

12. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
12
Συμβολικά:
 1 2
ε ε//  οι 1 2
ε ε, είναι παράλληλες
 1ε // 2ε  οι 1 2
ε ε, δεν είναι παράλληλες
 Δύο μη παράλληλες ευθείες του επιπέδου που δεν ταυτίζονται ,
έχουν μόνο ένα κοινό σημείο και λέγονται τεμνόμενες.
Αν έχουμε δύο ευθείες 1
ε , 2
ε που τέμνονται από τρίτη ευθεία 3
ε ,
τότε (βλέπε σχήμα):
 Εντός (των ευθειών) 1
ε , 2
ε σημαίνει ότι βρισκόμαστε
σε σημείο M του παρακάτω γραμμοσκιασμένου μέρους
 Εκτός (των ευθειών 1
ε , 2
ε ) σημαίνει ότι βρισκόμαστε
σε σημείο E έξω από το παραπάνω γραμμοσκιασμένο μέρος
 Εναλλάξ (της ευθείας 3
ε ) είναι τα σημεία : M A, καθώς
και τα σημεία M E,
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ
Ορισμός
Δύο ευθείες λέγονται παράλληλες , αν και μόνο αν είναι
στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο
Σύμβαση:
Στο εξής , όταν αναφερόμαστε σε ευθείες, θα
εννοούμε ότι είναι ευθείες του ίδιου επιπέδου.
Ορολογίες
M 
1ε
2ε
1 2ε //ε
1ε
2ε
E 
3ε
A
B

13. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
13
 Επί τα αυτά μέρη (της ευθείας 3
ε ) είναι τα σημεία :
E A, καθώς και τα σημεία M B, .
 Αν έχουμε δύο ευθείες 1
ε , 2
ε που τέμνονται από τρίτη ευθεία 3
ε ,
τότε σχηματίζονται οκτώ γωνίες (βλέπε σχήμα):
 οι γωνίες ω φˆ ˆ, καθώς και οι θ ηˆ ˆ, λέγονται: ''εντός και εναλλάξ ΄΄ .
 οι γωνίες α φˆ ˆ, καθώς και οι θ δˆˆ , λέγονται: ''εντός εκτός και επί
τα αυτά μέρη''
(εντός εκτός και επί τα αυτά είναι και οι γωνίες η βˆˆ , καθώς και οι ω γˆ ˆ, )
 οι γωνίες θ φˆ ˆ, καθώς και οι ω ηˆ ˆ, λέγονται : '' εντός και επί τα αυτά
μέρη''
Σχετικά με τις τρεις παραπάνω ευθείες , ισχύουν τα εξής :
1ε
2ε
3ε
α
ω
φ
θ
η δ
β
1ε
2ε
3ε
α
ω
φ
θ
η
δ
β
γ
1. ω φˆ ˆ  1 2
ε ε//
2. α φˆ ˆ  1 2
ε ε//
3.
o
θ φ 180ˆ ˆ   1 2
ε ε//
4.
o
ω φ 180ˆ ˆ   1
ε // 2
ε


14. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
14
Σχετικά με τις παράλληλες ευθείες ισχύουν οι παρακάτω
προτάσεις:
1. Από ένα σημείο εκτός ευθείας μόνο μια παράλληλη σ`αυτήν
μπορούμε να φέρουμε.
2. Δύο ευθείες παράλληλες προς τρίτη είναι και μεταξύ τους πα-
ράλληλες
3. Αν μια ευθεία τέμνει μια από δύο παράλληλες , τότε τέμνει και
την άλλη.
4. Αν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από δύο παράλληλες , τότε
είναι κάθετη και στην άλλη.
5. Δύο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλ-
ληλες
6. Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες είναι ίσες ή παραπληρω-
ματικές.
7. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι
o
180
8. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των
δύο απέναντι της γωνιών του τριγώνου.
9. Δύο γωνίες με πλευρές κάθετες είναι ίσες ή παραπληρωματικές.
10. Οι οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου είναι συμπληρωματικές.
11. Κάθε γωνία ισοπλεύρου τριγώνου είναι
o
60 .
12. Το άθροισμα γωνιών κυρτού τετραπλεύρου είναι
o
360 .
13. Το άθροισμα γωνιών κυρτού   γώνου είναι 2 4  ορθές.
14. Το άθροισμα εξωτερικών γωνιών κυρτού   γώνου είναι
o
360 .
ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ
Άθροισμα γωνιών τριγώνου

15. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
15
4.1 Αν στο παρακάτω σχήμα είναι 1 2 3ε //ε //ε , να υπολογιστεί η γωνιά ω.
4.2 Στο παρακάτω σχήμα να βρεθούν παράλληλες ευθείες.
4.3 Αν στο παρακάτω σχήμα είναι 1 2ε //ε , να υπολογιστεί η γωνιά ω.
4.4 Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι: 1 2ε //ε .
1ε
2ε
A
B

ω
o
2 0
o
60
2ε
A

o
90
o
2 0
o
70
1ε B
1ε
ω
2ε
3ε
o
50
1ε
o
20
o
40
o
20
o
40o
40
2ε
3ε
4ε
5ε
6ε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
o
20

16. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
16
4.5 Αν στο παρακάτω σχήμα είναι 1 2ε //ε ,  1 2A A και  1 2B B
να αποδείξετε ότι 1 2δ / /δ .
4.6 Αν στο παρακάτω σχήμα είναι 1 2ε //ε ,  1 2A A και  1 2B B
να αποδείξετε ότι : o
ω 90ˆ  .
4.7 Στο παρακάτω σχήμα να αποδείξετε ότι: E // B 
4.8 Στο παρακάτω σχήμα είναι 1 2 3ε //ε //ε . Να υπολογιστούν οι γωνίες
ω φ θˆˆ ˆ, , .
1ε
2ε
1δ
2δ
A
B
1
2
1 2
1ε
2ε
1δ
2δ
A
B
1
2
1
2
ω
A
 
B E
/ /
/ /
/
/
o
60
o
30
θ
2ε
3ε
1ε
o
45
φ
ω

17. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
17
4.9 Στο διπλανό σχήμα είναι :
ε //ε1 2 και AB .
Να αποδείξετε ότι: A //B 
4.10 Στο διπλανό σχήμα έχουμε δύο
εφαπτομένες ,ε ε1 2 στον κύκλο
,(K ) με ε //ε1 2 .
Να αποδείξετε ότι τα σημεία
επαφής A,B και το K είναι
συνευθειακά.
4.11 Στο διπλανό σχήμα είναι :
Aδ//B και AB A .
Να αποδείξετε ότι:  A A1 2
4.12 Στο παρακάτω σχήμα είναι:  A A1 2
, BE// A και // A  .
Να αποδείξετε ότι: AEZ AB
 
.
A
1
2
δ
B 
 
Z
A
1
2
B 
E


A
2ε

B




1ε

A

B
1ε
2ε

K
ρ

18. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
18
4.13 Στο παρακάτω σχήμα είναι AB A , A B  και E B  .
Να αποδείξετε ότι:  A A1 2
 A 
4.14 Στο παρακάτω σχήμα η ευθεία xx είναι εφαπτόμενη στο κύκλο στο σημείο E.
Να αποδείξετε ότι: AB//x x   AE EB
4.15 Στο διπλανό σχήμα είναι : AB A .
Να αποδείξετε ότι: KE// A
A
2
B 


E

A
O
B
E
x x
A
B


E
K
1

19. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
19
4.16 Στο παρακάτω σχήμα οι κύκλοι εφάπτονται στο E και οι ευθείες
ε1 , ε2 εφάπτονται σ` αυτούς στα σημεία A και B αντίστοιχα
και τα A,E,B είναι συνευθειακά. Να αποδείξετε ότι: ε //ε1 2 .
4.17 Έστω χορδή   κύκλου  O,ρ παράλληλη με μια διάμετρο του AB.
Να αποδείξετε ότι:   A B .
4.18 Έστω AB ισοσκελές τρίγωνο με A B A .
Ο κύκλος  B, Β τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε.
Να αποδείξετε ότι  γE//δ .
4.19 Έστω A σημείο της διχοτόμου γωνίας xOy . Η παράλληλη από το A
στην Ox τέμνει την Oy στο B και η παράλληλη από το B στην OA
τέμνει την προέκταση της Ox στο . Να αποδείξετε ότι :
α. το AO B είναι ισοσκελές τρίγωνο , β. OA B
4.20 Από το σημείο τομής I των διχοτόμων των γωνιών ενός τριγώνου
AB φέρουμε παράλληλες στις AB , A , B που τέμνουν την
AB στα σημεία , E την B στα Z H, και την A στα ,K M.
Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των περιμέτρων των τριγώνων
,,   ισούται με την περίμετρο του AB .
4.21 Έστω AB ισοσκελές τρίγωνο με A B A .
Από σημείο  της πλευράς AB φέρουμε παράλληλη στην B που
τέμνει την A στο E . Από το E φέρουμε παράλληλη στην AB
που τέμνει την B στο Z . Να αποδείξετε ότι:
α. το A E είναι ισοσκελές τρίγωνο, β.  B EZ
E
K

2ε

1ε
B

20. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
20
Α΄ ΟΜΑΔΑ
4.22 Έστω AB ισοσκελές τρίγωνο με :
AB A και B A  .
Να αποδείξετε ότι:  ˆB A1
2
  
4.23 Έστω AB ορθογώνιο τρίγωνο με : oˆA 90 και A B  .
Να αποδείξετε ότι:  ˆA B1  και  ˆA2 
4.24 Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με ˆˆ B 
1. Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει το ύψος του
A H με τη διχοτόμο του A , να αποδείξετε ότι
ˆˆ Bˆω
2
 
2. Να αποδείξετε ότι: ˆ ˆ ˆˆ B 2 1    
4.25 Να βρεθούν οι γωνίες τριγώνου AB , αν είναι ανάλογες των αριθμών 5 , 7, 8
4.26 Να βρεθούν οι γωνίες τριγώνου AB , αν είναι:    εξ εξA 2B B .
4.27 Τρίγωνο AB έχει : α
αμ
2
 . Να αποδείξετε ότι  o
A 90
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
B 
A

B 
A

12
ω
B 
A

H
2
1

21. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
21
4.28 Έστω A η διχοτόμος της A σε τρίγωνο AB . Να αποδείξετε ότι
το AB είναι ισοσκελές αν και μόνο αν A //B .
4.29 Έστω A   ορθογωνίου τριγώνου AB με  o
A 90 .
Να αποδείξετε ότι :  BA   ,  BA B  και αντίστροφα.
4.30 Αν σε τρίγωνο AB ισχύει  o AB 90
2
  , να αποδειχθεί ότι
είναι ισοσκελές και αντίστροφα.
4.31 Αν A , BE , Z είναι ύψη τριγώνου AB ,
να αποδείξετε ότι:    o
AB Z A EB 90     
4.32 Αν A , BE , Z είναι διχοτόμοι τριγώνου AB ,
να αποδείξετε ότι:
   o
A B ZA BE 270     
4.33 Έστω AB ισόπλευρο τρίγωνο και σημεία ,E της πλευράς
AB και Z της A τέτοια ώστε: A E EB AZ     .
Να αποδείξετε ότι:
α. Το A Z είναι ισόπλευρο τρίγωνο.
β. EZ A 
γ. Αν H είναι το σημείο τομής των BZ , E , τότε  o
ZH 60  .
4.34 Τρίγωνο AB έχει :  = 3B . Αν Δ είναι το σημείο τομής
της μεσοκαθέτου του ΒΓ με την ΑΒ , να αποδείξετε ότι:
1. Το ΔΒΓ είναι ισοσκελές
2. Το ΑΔΓ είναι ισοσκελές.
4.35 Από το μέσο M της βάσης B ισοσκελούς τριγώνουAB
φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην AB η οποία τέμνει την A
στο E. Να αποδείξετε ότι:
α. ME E  , β. AE EM
4.36 Σε ισοσκελές τριγώνουAB ο κύκλος διαμέτρουAB , τέμνει
την A στο E και τη βάση B στ M .
Να αποδείξετε ότι: α. BE A , β. AM B 
4.37 Να βρεθούν οι γωνίες τριγώνου AB , για το οποίο ισχύει:
  =3A 2B  και   B = 2A B  .

22. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
22
Β΄ ΟΜΑΔΑ
4.38 Στο παρακάτω σχήμα το AB είναι διάμετρος του κύκλου ,
οι AB , σχηματίζουν γωνία o
45 και E Z, είναι οι προβολές
των ,  πάνω στην AB. Να αποδείξετε ότι: OE Z
4.39 Έστω AB ισόπλευρο τρίγωνο . Θεωρούμε σημείο  στο AB και
σημείο E στην προέκταση του B προς το B , έτσι ώστε:
 A BE. Να αποδείξετε ότι: E 
4.40 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με   o
A 90 . Η κάθετη από το B
στη διχοτόμο   τέμνει το ύψος A στο E. Να αποδείξετε ότι:
AB AE
O  B


E
Z

B
A
H
E


B
A
||
=

A

23. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
23
4.41 Έστω ΑΒΓΔ κυρτό τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι:
1.       εξεξB A , 2. Αν  εξA  , τότε   o
B 180 
4.42 Έστω A   ορθογωνίου τριγώνου AB με  o
A 90 και A AB  .
Η κάθετος, στη B στο  , τέμνει την AB στο Ε και την ΑΓ στο Ζ.
Να αποδείξετε ότι : 1. B Z   , 2. B Z  
4.43 Έστω ΑΒΓΔ κυρτό τετράπλευρο. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών του σχη-
ματίζουν κυρτό τετράπλευρο K MN , να αποδείξετε ότι:   o
K M 180 
4.44 Έστω ΑΒΓΔ κυρτό τετράπλευρο. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών του B
και  τέμνονται , να αποδείξετε ότι η οξεία γωνία που σχηματίζουν
ισούται με
 A
2
  .
4.45 Έστω ΑΒΓΔ κυρτό τετράπλευρο. Να αποδείξετε ότι:
1. οι διχοτόμοι των γωνιών   , τέμνονται σε σημείο K .
2.   Α BK =
2
  .
3. Αν οι διχοτόμοι των  ,  τέμνονται επί της A ,τότε  = 
4.46 Έστω ΑΒΓΔ κυρτό τετράπλευρο. Αν  A =  να αποδείξετε ότι οι
διχοτόμοι των γωνιών του  B ,  είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.
4.47 Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με  o
A 120 . Να αποδείξετε ότι:
α. οι μεσοκάθετοι των ΑΒ , ΑΓ χωρίζουν τη ΒΓ σε τρία ίσα τμήματα.
β. οι μεσοκάθετοι των ΑΒ , ΑΓ σχηματίζουν με τη ΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο.
4.48 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με  o
A 90 . Στην κάθετη στην ΒΓ στο
Γ θεωρούμε σημείο Ε (στο ημιεπίπεδο του Α) ώστε ΓΕ=ΓΑ και στην
προέκταση της ΓΒ προς το Β θεωρούμε σημείο Δ ώστε ΒΔ = ΒΑ.
Να αποδείξετε ότι τα Δ, Α , Ε είναι συνευθειακά.
4.49 Έστω ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο με  o
A 90 , AB A και A   .
Η κάθετη στη B στο  τέμνει την AB στο E και την A στο Z.
Να αποδείξετε ότι: α. E   , β. EB Z  , γ.  o
ZB 45 
4.50 Οι διχοτόμοι των γωνιών  B , τριγώνου AB τέμνονται στο I.
Οι διχοτόμοι των   ,B τέμνονται στο I και οι διχοτόμοι των
  B , τέμνονται στο I . Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου
I I I  συναρτήσει των γωνιών του τριγώνου AB .

24. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
24
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
Στο παρακάτω σχήμα οι AI , BI ,I είναι διχοτόμοι των γωνιών
του τριγώνου AB . Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου AB :
Στο παρακάτω σχήμα να υπολογιστεί η γωνία ω :
Έστω AB ισόπλευρο τρίγωνο και A το ύψος του .
Από το  φέρνουμε ευθεία κάθετη στην AB , η οποία
τέμνει την A στο E . Να αποδείξετε ότι:
)i   )ii   A
.1
A
B
o
140
o
120
.2
I
o
100 o
60
o
40 o
80
ω
.3

25. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
25
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
Στο παρακάτω σχήμα τα A , BE είναι ύψη του τριγώνου AB .
Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου AB :
Στο παρακάτω σχήμα να υπολογιστεί η γωνία ω :
Έστω AB ισοσκελές τρίγωνο με AB A και   o
A 120 .
Οι μεσοκάθετοι των , AB A τέμνουν την B στα σημεία
 και E αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο A E
είναι ισόπλευρο.
.1
A
B
o
40
o
20
.2

o
60
o
80
ω
E
.3

26. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
26
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
Το παρακάτω τρίγωνο AB είναι ισοσκελές με AB A
Η B είναι διχοτόμος της γωνίας B και ακόμα είναι :
B B  . Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου AB :
(30 μονάδες)
Το παρακάτω τρίγωνο AB είναι ορθογώνιο με  o
A 90 .
Η BK είναι διχοτόμος της γωνίας B, η I είναι διχοτόμος
της γωνίας  του τριγώνου AB και η K είναι διχοτόμος
της γωνίας  του τριγώνου AB .
Να υπολογιστούν οι γωνίες : BI και BK .
(40 μονάδες)
Έστω AB ι σ ό π λ ε υρ ο τρίγωνο και M το μέσο του B . Έστω ακόμα
M , ME τα κάθετα τμήματα από το M στις AB , A αντίστοιχα..
α. Να υπολογιστεί η γωνία  M . ( 10 μονάδες)
β. Να αποδείξετε ότι //B . (10 μονάδες)
γ. Έστω γωνία ˆ o
xMy 120 , με κορυφή το M . Η πλευρά Mx
τέμνει το AB στο K και η πλευρά My τέμνει το A στο  .
Να αποδείξετε ότι: AK A 2    . (10 μονάδες)
.1
A
B
1
.2

2
B

A
I
K
/
/
.3
//
//

27. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
27
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
Το παρακάτω τρίγωνο AB είναι ισοσκελές με AB A
Η B είναι διχοτόμος της γωνίας B και ακόμα είναι :
B A   . Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου AB :
(30 μονάδες)
Στο παρακάτω τρίγωνο AB είναι ˆ o
A 60 .
Η BI είναι διχοτόμος της γωνίας B , η I είναι διχοτόμος
της γωνίας  του τριγώνου AB και η K είναι διχοτόμος
της  του τριγώνου AB .
Να υπολογιστούν οι γωνίες : BI και BK
(40 μονάδες)
Έστω AB ι σ ό π λ ε υ ρ ο τρίγωνο και M το μέσο του B .
Προεκτείνουμε το A κατά τμήμα ώστε: BM 
α. Να υπολογιστεί η γωνία AM . (10 μονάδες)
β. Να αποδείξετε ότι MA M  . (10 μονάδες)
γ. Έστω γωνία ˆ o
xMy 120 , με κορυφή το M . Η πλευρά Mx
τέμνει το AB στο K και η πλευρά My τέμνει το  στο  .
Να αποδείξετε ότι: AK A A    . (10 μονάδες)
.1
B
1
.2

2
B

A
I
K
/
/
.3
//
//
o
60
A

28. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
28
Κάθε δ ι ά ν υ σ μ α v

εκφράζει ευθύγραμμη κίνηση από ένα σημείο
(αρχή) σε ένα άλλο σημείο (τέλός) .
Ένα βέλος (στο τέλος της κίνησης), δείχνει το τέλος του διανύσματος.
Κάθε διάνυσμα (κίνηση ) v

αναλύεται σε δύο κινήσεις:
 xv

= οριζόντια μετατόπιση και yv 

κατακόρυφη μετατόπιση.
και ισχύει: x yv v v 
  
αν x είναι η οριζόντια μετατόπιση και y η κατακόρυφη,
τότε γράφουμε: v x y,( )

δηλαδή είναι: x yv v v x i y j   
   
 Γ ω ν ί α διανύσματος v

με τον άξονα x x είναι η γωνία που διαγράφει
ο ημιάξονας O x

στρεφόμενος κατά τη θετική φορά , μεχρι να συμπέσει
με το v

, όταν έχουμε σχεδιάσει το v

να έχει αρχή την αρχή 0 0O ,( ) των
αξόνων. Συμβολικά γράφουμε: ω v x x,ˆ ( )

Για τις τιμές της γωνίας ,ˆ ( )ω v x x

 ισχύει: ˆo o
0 ω 3 6 0 
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
x yv vv  
 
yv

xv

v

x yv ,( )

y 
x 
ˆ ( , )ω v x x


x
y
O

i

j

x i

y j

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
I.
B 
A

29. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
29
 Συντε λε στή δ ιε ύθ υνσης διανύσματος x yv ,( )

,( )vλ λ
ονομάζουμε το πηλίκο
y
x
, για x 0 και ισχύει:
v
y
λ ε φ ω
x
 
 Γ ων ί α δύο διανυσμάτων v

, w

ονομάζουμε την (κυρτή ) γωνία που αυτά
σχηματίζουν, όταν έχουν κοινή αρχή
Συμβολικά γράφουμε: ω v w,ˆ ( )
 
Για τις τιμές της γωνίας wω v ,ˆ ( ) 
ισχύει: o o
0 ω 1 8 0ˆ 
 Για να βρω τη γωνία δύο διανυσμάτων, πρέπει να τα σχεδιάσω ώστε
να έχουν κοινή αρχή .
π.χ.: Αν στο παραπάνω τρίγωνο A B  είναι  o
A φ 1 0 0ˆ  , τότε:

( , ) o
AB A 100
 
 και

( , ) o
BA A 80
 

v

w

w

v

ω w vˆ ( , )
 
α

α

β

θˆ
B

Aˆo
180 φ
φˆ
θ α β,ˆ ( )

 
, ˆo
A BA 180 φ
 
 
ω w vˆ ( , )
 

30. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
30
 Δύο σημεία 1 1A x y( , ) , 2 2B x y( , ) ορίζουν το διάνυσμα :
με συντελεστή διεύθυνσης :
2 1
AB
2 1
y yy
λ
x x x

 

, όταν 1 2x x
Όταν 1 2x x , τότε το AB

δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης
και είναι AB x x

.
Προφανώς είναι 1 2
BA AB
1 2
y y
λ λ
x x
 

 

 Το μέσο o oM x y( , ) του AB έχει συντεταγμένες:
το μέτρο του AB

είναι
( , )AB x y

 , με 2 1x x x  , 2 1y y y 
,( )2 1 2 1AB x x y y

  
2 1
o
x x
x
2

 και
2 1
o
y y
y
2


2 2
2 1 2 1AB AB x x y y| | ( ) ( )    

2 2B x y,( )
1 1A x y,( )

1x
2x
1y 
2y 
o oM x y,( )

ox
oy 

31. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
31
 ΠΑΡΑΛΛΗΛΗΛΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
 Τα διανύσματα ( , )

1 1α x y , ( , )

2 2β x y είναι συγγραμμικά
(παράλληλα) αν και μόνο αν det( , )

α β 0.
 ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ
 Τα σημεία A,B, είναι συνευθειακά , αν και μόνο αν
τα διανύσματα , 
 
AB A είναι συγγραμμικά.

// det( , ) 
  
α β α β 0 
1 2
1 2
x x
0
y y

A,B, συνευθειακά 
// 
 
AB A   det ,  
 
AB A 0
// 
 
AB   det , 
 
AB 0
Τα σημεία A,B, σχηματίζουν τρίγωνο ,
αν και μόνο αν
 det ,  
 
AB A 0

32. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
32
Αν 1 1α x y,( )

, 2 2β x y,( )

και

φ α β,( )

τότε:
 α β α β συνφ| | | |  
  
,
 1 2 1 2α β x x y y    


α β
συνφ
α β| | | |





ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
1. α β β α  
  
2. α β γ α β α γ( )     
     
3. α λβ λ(α β( ) )  
  
,
4. α β α β 0   
  
5. | | | |α β α β α β
    
     
6. | | | |α β α β α β
    
      
7.
2 2
α α α α| |  
   
8.
2 2 2
α β α β( )  
  
,
2 2 2
α β α β| | | | | |  
  
9.
2 2 2
α β α β( )  
  
 α β//

 
10. α //

 β

  2 2 2
α β α β( )  
  
11.
2 2 2
α β α β| | | | | |  
  
 α β//

 
12. α //

 β

  2 2 2
α β α β| | | | | |  
  
13.
2 2 2 2 2
κα λβ κ α 2κλα β λ β( )    
    
,
14.
2 2 2 2
κα λβ κα λβ κ α λ β( ) ( ) | | | |    
    
15. α β
α β λ λ 1

    ή α β 0

  .
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτωνII.

33. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
33
ΠΡΟΣΟΧΗ !
1. α β α γ  
  
 β γ
 
2. β γ α (α β γ( ) )  
    
, 3.
α β β
α γ γ



 
  
Προβολή διανύσματος σε άλλο διάνυσμα

v

1v

α

Αν 1 αv v
 
προβ , τότε:
α 1α v α v α v
     
    προβ

A
2
BA B BA BE BA   
    
2
AB BE BA BE BA   
    
B B B BA B BA       
   

E


34. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
34
1. Η ευθεία (ε) που διέρχεται από το σημείο o oA x y( , ) ( γνωστό σημείο) και
έχει συντελεστή διεύθυνσης λ (γνωστό) , έχει ε ξ ί σω ση :
 Προσοχή !
Στην παραπάνω εξίσωση : το x και το y είναι μεταβλητές και αναφέρονται
στις συντεταγμένες ενός τυχαίου σημείου M της ευθείας (ε) και όχι στο A
2. Η ευθεία ε που διέρχεται από ένα σημείο:
Από ένα σημείο o oA x y( , ) διέρχονται άπειρες ευθείες που έχουν εξίσωση:
: ( )o oε y y λ x x   ή ox x
,( )o oA x y

ox x
o
o
y
xy x
oy y
: ( )o oε y y λ x x  
0 0O ,( )

y
y
y
x
oy

ox

ΕΥΘΕΙΑIII.
o oA x y,( )

ε
: ( )o oε y y λ x x  
0 0O ,( )

y
xx
ox

oy 
,( )M x y

o o: y y (x x )ε λ  

35. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
35
2. Η ευθεία ε που διέρχεται από δύο σημεία: 1 1A x y( , ) , 2 2B x y( , ) με 1 2x x ,
έχει εξίσωση:
Ενώ η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία 1 1A x y( , ) και ( , )1 3x y με 1 3y y
έχει εξίσωση:
3. Γενικά : μια ευθεία ε έχει εξίσωση της μορφής:
 Το σημείο τομής δύο ευθειών :1 1 1ε y λ x β  , :2 2 2ε y λ x β  βρίσκεται
από τη λύση του συστήματος:
y x
y x
1 1
2 2
λ β
λ β
 
  
 Ειδικά για την ευθεία ε y λx β:   (1):
Αν θέσουμε στην (1) , όπου y το 0 , (y 0 ) βρίσκουμε το σημείο  A ,β
λ 0 ,
με λ 0 , που η ε τέμνει τον άξονα x x .
Αν θέσουμε στην (1) , όπου x το 0 , (x 0 ) βρίσκουμε το σημείο B( , )0 β ,
που τέμνει η ε τον y y .
: ( )1 1AB y y λ x x   , όπου
2 1
2 1
y y
λ
x x



:ε y λx β  ή : oε x x ή : oε y y
x
0 0O ,( )

,( )1 y
1
A x 
,( )2 2B x y

y
x
ε
: ( )1 1ε y y λ x x  
ω
2 1
A B
2 1
y y
λ λ ε φ ω
x x

  

1x

1x x
ox x
y λ x β 
oy y
y λ x
0 0O ,( )

y
y
oy

ox

β 
,( )1 2x y

: 1A x x 
,( )0 βB

 ,
β
A 0λ


36. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
36
5. Μια ευθεία ε έχει γενική εξίσωση:
για την οποία ισχύουν :
α. έχει συντ ελε στή διε ύθ υν σης Aλ
B
 , για B 0
και είναι κατακόρυφη για B 0 .
β. είναι παράλληλη δ B A( , ) 

και κάθετη στο η A B( , )

6. Δύο ευθείες 1ε , 2ε είναι παράλληλες αν και μόνο αν:
1 2λ λ ή 1 2ε ε xx, 
7. Δύο ευθείες 1ε , 2ε είναι κ ά θ ε τες αν και μόνο αν:
1 2λ λ 1   ή 1ε xx και 2λ 0 ή 2ε xx και 1λ 0 .
Ειδικά :
α. η ευθεία ε y λx β:   είναι παράλληλη στο διάνυσμα: δ 1 λ( , )

β. Μια ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα x x (είναι οριζόντια)
αν και μόνο αν έχει συντελεστή διεύθυνσης ελ 0
γ. ο άξονας x x έχει εξίσωση :x x y 0 
δ. ο άξονας y y έχει εξίσωση :y y x 0 
ε. η ευθεία :δ y x είναι διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων
ζ. ευθεία :δ y x  είναι διχοτόμος της δεύτερης και τέταρτης γωνίας των αξόνων
η. η ευθεία ε y λx:  περνά από την αρχή των αξόνων.
ι. η ευθεία oε y y:  είναι οριζόντια ευθεία (έχει λ 0 ).
y λ x β 
oy y
y λ x
0 0O ,( )

y
yx
oy

β 
y 0
x 0
/ / εε x x λ 0  
/ /1 2 1 2ε ε λ λ 
1ε
2ε
1 2 1 2ε ε λ λ 1    
2ε
:ε Ax By 0   , με A 0 ή B 0

37. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
37
Έστω η ευθεία  με εξίσωση: :ε Ax By 0  
και το σημείο o o
,A( x y ).
Με ,d( A ) συμβολίζουμε την απόσταση του o o
,A( x y ) από
την ευθεία  . Είναι δηλαδή AH  ,d( A ) (βλέπε σχήμα)
Η απόσταση αυτή AH υπολογίζεται με βάση τον τύπο:
 Το εμβαδόν E ( AB ) Γ του τριγώνου AB δίνεται από τον τύπο:
ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ
ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
:   ε A x B y 0

O
y
x
,( )o oA x y
H
| | 


o o
2 2
,
Ax By
d(A ε)
A B
,det( ) 
 
1(A B ) AB A
2

O
y
x
,( )2 2B x y
,( ) 3 3x y
,( )1 1A x y
| |
 

 
2 1 3 1
2 1 3 1
x x x x
1(A B )
2 y y y y

38. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
38
Έστω , 

διανύσματα τέτοια ώστε:
2 5 , +2 10     
  
και 7  

.
1. Να υπολογιστεί το  

2. Να υπολογιστεί το 

και το 

.
3. Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων  

, 

4. Να αποδείξετε ότι: (3 4 )   
 
Έστω , ,  
 
μη μηδενικά διανύσματα :
1. Αν
2 2 2
( ) ( ) ( 3 ) ( 3 )              
        
,
να αποδείξτε ότι // 

2. Αν        
   
και
2 2
   
 
,
να αποδειχθεί ότι: i)
2
2 

, ii)  
 
 .
Έστω , 

διανύσματα τέτοια ώστε:
| | | | 6      
  
και 2 2
9  

1. Να αποδείξετε ότι :| | | | 9      
  
,
2. Να αποδείξετε ότι  

,
3. Να υπολογιστεί το | + | 

και το | | 

ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΥΘΕΙΑ
1.
2.
3.

39. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
39
Έστω , ,  
 
διανύσματα τέτοια ώστε:
| | | | | | 1    
 
και 3
2
           
    
Να αποδείξετε ότι :
1. 0    
  
, 2.
 o
,( ) 120  
 
, 3. | 2 | 3  
 
Έστω τα διανύσματα , 

με :  

, | | 3 

και | | 6 

.
Θεωρούμε τα σημεία A,B, έτσι ώστε:
AB 2  
 
και A 4 2   
 
1. Να αποδείξετε ότι τα A,B, είναι κορυφές τριγώνου.
2. Να βρεθεί η γωνία A του AB
3. Να βρεθεί η περίμετρος του AB
4. Να βρεθεί το ύψος A του AB
5. Να βρεθεί η διχοτόμος 
 του AB.
Έστω τα διανύσματα 

, 

τέτοια ώστε:
| | 3 

, | | 2 

και  

Θεωρούμε τα διανύσματα:
AB 3 6  
 
και A 2   
 
1. Να αποδειχθεί ότι το AB είναι αμβλυγώνιο.
2. Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου AM του AB.
3. Να βρεθεί το μήκος του ύψους A του AB.
Έστω Μ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ
τετραγώνου ΑΒΓΔ.
Να αποδειχθεί ότι:
2
      
    
Δ Γ
ΒΑ

Ο
Μ
5.
7.
4.
6.

40. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
40
Έστω ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο
ΑΒ ΑΓ και Μ το μέσο της ΒΓ.
Αν Η είναι η προβολή του Μ στην
ΑΓ και Ν είναι το μέσο του ΗΜ ,
να αποδειχθεί ότι:
 
 
Κύκλος (O,R) διέρχεται από την
κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ και
τέμνει τις ΑΒ, ΑΓ και τη διάμεσο
ΑΜ στα σημεία Β΄, Γ΄, Μ΄
αντίστοιχα.
Να αποδειχθεί ότι:
΄ ΄ 2 ΄     
     
Έστω Δ, Ε οι προβολές σημείου Μ της υποτείνουσας ΒΓ, ορθογωνίου
τριγώνου ΑΒΓ, διαφορετικού του μέσου της, στις ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α.
2
    
    
β.
2
2  
  
 AM B 
 
Η
 Ν
ΓΜΒ
Α

 Γ΄
Γ
Μ
Β΄
Α
Β
Ο
Μ΄
Α
Δ
Β Μ Γ
Ε
8.
9.
10.

41. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
41
Έστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο και Ε
η προβολή του Β στην ΑΓ.
Αν Μ και Ν είναι τα μέσα
των ΑΕ και ΓΔ αντίστοιχα,
να αποδειχθεί ότι: 
ΒΜ ΜΝ⊥ .
Στο διπλανό σχήμα είναι:
ΑΒ ΓΔ , Κ μέσο ΑΓ,
Λ , μέσο ΒΔ .
Να αποδείξετε ότι:
α. ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ 2ΟΣ   
    
β. το ΟΚΣΛ είναι
παραλληλόγραμμο
Εξωτερικά του τριγώνου ΟΑΒ,
θεωρούμε τα ισοσκελή τρίγωνα:
ΟΑΗ, ΟΒΖ
 
, ορθογώνια στο Ο
και έστω V ΟΗ ΟΖ 
  
.
Να αποδειχθεί ότι:
α. V ΑΒ
 
β. V ΑΒ
 
γ. ΗΒ ΑΖ
 
Δ Ν Γ
ΒΑ
Ε
Μ
Σ
Κ

Α
Λ
Β
Δ
Γ
Ο
Ο
Η
Ζ
Α
Β
11.
12.
13.

42. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
42
Δίνονται οι ευθείες:
2
1 : y ( 2)x 1      και 2
2 : y (2 1)x 2     , R
α) Να βρείτε για ποια τιμή του R είναι:
i) 1 2//  , ii) 1 2 
β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των 1 2,  .
. Τρίγωνο AB έχει διάμεσο : y x 2   , ύψος : y 2x 4  
και διχοτόμο : y 2  . Να βρεθούν οι κορυφές του.
Δίνονται οι ευθείες:
2
: ( 1)x + y 2 0     , 2
: ( )x +( 1)y 0       
Να βρείτε για ποιές τιμές του R :
1. είναι   
2. είναι //  
3. η  και  τέμνονται πάνω στον άξονα y y .
4. η  σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 1E
3

Δίνεται η εξίσωση:
: (k 2 5)x (2k )y 4k 3 10          , k, R
1. Να βρείτε για ποιες τιμές των k, R η  είναι εξίσωση ευθείας.
2. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες  διέρχονται από ένα κοινό σημείο.
Δίνεται η ευθεία ( 1 ) με εξίσωση: y 2x 6  και έστω  η γωνία
που σχηματίζει η 1 με τον άξονα x x .
1. Να βρεθεί η ευθεία 2 που διέρχεται από το σημείο A(2,4) και
σχηματίζει γωνία 2  με τον άξονα x x .
2. Να βρεθεί η ευθεία 3 που διέρχεται από το σημείο A(2,4) και
σχηματίζει γωνία o
45   με τον άξονα x x .
3. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι τρεις
παραπάνω ευθείες.
4. Να βρεθεί η ευθεία 4 που διέρχεται από την αρχή των αξόνων
και σχηματίζει γωνία o
45 με την 2 .
14.
15.
16.
17.
18.

43. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
43
Δίνεται ότι τα σημεία :
,M(3 2 2 1)   και ,N(2 3 )     με , 
είναι σημεία της ίδιας ευθείας 1( ) .
1. Να βρεθεί η εξίσωση της 1( ) .
2. Να αποδειχθεί ότι καθώς τα M,N διαγράφουν την 1( ) ,
τα αντίστοιχα σημεία ,K( )  , διαγράφουν επίσης μια
ευθεία 2( ) .
3. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές των ,  ώστε τα παρα-
πάνω σημεία K,M,N να είναι συνευθειακά.
Δίνονται οι ευθείες :
1 : ( 2)x ( 1)y 2 0       ,
2 : ( 3)x ( 2)y 4 0       ,
3 : ( 2)x ( 3)y 6 0      
όπου οι ,  είναι αριθμοί ταυτόχρονα ίδιοι και για τις τρεις
παραπάνω ευθείες.
1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των 1( ), 2( )
ανήκουν σε σταθερή ευθεία .
2. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τιμές των ,  , ώστε οι
1 , 2 , 3 να διέρχονται από ένα κοινό σημείο.
3. Να βρεθούν οι τιμές των ,  ώστε να είναι : 1 // 2 // 3 .
4. Τρία κινητά 1 2 3P ,P ,P διαγράφουν τις ευθείες 1 , 2 , 3
αντίστοιχα . Οι συντεταγμένε τους x,y δίνονται , συναρτήσει
του χρόνου t από τους τύπους:
x 2t 3  και y 3t 4  .
α. Να αποδείξετε ότι τα 1 2 3P ,P ,P βρίσκονται διαρκώς επί
ευθείας γραμμής.
β. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει περίπτωση σύγκρουσης δύο
εκ των 1 2 3P ,P ,P .
19.
20.

44. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
44
Δίνονται οι ευθείες:
1ε 2x 4y 6 0:    , 2ε x 2y 8 0:   
α. Να αποδείξετε ότι 1 2ε ε//
β. Να βρεθεί η απόσταση των 1 , 2 .
γ. Να βρεθεί το άθροισμα των αποστάσεων του σημείου 3 2,M( ) .
από τις 1 2ε ε, .
δ. Να βρεθεί η μεσοπαράλληλος των 1 2ε ε, .
Δίνεται η ευθεία: 1ε y 3x 6:   .
α. Να βρεθεί ευθεία 2ε τέτοια ώστε: 1 2ε ε 10,d( )  και 1 2ε ε// .
β. Να βρεθεί σημείο M της 1 τέτοιο ώστε:
10, ,d(M x x) d(M y y)  
γ. Να βρεθούν τα σημεία της 1 που ισαπέχουν από:
i. τους άξονες , ii. τα σημεία 6 4A( , ) και 2 4B( , ) 
Να βρεθεί η ευθεία ε η οποία:
α. έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 2 και έχει απόσταση από το σημείο
4 6,A( ) , ε 2 5d(A, )  .
β. σχηματίζει με τις ευθείες: 1ε y x:  και 2ε x 0:  ορθογώνιο
τρίγωνο με εμβαδό 8E  .
γ. διέρχεται από το σημείο 2 4M( , ) και σχηματίζει με τις ευθείες
1ε y x:  και 2ε y 6:  τρίγωνο με εμβαδό 9E  .
Τρίγωνο AB έχει κορυφές: 2 4A( , ) , 4 2B( , ) , 1 8( , ) .
α. Να βρεθεί το ύψος του AH .
β. Να βρεθεί το εμβαδόν του(AB ) .
γ. Να βρεθεί η εξίσωση της διχοτόμου της γωνίας του B .
Δίνονται οι ευθείες:
1ε y 2x 2:   , 2ε y x 2:   , 3ε y 2x 10:   
α. Να αποδείξετε ότι οι 1 2 3ε ε ε,, σχηματίζουν τρίγωνο.
β. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν οι 1 2 3ε ε ε,, .
γ. Να βρεθεί το εμβαδόν του κυρτού τετραπλεύρου που σχηματίζουν
οι 1 2 3ε ε ε,, και ο άξονας x x .
21.
ΑΠΟΣΤΑΣΗ - ΕΜΒΑΔΟ
22.
23.
24.
25.

45. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
45
Δίνεται το σημείο 2 5,A( ) και η ευθεία: 1ε y 2x 4:   .
α. Να βρεθεί ευθεία 2 1ε ε ώστε το 2 5,A( ) να απέχει από
την 2ε απόσταση  2ε 5,d A 
β. Τετράγωνο AB έχει κορυφή 2 5,A( ) και πλευρά  επί
της ευθείας 1ε . Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών
του.
γ. Να βρεθούν δυο ευθείες διερχόμενες από το 2 5,A( ), κάθετες
μεταξύ τους , ώστε να σχηματίζουν με την 1ε ισοσκελές τρίγωνο.
Δίνεται η ευθεία 3ε y x 5
4
:   και το σημείο 2 4,K( ).
α. Να βρεθούν οι κορυφές τετραγώνου AB με κέντρο το
2 4,K( ) και του οποίου η μια πλευρά είναι επί της ε( ).
β. Να βρεθεί σημείο M του άξονα xx το οποίο να ισαπέχει
από την αρχή των αξόνων και την ε( ).
Δίνεται η ευθεία ε y x 2:   και τα σημεία 4 0,A( ) , 8 0,A( ).
α. Να βρεθεί σημείο M της ε( ) τέτοιο ώστε το άθροισμα MA MB
να είναι ελάχιστο.
β. Να βρεθεί ευθεία 1ε( ) διερχόμενη από την αρχή των αξόνων, τέτοια
ώστε το άθροισμα των αποστάσεων των ,A B από την 1ε( ) να είναι:
1. 1 1ε ε 12, ,d(A ) d(A )  , 2. 1 1ε ε 6 2, ,d(A ) d(A )  .
Δίνεται η ευθεία ε y 12:  και το σημείο 4 0,A( ) .
α. Να βρεθούν δύο ευθείες 1 2ε ε, με 1 2ε ε , διερχόμενες από
το 4 0,A( ) οι οποίες να σχηματίζουν με την ε( ) τρίγωνο εμβα-
δού 150E  .
β. Να βρεθεί σημείο M της ε( ) ώστε το τρίγωνο OMA να έχει ελά-
χιστη περίμετρο.
γ. Ορθογώνιο AB με εμβαδό 48E  έχει την πλευρά B επί
της δ( ).
Να βρεθεί ευθεία δ( ) διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , η
οποία να χωρίζει το παραπάνω ορθογώνιο σα δύο ισεμβαδικά
μέρη.
26.
28.
27.
29.

46. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
46
Δίνεται η ευθεία : y 6  . Να βρεθούν δύο ευθείες 1 2
οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων , σχηματίζουν
μεταξύ τους γωνία o
45 και τέμνουν την  στα σημεία A,B
αντίστοιχα , έτσι ώστε: α. AB 5 , β. (AOB) 15 .
Δίνεται η ευθεία : x 4  και το σημείο της A(2,0).
Να βρεθούν δύο ευθείες 1
 2
 οι οποίες διέρχονται από την
αρχή των αξόνων , είναι κάθετες μεταξύ τους και τέμνουν
την  στα σημεία B, αντίστοιχα , έτσι ώστε :
α. το άθροισμα των αποστάσεων των B, από τον άξονα
x x να είναι5
β. Το τρίγωνο AB να έχει ελάχιστο εμβαδό.
31.

A
1ε
0 0O ,( )

y
xx

6
B
2ε
y 6
o
4 5
( , )

A 2 0
1ε
,( )

0 0O
y
xx
B
2ε
x 4

30.

47. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
47
Δίνεται η ευθεία : y 2  και το σημείο της M(2,2).
Να βρεθούν δύο ευθείες 1
 2
 οι οποίες διέρχονται από
την αρχή των αξόνων και τέμνουν την  στα σημεία A,B
αντίστοιχα , έτσι ώστε το M(2,2) να είναι μέσο του AB
και (AOB) 10 .
1. Έστω ΑB , AΓ , AM
  
διανύσματα .
i. Αν AM AΓ 1, ΑB 2  
  
και 2ΑB 3AΓ 5AM 
  
,
να δείξετε ότι:
α. τα σημεία B ,M , είναι συνευθειακά.
β. ΑB AΓ
 
ii. Αν 2AM ΑB + AΓ
  
και
2 2
2ΑΓ ΒΓ 3ΑΓ ΒΓ  
   
ν α δείξετε ότι AM ΑB
 
.
Α
Β
Γ
Μ
32.

A
1ε
0 0O ,( )

y
xx

6
B
2ε
y 2

M ( 2 , 2 )
33.

48. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
48
ΘΕΜΑ 1ο
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
ε : Ax By 0   με A 0 ή B 0
παριστάνει ευθεία
β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία :
  ε : Ax By 0 , με A 0 ή B 0
είναι παράλληλη στο διάνυσμα v ( B ,A) 

και κάθετη
στο διάνυσμα u (A ,B)

 .
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνεται η ευθεία:
ε : 3x 4y 40 0  
α. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ε.
β. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου M(6 , 3) από την (ε).
γ. Να βρεθούν σημεία του άξονα x x που ισαπέχουν από την
(ε) και από την αρχή των αξόνων.
ΘΕΜΑ 3ο
Δίνεται το σημείο ,A( 2 4)  .
.Ι Να βρεθεί η ευθεία  δ η οποία διέρχεται από το σημείο A
τέτοια ώστε:
α. είναι κάθετη στην ευθεία που διέρχεται από το A και
από την αρχή των αξόνων .
β. σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία διπλάσια από την
γωνία που σχηματίζει με τον x x η ευθεία y 3x .
γ. σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν E 16 .
.ΙΙ Να βρεθεί ο γ.τ. του σημείου τομής της ευθείας που διέρχεται
από το A με την κάθετη σ΄αυτήν από την αρχή των αξόνων.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1ο
(εξίσωση ευθείας)

49. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
49
ΘΕΜΑ 1ο
Να βρεθεί η ευθεία  δ η οποία διέρχεται από το σημείο   A 2, 4 τέτοια ώστε:
1. Είναι παράλληλη στον άξονα: α) x x , β) y y
2. Απέχει από την αρχή των αξόνων τη μέγιστη δυνατή απόσταση .
3. Σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία διπλάσια από την γωνία που σχηματίζει με
τον άξονα x x η ευθεία y 3x .
4. Σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό E 4 .
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνεται η εξίσωση:      ε : 2x y 5 λ(x 2y 1) 0
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του  παριστάνει ευθεία.
β. Να αποδείξετε ότι η (ε) διέρχεται από σταθερό σημείο A.
γ. Να βρεθεί το εμβαδόν τετραγώνου που έχει μια κορυφή το A και μια του
πλευρά είναι επί της ευθείας:   δ : 5x 12y 10 0
δ. Να βρεθεί το  ώστε η ε να έχει μέγιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων.
ΘΕΜΑ 3ο
Οι συντεταγμένες δύο κινητών 1 2P ,P που κινούνται σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy
δίνονται συναρτήσει του χρόνου t από τους τύπους:
1P (t) (t ,t 3)  και 2P (t) (2t 5 ,t 1)   , αντίστοιχα.
1. Να βρεθεί η απόσταση τους τη χρονική στιγμή t 2
2. Να βρεθούν οι εξισώσεις των τροχιών τους.
3. Να εξηγήσετε γιατί δεν υπάρχει περίπτωση να συγκρουσθούν τα κινητά .
4. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που η απόσταση των 1 2P ,P γίνεται ελάχιστη.
ΘΕΜΑ 4ο
Δίνεται η ευθεία ε: y 2x 4   και το σημείο A(4,0).
1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το A(4,0) και είναι
κάθετη στην ( ) .
2. Να βρεθεί το σημείο της ( ) που είναι πλησιέστερο στο σημείο A(4,0).
3. Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το A(4,0) και σχηματίζει με την ( ) και
τον άξονα x x τρίγωνο με εμβαδόν E 4
4. Αν τα σημεία:  M α 1 , β 2  , α,β R ανήκουν στην ευθεία ε: y 2x 4   ,
να αποδείξετε ότι και τα σημεία  M 2α 3 , 3β 4  ανήκουν σε μια ευθεία  δ
της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2ο (εξίσωση ευθείας)

50. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
50
Δίνονται οι μιγαδικοί z της μορφής:
5z i
 
 
 
2 4
3 3 2 2
,   με   1
1. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z
2. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του | z |
3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του w
με:  w z Re(z) Im(z) i  2 3
4. Να αποδείξετε ότι: 8 15 25| z |  .
Έστω ,z w μιγαδικοί και  τέτοιοι , ώστε:
z w 0  και w z z (1 )i   
i. Να αποδείξετε ότι:
α. z 1 i   w 1 i 
β. | w | (1 2| |)| z | 
γ. υπάρχει 0,1  τέτοιος , ώστε:
z w και | z | | w |
ii. Αν w 1 2i  , να βρεθεί ο γεωμετρικός
τόπος της εικόνας του z.
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
® ΘΕΜΑ o2
Μιγαδικοί , μέτρο , γ. τόποι
ΜΟΡΦΕΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ
.1
.2 ® ΘΕΜΑ o2
Μιγαδικοί , μέτρο , γ. τόποι

51. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
51
Έστω ,z w μιγαδικοί διάφοροι του 0.
i. Να αποδείξετε ότι: 2 2
4|z| |w| 2(zw zw)  
ii. Αν 2 2
z zw w 0   , να αποδείξετε ότι:
α. 3 3
z w 0 
β. |z w| |z| |w|  
γ. για κάθε θετικό ακέραιο  ισχύει:
2 2
1 1 z zw w|z w| |w|
2

      
Έστω συναρτήσεις f ,g συνεχείς στο διάστημα ,[0 1],
τέτοιες ώστε:
f (x) 0 και 0 g(x) 1  , για κάθε ,x [0 1] .
Θεωρούμε τις συναρτήσεις F G H, , με :
0
x
F(x) f (t)dt  ,
0
x
G(x) g(t)dt 
και
0
x
H(x) f (t)G(t)dt  , ,x [0 1] .
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε ,x (0 1] ισχύει:
H(x) F(x) G(x) 
β. Να αποδείξετε ότι για κάθε ,x (0 1) ισχύει:
H(x) H(1)
1
F(x) F(1)
 
γ. Αν
1
0
H(1) g(t)F(t)dt F(1) G(1)   ,
να αποδείξετε ότι υπάρχει ,(0 1) τέτοιο ώστε:
f ( ) 1 F( )
g( ) 1 G( )
 
 

 

.
δ. Να υπολογιστεί το όριο:
2
x 0
H (x)
lim
F(x) G(x)
 
.
® ΘΕΜΑ o4
Ολοκλήρωμα και διάταξη -
μονοτονία - θ. Rolle - όρια
 ΘΕΜΑ o2
Μιγαδικοί , μέτρο
3.
4.

52. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
52
Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο  με :
f (1) f (1) 0  και f ( x ) 0  , για κάθε x
Θεωρούμε τις συναρτήσεις F G, με:
1
x
F(x) f(t)dt  και
1
x
G(x) F(t)dt  , x
Να αποδείξετε ότι :
α. Οι F, G έχουν στο ox 1 κοινή εφαπτομένη.
β. Η f παρουσιάζει μέγιστο στο ox 1
γ. Η G παρουσιάζει ελάχιστο στο ox 1 .
δ. Για κάθε x 1 ισχύει: G(x) F(x) .
Έστω συναρτήσεις f ,g παραγωγίσιμες στο διάστημα [0, ) ,
τέτοιες ώστε: g(0) f (0) 1 
Έστω ακόμα ότι για κάθε x [0, )  ισχύουν:
g(x) 0 και 2
2f (x)f (x)
g(x)
f (x) 1



,
Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
2
0
x
G(x) f (t)g (t)dt  ,
0
x
H(x) f (t)g (t)dt  , x 0 .
1. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0 ισχύει:
H (x) 1
G (x) g(x)
    
  
2. Αν είναι H(1) G(1) , να αποδείξετε ότι :
υπάρχει (0,1) τέτοιος ώστε: 2
g ( ) g ( )   .
3. Να βρεθούν οι f ,g , αν για κάθε x 0 ισχύει:
2
G(x)g (x)
H(x) 2G(x)
g (x)

   .
® ΘΕΜΑ o4
Εύρεση συνάρτησης - θ. Rolle
® ΘΕΜΑ o4
εφαπτομένη , ακρότατα , ολοκλήρωμα
και διάταξη, ανισότητες
5.
6.

53. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
53
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο  τέτοια ώστε :
0
1
f(t)dt 1 , f(x) 0 , για κάθε x 0 και
5
f( x) F(x) 3x   , για κάθε x ,
όπου
0
x
F(x) f(t)dt  , x .
. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει:
6
F(x) F( x) x   
. Να αποδείξετε ότι f
. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται
από τη fC και τη γραφική παράσταση της αντίστροφης της
f στο διάστημα ,[0 ) .
. Αν για μια συνάρτηση g ισχύει:  g(x)
ln e 1 f(x)  , x ,
να υπολογιστεί το όριο:
 
x
f(x)
ln e 1
lim
g(x)

.
Δίνεται η συνάρτηση f με:
,
,
x
x
e x 1 x 0
f (x)
e x 0

  
 
 
α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
β. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει:
f(x) 0
γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 1 ισχύει:
f(lnx) f(x)
δ. Να αποδείξετε ότι για x 0 , η εξίσωση:
f
έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα.
® ΘΕΜΑ o4
Εύρεση συνάρτησης - εμβαδό χωρίου
όρια
7.
® ΘΕΜΑ o4
μονοτονία ,ανισώσεις, ρίζες,
θ. Bolzano
8.

54. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
54
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο  με συνεχή
παράγωγο, τέτοια ώστε :
f (x) 1  , για κάθε x
Να αποδείξετε ότι:
α. f( )   .
β. Υπάρχει μοναδικό  τέτοιο ,ώστε : f( )   .
γ. Αν οι γραφικές παραστάσεις των f , 1
f
έχουν
κοινό σημείο , τότε αυτό είναι μοναδικό.
δ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα ,τότε:
x
lim f ( x) 1

 
Δίνεται η συνάρτηση f με:
2
f(x) ln(x x 1) x   
α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 2
f (x) f(x)
έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.
γ. Να αποδείξετε ότι η f
C έχει δύο σημεία καμπής.
δ. Να αποδείξετε ότι η f
C δεν έχει ασύμπτωτες.
ε. Αν 1   και 1  , να αποδείξετε ότι η
εξίσωση:
xx 0
f(x) 1 f(x) 1
   
 
, έχει μια
τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα ,( )  .
® ΘΕΜΑ o4
μονοτονία , σ. τιμών, ολοκλήρωμα και
διάταξη , κρ. παρεμβολής ,ασύμπτωτες
9.
® ΘΕΜΑ o3
μονοτονία , ρίζες , σ.κ. , ασύμπτωτες,
θ. Bolzano
10.

55. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
55
Έστω συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή
δεύτερη παράγωγο στο διάστημα ,[0 3] , τέτοια ώστε:
f (0) f (2) f (3) f (1)  
Να αποδείξετε ότι :
α. η συνάρτηση: h(x) f(x) f(3)  έχει δύο τουλάχιστον
ρίζες στο διάστημα ,(0 3) .
β. υπάρχει ox (0,3) τέτοιος ώστε: of (x ) 0 
γ. υπάρχουν 1 2, ,(0 3)   τέτοιοι ώστε :
1 2f ( ) f ( ) 0   
δ. υπάρχει ,(0 3) τέτοιος ώστε: f ( ) 0 
Δίνεται η συνάρτηση f με:
2 2xf (x) e ( )x 1       ,
όπου  σταθερά με 0  .
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και κυρτή
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός o
,x ( )  
τέτοιος ώστε: of(x ) 0 .
γ. Να αποδείξετε ότι η f
C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο  .
δ. Να προσδιοριστεί η τιμή του  έτσι ώστε το εμβαδό E
του χωρίου που περικλείεται από την f
C , την ασύμπτωτη
της στο  και τις ευθείες x   και x  να
ισούται με 3
2
.
® ΘΕΜΑ o4
θ. Rolle , .M.T. , θ. Bolzano
11.
® ΘΕΜΑ o4
μονοτονία ,ακρότατα, θ. Bolzano ,
ασύμπτωτες, εμβαδόν χωρίου
12.

56. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
56
Έστω οι μιγαδικοί 1 2 3, ,z z z , w για τους οποίους
ισχύουν:
3 3 3
1 2 3
w z z z   , 1 2 3z + z + z 2 ,
2 2 2
1 2 3z + z + z 0 και 1 2 3| z | | z | | z |    .
Να αποδείξετε ότι :
α. 1  , β. 1 2 3z z z 1  
γ. 2
w 2w 3 0   , δ. w 1 
Έστω f , g συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιμες στο 
για τις οποίες ισχύουν οι συνθήκες:
Η f είναι κυρτή και η g είναι κοίλη με :
f (x) 0 g(x)  και f (x) 0 g (x)   , για κάθε x .
Να αποδείξετε ότι:
α. Η συνάρτηση f g είναι γνησίως φθίνουσα.
β. Η συνάρτηση f g είναι κοίλη.
γ. Αν η ευθεία y x   , είναι κοινή ασύμπτωτη
των fC , gC στο  , τότε 0  
δ. Αν f( ) g( ) 2    ,f( ) g( ) 2    , f (x) 1 
και g(x) x , για κάθε ,x ( )  , να αποδείξετε
ότι η εξίσωση:
x f (x) 1 g (x)
0
x g(x) 1 f (x)
 
 
 
,
έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο ,( )  .
® ΘΕΜΑ o4
μονοτονία , κυρτά -κοίλα,
ασύμπτωτες , ρίζες , θ. Rolle
13.
14. ® ΘΕΜΑ o2
μιγαδικοί , μέτρο

57. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
57
Έστω η συνάρτηση f με :
x
f(x) ln(e x 2x)

  
όπου  
 , σταθερά. .
Να αποδείξετε ότι:
i. για κάθε  
 η f έχει πεδίο ορισμού ένα διάστημα
 με το 0 εσωτερικό του  .
ii. αν f ( x) 0 , για κάθε x , τότε α 1 και fD  
iii. για α 2 , η f είναι γνησίως αύξουσα και για α 0 ,
είναι γνησίως φθίνουσα.
iv. για α 1 , η f έχει ακριβώς δυο σημεία καμπής
Έστω η συνάρτηση f με :
2xf(x) ln(e x x)  
α. Να αποδείξετε ότι η f έχει πεδίο ορισμού το  .
β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της fC παράλληλη
στην y x .
δ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y x είναι ασύμπτωτη της
fC στο  .
ε. Να προσδιοριστούν οι τιμές του  έτσι ώστε, για
κάθε x να ισχύει:
 2
f(x x ) 1   .
® ΘΕΜΑ o3
θ. Fermat , σ.κ. , ασύμπτωτες , εμβαδό ,
κρ. παρεμβολής
15.
® ΘΕΜΑ o3
μονοτονία, ακρότατα, εφαπτομένη,
κρ. παρεμβολής , ασύμπτωτες ,
16.

58. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
58
Έστω η συνάρτηση f με :
1x xf(x) e e 2x  
α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό o ,x (0 1) τέτοιο
ώστε of (x ) 0  .
β. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο
o( , x ] και γνησίως αύξουσα στο o[ x , ) .
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  τέτοιο,
ώστε για τη συνάρτηση xg(x) e 2x  , να ισχύουν
οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle στο διάστημα
 ,[ 1] .
δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  o1 x  έτσι
ώστε για κάθε ox x να ισχύει:
2
f(x x) f(1 )   
Έστω η συνάρτηση f με :
21x xf(x) e e x   
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό o ,x (0 1) τέτοιο
ώστε of (x ) 0  .
γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό  τέτοιο, ώστε για
τη συνάρτηση xg(x) e 2 x   , να ισχύουν οι συνθήκες
του θεωρήματος Rolle στο διάστημα ,[ 1 ]  .
δ. για το παραπάνω ,(0 1) , να αποδείξετε ότι υπάρχει
,( 1 )    τέτοιο ώστε 1e
2
  .
® ΘΕΜΑ o4
μονοτονία , ακρότατα, θ. Bolzano,
θ. Rolle , θ. Fermat
17.
® ΘΕΜΑ o4
μονοτονία , ακρότατα, θ. Bolzano,
θ. Rolle , θ. Fermat
18.

59. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
59
Έστω η συνάρτηση f με :
,
,
1
xx x 0
f ( x )
0 x 0
e 
 
 
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο ,( 0] .
β. Να βρεθούν τα ακρότατα της f .
γ. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της fC
δ. Να λυθεί η ανίσωση: 2 2
f( x x 2) f( 2x 2)      .
ε. Να αποδείξετε ότι για κάθε x 
 ισχύει:
 xf ln(e x) e  
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο  ,με συνεχή παράγωγο,
τέτοια ώστε :
1f 0
2
( )  και 2xf(x) f (x)
e
f(x) f (x)



, για κάθε x .
α. Να αποδείξετε ότι: 2
x
x
ef(x)
1 e


, x .
β. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
1
0
x
e f (x)dx
γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0  ισχύουν για την f οι
συνθήκες του θεωρήματος Rolle στο διάστημα ,[ ]  .
δ. Να αποδείξετε ότι , στο διάστημα ,( 1 1) , έχει μία του-
λάχιστον πραγματική ρίζα η εξίσωση:
x 1 x 1 0
f(x) 1 f( x) 1
  
  
.
19.
® ΘΕΜΑ o4
εύρεση συνάρτησης , ολοκλήρωση,
θ. Rolle , θ. Bolzano
20.
® ΘΕΜΑ o3
μονοτονία , ακρότατα, ασύμπτωτες,
de l' Hospital , ανισώσεις

60. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
60
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:
,
,
,
x
x
1 e x 0
x
f(x) 1 x 0
e 1 x 0
x
 


 
  

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής
β. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια.
δ. Αν
x
x
F(x) f(t)dt

  , x , να υπολογιστεί
το όριο
x 0
F(x)
lim
x
..
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο:
 1f(x) 1
x

  , x (0 ,2]
όπου  ακέραιος με 2 
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0 ,2]
β. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο (0 ,2]
γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε , (0,2]  με 2   
ισχύει: 1
f( ) f( ) 2
   
δ. Αν
x
2 x
F(x) f(t)dt


 , x (0 ,2] , να αποδείξετε ότι:

x 1
1F(x)
lim 2
1 x



Θ. o4 : συνέχεια , μονοτονία , άρτια , όρια,
® κρ. παρεμβολής , καν. Hospital
21.
Θ. o3 : μονοτονία , κυρτότητα , Θ.Μ.Τ.
® όρια - καν. Hospital
22.

61. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
61
Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: x
f(x) e x 
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει: f(x) 1
β. Έστω συνάρτηση g :   γνησίως φθίνουσα συνεχής
τέτοια ώστε: g(0) 0 και g( )   .
Έστω ακόμα η συνάρτηση F με:
0 0
x
x
t
e
F(x) eg(t)dt g(t)dt   , x
Να αποδείξετε ότι :
1. η F είναι γνησίως φθίνουσα.
2. αν η F είναι κυρτή , τότε η συνάρτηση h με:
x
h( x) g(e ) g( x)  είναι γνησίως φθίνουσα.
3. F( )  
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο  με συνεχή παράγωγο
τέτοια ώστε :
f(0) 2 , f( )   και f (x) 0  , για κάθε x .
Έστω ακόμα ότι υπάρχει   τέτοιος ώστε για κάθε x
να ισχύει:    
f(x)
f f(x) f(t) t dt

 
 .
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει: f(x) f (x) x 
β. Να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει: x
f(x) e x 1  
γ. Να αποδείξετε ότι f( ) 0 
δ. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: 1
2
0
f (y)dy
 .
Θ. o4 : μονοτονία , ακρότατα,
® κρ. παρεμβολής , καν. Hospital
23.
Θ. o4 : μονοτονία , εύρεση συνάρτησης ,
® ολοκλήρωμα αντίστροφης
24.

62. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
62
Έστω η συνάρτηση f με :
xf(x) e 2x 1   
α. Να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη.
β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε):y 2x 1  είναι
ασύμπτωτη της fC .
γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με: g(x) f(x) 3x  .
1. Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0.
2. Να υπολογιστεί το
1
1
g(x)dx
 .
3. Αν oE(x ) είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
από: τη fC , την παραπάνω ευθεία (ε) και τις ευθείες
x 0 και ox x , με ox 0 , να αποδείξετε ότι:
o
x
lim E(x ) 1

 .
Έστω η συνάρτηση f με :
3 2
3 2
,
,
2x αx βx
x 1
x 1f(x)
x γx x 1
 

 
  
α. Να βρεθούν οι τιμές των , ,α β γ  για τις οποίες f είναι
παραγωγίσιμη στο 1.
β. Αν , ,α 3 β 1 γ 0   , τότε:
1. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία.
2. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονίαι τα κοίλα.
3. Να υπολογιστεί το
1
1
f(x)dx
 .
Θ. o3 : μονοτονία , ασύμπτωτες,
® καν. Hospital , ολοκλήρωμα, εμβαδό
25.
Θ. o2 ορισμός παραγώγου , μονοτονία ,
® σημεία καμπής , ολοκλήρωμα
26.

63. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
63
Έστω f , g συναρτήσεις συνεχείς στο διάστημα ,[0 1] με :
  f g (0) 0 ,
0 0
1 1
g(t)dt f(t)dt 0  
και
0 0
x x
f(x)g(x) f(x) g(t)dt g(x) f(t)dt   ,
για κάθε ,x [0 1] .
α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη
στο 0 .
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ,ξ (0 1) τέτοιο ώστε:
 f g( ) 0   .
γ. Να αποδείξετε ότι: 
0
1
f(x)g(x)dx 0.
δ. Να υπολογιστεί το όριο: 0
x 1
0 0
x
x x
f(t)g(t)dt
lim
f(t)dt g(t)dt


 
.
Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ,[0 ) , δυο φορές
παραγωγίσιμη στο ,(0 ) , με f(0) 0 , τέτοια ώστε για
κάθε x 0, να ισχύουν:
f(x) 0 , 4
x f (x) f(x)  και 3
x f (x) f(x) xf (x)  
α. Να αποδείξετε ότι : 
1
xf(x) xe , x 0.
β. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο 0
γ. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
δ. Να βρεθεί η συνάρτηση G με:
   
1
x
f(t) tf (t) tf (t)G(x) dt , x 0
Θ. o2 ορισμός παραγώγου , Θ. Rolle ,
® ολοκλήρωμα, όρια- καν. Hospital
27.
Θ. o2 εύρεση συνάρτησης , όρια- καν.
® Hospital , ολοκλήρωμα, ακρότατα
28.

64. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
64
Δίνεται η εξίσωση:
2
2 λ λ 1 λ 1 0( ) ( )z z     (1)
όπου λ πραγματικός αριθμός .
α. Να αποδείξετε ότι για κάθε λ 2 η εξίσωση (1)
έχει δύο μιγαδικές ρίζες.
β. Έστω 1z , 2z είναι δύο μιγαδικές ρίζες της (1) με
1 2 2 2| z | | z |  . Να αποδείξετε ότι:
1. λ 1 , 2. 1 2
8 8 4 1ν ν ν2z z   , για κάθε ν.
γ. Έστω 1z , 2z είναι δύο μιγαδικές ρίζες της (1) και
ο μιγαδικός w με :
1 2 1 2w z z (z z )i  
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του w .
α. Έστω συνάρτηση g :   τέτοια ώστε:
1 1g( )  και για κάθε x , να ισχύει:
1g (x) ( x)g(x)   .
1. Να αποδείξετε ότι :
2
2
1(x )
g(x) e
 
 , x .®
2. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της g.
β. Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο  ,
με συνεχή δεύτερη παράγωγο τέτοια ώστε: 1 0f ( ) 
και για κάθε x , να ισχύει:
1( )x f (x) f (x)  
1. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση h
με: h(x) g(x) f (x) 
2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει
μέγιστο στο 1.
Οι λύσεις στο επόμενο τεύχος
® Θ. o2 μιγαδικοί , μέτ ρο , γεωμ. τόποι29.
Θ. o3 εύρεση συνάρτησης , ακρότατα30. 

65. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ. ΤΣΙΚΑΛΟΥΔΑΚΗΣ
65