Aποκλειστικά από το lisari

1. Σελίδα 1 από 9
Β΄ ΑΡ΢ΑΚΕΙΟ ΣΟ΢ΙΣ΢ΕΙΟ ΓΕΛ ΕΚΑΛΗ΢
ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ Γ΄ ΛΤΚΕΙΟΤ
ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟ΢ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ΢
ΠΑΡΑ΢ΚΕΤΗ 20 – 11 – 2015
Ονοματεπώνυμο: ……………………………………………
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να χαρακτηρίσετε τις ακόλουθες προτάσεις ως Σωστές ή Λανθασμένες.
1. Αν f (x) 5 για κάθε    o ox α,x x ,β  τότε είναι βέβαιο ότι
0x x
lim f(x) 5

 .
2. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε σύνολο της μορφής    0 0α,χ χ ,β και  ,
τότε ισχύει η ισοδυναμία:  0 0x χ x χ
lim f(x) lim f(x) 0
 
   
3. Αν
x 0
lim f(x) 1

 τότε
x 0
limf(x) 1

 ή
x 0
limf(x) 1

  .
4. Αν για τις συναρτήσεις f , g ισχύει ότι f gA A  και
x x
lim f(x) lim g(x)
 
 τότε
είναι βέβαιο ότι f (x) g(x) για κάθε x κοντά στο .
5. Αν f, g, h είναι συναρτήσεις τέτοιες ώστε
0
1
x x
lim f(x)

 ,
0
2
x x
lim h(x)

 ,
f(x) g(x) h(x)  για κάθε    0 0x ,x x ,    και το όριο
0x x
lim g(x)

δεν υπάρχει,
τότε είναι βέβαιο ότι 1 2 .
Μονάδες 10
Α2. Στις ακόλουθες προτάσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
1. Το
x 0
x x
lim
x
 

Α. ισούται με  Β. ισούται με 0 Γ. ισούται με 1 Δ. ισούται με 
Ε. δεν υπάρχει
2. Το
2
x
2
2x x
xlim
1 3x
 

ισούται με
Α. –1 Β.
1
3
Γ. 0 Δ.
1
3
 Ε. 1

2. Σελίδα 2 από 9
3. Το
x 1 x 2
2x xx
4 3
lim
2 3
 



ισούται με
Α. 4 Β.  Γ. – 9 Δ.  Ε. –1
4. Το
x 0
ln x
lim
x
 
 
 
Α. ισούται με  Β. ισούται με 0 Γ. ισούται με e Δ. ισούται με 
Ε. δεν υπάρχει
5. Το   x
x
lim x ln 1 3

  ισούται με
Α.  Β. 0 Γ. ln3 Δ. ln3 Ε. 
Μονάδες 15
ΘΕΜΑ Β
Β1. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να υπολογίσετε το όριο
 2 2 2
x
lim x 2x 1 x 1

     .
Μονάδες 10
Β2. Να βρείτε τις τιμές των ,  έτσι ώστε 2x 1
2 x 1
lim 1
x x
 

   
.
Μονάδες 15
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Θεωρούμε συναρτήσεις f,g :  τέτοιες ώστε
3
f (x) x 1 x   για κάθε x  και
x 0
g(x) 2
lim 1
x

  .
α. Να αποδείξετε ότι
x 0
f(x) 1
lim 1
x

 και
x 0
limg(x) 2

  .
Μονάδες 8
β. Να υπολογίσετε το όριο
3
3x 0
f(x)g (x) 8
lim
x x 1 1

  
.
Μονάδες 5

3. Σελίδα 3 από 9
Γ2. Στο διάγραμμα που ακολουθεί φαίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f
με πεδίο ορισμού 1 .
Να υπολογίσετε τα ακόλουθα όρια :
α.
x 0
1
lim
f(x)
β.
x 1
f (x)
lim
f (x) 2

 
 
  
γ.
x 2
1
lim
(x 2) f (x)
 
 
  
Μονάδες 12
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν

3 2 3
f (x) xf (x) 2 x   για κάθε x  ,

x 0
f(x)
lim
x
  και
x x
f(x) f(x)
lim lim
x x 
   με ,  και 0    .
Δ1. Να αποδείξετε ότι 1  και 0  .
Μονάδες 8
        






x
y

4. Σελίδα 4 από 9
Δ2. Να υπολογίσετε τα όρια
α.
x
f (x) x 2015
lim
f ( x) x 2016
 
  
β.
 
x 0
f x
lim
x x  
Μονάδες 10
Δ3. Να αποδείξετε ότι το όριο
x 0 2 3
x f (x)
lim
x x



είναι καλώς ορισμένο και στη συνέχεια
να το υπολογίσετε.
Μονάδες 7

5. Σελίδα 5 από 9
ΕΝΔΕΙΚΣΙΚΕ΢ ΑΠΑΝΣΗ΢ΕΙ΢ ΔΙΑΓΩΝΙ΢ΜΑΣΟ΢ ΟΡΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α
Α1. ( δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει το
0x x
lim f (x)

)
3 ( δεν γνωρίζουμε αν υπάρχει το
x 0
limf(x)

. Για παράδειγμα , αν
x 1 , x 0
f(x)
x 1 , x 0
 
 
  
τότε
x 0 x 0
lim f (x) lim x 1 1
 
   αλλά το
x 0x 0 x 0
lim f (x) lim f (x) limf (x)   
  δεν υπάρχει).
( Είναι  x x x x x
lim f(x) lim g(x) lim f(x) lim g(x) 0 lim f(x) g(x) 0
    
      
άρα f(x) g(x) 0 f(x) g(x)    κοντά στο  ).
( Αν ήταν 1 2 τότε από το κριτήριο παρεμβολής θα είχαμε
0
1 2
x x
lim g(x)

 
ΑΤΟΠΟ διότι το
0x x
lim g(x)

δεν υπάρχει).
Α2. 1. Σωστή απάντηση το Α
Λόγω της ρίζας είναι 0x οπότε  x 0 x 0
x x 1
lim lim x x
x x 
  
      
  
,
διότι κοντά στο 0
είναι x 0  άρα
x 0
1
lim
x

 

και  x 0
lim x x 1

   .
2. Σωστή απάντηση το Α
Είναι
2
x x x x
22 2
xx xx 4 14x x 4 1
22 2 2
2x x
xx x xlim lim lim lim 1
111 3x 1 3x 3x 3
xx
   
 
  
     
  
     
     
 
,
διότι
x
2
u
x
x lim u 0 u 0
2
uxlim lim 1
2 u
x


  


  και
x
1
lim 0
x
 .
3. Σωστή απάντηση το Γ
Είναι
x
x 1 x 2 x x
2x x x xx x x
3
4 3 4 4 9 3
lim lim lim
2 3 4 3
 
  
   
 
 
x
x
4
4 9
3
3
  
     
x
x
4
1
3
x
4
lim 0
3
9
4
1
3


 
 
 
 
  
     
.
4. Σωστή απάντηση το Α
Λόγω του ln x είναι 0x οπότε
x 0 x 0
ln x 1
lim lim ln x
x x 
 
    
 
, αφού
x 0
1
lim
x

  και  x 0
lim ln x

  .

6. Σελίδα 6 από 9
5. Σωστή απάντηση το Ε
Είναι      
x
x x x
xx x x
e
lim x ln 1 3 lim lne ln 1 3 lim ln
1 3  
  
           
και αφού
e
0 1xx x 3
xx x xx
xx
e e e 1
lim lim lim 0 1 0
11 31 3 13 1
33
 
  
 
  
      
           
, αν θέσουμε
x
x
e
u 0
1 3
 

τότε
 
x
xx u 0
e
lim ln lim ln u
1 3 
 
  
       
.
ΘΕΜΑ Β
Β1. Έστω 2 2 2
f(x) x 2x 1 x 1      , τότε πρέπει και αρκεί 2
x 1 0 x   
και 2 2
x 2x 1 0    για το οποίο έχουμε:
 αν 0  τότε 2
4 4 0     άρα    2 2
1 2x 2x 1 0 x , ,          
όπου 1 2   οι ρίζες του τριωνύμου.
 Αν 0  τότε
1
2x 1 0 x
2
    ,
συνεπώς
   1 2
f
, , , 0
A 1
, , 0
2
       

   
    
που σημαίνει ότι
Αν 0  το όριο
x
lim f(x)

δεν είναι καλώς ορισμένο.
Αν 0  , τότε

  
    
                  
     
x 0
2 2
2 2 2 2x x x
2 1 1 2 1 1
lim f(x) lim x λ x 1 lim x λ 1
x xx x x x
με

 
x
lim x και

 
        
 
2
2 2x
2 1 1
lim λ 1 1 λ
x x x
.
Αν    
0
1 0 1 1 0 0 1

       
λ
λ λ λ , , τότε

 
x
lim f(x) .
Αν 1 0 1 1 1       λ λ λ ή λ τότε

 
x
lim f(x) .
Αν 1 0 1 1      λ λ λ , τότε
 
  
   
           
       
       
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2x x x x
x 2x 1 x 1 x 2x 1 x 1 x 2x 1 x 1
lim f(x) lim x 2x 1 x 1 lim lim
x 2x 1 x 1 x 2x 1 x 1
0
2 22 2
2 22 2
2
1
22 1 12 1 1
1 11 1

 
 
  
     
 
          
 
x
x x
x
x xlim lim
x
x x xx x x
.

7. Σελίδα 7 από 9
Β2. Αφού  x 1
lim 2 x 1 0

   και  2
x 1
lim x αx β 1 α β

     , τότε :
 Αν 1 α β 0   τότε 2x 1
2 x 1
lim 0 1
x αx β
 
 
 
, απορρίπτεται.
 Αν 1 α β 0 β α 1       (1) , τότε
       
  
   2x 1 x 1 x 1 x 1
2 x 1 2 x 1
2 x 1 2 x 1 2 x 1
lim lim lim lim
x αx α 1 x 1 x 1 α x 1 x 1 x 1 α x 1 x 1 α 2 x 1
   
   
     
   
              
        x 1 x 1
1 x 1
lim lim
1 x 1 x x 1 α 2 x 1 1 x x 1 α 2 x 1
 

 
            
με      x 1
lim 1 x x 1 2 x 1 4 2

            
  
.
Αν  4 2 0 2        τότε
   x 1
1
lim
1 x x 1 α 2 x 1


     
, απορρίπτεται
Έτσι 2   , οπότε
     x 1
1 1
lim
4 2 α1 x x 1 α 2 x 1

 
     
συνεπώς ,
 
1 1 9
1 α 2 α
4 2 α 4 4
        

και
9 5
(1) β 1 β
4 4
      .
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. α. Είναι
     
          
x 0
3 2 2 2
f(x) 1 x f(x) 1 x f(x) 1
f(x) x 1 x x x 1 x
x x x
2 2 2 2f(x) 1 f(x) 1
x 1 x 1 x 1 x
x x
 
          και αφού
 
   2 2
x 0 x 0
lim(1 x ) lim(1 x ) 1,
τότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται ότι



x 0
f(x) 1
lim 1
x
.
Επίσης, αν
g(x) 2
h(x)
x

 , x 0 τότε ( ) ( ) 2 g x xh x με
x 0
limh(x) 1

  .
Έτσι    x 0 x 0
limg(x) lim xh(x) 2 0 1 2 2
 
        .
β. Είναι  3
x 0
lim x x 1 1 0

     , άρα 3
x x 1 0   κοντά στο 0.
Έτσι
      
     
   
         
3 3 3 3 3 3
33 2 2x 0 x 0 x 0 x 0
f(x)g (x) 8 f(x)g (x) 8 f(x)g (x) 8 f(x)g (x) g (x) g (x) 8
lim lim lim lim
x x 1 1x x 1 1 x x 1 x x 1
   
 
    
 
3 3 3 2
2 2x 0 x 0
g (x) f (x) 1 g (x) 8 g (x) f (x) 1 g(x) 2 g (x) 2g(x) 4
lim lim
x x 1 x x 1 
       
  
   
 
3 2
2 2x 0
f(x) 1 g (x) g(x) 2 g (x) 2g(x) 4 8 12
lim 1 1 4
x x 1 x x 1 1 1
     
            
      

8. Σελίδα 8 από 9
Γ2. α. αφού
x 0
limf(x) 0

 και f(x) 0 κοντά στο 0, τότε
x 0
1
lim
f (x)
  .
β. Είναι
1
( ) 0
1 1 ( ) ( )
1 ( ) 1 3 ( ) 2 1 1 ( )
3 ( ) 2 3 ( ) 2



                  
 
κοντά στο
f x
f x f x
συνf x συνf x f x
συνf x συνf x
και αφού
x 1
lim f(x)

  τότε  1 1
( )
lim lim ( )
3 
 
 
     
 x x
f x
f x οπότε από το κριτήριο παρεμβολής
έπεται
x 1
f (x)
lim
συνf (x) 2

 

.
γ. Αφού  
x 2 0 , f(x) 0 κοντά στο 2
x 2 f(x) 0 κοντά στο 2
x 2 0 , f(x) 0 κοντά στο 2


   
   
    
και  x 2
lim x 2 f(x) 0

    
τότε
x 2
1
lim
(x 2) f(x)
 
  
  
.
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Αν x 0 τότε
3 3 2 33 2 3x 0
3 2 3
3 3
f (x) xf (x) 2 x f(x) f(x) x
f (x) xf (x) 2 x 2
x x x x x
        
            
     
και αφού
x 0
f(x)
lim
x

  και
x 0
x
lim 1
x


 τότε
3 2 3
3 2
x 0 x 0
f(x) f(x) x
lim lim 2 2
x x x 
 
        
              
           
(1)
Ομοίως, αν x 0 προκύπτει ότι 3 2
2    (2).
Από τις (1), (2) προκύπτει ότι   
Horner
3 2 3 2 2
2 2 0 1 2 2 0 1                     .
Επιπλέον,
x
f(x)
lim
x
  και
x
x
lim 0
x

 οπότε
3 2 3 3 2 3
3 2
x x
f(x) f(x) x f(x) f(x) x
2 lim lim 2 0
x x x x x x 
               
                      
                 
(3)
Ανάλογα, για x 0 είναι
3 2 3 3 2 3
3 2
x x
f(x) f(x) x f(x) f(x) x
2 lim lim 2 0
x x x x x x 
               
                      
                 
(4)
Από τις (3), (4) προκύπτει ότι  3 2 2
0 1 0 0           ή 1   , απορρίπτεται διότι
0 1 0 1          .
Δ2.
x x x
f (x) x 2015 f (x) 2015
1
f (x) x 2015 0 1 0x x xlim lim lim 1
f ( x) x 2016 f ( x) 2016f ( x) x 2016 0 1 01
x x x
  
 
 
   
    
        
διότι
x
u x
x lim ( x) u
f( x) f(u)
lim lim 0
x u

   
  
   
 
.

9. Σελίδα 9 από 9
Επίσης,
       
x 0 x 0 x 0 x 0
f x f x f x f xx x 1
lim lim lim lim
xxx x x x x x x 1x 1
xx
   
   
    
                          
διότι για x 0 είναι
x x x
x x 1 1 1 1
x x x
  
          άρα
x
1 0
x

  οπότε
x 0
1
lim
x
1
x

 


.
Δ3. Αφού
x 0
f(x)
lim 1
x
 τότε
x 0
f (x)
lim 1 0
x

  οπότε f(x) 0 κοντά στο 0
.
Έτσι, αν
2 3
x f(x)
g(x)
x x



τότε πρέπει και αρκεί x 0 και f(x) 0 που ισχύει κοντά στο 0
συνεπώς η g ορίζεται σε διάστημα της μορφής  0, .
Ακόμα,
x 0 x 0
f(x)
limf(x) lim x 1 0 0
x 
 
     
 
( βγαίνει και με θέτω συνάρτηση ), οπότε
x 0 x 02 3 2 3
x f(x) x f(x) x f(x)
lim lim 1
x f(x)x x x x
 
  
   
   
διότι
x 0
u x f (x)
x 0 u 0lim x f (x) 0
x f (x) u
lim lim 1
ux f (x) 

 
     
 
 
και
 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 02 3
x f(x) x f(x) f(x) f(x) f(x) 1
lim lim lim lim lim 1
xx x x x x x 1x x 1x x
    
 
       
     
.