2. Ταξη: Α Γενικού Λυκείου
Άλγεβρα
Έκδοση 15.07
Η συλλογή αυτή διανέμεται δωρεάν σε ψηφιακή μορφή μέσω διαδικτύου
προορίζεται για σχολική χρήση και είναι ελεύθερη για αξιοποίηση
αρκεί να μην αλλάξει η μορφή της
Μίλτος Παπαγρηγοράκης
Μαθηματικός MEd
Χανιά 2015
Ιστοσελίδα: http://users.sch.gr/mipapagr
3. Α Λυκείου –
0 ΚΕ
Μαθηματ
0.01 Δι
προτάσεων:
Α) Υπ
Β) Μ
Γ) Υπ
τετράγωνό τ
Δ) Κά
0.02 Ν
προτάσεις τ
Α) Αν
Β) Αν
τότε είναι ισ
Γ) Αν
είναι ισοσκε
0.03 Δε
0.04 Ν
αντιθετοαντ
Α) Αν ο 2
x
περιττός ,
Β) Αν ένα τε
τότε αυτό δε
0.05 Ν
Α) p q
Γ) p q
0.06 N
κάθε μια απ
A) α
B) 2
α
Γ) 2
α
–Άλγεβρα
ΕΦΑΛΑΙΟ
τική Λογική
ιατυπώστε τι
:
πάρχει τρίγω
Μερικοί ακέρα
πάρχει πραγ
του είναι αρν
άθε τετράπλε
α διατυπώσε
των προτάσεω
ν α 3 τότε
ν ένα τρίγων
σοσκελές ,
ν ένα τρίγων
ελές.
είξτε ότι p
α διατυπώσε
τίστροφες πρ
είναι περιττ
ετράπλευρο
εν είναι ορθο
α αποδείξετε
q p
q
α χαρακτηρί
πό τις παρακ
2 α 2
2
4 α 2
2
4 2
Ο 0
ή
ις αρνήσεις τ
ωνο που είνα
αιοι είναι πρ
γματικός αριθ
νητικό ,
ευρο είναι τε
ετε τις αντίστ
ων:
2
α 9 ,
νο έχει δύο γ
νο είναι ισόπ
q q
ετε τις
ροτάσεις των
τός τότε και ο
έχει άνισες δ
ογώνιο.
ε ότι:
Β) p q
Δ) p p
ίσετε ως Σωσ
κάτω συνεπαγ
2 ,
α 2 .
ων
αι ορθογώνιο
ρώτοι ,
θμός που το
ετράγωνο.
τροφες
γωνίες του ίσε
πλευρο τότε
p .
ν προτάσεων:
ο x είναι
διαγωνίους,
p ,
q .
στή ή Λάθος
γωγές:
ο
ες
:
Σ
0.
στ
Β)
Δ)
σω
3
0.
A
B
Ν
0.
συ
β)
γ)
0.
Β
A
0.
Ν
0.
υπ
χα
απ
Α
Β)
Γ)
Δ)
ύνολα
.07 Α) Ν
τοιχείων του
2 x 1 και
) Γράψτε το σ
) Για τα προη
ωστές ή λάθο
Γ , (0,2)
.08 Δίνο
A x R /(x
B y R /(y
Να βρείτε τα σ
.09 Να β
υνόλων: α) A
) A R 1,
) A 3,
.10 Αν Ω
Β 3,4 τότε
A B A
.11 Να σ
Ν Ζ ... , R
.12 Έστω
ποσύνολα εν
αρακτηρίσετ
πό τις παρακ
Α) Αν A
) Αν B
) Αν A
) Είνα
Να γράψετε μ
το σύνολο: Β
ι y R με 2x
σύνολο Γ={2,
ηγούμενα σύ
ος τις προτάσ
Β , 8Β
ονται τα σύνο
2
x 4)(x 1)(x
2
y 2)(y 16)
σύνολα A
βρεθεί η ένωσ
A R 1, 2
2 και B 1
και Β
Ω 1,2,3,4,
ε να αποδείξε
B και A
συμπληρώσε
Z ... , R
ω ότι τα σύνο
νός συνόλου
ε αν είναι σω
κάτω προτάσ
A B τότε A
B A τότε A
A B Ω κα
αι A , γι
με αναγραφή
Β={ x,y /x
x y 1 }.
2,4,6,8} με περ
ύνολα να χαρ
σεις:
, -1Γ ,
ολα:
3
x 64) 0
2
)(y 9) 0
B και A B
ση και η τομ
και B R
1, ,
,5 .
,5 , Α 2,3
ξετε ότι:
B A B
ετε τις ισότητ
Q ... , R
ολα Α και Β
αναφοράς Ω
ωστή ή λάθος
σεις:
A B A .
A B B .
αι A B τ
ια κάθε A .
3
ή των
ακέραιος με
ριγραφή
ρακτηρίσετε
0Γ
και
B .
μή των
1, 3 ,
3 και
B .
τες
N ...
Β είναι
Ω . Να
ς κάθε μια
τότε A B .
3
ε
4. 4
http://users.s
1 ΠΙΘ
Ισοπίθανα
1.01 Έσ
B ω Ω/
εκλέξουμε τ
τις πιθανότη
Β) στο Α κα
Γ) στο Α κα
Δ) σε ένα το
1.02 Ρί
Να βρείτε τ
και 5 στο ά
1.03 Ρί
διαδοχικά δ
ενδεχομένω
Α) Το αποτέ
μικρότερο α
Β) Οι ενδείξ
Γ) Το άθροι
είναι μεγαλ
1.04 Έσ
Εκλέγουμε τ
πιθανότητα
2
λ 3λ 0
1.05 Σε
είναι 54 . Α
Λυκείου η π
τάξης είναι
τάξης είναι
Α) το πλήθο
Β) το πλήθο
Γ) την πιθαν
εκλέξαμε τυ
sch.gr/mipap
ΘΑΝΟΤΗΤ
α Ενδεχόμ
στω τα σύνολ
/ω περιττός
τυχαία ένα στ
ητες να ανήκ
αι στο Β
ι όχι στο Β
ο πολύ από τ
ίχνουμε δύο
ην πιθανότη
άλλο.
ίχνουμε ένα
δύο φορές. Β
ων
έλεσμα της π
από το αποτέ
ξεις και στις δ
ισμα των ενδ
λύτερο του 9
στω το σύνολ
τυχαία ένα λ
α ο λ να είνα
ε ένα Λύκειο
Αν εκλέξουμε
πιθανότητα ν
0,36 και η π
0,34 . Να βρ
ος όλων των
ος των μαθητ
νότητα να εί
υχαία μαθητή
pagr
ΤΕΣ
μενα
λα Ω 1,2,
Α ω Ω/
τοιχείο του Ω
κει: Α) στο Α
α Α και Β.
αμερόληπτα
ητα να φέρου
αμερόληπτο
ρείτε τις πιθα
πρώτης ρίψης
έλεσμα της δε
δύο ρίψεις εί
δείξεων στις δ
.
λο Ω 0,2,3
λ Ω . Να βρ
αι ρίζα της εξ
ο οι μαθητές τ
τυχαία ένα μ
να είναι μαθη
πιθανότητα ν
ρείτε:
μαθητών του
τών της Β τάξ
ίναι ένας μαθ
ής της Γ τάξη
3,4,5
/ω 4 . Αν
Ω , να βρείτε
Α ή στο Β,
α ζάρια μαζί.
υμε 6 στο ένα
ζάρι
ανότητες των
ς είναι
εύτερης ρίψη
ίναι ίδιες.
δύο ρίψεις
3,4 .
ρείτε την
ξίσωσης
της Α τάξης
μαθητή του
ητής της Α
να είναι της
υ Λυκείου,
ξης,
θητής που
ης.
ε
α
ν
ης.
Β
1.
κό
σφ
Α
Β)
Γ)
1.
κό
τυ
κό
πά
κό
κο
1.
χώ
P
εν
Γ:
Δ
1.
οι
μπ
πο
μα
Α
Β)
μπ
Γ)
το
.06 Ένα
όκκινες σφαί
φαίρες. Να β
Α) να είναι δύ
) να είναι η π
) να είναι κα
.07 Ένα
όκκινες και μ
υχαία μία μπ
όκκινη μπάλ
άρουμε μαύρ
όκκινες και π
ουτί.
.08 Έστω
ώρου Ω τέτο
1
P A B
6
νδεχομένων.
:«Πραγματοπ
: «Δεν πραγμ
.09 Από
ι 20 ασχολο
πάσκετ και κ
οδόσφαιρο ή
αθητή. Nα β
Α) Να μην ασ
) Να ασχολεί
πάσκετ,
) Να ασχολεί
ο μπάσκετ.
κουτί περιέχ
ίρες. Βγάζουμ
βρεθεί η πιθα
ύο κόκκινες,
πρώτη άσπρη
ι οι δύο άσπ
κουτί περιέχ
μερικές μαύρ
πάλα. Η πιθα
λα είναι
1
2
κα
ρη μπάλα είν
πόσες μαύρες
ω Α, Β ενδεχό
οια, ώστε Ρ Α
. Να βρεθούν
ποιείται ένα
ματοποιείται
ό τους 50 μα
ύνται με το π
καθένας ασχο
ή το μπάσκετ
ρεθεί η πιθαν
σχολείται με τ
ίται με το πο
ίται με το πο
Π
χει 2 άσπρες
με διαδοχικά
ανότητα:
η και η δεύτε
πρες.
χει 12 άσπρ
ρες μπάλες. Π
ανότητα να π
αι η πιθανότη
ναι
1
3
. Να βρ
ς μπάλες υπά
όμενα ενός δ
1
Α
3
, Ρ Β
ν οι πιθανότ
μόνο από τα
ι ούτε το A ο
αθητές της A
ποδόσφαιρο,
ολείται με το
τ. Επιλέγουμε
νότητα:
το ποδόσφαι
οδόσφαιρο κα
οδόσφαιρο αλ
Πιθανότητες
και 3
ά δύο
ερη κόκκινη,
ες, μερικές
Παίρνουμε
πάρουμε
ητα να
ρείτε πόσες
άρχουν στο
δειγματικού
1
4
και
τητες των
α A και B »
ούτε το B ».
τάξης ενός
, οι 40 με το
ο
ε τυχαία ένα
ιρο,
αι με το
λλά όχι με
ς
,
ο
α
5. Α Λυκείου –
1.10 Έσ
δειγματικού
πιθανότητα
Να μην πρα
Β είναι
1
4
,
Nα πραγμα
είναι
2
3
.
Να βρείτε τ
ένα το πολύ
1.11 Έσ
χώρου με μη
ισχύει Ρ Α
ότι το Α είν
αδύνατο.
1.12 Έσ
δειγματικού
πιθανότητα
να πραγματ
να μην πρα
πραγματοπ
1
6
Να βρείτε τ
Α) έν
Β) το
Γ) κα
Δ) μό
Ε) μό
ΣΤ) το
–Άλγεβρα
στω Α,Β δύο
ύ χώρου Ω γ
α
αγματοποιείτ
ατοποιείται μ
ην πιθανότη
ύ από τα Α κ
στω Α,Β ενδ
η μηδενικές π
Ρ Α Ρ Α
ναι βέβαιο εν
στω Α,Β δύο
ύ χώρου για
α:
τοποιείται το
αγματοποιείτ
ποιούνται συγ
ην πιθανότη
να τουλάχιστ
ο πολύ ένα απ
ανένα από τα
όνο το Α ,
όνο ένα από
ο Α ή να μην
ο ενδεχόμενα
για τα οποία
ται κανένα α
μόνο ένα από
ητα να πραγμ
και Β .
δεχόμενα ενό
πιθανότητες
2
Α Ρ Β . Ν
νδεχόμενο κ
ο ενδεχόμενα
τα οποία ισχ
ο Α είναι
1
5
ται το Β είνα
γχρόνως και
ητα να πραγμ
τον από τα Α
πό τα Α και
α Α και Β ,
τα Α και Β
πραγματοπο
α ενός
ισχύει ότι η
από τα Α κα
ό τα Α και Β
ματοποιείται
ός δειγματικο
, για τα οποί
Να αποδείξε
αι το Β
α ενός
χύει ότι η
,
αι
3
5
και να
ι τα δύο είνα
ματοποιείται
Α και Β ,
Β,
,
οιείται το Β
αι
Β
ι
ού
ία
ετε
ι
ι:
1.
μα
το
το
πά
«β
Π
1.
έχ
τω
τυ
κι
τη
κι
1.
κό
σφ
Α
Β)
κό
Γ)
1.
απ
κό
τη
ίδ
Α
Α
χρ
Β
Γ
ήτ
Β)
Α
.13 Σε μ
αθητών μιας
ο καλοκαίρι
ο καλοκαίρι
άει διακοπές
βουνό» ενώ τ
Πόσα άτομα έ
.14 Σε έν
χει κινητό τη
ων μαθητών
υχαία ένα μα
ινητό και να
ην πιθανότητ
ινητό.
.15 Ένα
όκκινες σφαί
φαίρες. Να β
Α) να ε
) να ε
όκκινη
) να ε
.16 Μέσ
πό τις οποίες
όκκινες. Επιλ
ην άλλη μέχρ
διου χρώματο
Α) Τις πιθανό
Α: «Οι μπάλε
ρώματος».
Β: «Στο κουτί
Γ: «Από τις μπ
ταν περισσότ
) Τις πιθανότ
Α Β, Β Γ,
μια έρευνα πο
ς τάξης βρέθη
διακοπές σε
διακοπές σε
ς το καλοκαίρ
τρείς μαθητές
έxει η τάξη;
να σχολείο το
λέφωνο ή δε
έχει κινητό κ
αθητή. Αν η π
μην έχει Η/
τα να μην έχ
κουτί περιέχ
ίρες. Βγάζουμ
βρεθεί η πιθα
ίναι δύο κόκ
ίναι η πρώτη
ίναι και οι δ
σα σε ένα κου
ς οι 3 είναι ά
λέγουμε την
ρι να μείνουν
ος. Να βρείτε
τητες των εν
ς που επιλέξα
έμεινε μόνο
πάλες που επ
τερες από τις
τητες των ενδ
, Γ Α , Α
ου έγινε μετα
ηκε ότι το 50
«νησί», το 5
«βουνό», το
ρι σε «νησί»
ς δεν θα πάν
το 50% των μ
εν έχει Η/Υ κ
και Η/Υ. Επι
πιθανότητα ν
/Υ είναι
1
5
, ν
χει ούτε Η/Υ
χει 3 άσπρες
με διαδοχικά
ανότητα:
κκινες,
η άσπρη και
δύο άσπρες.
υτί υπάρχουν
άσπρες και ο
μία μπάλα μ
ν στο κουτί μ
ε :
νδεχομένων:
ξαμε ήταν του
ο μία μπάλα»
πιλέξαμε οι κ
ς άσπρες».
δεχομένων :
Β .
5
αξύ των
0% θα πάει
50% θα πάει
10% θα
και σε
νε πουθενά.
μαθητών
και το 25%
ιλέγουμε
να έχει
να βρείτε
ούτε
και 2
ά δύο
η δεύτερη
ν 5 μπάλες
οι 2
μετά από
μπάλες του
υ ίδιου
».
κόκκινες
5
6. 6
http://users.s
Λογισμός Π
1.17 Αν
χώρου και ι
2
P B
3
, τό
1.18 Θε
πειράματος
P A B
βρείτε τις P
1.19 Αν
δειγματικού
P A P Β
1.20 Αν
δειγματικού
P A B
1.21 Αν
δειγματικού
1
P A
6
, P
τις :
Α) P
Β) P
Γ) P
1.22 Αν
P A και P
sch.gr/mipap
Πιθανοτήτων
ν Α,Β ενδεχ
ισχύουν P A
ότε βρείτε τις
εωρούμε τα ε
ς τύχης, με πι
3
4
,
2
P A
3
P A , P B ,
ν για δύο ενδ
ύ χώρου Ω ι
11
Β
10
να β
ν για δύο ενδ
ύ χώρου Ω ι
5
6
να υπολο
ν A,B είναι
ύ χώρου Ω κ
1
P A
6
κα
P A ,
A Β ,
A Β .
ν
3 2
Ρ(Α ) Ρ(Α
P A .
pagr
ν
χόμενα ενός
1
A B
4
, P
ς P A B ,
ενδεχόμενα
ιθανότητες τέ
2
3
, P A B
P A B .
δεχόμενα A
ισχύουν: P A
ρείτε την P
δεχόμενα A
ισχύουν: P A
ογίσετε την P
ι ενδεχόμενα
και ισχύουν ο
ι P A Β
2 25
Α) 6
να β
δειγματικού
1
P A
3
,
P A B .
A,B ενός
έτοιες ώστε:
1
4
. Να
,B ενός
2
A B
5
,
A B .
,B ενός
1
A
2
,
P Β Α .
ενός
οι ισότητες
2
15
, να βρείτ
βρείτε τις
ύ
τε
1.
δε
3
να
1.
δε
P
υπ
P
1.
δε
A
οι
1.
χώ
P
πι
1.
δε
P
Ν
πρ
κα
1.
δε
Ρ
πι
απ
.23 Αν γ
ειγματικού χ
P A B 1
α υπολογίσετ
.24 Αν γ
ειγματικού χ
P A 2P Β
πολογίσετε τ
P A B .
.25 Εστω
ειγματικού χ
A B Ω , Ρ
ι: P A B
.26 Αν A
ώρου Ω και
P A B
ιθανότητα P
.27 Δίνο
ειγματικού χ
1
P(A B)
4
Να βρείτε την
ραγματοποιη
αι Β .
.28 Έστω
ειγματικού χ
1
Ρ Α Β
4
ιθανότητα να
πό τα Α και
για δύο ενδεχ
χώρου Ω ισχ
3Ρ Α Β
τε την πιθανό
για δύο ενδεχ
χώρου Ω ισχ
1 και 2P
ις πιθανότητ
ω A, B ενδεχ
χώρου για τα
Α α , και
P A B
A, B ενδεχό
ισχύουν P A
1
A B
6
,
P A B .
ονται δύο ενδ
χώρου Ω για
, P(A B)
ν πιθανότητα
ηθεί μόνο έν
ω Α,Β δύο ε
χώρου Ω για
και Ρ Β
α μην πραγμ
ι Β .
Πραγματ
χόμενα A,B
χύει:
νότητα P Β
χόμενα A,B
χύει ότι: P A
A B 1 , ν
τες P Α Β
χόμενα ενός
α οποία ισχύο
Ρ Β β . Ν
P A B P
όμενα ενός δε
2
A B
3
κ
, να βρείτε τη
δεχόμενα A
α τα οποία ισ
1
20
και P B
α του ενδεχομ
να από τα ενδ
ενδεχόμενα ε
α τα οποία ισ
1
2
. Να βρείτ
ματοποιείται
τικοί Αριθμοί
ενός
.
ενός
A 3P Α ,
να
, P Β Α ,
ουν
Να βρεθούν
P A B .
ειγματικού
και
ην
και B ενός
σχύουν:
1
B A
2
.
μένου να
δεχόμενα Α
ενός
σχύει ότι:
τε την
ι κανένα
ί
7. Α Λυκείου –
Παραμετρ
1.29 Αν
πειράματος
με Ν Ω 3
A, B συμπλ
οι πιθανότη
1.30 Αν
δειγματικού
2
P B 7λ
1.31 Έν
φτιαγμένο ώ
είναι ανάλο
βρείτε τη πι
1.32 Έσ
χώρος ενός
του Α= 1ω ,
Αν ισχύουν
4
1 κ
P(ω )
3κ
πιθανότητες
Ανισότητες
1.33 Αν
δειγματικού
Α) 0 4P(A
Β)
1
P(A
2
Γ) P(A B)
Δ) 2P(A B
–Άλγεβρα
ρικές
ν Ω δειγματ
ς τύχης με ισο
30 και Ν Α
ληρωματικά
ητες P A κα
ν A,B ασυμ
ύ χώρου Ω μ
6λ 2 , να δ
να μη αμερό
ώστε η εμφάν
ογη του κ μ
ιθανότητα εμ
στω 1Ω ω ,
πειράματος
2 3,ω ,ω και
ν :
1
Ρ Α
κ
κ
κ
, να βρεθε
ς 2P(ω ), P(ω
ς
ν Α,Β είναι ε
ύ χώρου Ω ,
A)P(A ) 1 ,
2 2
) P(A )
P(A)P(B)
B) P(A) P(
τικός χώρος ε
οπίθανα απλ
2
x 4
2
, P
ά ενδεχόμενα
αι P B .
μβίβαστα ενδ
με 2
P A λ
δείξετε ότι
1
4
όληπτο ζάρι ε
νιση κάθε αρ
με κ 1,2,3
μφάνισης κάθ
2 3 4,ω ,ω ,ω
τύχης και τα
Β= 1 3ω ,ω .
,
2κ
Ρ Β
2
εί ο κ R * κα
4ω ).
ενδεχόμενα ε
να αποδείξε
2
1 ,
P((A Β) ) ,
(B) 2P(A
ενός
λά ενδεχόμεν
x
B
6
, με
α, να βρεθούν
δεχόμενα ενό
,
1
λ
2
.
είναι έτσι
ριθμού κ ν
,...,6 . Να
θε αριθμού.
ο δειγματικό
α ενδεχόμενά
1
κ
και
αι οι
ενός
ετε ότι:
,
B).
να
ν
ός
να
ός
ά
1.
δε
Α
εί
Β)
1.
P
1.
χώ
Ν
1.
δε
απ
1.
κα
P
1.
δε
Ν
Α
Β)
Γ)
.34 Έστω
ειγματικού χ
Α) Να αποδεί
ίναι ασυμβίβ
) Να αποδείξ
.35 Έστω
P(B) 0,78 . Ν
.36 Έστω
ώρου με Ρ Α
Να δείξετε ότι
.37 Έστω
ειγματικού χ
ποδείξετε ότι
.38 Αν A
αι 2
25P A
P A και P B
.39 Έστω
ειγματικού χ
Να αποδειχθε
Α) 2Ρ Γ Ρ
) 3Ρ Γ 2Ρ
) Ρ Α Β
ω A , B ενδεχ
χώρου Ω με
ξετε ότι τα εν
βαστα.
ξετε ότι:
1
P
6
ω A , B ενδεχ
Να δείξετε ότ
ω Α, Β ενδεχό
1
Α
3
, Ρ Α
ι
5
Ρ Β
12
ω A , B ενδεχ
χώρου Ω με
ι:
1
P(A B
6
A, B συμπλη
8 29P A
B .
ω Α,Β,Γ ενδ
χώρου Ω τέτο
εί ότι:
Α Ρ Β ,
Α Β Ρ
Ρ Α Ρ Β
χόμενα ενός
1
P(A)
2
, P
νδεχόμενα A
1
P(A B)
2
χόμενα με P
τι: 0,1 P(A
όμενα ενός δ
3
Β
4
3
4
.
χόμενα ενός
1
P(A)
2
, P
1
B)
2
.
ηρωματικά ε
P B , να β
δεχόμενα ενό
οια, ώστε Γ
Α Β 3Ρ
Γ .
7
2
(B)
3
.
A και B δεν
.
P(A) 0,32 ,
B) 0,32 .
δειγματικού
2
(B )
3
. Να
ενδεχόμενα
βρεθούν οι
ός
Α Β .
Α Β ,
7
8. 8
http://users.s
2 ΠΡ
Iδιότητες
2.01 Αν
υπολογιστεί
2.02 Δε
Α x 3y
2.03 Αν
2
β β 1
οι α και β
2.04 Αν
παράσταση
2.05 Αν
παράσταση
x,y .
2.06 Αν
x
y
και η τιμ
2.07 Αν
ότι ο α
2.08 Ν
τετραγώνων
είναι άρτιος
2.09 Αν
2ν
2
αα
x x
sch.gr/mipap
ΡΑΓΜΑΤΙΚ
ς των πράξ
ν α 0,5 κ
ί η 3 2α 3β
είξτε ότι αν ε
4z και B y
ν οι αριθμοί
είναι αντίστ
είναι αντίθε
ν α 3β 1
ς α(α 1) 4
ν xy(2y x)
1 1
x
1 1
2y
ν
x y 3
x y 2
,
μή της παράσ
ν ο α είναι π
2
1 2α 2
α αποδείξετε
ν δύο διαδοχ
ς.
ν
γβα
x y ω
ν2 2 2
2 2 2
α β γ
y ω
pagr
ΚΟΙ ΑΡΙΘΜ
ξεων
και β 0,001
β 4 3α 2
είναι αντίθετ
y x 2z , τό
2
α α 1
τροφοι, να απ
ετοι.
να βρεθεί η
4β(2 α) β(α
0 , δείξτε ό
1
2y
x
είναι αν
y 0 να βρ
στασης Α=
x
2
περιττός ακέ
είναι πολλα
ε ότι το άθρο
χικών περιττ
να αποδειχ
ν ν ν
ν ν
α β
x y
ΜΟΙ
να
2 α 2β 1
οι οι αριθμο
ότε y z .
και
ποδείξετε ότι
τιμή της
α 8) .
ότι η
νεξάρτητη τω
εθεί ο λόγος
2 2
2
x y
2xy x
.
ραιος δείξτε
απλάσιο του
οισμα των
ών αριθμών
τεί ότι:
2ν
ν
γ
ω
.
.
οί
ι
ων
4 .
Δ
2.
Α
2.
Α
Β)
2.
2.
(
2.
μπ
β)
2.
α
2.
2.
2.
{2
ω
Δυνάμεις
.10 Να α
Α)
22 3
13 2
α β
α β α
.11 Να υ
Α) 5
x x
)
1
x
.12 Α) Ν
32
2 27
3 8
.13 Αν ν
v v 1
1) ( 1)
.14 Ποιο
πορούμε να
) τρία τριάρι
.15 Για π
κ 1 2κ
α β
γρά
.16 Να β
.17 Δείξ
.18 Να γ
101 171
2 :[(5 : 5
ς δύναμη με
απλοποιήσετ
2
2 4
α β
α β
, B)
υπολογίσετε
2
32 x
xy :
y
23 1
11 3 3
x y
y x y
Να απλοποιη
2
7
8
και
2
7
α
α
ν είναι φυσικ
1 v 2
( 1) (
ος είναι ο μεγ
φτιάξουμε μ
ια, γ) τρία τ
ποια τιμή του
άφεται ως δύν
βρεθεί ο ν
τε ότι
αα
β
x
x
γράψετε την
170 98
5 3) 2
βάση το 8
Πραγματ
τε τις παραστ
)
2 1
2
3x y 4x
x y
τις παραστά
αν x 0,4 κ
2
αν
1
x
10
ηθούνοι παρα
3
2
2 2
β αβ
β α β
κός με v 1 ,
v 3
( 1) 0
.
γαλύτερος α
με: α) τρία δυ
τεσσάρια;
υ κ η παράσ
ναμη με βάσ
Z αν 3ν 6
2
β γβ β
γ
x
x
ν παράσταση
105 3 4
2 : (2 ·2 )
τικοί Αριθμοί
τάσεις:
3
x y
.
άσεις:
και y 2,5
3
, 2
1
y
10
αστάσεις:
3
7
, δείξτε ότι:
αριθμός που
υάρια,
σταση
ση αβ ;
2
ν 6
1
γ αγ
α
x
1
x
:
11 9 38
(2 ) ]}·2
ί
9. Α Λυκείου –
Ταυτότητ
2.19 Ν
α) 16 8x
2.20 Αν
2 2
α β 4α
2.21 Απ
βρείτε τις τι
A)
2
x x
x 1
Γ)
2
2
x 3x
x x
2.22 Αν
της παράστ
x1 1
:
x y
2.23 N
Α) Αν 2
Β) Αν
2.24 Γι
2 2 2
α β γ
2.25 Γι
αν x y ω
2.26 Αν
τριγώνου κα
αποδείξετε ό
2.27 Αν
2
α β α
–Άλγεβρα
τες – Παραγ
α συμπληρώ
2
...
ν α β 2 ν
α 2αβ 4β
πλοποιήστε τ
ιμές του x για
2
3
1 x 1
x 1
2
2
2 x 2x
x x 2
ν x 0,5, y
ασης
2 2
y 1 1
2 x y
α αποδείξετε
2 2
2 α β α
1 1
α β
α β
ια κάθε α,β,γ
2
αβ βγ γ
ια κάθε x,y,ω
2 2
ω 3 x
ν α,β,γ είνα
αι ισχύει ότι
ότι το τρίγων
ν β α 1 να
2 4 4
β α β
γοντοποίη
ώσετε τα παρα
β) 9 4 2
να αποδείξετε
3 1 .
τις παραστά
α τις οποίες ο
Β)
1
x
x
2
Δ)
2
(x
x
y=-2 να βρεί
2 2
xy
x y
.
ε ότι:
2
α β τότε
4
, αβ 0
γ R , δείξτε
γα τότεα β
ω R , να απ
2 2
y ω τότ
αι τα μήκη π
2
α βγ 2α
β γ
νο είναι ισόπ
α αποδείξετε
4 8 8
α β
ηση
ακάτω κενά:
2
... ... .
ε ότι
άσεις, αφού
ορίζονται:
2 3 2
3
1 x x
x (x 1)
2
x) 2x 2
x 1
ίτε την τιμή
α β .
0 τότε α β
ε ότι: αν
β γ .
ποδείξετε ότι
τε x y ω .
πλευρών
α β γ
2
, να
πλευρο.
ε ότι:
16 16
α β .
,
.
:
2.
να
2.
2.
x
2.
α
2.
α
α
2.
ισ
2.
β
2.
Α
Β)
2.
ότ
2.
αν
.28 Αν
α αποδείξετε
.29 Αν α
.30 Αν x
2 2
y , 3
x y
.31 Aν x
2 2
α β 1 να
.32 Αν α
α β γ 0 , ν
2 2
α β 2βγ
α β
.33 Αν γ
σχύει ότι
3
x
3
.34 Ανα
4
3 3
α
β γ 3αβγ
.35 Για κ
Α) Ο αρ
) Ο αρ
.36 Αν α
τι:
α
αβ α 1
.37 Να α
ν
1 1 1
α β γ
2
x α y
ότι x α κα
1
α 5
α
βρε
x y 2 και
3
y ,
1 1
x y
, x
3
x 4α 3α ,
α αποδείξετε
α β 0 , β
να αποδείξετ
2 2
β γ 2α
β γ
για τους θετικ
3
2
ωxy
y
ω
27
3
α β γ 0 ,α
4
3 3
β
γ γ α 3
κάθε φυσικό
ριθμός 2
987
ριθμός 24 δι
αβγ 1 και
β
1 βγ β 1
αποδείξετε ότ
0 τότε 2
βγ
α
2
β 4 αx
αι y β .
είτε τα 2
α
α
ι xy 1 υπολ
2 2
x y xy , 2
1
x
, 3
y 4β 3β
ότι 2 2
x y
γ 0 , γ α
τε ότι:
2 2
αγ γ α
α
κούς ακέραι
ω
δείξτε ότι x
αβγ 0 δείξ
3
3αβγ α
ν, δείξτε ότι
2
985 είναι
ιαιρεί τον 2
5
βγ β 1 0
γ
γα γ 1
ότι
2 2
γα αβ
3
β γ
9
βy τότε
3
2 3
1 1
, α
α α
.
λογίστε τα
2
1
y
.
β και
1 .
α 0 και
2αβ
0.
γ
ους x,y,ω
x y ω .
ξτε ότι
4
3
γ
β 3αβγ
ι
άρτιος.
2ν
1 .
0 αποδείξτε
1 .
3 .
9
10. 10
http://users.s
Διάταξη – Α
2.38 Αν
τιμές που μπ
x y ,
1
y
, 2
2.39 Αν
ποιών τιμών
1
2
x
, 1
1
2.40 Δε
.
2.41 Ν
Α) Aν 3α
Β) Αν α 1
Γ) Αν x y
2.42 Ν
Α) α,β είνα
Β) α,β είνα
Γ) α 0 τότ
2.43 Αν
α+β
αβ γ
2
αποδείξετε ό
2.44 Δε
.
2.45 Αν
ώστε 3α 4β
30 α β
sch.gr/mipap
Ανισότητες
ν 2 x 4
πορεί να πάρ
3
2x
y
, 2
x , y
ν είναι 2 x
ν βρίσκοντα
1
1 x
,
2x 3
x
είξτε ότι x
α αποδείξετε
β τότε
α
α
τότε 3
α α
τότε x 7
α αποδείξετε
αι ομόσημοι
αι ετερόσημοι
τε 2
2α
1
α 1
ν για τους α
β+γ
γ βγ
2
ότι α β γ
είξτε ότι
1
2
ν α,β θετικο
β 120 , να α
40 .
pagr
και 3 y 7
ρουν οι παρα
2
y , 2 2
x y .
x 8 να βρείτ
ι οι παραστά
, 2
x
1 y xy
ε ότι:
α β β
4 3
.
2
α 1 .
y 5 .
ε ότι αν:
τότε
βα
β α
ι τότε
βα
β α
.
α,β,γ 0 ισχ
γ+
-α γα
2
.
1 1
1001 1002
οί ακέραιοι α
αποδειχτεί ότ
7 να βρείτε τ
αστάσεις
τε μεταξύ
άσεις
y x y 1
2 .
2
χύει ότι
α
-β 0
να
1
...
2000
αριθμοί τέτοι
τι
τις
0
α
1
ιοι
2.
2.
A
B)
2.
Α
Β)
2.
Α
2.
ισ
ότ
2.
ότ
2.
2.
2.
Α
Β)
2.
απ
.46 Συγκ
.47 Αν α
A) 2 2
α β 2
) 2 2
α 1 β
.48 Αν α
Α) 2 2
α αβ β
) 2 2 2
α β γ
.49 Αν α
Α)
αβ α
α β 4
.50 Αν α
σχύει ότι 2
α
τι το τρίγωνο
.51 Για τ
τι:
α β γ
1 α β
.52 Για κ
2
γβα
β γ α
.53 Δείξ
.54 Για κ
Α) α
) 1
.55 Αν ε
ποδείξετε ότι
κρίνετε τους
α, β, γ R ν
2αβ ,
2
1 γ 1
α,β R αριθ
2
0 ,
αβ βγ γ
α, β θετικοί,
β
, Β)
α β
2
α, β, γ είναι
2
β 2γ α
ο είναι ισόπλ
τους θετικούς
γ α
γ 1 α 1
κάθε α,β,γ
γ βα
3
γ β α
τε ότι
βα
β γ
κάθε α,β R
2 2
β 2 α
22 3
α α α
είναι x,y 0
ι 4 3
x y 51
Πραγματ
αριθμούς 2
να αποδείξετ
8αβγ .
θμοί να δείξε
γα .
, να αποδείξε
2
αβ
1
α
ι πλευρές τρι
β γ , να α
λευρο.
ς α,β,γ , να
γβ
1 β 1 γ
.
*
R , να απο
β
α
.
2
γβ α
3
γ α γ
R να δείξετε ό
2
β ,
2
4 1 α α
0 και 3 2
x y
12 .
τικοί Αριθμοί
51
2 και 34
3 .
ε ότι:
ετε ότι:
ετε ότι
1
β
ιγώνου και
αποδείξετε
αποδείξετε
δείξετε ότι:
γ βα
γ β α
ότι
4 6
α α .
64 να
ί
11. Α Λυκείου –
Απόλυτη
2.56 N
7 ...,
2
α ...,
2
x 4x 4
2.57 Αν
σύμβολο τη
Α 3 α β
2.58 Αν
απόλυτες τι
Α 2 x 3
Γ 2x 6
2.59 Αν
παραστάσει
Β 6 2x
2.60 Αν
παράσταση
2.61 Γρ
A x 8 2
2.62 N
παραστάσει
Ε 2 x 3
2.63 Ν
Α) α
Β) α
Γ)
α
α
2.64 Απ
–Άλγεβρα
Τιμή
α βρείτε τις α
2 1 ..., 3
2
x π ...,
... , 0
ημ38
ν α β γ ν
ης απόλυτης τ
2 γ α 3
ν 3 x 2
ιμές τις παρα
6 x 2 x
ν 1 x 2
ις: Α x 1
3 3 4x 9
ν 1 α<β<
: α β 2α+
ράψτε χωρίς
2x , Β
α γράψτε χω
ις: Δ 2x
2 x 1
α αποδείξετε
2
α β α β
2
α 2β 3
αα
α α
, α
ποδείξτε ότι
απόλυτες τιμ
3 π ...,
, 2 1 ..
1 ...
να γράψετε χ
τιμής την πα
β γ .
γράψτε χωρ
αστάσεις:
1 B
Δ
να απλοποιή
x 2 x
2 να απλοπο
+3 3β 7
απόλυτα τις
2x 6 , Γ
ωρίς τις απόλ
x 4 2x 4
, ΣΤ 2
ε τις ισότητες
2 2
2 α β
2
2β α 3
0
2
x 2 x
μές:
2 2 ...
.
χωρίς το
αράσταση
ρίς τις
x 8 4x ,
2 x x 4
ήσετε τις
2 x 3
οιήσετε την
ς παραστάσει
x 4 3x
λυτες τιμές τι
4 ,
2
x x 4 .
ς:
2
β .
2x 6 14
4
ις
ις
4
2.
Α
Β)
Γ)
2.
απ
2.
Α
2.
Α
2.
|2
2.
x
2.
Α
Β)
Γ)
2.
με
α
2.
d
d
.65 Να α
Α) x y
) (x
) x
.66 Αν x
ποδείξετε ότι
.67 Nα α
Αν x 1 και
.68 Nα α
Αν x 1 και
.69 Εάν
2x y| 7 .
.70 Βρεί
x 2011 x
.71 Να α
Α)
x
y
) x
)
2x
5x
.72 Αν
εταξύ ποιων
α β .
.73 Να β
d x,3 7 ,
d x,2 3
αποδείξετε ότ
2 2
y x y
x )(x x ) 0
y x y
κ
x
|y| |κ|
ι |x| |m| 1
αποδείξετε ότ
ι
1
y
2
τότε
αποδείξετε ότ
ι y 2 τότε
|x| 2 , |y
ίτε τις τιμές τ
1 2α x α
αποδείξετε ότ
y
2
x
, αν x
1 1
x
x x
α
5y x
1
2y y
α 1 5 και
τιμών μεταβ
βρεθεί το x ό
d(x,3)
d x, 1
ότι:
4xy
0
2 2
x y
y
, m
|κ|
1 .
ότι:
ε 3x 2y 2
ότι:
2x 3y 1
y| 3 να δείξ
των 1 2α , α , .
9... x α
ότι:
x,y 0 .
αν x 0 .
x
1
y
.
ι β 2 3 να
βάλλεται η π
όταν:
2 ,
1 2 .
11
|y|
να
7
9
ξετε ότι:
9.., α αν
0 .
α βρείτε
αράσταση
1
12. 12
http://users.s
Ρίζες
2.74 ΕΡ
Α) Ισ
Β) Γι
Γ) Γι
Δ) Αν
Ε) Ισ
2.75 Γι
παραστάσει
2.76 Αν
παράσταση
2.77 Ν
2
x 4 x
x 2
2.78 Ν
Α)
Β)
Γ)
1
2.79 Ν
και να απλο
3
20 14 2
2.80 Ν
2 3 2
2.81 Ν
5 2
5
sch.gr/mipap
ΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ
σχύει ότι 2 2
x
ια κάθε x 0
ια κάθε x είν
ν x,y>0 τότε
σχύει πάντα ό
ια κάθε x 0
ις: 6 18
x , 3
x
ν 3 x 2 ,
Α=
2
x 2
α απλοποιηθ
2
4 x 4
x 2
α απλοποιήσ
12 27
18 8 2
1 1
2 2
α υπολογίσε
οποιήσετε τη
3
2 20 14
α αποδείξετε
2 2 3
α υπολογίσε
5 2
3
1
pagr
ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑ
5 5
x για κ
0 ισχύει:
2
x
x
ναι 2
( x)
x y
ότι 2
α β
να απλοποιη
6
,
2
x
x
, (2
, να απλοποι
2 2
x 6x
θεί η παράστ
x 4
, αν x
2
σετε τις παρα
75 48
20 50
1
3 3 4
ετε τα 2 2
ν παράστασ
2 .
ε ότι
2 2 3
ετε τον αριθμ
2 2 .
ΑΘΟΥΣ:
κάθε x R .
2
1 .
x .
x y .
2
β α β .
ηθούν οι
2
2x) .
ιήσετε την
9
ταση
x 2 .
αστάσεις:
108 ,
45 125 ,
4
.
3
2 ,
3
2 2
η:
1 .
μό
,
3
2.
Α
2.
ισ
A
Γ
2.
Α
Β)
Γ)
2.
Α
2.
2.
2.
2.
2.
Α
Β)
2.
A
.82 Αν α
Α) α 1 α
.83 Να μ
σοδύναμες με
2 3 3 2
A
2 3 3 2
1
2 3
.84 Να α
Α)
3
5
) 75
) 2
.85 Να α
Α) 4 2 3 ,
.86 Να δ
.87 Συγκ
.88 Λύσ
.89 Να α
1001 2001
.90 Να α
Α)
2
1
7 3
)
7
3 5
.91 Να β
A 1 1999
α 0 να δείξ
α α Β
μετατραπούν
ε ρητό παρον
2
2
, B
1
5 3
Δ
5
απλοποιήσετ
5
25 25 5
31 21
2 5 3
απλοποιήσετ
Β) 9 3
δείξετε ότι:
κρίνετε το
τε την εξίσωσ
αποδειχθεί ό
1 1001
2
αποδείξετε ότ
1
7 3
3 2
5 7 3
βρεθεί η τιμή
1 2000 4
Πραγματ
ξετε ότι:
Β) α 1
ν οι παραστά
νομαστή:
2
2
x
1 x
,
1
5 1
.
τε τις παραστ
5 .
15 1 .
5 3 .
τε τις παραστ
32 , Γ) 5
10 2 15
2 με το 1
ση 24 x 6x
ότι ο αριθμός
2001
είναι φ
ότι:
2
Q ,
2 5
3 7
.
ή της παράστ
2000 1 2
τικοί Αριθμοί
α α .
άσεις σε
τάσεις:
τάσεις:
2 6 .
5 3 .
10 2
2
9 3 x
ς
φυσικός.
τασης
2003·2005 .
ί
13. Α Λυκείου –
3 ΕΞΙ
3.01 Ν
Α)
1
x 2 x
3.02 Ν
Α) λ
Γ) 2
λ
3.03 Ν
Α) x α
Β) α x
3.04 Απ
0
1
S v t α
2
3.05 Έν
των 2 ευρώ
κιλά κρασί τ
κάθε βαρέλι
βάζουμε αυ
αυτή που αφ
ανακάτεμα
βαρελιών έχ
μεταφέρθηκ
3.06 Έν
το Α και το
τελειώνουν
μέρες. Φέτος
το Α σταμάτ
συνέχισε να
απόδοσης τ
συνολικά θα
–Άλγεβρα
ΙΣΩΣΕΙΣ
α λύσετε τις
2
x
x 4
Β)
α λυθούν για
2
λ 1 x λ
2
x 3 λx
α λύσετε τις
2 2
x β
2 2
α x α
πό τις ισότητ
2
αt , να δείξετ
να βαρέλι Α
το κιλό και έ
των 1,5 ευρώ
ι την ίδια πο
υτή που αφαι
φαιρέσαμε α
των κρασιών
χει την ίδια α
καν από το έν
να ελαιουργε
Β. Όταν δου
όλες τις ελιέ
ς ξεκίνησαν
τησε οριστικ
α δουλεύει. Τ
ου Α . Να βρ
α τελειώσουν
εξισώσεις:
2 2
x 1
x 1 x
α κάθε λ R
1 Β) 2
λ x
3 Δ) 2
λ x
εξισώσεις:
2α α β , α
2 2
4x α
τες 0v v α
τε ότι
v
S
περιέχει 524
ένα βαρέλι Β
ώ το κιλό. Αφ
οσότητα κρασ
ιρέσαμε από
από το Β στο
ν, το περιεχό
αξία, να βρεί
να βαρέλι στ
είο έχει δύο σ
υλεύουν και τ
ς μίας περιοχ
μαζί και μετ
κά λόγω βλάβ
Το Β έχει τα
2
3
ρείτε σε πόσε
ν οι ελιές της
2
0
2x 1
.
οι εξισώσεις:
1 λ x 1
x 3 3x λ .
α,β R .
α , α R
αt και
0v
t
2
.
4 κιλά κρασί
Β περιέχει 456
φαιρούμε από
σιού και
το Α στο Β κ
Α. Αν μετά τ
όμενο των δύ
ίτε πόσα κιλά
το άλλο.
συγκροτήμα
τα δύο μαζί
χής σε 12
ά από 2 μέρε
βης ενώ το Β
2
3
της
ες μέρες
ς περιοχής
:
.
6
ό
και
το
ύο
ά
ατα
ες
Ε
3.
A
Γ)
3.
Α
Β)
3.
A
Γ)
3.
Α
Γ)
3.
Α
Γ)
3.
Β)
3.
Β)
έχ
Γ)
(1
Εξισώσεις μ
.07 Να λ
A) x 3 2x
) 2x 4
.08 Να λ
Α)
x
)
2
1
.09 Να λ
A) x 1 x
) 2 2
x 9 x
.10 Να λ
Α) 4 x
) x 2 3
.11 Να λ
Α) 4
x x
) 6 2
5x 3x
.12 Α) Δ
) Λύστε την
.13 Α) Ν
) Αν η
χουν κοινή λ
) Αν η
1) έχουν κοιν
με Απόλυτα
λύσετε τις εξι
x , B
x 5 , Δ
λύσετε τις εξι
1 3 2 2x
2 6
2x 1 1
1
4
λύσετε τις εξι
5 20
5x 6 0
λύσετε τις εξι
x 3
3 1
λύσετε τις εξι
0
Δείξτε ότι:
ν εξίσωση λ
Να λυθεί η εξ
η εξίσωση: 4α
ύση να βρείτ
η εξίσωση (β
νή λύση να β
τα
ισώσεις:
B) 7x 3
Δ) 2x 5
ισώσεις
x x 11
2 6
6x
1 2x
8
ισώσεις:
B) x
Δ) x
ισώσεις:
Β) x
Δ) x
ισώσεις
Β) 4
x
Δ) 1
2x
x
1 x x
x
2x
λ λ x λ
x
ξίσωση 3
x 8
4 2
α x 1 0
τε το α .
5 10
+1) x 32
βρείτε το β .
13
9x 5 ,
2x 5 .
1
,
3 2
8
.
1 2 1
2 2 x 1
x 4
2 3 .
x 0
10 3
x 0
0 , x 0 .
1 , λ R .
8 0 (1) .
και η (1)
0 και η
3
14. 14
http://users.s
Δευτεροβ
3.14 Ν
Α) 2
x 4x
Γ) 2
2x x
Ε) 2
x 6x
3.15 Ν
προς x για
Α) αβ
Β) α
Γ) 2
β
3.16 Αν
ως ρίζα τον
3.17 Ν
εξίσωση 2
λ
να έχει δύο
3.18 Έσ
Α) Για π
Β) Για π
Γ) Αν ρ
υπολογίσετε
πραγματικό
3.19 Λύ
όπου Δ είν
3.20 Ν
2
λ 3λ 2
Α) να
Β) να
3.21 Αν
τις τιμές του
sch.gr/mipap
βάθμια Εξίσ
α λύσετε τις
0
15 0
7 0
α λύσετε τις
κάθε τιμή τω
2
βx αγ β
2
βx α β
2 2 2
x 2αβ x
ν η εξίσωση
αριθμό α β
α βρεθούν ο
2 2
3λ 2 x
ρίζες πραγμ
στω η εξίσωσ
ποιες τιμές το
ποιες τιμές το
ρ είναι η διπ
ε την παράστ
ό αριθμό x .
ύστε την εξίσ
ναι η διακρίν
α βρεθεί ο λ
2
x λ 2 x
α έχει μία μό
α έχει διπλή ρ
ν 2
x xy 1
υ
x
y
pagr
σωση
παρακάτω ε
Β) 2
3x
Δ) 2
4x
ΣΤ) 2
3x
παρακάτω ε
ων παραμέτρ
β x γ 0 , α
x 1 0 , α
2 2
α β 1 0
2
x 2x 2 α
β , αποδείξετ
ι τιμές του λ
2 λ 2 x
ματικές.
ση 2
λx x 5
ου λ έχει μία
ου λ έχει δι
πλή ρίζα της ε
ταση (x ρ
σωση 2
x Δ
νουσά της
λ R ώστε η
x 3 0 :
όνο ρίζα,
ρίζα.
2
2y με x,y
ξισώσεις:
4x
1 0
x 0
ξισώσεις ως
ρων τους
αβ 0 .
β 0 .
0 , β 0
αβ 1 0 έχ
τε ότι α β
λ R ώστε η
1 0
5 0, λ R .
α μόνο ρίζα;
ιπλή ρίζα;
εξίσωσης, να
2
ρ) για κάθε
11 Δ 6
εξίσωση
R * να βρεί
χει
1
α
x
ίτε
3.
λ
να
3.
3
έχ
3.
2
έχ
α
3.
εί
x
3.
x
3.
ρί
εξ
3.
3.
μι
ρί
γ
3.
α
γ
α
.22 Η εξ
λ R έχει ρίζ
α δείξετε ότι
.23 Να α
2
x 2 α β
χει μια διπλή
.24 Να α
2
2α β x 4
χει διπλή ρίζ
2 2 2
α β x
.25 Αν η
ίναι αδύνατη
2
3βx 5γ
.26 Για π
2
αx 1 0
.27 Αν η
ίζα, δείξτε ότ
ξίσωση: 1 κ
.28 Λύσ
.29 Αν α
ια τουλάχιστ
ίζες πραγματ
2
γx 2αx β
.30 Αν
2
α β 2αγ
2
γ α 2αγ
α β γ
ξίσωση 2 2
λ x
ζα το 1 . Να
το 1 είναι
αποδείξετε ότ
γ x αβ α
ή ρίζα, αν κα
αποδείξετε ότ
αx 4β 0 ,
α, τότε η εξίσ
2x 3 α β
η εξίσωση 2
x
η στο R , να δ
0 δεν έχει ρ
ποιες τιμές το
και 2
x x
η εξίσωση 2
x
τι το ίδιο θα σ
2
2μ
κ+ x μ
2
τε την εξίσωσ
α,β,γ 0,
τον από τις π
τικές , 2
αx
0 , 2
βx 2γ
α,β,γ R *
29 και β γ
25 , να υπολ
5λ 2 x
α βρείτε το λ
διπλή ρίζα.
ότι η εξίσωση
αγ βγ 0 ,
αι μόνον αν α
ότι αν η εξίσω
α,β R 0
σωση
0 έχει ρίζε
2
2βx 2γ
δείξετε ότι η
ρίζες στο R .
ου α R οι ε
α 0 έχουν
2
μx κ 0
συμβαίνει κα
μ 1+κ x+κ κ
ση 2
x 1 x
να αποδ
παρακάτω εξ
2βx γ 0 ,
γx α 0
και ισχύει:
2
γ 2αβ 18
λογιστεί η τιμ
Εξισώσεις
λ 2 0 ,
και μετά
α,β,γ R
α β γ .
ωση
ες άνισες.
0 , β,γ R ,
εξίσωση
εξισώσεις
ν κοινή ρίζα;
έχει διπλή
αι για την
2
μ
κ-1 + 0
2
22
x 0
δείξετε ότι
ισώσεις έχει
,
8 και
μή του
ς
15. Α Λυκείου –
Άθροισμα
3.31 Δί
ρίζες 1 2x ,x
2 2
1 2x x , 3
1x
3.32 Έσ
, α,β R με
Α) Ν
ρίζες για οπ
Β) Αν
αποδείξετε ό
Γ) Αν
αριθμός
3.33 Έν
2
x αx β
βρήκε δύο ρ
ρίζα της (1)
της άλλης ρ
πραγματικο
3.34 Ν
2
x αx β
3.35 Έσ
1 2ρ , ρ οι ρί
A) Να βρεθ
3 3
1 2ρ ρ ,
ρ
ρ
3.36 Έσ
Α) Αν 1x , x
γράψετε συ
παραστάσει
Β) Να αποδ
διακρίνουσ
–Άλγεβρα
α – Γινόμεν
ίνεται η εξίσω
. Βρείτε τις τ
3 3
2x , 1
2
x
x 1
στω η εξίσωσ
ε α 0 .
α αποδείξετε
ποιεσδήποτε
ν 1 2x , x οι δύ
ότι 1 2x x
ν μία ρίζα τη
α με α 1 ,ν
νας μαθητής
0 (1), έλυσε
ρίζες. Από αυ
και η δεύτερ
ρίζας της (1).
οί αριθμοί α
α βρεθούν ο
0 είναι ίσες
στω η εξίσωσ
ίζες της.
θούν οι τιμές
2 2
1 2
2 1
ρ ρ
ρ ρ
, ρ
στω η εξίσωσ
2x οι δύο ρίζ
ναρτήσει τω
ις 1 2x x , 1x
δείξετε ότι: d
σα της εξίσωσ
νο Ριζών
ωση 2
x 3x
ιμές των παρ
2
1
x
1 x 1
κα
ση 2
αx
ε ότι η εξίσωσ
τιμές των α,
ύο ρίζες της
1 2x x 1 .
ης εξίσωσης ε
να αποδείξετ
ς αντί της εξίσ
ε την 2
x βx
υτές η μία ήτ
ρη ήταν μικρ
Να βρεθούν
και β .
ι α,β R αν
ς με α και β
ση 2
2x 4x
των παραστ
1 2ρ ρ , 1ρ
ση 2
x βx γ
ζες της εξίσωσ
ν αριθμών β
1 2x , 2 2
1 2x x
1 2x ,x Δ
σης.
1 0 με
ραστάσεων
αι 1 1x (x 3) .
α β x β
ση έχει δύο
β .
εξίσωσης να
είναι ο
τε ότι β α
σωσης
x α 0 και
ταν ίση με μί
ρότερη κατά
ν οι
ν οι ρίζες της
.
1 0 και
άσεων:
1 2ρ
γ 0 , γ 0
σης να
β,γ τις
.
Δ , όπου Δ η
0
α
3
ς
η
3.
x
ώ
3.
α
τη
ότ
ρ
3.
α
ρί
κ
πα
3.
οπ
Α
Β)
Γ)
3.
Α
εξ
Β)
3.
να
A
Β)
3.
2
Β)
.37 Αν x
2
2 λ 1
στε να ισχύε
.38 Αν x
2
αx βx γ
ης 1 2x x x
τι, αν οι 1x ,
1 2, ρ είναι ετ
.39 Αν ρ
2
αx βx γ
ίζες της εξίσω
κ, λ,μ R, κ
αραστάσεις
.40 Να β
ποίες η εξίσω
Α) δύο ρίζες ε
) δύο ρίζες θε
) δύο ρίζες αν
.41 Έστω
Α) Να λυθεί η
ξίσωση έχει μ
) Να βρεθεί ο
.42 Αν x
α βρεθεί εξίσ
A) 1 1ρ 2x 1
) 1 1 2ρ x x
.43 Α) Ν
2
x 7x 2
) Να υπολογ
1 2x x B
1 2x , x είναι ο
0 να βρεθεί
ι: 2
1 13x 8x x
1 2x , x είναι ο
0 με α,β,γ
2
2 1x x x
2x είναι ετερ
τερόσημες.
1 2ρ , ρ είναι ο
0 , α,β,γ R
ωσης 2
κx λx
0 να βρείτε
1 1 2 2x ρ x ρ κ
βρεθούν οι τι
ωση 2
x 2x
τερόσημες ,
ετικές και άν
ντίστροφες.
ω η εξίσωση
ανίσωση d(
μία διπλή ρίζ
ο λ R ώστε
1 2x ,x είναι ρί
σωση που να
1, 2 2ρ 2x
2 και 2 1ρ x
Να αποδείξετ
0 έχει δύο θε
γίσετε τις τιμέ
4 4
1 2B x x
οι ρίζες της ε
ί ο πραγματι
2 2
2 1 2x 8x x 3
οι ρίζες της ε
R 0 και
2
1 0 , να α
ρόσημες, τότε
οι ρίζες της ε
R, α 0 και
x μ 0 ,
ε εξίσωση με
και 1 2 2x ρ x
τιμές του λ
λ 2 0 έχ
νισες ,
2
x λ 1 x
(x, λ) 5-λ ότ
ζα.
ε να έχει ρίζε
ίζες της 2
x
έχει ρίζες τις
1 ,
1 2x .
τε ότι η εξίσω
ετικές ρίζες
ές των παρασ
2 .
15
εξίσωσης
ικός λ , έτσι
3
23x 192 .
εξίσωσης
1 2ρ , ρ ρίζες
ποδειχθεί
ε και οι
εξίσωσης
1 2x , x οι
ρίζες τις
2 1ρ .
R για τις
χει:
x λ 0
ταν η
ες αντίθετες
5x 7 0 ,
ς:
ωση
1 2x , x
στάσεων Α=
5
ς
16. 16
http://users.s
3.44 Έσ
λ 1 3 x
Α) Βρ
διπλή ρίζα τ
Β) Βρ
εξίσωση έχε
3.45 Δί
οποία έχει ρ
το πρόσημο
3.46 Δί
2
x 2λ 1
πραγματικέ
ότι: 10 x
3.47 Δί
ισχύει η σχέ
Α) Ν
ρίζες πραγμ
Β) Ν
Γ) Αν
S 4 , να λύ
3.48 Δί
πραγματικο
Η εξίσωση
τους 1 2x , x
Η εξίσωση
τους 2 3x , x
Η εξίσωση
τους 1 3x , x
Να προσδιο
sch.gr/mipap
στω η εξίσωσ
2
x 2λx λ
ρείτε το λ ώσ
την οποία κα
ρείτε τις τιμέ
ει δύο ρίζες ετ
ίνεται η εξίσω
ρίζες τους αρ
ο του 20
1 2x x
ίδεται η εξίσω
2
x 2λ λ
ές ρίζες, έστω
2x 2 και 0
ίνεται η εξίσω
έση 2
3β 16
α αποδείξετε
ματικές και ο
α αποδείξετε
ν για το άθρ
ύσετε την αν
ίνονται οι δι
οί αριθμοί 1x
2
x 3x α
2
x 5x β
2
x 4x γ
ορίσετε τους
pagr
ση
1 3 0
στε η εξίσωση
αι να υπολογ
ς του λ για
τερόσημες.
ωση 2
x 10x
ριθμούς 1x κ
005
ωση
0 η οποία έ
ω 1 2x , x . Να
2 2
1 20 x x 2
ωση 2
x βx
6γ .
ε ότι η εξίσωσ
ομόσημες, τις
ε ότι 1 2ρ 3ρ
οισμα S των
νίσωση βx 1
ιαφορετικοί α
1 2 3, x , x . Αν
0 , (α IR)
0 , (β IR)
0 , (γ IR)
α,β,γ R
η να έχει μια
γίσετε.
τις οποίες η
x 20 0 η
αι 2x . Βρείτε
έχει δύο
αποδείξετε
2 .
γ 0 και
ση έχει δύο
ς 1ρ και 2ρ .
2
ν ριζών ισχύε
1 γ 0 .
ανά δυο
ν δίνεται ότι
) έχει ρίζες
έχει ρίζες
έχει ρίζες
α
ε
ει
ι:
Τρ
3.
x
x
3.
γ
μή
πρ
3.
αν
επ
eu
3.
Βγ
τη
τη
πα
κρ
αρ
3.
έκ
κα
πα
γρ
το
10
τε
Τριώνυμο –
.49 Να α
2 2
2 2
x αx 6α
x 5αx 6α
.50 Να α
2 2 2
γ x γ α
ήκη πλευρών
ραγματικές ρ
.51 Ένα
ντί 21 euro
πί τοις εκατό
uro έχασε (2
.52 Ένα
γάζουμε μια
ην ίδια ποσό
ην ίδια ποσό
αραμένει ένα
ρασί. Να βρε
ρχικά.
.53 Σε μ
κτακτη ενίσχ
αταστροφής,
αραγωγό αν
ραφτεί κατά
ον έσβησαν κ
00 euro περι
ελικά οι δικα
– Παραγον
απλοποιηθού
2
και
2
2
x α
x 4
αποδείξετε ότ
2 2 2
β x β
ν ενός τριγών
ρίζες.
ς επενδυτής
και υπολόγισ
όσο την αγό
λύσεις).
βαρέλι περι
ποσότητα κρ
τητα νερού.
τητα από το
α μείγμα που
είτε πόσα λίτ
μια γεωργική
υση, εξ΄ αιτία
, το ποσό των
αλογεί το ίδι
λάθος ένας π
και οι υπόλοι
ισσότερα. Να
αιούχοι.
ντοποίηση-
ύν τα κλάσμ
2
α β x 2α
4α β x 3α
ότι το τριώνυ
2
όπου τα α,
νου δεν έχει
πούλησε μια
ισε ότι ζημιώ
όρασε. Να βρ
ιέχει 54 lt κρ
ρασί και προ
Μετά ξαναβ
μείγμα. Στο
υ περιέχει 24
τρα κρασί βγ
ή περιοχή ανα
ας φυσικής
ν 3000 euro.
ιο ποσό. Επε
παραγωγός π
ιποι πήραν,
α βρείτε πόσ
(Απ: 5)
Εξισώσεις
- μορφές
ατα :
2
2
2αβ
3αβ
.
μο
β,γ είναι
α μετοχή
θηκε τόσο
ρείτε πόσα
ρασί.
οσθέτουμε
βγάζουμε
βαρέλι
4 lt καθαρό
γάλαμε
αλογεί ως
. Σε κάθε
ειδή είχε
παραπάνω,
ο καθένας
οι ήταν
ς
17. Α Λυκείου –
4 ΑΝ
Ανισώσει
4.01 Ν
A)
(1
4.02 Ν
ανισώσεων:
x 2 12
3 2
x 4 x 4
3 5
4.03 N
ανισώσεων
4.04 N
ανισώσεων.
και
3x
6
3
4.05 Ν
4.06 N
Α)
2x
2
3
4.07 N
Α) 2
Β) 5
4.08 Γι
αριθμού λ ν
Α) λ
–Άλγεβρα
ΝΙΣΩΣΕΙΣ
ις Πρώτου
α λύσετε την
1 2x)(x 3)
2
α βρείτε τις κ
x 5x 36
4
4 3x 1
2
15
α βρεθούν ο
x x 1
1
2 4 2
α βρεθούν ο
3 x 1 2x
6
7
3
α λύσετε το (
α λύσετε τα σ
1
4
Β)
α λύσετε τα σ
x 1
2 x
2
1 x
5 1
2
ια τις διάφορ
να λύσετε τις
2
x 1 λ
Βαθμού
ν ανίσωση:
2x x 1
κοινές λύσεις
1 και
ι κοινές λύσε
1
2
και
x 1
2 3
ι κοινές λύσε
x x 1 , 2
(Σ):
2x 4
x 7
2
συστήματα
)
2x
2
3
συστήματα:
4
1
ρες τιμές του
ανισώσεις
Β) λx
2
1
ς των
εις των
x
1
6
εις των
x 3 x 2
x 1
x
8
3
1
1
πραγματικο
x 2
ού
Α
4.
Α
Β)
Γ)
Δ)
Ν
Α
Β)
Γ)
Δ)
Ν
A
B)
Γ)
Δ)
4.
Α
Β)
Γ)
Δ)
4.
Α
Β)
4.
Α
Β)
Γ)
Δ)
Ανισώσεις μ
.09 Να λ
Α) x 1
) 5 x
) 2x
) 1 2
Να λύσετε τις α
) 2x
) x 4
1 3
) x 6
Να λύσετε τις α
) 2
) 2 x
2x
) x 5
.10 Nα λ
Α) 3 1
) 3 |x
) 1 |2
) |2x
.11 Να λ
Α) |5x
) |x
.12 Να λ
Α) 3
) x
) 1
) 1
με απόλυτ
λύσετε τις αν
1 5
x 6 0
1 1
2x 4
ανισώσεις:
3 6
4 0
3x 2 3
6 0
ανισώσεις:
x 5
x 5
1 2x 1
5 1
λύσετε τις αν
1 2x 5
x| 8
2x 3| 9
1| 4
λύσετε τις αν
3| 2 6
3| 1 2
λύσετε τις αν
2x 1 2
1 4 3
x 1 1 x
1 x 1
τα
νισώσεις:
νισώσεις:
νισώσεις:
νισώσεις:
2
177
18. 18
http://users.s
4.13 Αν
παράσταση
παράσταση
4.14 Ν
Α) 1
Β) 1
Γ) 0
Δ) x
4.15 Ν
ανισώσεων:
4.16 Ν
Α)
2
Β)
2
Γ) 2
4.17 Βρ
x 2 2 x
4.18 Α
τιμή της πα
4.19 Ν
κάθε μια απ
Α)
B)
Γ)
Δ)
Ε)
Στ)
sch.gr/mipap
ν x 1 , γρά
A 2 x 3
: Β 2 x
α λύσετε τις
x 1 6
1 2x 5 4
x 2 1
1
x 4
4
στο
α βρεθούν ο
15x 23
α λύσετε τις
2006 x x
3
3 x 1
3
3
x 3 x 1
ρείτε τις τιμέ
30 0 κα
Αν α 1 , όπ
ράστασης: A
α βρείτε για
πό τις παρασ
|x| 1
2 x 6
|x 3| 2
4 |x|
1 x 2
2 x 6
pagr
άψτε χωρίς α
6 x 2 x
1 2 x 1
ανισώσεις
στο *
R
4 στο R
3 , στο R
Z
ι κοινές λύσε
7 και
4
3x
ανισώσεις:
2006
2
x 3
x
3
5x 2
ς του x ώστε
αι x 5 7
που α Z , να
2005
A α 3
ποιες τιμές τ
στάσεις:
απόλυτα την
1 και την
εις των
1
2 3
8
1
ε να ισχύουν
α βρεθεί η
του x ορίζετ
ν:
ται
4.
κά
Α
Β)
4.
πα
Α
Β
Γ
Δ
.20 Να β
άθε μια από
Α) Α
) Β
.21 Να β
αρακάτω συν
Α f(x)
g(x)
k(x)
m(x
βρείτε για πο
τις παρακάτ
5 1 x
1 2 1 2x
βρεθούν τα π
ναρτήσεων
x 2
3 2
x x
6 x
1
) x
6 x
x) 6 x
οιες τιμές του
τω παραστάσ
x 2 1
πεδία ορισμο
2
x 4 x
4
x 1
4 x
Ανισώσεις
υ x ορίζεται
σεις:
ού των
3
ς
19. Α Λυκείου –
Ανισώσει
4.22 Ν
Α) 4
3x
4.23 Ν
Α) x
4.24 Ν
Α) x
Β) x
4.25 Ν
Α) x
Β) x
4.26 Ν
Α)
-
Γ)
(x
4.27 Ν
Α)
x + 1
2
7 - x
Β)
2
2
2x - 4x
x + 2
4.28 Ν
Α) 2
5 x
4.29 Ν
Α) |x
B) x
Γ) |x
–Άλγεβρα
ις Δευτέρο
α λύσετε τις
2
x 0
2
x 5x 2 0
α λύσετε τις
2
x x 1 0
α λύσετε τις
2
x 7x 12
2
x 3x 2
α λύσετε τις
2 2
x 2 2x
2
x 5 x 1
α λυθούν οι
2
2
x + 5x + 6
x + x - 6
2 2
2
x 8x 7)(x
x 4
α λυθούν οι
2 ,
+ 5
1
2
α λύσετε τα σ
14x 50 26
α λύσετε τις
2 2
x 1 x ||x
2
x 6x 8 4
2
x 3x 3||
ου Βαθμού
ανισώσεις:
Β)
0
ανισώσεις:
Β) 2
x
ανισώσεις:
2 2
3x x x
2
2x 5x 1
ανισώσεις:
6
5x 3 x
x 2 x 3
ανισώσεις:
0 , Β)
x
2
3x 9)
0
4
ανισώσεις:
Β)
2
2
x x
x x
Δ) 2
4x
3x - x
συστήματα α
6 Β) 2
ανισώσεις
2
3x 4|
4 x
2
x 7x 13|
x 1 0
2x 6 0 ,
2
x x 0 .
2 0 ,
0 .
2
x - 4x + 3
0
x - 2
0 .
1
2
2
,
1
2
.
ανισώσεων:
2
2x - 1
1
x - 3x + 2
0 ,
1
4.
ρι
4.
Α
Β)
4.
3
3
4.
συ
Β)
4.
το
αν
Α
Γ
4.
ώ
Α
Β)
4.
Α
αν
Β)
f
4.
αν
αδ
.30 Για κ
ιζών της εξίσ
.31 Να λ
Α) 3
x
) 2
x
.32 Να σ
3x + 5
0
3x - 7
κ
.33 Βρεί
υναρτήσεων
) f(x)
.34 Το τ
ους αριθμούς
νισότητες είν
Α f 0,
f 19
.35 Να β
στε η εξίσωσ
Α) Να έ
) Να ε
.36 Έστω
Α) Να β
νίσωση f(x)
) Αν λ
x 8x 1
.37 Να β
νίσωση: λ-1
δύνατη για κ
κάθε κ R ν
σωσης: 2
x κ
λύσετε τις αν
2
1 x x
x 4 2(x
συναληθεύσε
και
2
x 10x
x - 2
ίτε τα πεδία ο
Α)
2
4x 4x
ριώνυμο f x
ς 1 και 6 .
ναι σωστή;
1999 0
999 0
βρεθεί ο πρα
η 2
λ 3λ 2
έχει μία μόνο
είναι αδύνατ
ω f x (λ
βρεθούν οι τι
0 να αληθεύ
λ 4 να λύ
18
βρείτε τις τιμ
2
1 x λ+1 x
κάθε x R .
να βρείτε το
κx 2κ 3 0
νισώσεις:
1 .
x 1)
ετε τις ανισώ
16
0
2
;
ορισμού των
2
f(x) 3x
2
x 3 3 x
2
x x 5x
Ποια από τι
B. f 0
Δ. f
αγματικός αρ
2
2 x λ 2
ο ρίζα
τη.
2
2)x 2λx
τιμές του λ ώ
ύει για κάθε
ύσετε την εξίσ
μές του λ R
x λ+1>0 να
19
πλήθος των
0
ώσεις
ν
4x 1
2
2x
6 έχει ρίζες
ις παρακάτω
,1999 0
1999 0
ριθμός λ
x 3 0
3λ , λ 2
ώστε η
x R
σωση
R ώστε η
α είναι
9
ω
20. 20
http://users.s
4.38 Γι
λ , βρείτε το
2
λ 3λ 2
4.39 Δί
3 2
λ λ x
Α) Βρ
εξίσωση έχε
Β) Υπ
εξίσωση άπε
4.40 Ν
2
λ 1 x 4
Α) στ
Β) αρ
4.41 Ν
R για τις
2
λ 2 x 2
πραγματικέ
4.42 Ν
ανίσωση λx
αληθής για
4.43 Αν
2
x 2λ
λ R ώστε
4.44 Έσ
2
x 2λx λ
ισχύει
1
1
x
4.45 Ν
σχέση 3
πραγματικό
sch.gr/mipap
ια τις διάφορ
ο πλήθος των
2
x λ 2 x
ίνεται η εξίσω
λx λ 1 λ
ρείτε για ποι
ει 2 ρίζες άνι
πάρχει τιμή τ
ειρες ρίζες;
α βρείτε το λ
4x λ 2 να
ταθερό πρόση
ρνητικό πρόσ
α βρεθούν α
οποίες η ανί
2λx 3λ 0
ές τιμές του x
α προσδιορι
2
x λ 1 x
κάθε x R .
ν 1 2x , x είνα
2
1 x λ λ
2 2
1 2 1x x 3x
στω 1 2x , x ρ
2
λ 1 0 λ
2
1
1
x
.
α βρεθούν ο
2
2
x x 2
x x 1
ό x .
pagr
ρες πραγματι
ν ριζών της ε
x 3 0 .
ωση
λ 1 λ 0
ες τιμές του
ισες
του λ ώστε ν
λ ώστε το τριώ
έχει:
ημο για κάθε
σημο για κάθ
αν υπάρχουν
ίσωση
να αληθεύει
x .
ιστεί ο *
λ R
λ 1 0 ν
αι οι ρίζες τη
1 0 , λ R
2x 0 .
ρίζες της εξίσ
R . Να βρεθ
ι τιμές του
2 να ισχύει γ
ικές τιμές του
εξίσωσης
λ R η
να έχει η
ώνυμο
ε x R ,
θε x R .
οι τιμές του
ι για όλες τις
*
ώστε η
να είναι
ης εξίσωης
R να βρεθεί ο
ωσης
θεί ο λ ώστε ν
R ώστε η
για κάθε
υ
λ
ς
ο
να
4.
f(
Α
οπ
Β
βρ
4.
x
Β)
ότ
4.
τι
4.
α
κα
Α
Β
4.
γ
A
να
B)
Γ)
απ
Δ)
εξ
.46 Δίνε
2
(x) x λ
Α Να β
ποίες το τριώ
Αν x
ρείτε:
α) για ποιες
β) για ποιες
.47 Α) Ν
2
- λ 1 x 2
) Βρεί
τι 1 2d(x ,x )
.48 Έστω
ις α,β . Αποδ
.49 Δίνε
α,β R . Αν
αι ισχύει f
Α Να δ
Να λ
.50 Αν γ
γ α β γ
A) Η εξ
α έχει ρίζες τ
) Η αx
) Αν x
ποδείξετε ότι
) Να α
ξίσωσης θα ε
εται το τριών
4 x λ 6 ,
βρείτε τις τιμ
ώνυμο έχει ρί
1 2x , x R εί
ς τιμές του λ
ς τιμές του λ
Να λυθεί στο
2
2λ 2λ 0
ίτε για ποιες
2 όπου 1x ,
ω η εξίσωση
δείξτε ότι
β
εται το τριών
1 2x , x R εί
1 2x x 5
δείξετε ότι α
λυθεί η ανίσω
για τους αριθ
0 , α 0 ,να
ξίσωση 2
αx
τους αριθμού
2
x βx γ 0
1 2x ,x οι ρίζε
ι: 1 2x x 1
αποδείξετε ότ
είναι στο διά
νυμο
x R , λ
μές του λ R
ίζες πραγματ
ίναι ρίζες του
λ R ισχύει
λ R ισχύει
R, η εξίσωση
(1), λ R
τιμές του λ
2x R οι ρί
2
x 3x 1
2
βα
β 1 α
νυμο f(x) x
ίναι οι ρίζες
2 2
1 2 1 2x x x x
α 6, β 5
ωση f x 3
θμούς α,β,γ
αποδείξετε ό
βx γ 0 δε
ύς 0 και 1.
0 έχει δύο ρίζ
ες της εξίσωσ
1 2x 1 x
τι μία μόνο ρ
άστημα 0,1
Ανισώσεις
R
R για τις
τικές
υ f x
2 2
1 2x x 20
1 2x x 2
η
R ισχύει
ίζες της (1)
0 με ρίζες
2
β
1
18
2
x αx β με
του f x
2
2 30 0
5
4 0
ισχύει
ότι:
εν μπορεί
ζες άνισες.
σης, να
0 .
ρίζα της
ς
ε
21. Α Λυκείου –
4.51 Δί
2
f(x) x
Α) Αν
αριθμό να α
Β) Ν
4.52 Δί
με x IR κ
Α Αν
x IR να α
Β Αν
αποδείξετε ό
πραγματικέ
4.53 Αν
(x )(x
4.54 Ν
πραγματικο
2
3( 1)
4.55 Ν
πραγματικο
έχει τουλάχ
4.56 Αν
οι ρίζες 1x ,
ικανοποιού
4.57 Γι
ακριβώς ρίζ
ανήκει στο δ
4.58 Ν
μορφής 2
x
ως λύσεις το
–Άλγεβρα
ίνεται το τριώ
x 2011
με
ν f(x) 0 γι
αποδείξετε ότ
α αποδείξετε
ίδεται η συνά
αι 0 .
ν ισχύει η σχ
αποδείξετε ότ
ν ισχύει η σχ
ότι η εξίσωση
ές και άνισες
ν για κάθε x
) 0 να δεί
α αποδείξετε
ούς αριθμούς
1 3
α βρείτε την
ού ώστε η
χιστον μια πρ
ν 1 και
2x της εξίσω
ύν τη σχέση:
ια ποιες τιμές
ζα της εξίσωσ
διάστημα (0
α βρεθεί δευ
x 0 ,
ους αριθμούς
ώνυμο
ε , R κα
ια κάθε x πρα
τι λ>0
ε ότι
2
f 2011
άρτηση f(x)
χέση f(x) 0
τι f(100) 0
χέση 2
η f(x) 0 έχε
ς.
x IR ισχύει
ίξετε ότι:
ε ότι για οπο
ς α, β ισχύει
ν μεγαλύτερη
εξίσωση 2
x
ραγματική ρί
2 , να α
ωσης 2
x x
1 2
1 1
2
x x
ς της παραμέ
σης 2
x 2(
0,2) ;
υτεροβάθμια
όπου , R
ς 1 και
αι 0
αγματικό
2011
0
2
x x 2
για κάθε
2 να
ει δύο ρίζες
:
οιουσδήποτε
η τιμή του
2x 0 ν
ίζα.
αποδείξετε ότ
0 ,
2 .
έτρου , μία
2
1)x 0
εξίσωση της
R που να έχε
1
2
να
τι
α
ει
4.
να
Ν
μπ
4.
x
δι
4
4.
έχ
πα
B
4.
Ν
A
B)
4.
λ
Β)
πο
.59 Έστω
0 ) , τέτοιο
α έχουν το ίδ
Να αποδείξετε
πορεί να έχει
.60 Να ο
2
x 1
ιαφοράς των
και μικρότε
.61 Έστω
χει ώς ρίζες τ
αραστάσεων
3 2
2 1B x 4x
.62 Έστω
Να αποδείξετε
A) Αν P x 0
) Αν είναι
2
x x 200
.63 Έστω
1. Α) Για π
) Αν 1 2x , x ε
οιες τιμές του
ω , , πρ
οι ώστε οι αρ
διο πρόσημο.
ε ότι η εξίσωσ
ι δύο ρίζες στ
ορισθεί το μ
0
ούτως, ώ
ν ριζών της ν
ερο του 16
ω η εξίσωση
ους 1 2x ,x Βρ
ν 3 2
1 2A x 4x
19
ω 2
P x x
ε ότι:
0 για κάθε x
2001 , τ
1 0 έχει ρίζ
ω η εξίσωση
ποια λ η εξίσ
είναι οι δύο ρ
υ λ είναι 1
2
x
x
αγματικοί α
ριθμοί: , 4
.
ση : 2
x x
στο διάστημα
στην εξίσωση
ώστε το τετρά
να είναι μεγα
2
x x 3 0
ρείτε τις τιμέ
2
2 19 και
2
x 2001
R τότε P 20
τότε η εξίσωσ
ίζες πραγματ
2
1 x
σωση έχει ρίζε
ρίζες της εξίσ
2
1 1
x λ
x x x
21
ριθμοί (
3 2
x 0 , δε
α (1,2)
η:
άγωνο της
αλύτερο του
0 η οποία
ές των
με 0 .
004 0 .
ση
τικές.
x 2 0 ,
ες στο R;
σωσης για
2
λ
x
1
22. 22
http://users.s
5 ΠΡ
Αριθμητικ
5.01 Ν
το άθροισμα
5.02 Ν
οποία είναι
5.03 Γι
3 2
x 2x x
είναι διαδοχ
5.04 Ν
αριθμητικής
γινόμενο 44
5.05 Αν
διαδοχικοί
οι 2
α βγ ,
όροι αριθμη
των διαφορ
5.06 Αν
αριθμητικής
1 2
1
α α
5.07 Αν
διαδοχικοί
ότι
1 2
1
αα
5.08 Σε
7 17α α 3
άθροισμα τω
του 8α και
sch.gr/mipap
ΡΟΟΔΟΙ
κή Πρόοδο
α βρείτε την
α των 20S 1
α βρείτε την
ι 20S 610 κα
ια ποια τιμή
1 , 4 3
x 2x
χικοί αριθμ.
α βρείτε τρει
ς προόδου α
40 .
ν οι αριθμοί
όροι αριθμη
2 2
β γα, γ
ητικής προόδ
ρών των δυο
ν 1 2 vα ,α ,...α
ς προόδου ν
2 3
1
...
α α
ν 1 2α ,α ,...,α
όροι αριθμη
2 3 3 4
1 1
α αα α
ε μία αριθμη
30 και 9α α
ων όρων της
25α .
pagr
ος
αριθμητική
1030 και 10
αριθμητική
αι 12S 222
του ακεραίο
3 2
x 3x 5
προόδου;
ις διαδοχικού
αν έχουν άθρ
α,β,γ R ε
τικής προόδ
αβ είναι δ
δου. Ποιος εί
προόδων αυ
v είναι διαδο
α δείξετε ότι
v 1 v
1
α α
vα είναι -μη μ
τικής προόδ
4 v 1
1
.
α
..
α
ητική πρόοδο
20α 40 . Να
ς που βρίσκον
πρόοδο όταν
0 3 35 .
πρόοδο στην
.
υ x οι αριθμ
5 , 2
x 2x 9
ύς όρους
οισμα 33 κα
είναι
ου, δείξτε ότ
διαδοχικοί
ίναι ο λόγος
υτών;
οχικοί όροι
:
ν 1
ν 1
α α
μηδενικοί-
ου, να δείξετ
v 1 v
v 1
α α
.
ο ισχύει
βρείτε το
νται μεταξύ
ν
ν
μοί
αι
τι
τε
5.
α
αρ
όρ
5.
οπ
πρ
5.
πα
απ
αρ
πα
το
5.
1,
1
Ν
οσ
5.
το
πρ
2ο
τέ
Α
Β.
το
ν
Γ.
αρ
Δ
.09 Ο ν-
να 4ν 5 , ν
ριθμητική πρ
ρων της που
.10 Να α
ποία ισχύει ό
ρόοδος.
.11 Πόσ
αρεμβάλλου
ποτελούν όλ
ριθμητικής π
αρεμβαλλόμ
ον δεύτερό το
.12 Δίνε
,2,3,4,5,... και
1 , 2,3,4 ,
Να υπολογιστ
στής ομάδας
.13 Έχου
οποθετούμε α
ρώτο κιβώτιο
ο τις μπάλες
έταρτο τις 7
Α. Πόσες μπάλ
. Να δειχτεί ό
ον μικρότερο
ν·(ν 1)
1
2
.
. Σε ποιο κιβώ
ριθμό 100 ;
. Αν v 50 ,
-οστός όρος μ
Ν*. Να δει
ρόοδος. Να β
είναι μεταξύ
αποδείξετε ότ
ότι 2
vS 3v
σους αριθμού
με μεταξύ το
οι μαζί διαδο
προόδου και
μενους όρους
ους;
εται η αριθμη
ι παίρνουμε
3,4,5,6,7 ,
τεί το άθροισ
.
υμε ν κιβώτ
αριθμημένες
ο τη μπάλα μ
2,3 στο 3ο
7,8,9,10 κ.ο
λες έχει το ν
ότι στο ν -στ
ο αριθμό είνα
ώτιο βρίσκετ
πόσες μπάλε
μιας ακολουθ
ιχθεί ότι η (α
βρείτε το άθρ
ύ των 17 και
ότι η ακολουθ
v είναι αρ
ύς πρέπει να
ου 5 και του
οχικούς όρο
ο τελευταίος
ς να είναι 3-π
ητική πρόοδο
ομάδες όρων
, 4,5,6,7,8,
σμα των όρων
τια μέσα στα
μπάλες ως ε
με τον αριθμ
ο τις 4,5,6
ο.κ.
ν -οστό κιβώτ
τό κιβώτιο η
αι αυτή με το
ται η μπάλα
ες έχουμε συ
Πρόοδοι
θίας είναι
να ) είναι
ροισμα των
ι 99 .
θία για την
ριθμητική
50 ώστε να
υς
ς από τους
πλάσιος από
ος
ν ως εξής:
,9,10 ...
ν της ν-
οποία
ξής: Στο
ό 1 στο
στο
τιο;
μπάλα με
ον αριθμό
με τον
νολικά;
ι
α
23. Α Λυκείου –
Γεωμετρικ
5.14 Ν
κάθε μια απ
A) Αν 4S
B) Αν 3S 2
5.15 Π
καθέναν απ
γίνουν τρεις
προόδου;
5.16 Ν
αποτελούν α
άθροισμά το
άκρων όρων
5.17 Ν
γεωμετρική
άθροισμα μ
5.18 Αν
πρόοδοι εξε
σχηματίζετα
2 3 ,
5.19 Α)
γενικό όρο
5.20 Σε
1 4 2α α α
5.21 Ν
για τους οπ
α) οι τρεις π
γεωμετρική
β) οι τρεις τ
αριθμητικής
γ) το άθροισ
μεσαίων 12
–Άλγεβρα
κή Πρόοδο
α βρείτε τη γ
πό τις περιπτ
30 και 5α
26 και 4α α
οιον αριθμό
πό τους αριθμ
ς διαδοχικοί
Να βρεθούν τ
αύξουσα γεω
ους είναι 65
ν τους είναι
Να βρεθούν τ
ς προόδου α
μεσαίων όρων
ν ν ν(α ), (β )
ετάστε σε πο
αι γεωμετρικ
2 3 ,
) Να αποδειχ
ν
να 3 2 εί
ε μια γεωμετ
2 3α . Να βρ
α βρείτε τέσσ
οίους ισχύου
πρώτοι είναι
ς προόδου,
τελευταίοι είν
ς προόδου κ
σμα των άκρ
.
ος
γεωμετρική π
τώσεις:
6 7 8α α α
1α 52 .
πρέπει να π
μούς 2 , 16 ,
ί όροι γεωμετ
τρεις αριθμοί
ωμετρική πρό
και η διαφο
40 .
τέσσερις διαδ
αν έχουν γινό
ν 5 .
) είναι δυο γ
ια περίπτωσ
κή πρόοδος:
2
,
χτεί ότι η ακ
ίναι γεωμετρ
ρική πρόοδο
ρεθεί ο λόγος
σερις ακέραι
υν τα εξής:
διαδοχικοί ό
ναι διαδοχικ
αι
ρων όρων είν
πρόοδο σε
480 .
ροσθέσουμε
58 για να
τρικής
ί που
όοδο, αν το
ορά των
δοχικοί όροι
όμενο 16 κα
γεωμετρικές
η
ολουθία με
ρική πρόοδος
ο έχουμε
ς της.
ιους αριθμού
όροι
κοί όροι
ναι 14 και τω
σε
αι
ς .
ύς
ων
5.
εί
έχ
πρ
θα
5.
αρ
αρ
όρ
5.
οπ
πρ
Β)
έχ
5.
δύ
το
5.
απ
πρ
αυ
εί
5.
(α
Α
εξ
απ
Β)
εξ
ώ
πρ
Γ)
α
τρ
.22 Βρεί
ίναι διαδοχικ
χουν άθροισμ
ροσθέσουμε
α γίνουν δια
.23 Αν α
ριθμητικής π
ριθμοί β, γ,
ρους γεωμετρ
.24 Α) Ν
ποία ισχύει ό
ρόοδος.
) Πόσους όρο
χουμε άθροισ
.25 Να α
ύο θετικών α
ου γεωμετρικ
.26 Να β
ποτελούν δια
ροόδου, έχου
υξηθεί κατά
ίναι διαδοχικ
.27 Αν α
3 2
α 1)x (α 5α
Α) Δείξτε ότι γ
ξίσωση έχει τ
ποτελούν γεω
) Αν είναι 2x
ξαρτάται από
στε οι ρίζες x
ρόοδο.
) Να αποδείξ
που βρήκατ
ρεις ίσες ρίζε
ίτε τρεις αριθ
κοί όροι αριθ
μα 15 και αν
τους αριθμού
δοχικοί γεωμ
2 2
αβ, β , γ εί
προόδου, να
2β α αποτ
ρικής προόδο
Να δειχθεί ότ
ότι v
vS 2 3
ους της πρέπ
σμα 484 ;
αποδείξετε ότ
αριθμών είνα
κού μέσου το
βρεθούν τρει
αδοχικούς όρ
υν άθροισμα
2 τότε οι αρ
κοί όροι αριθ
α R { 1} , δί
2 2
α 5)x (α 5
για τις τιμές τ
ρεις πραγμα
ωμετρική πρ
2 η ρίζα της ε
ό την παράμ
1 2 3x ,x ,x να α
ξετε ότι για τ
ε στην Β) ερώ
ς.
θμούς οι οπο
θμητικής προ
ν σε αυτούς
ύς 1, 4, 19 αν
μετρικής προ
ίναι διαδοχικ
αποδείξετε ό
τελούν διαδο
ου.
τι η ακολουθί
v
1 είναι γ
πει να πάρου
ότι ο Αριθμητ
αι μεγαλύτερ
ους
ις αριθμοί x,
ρους γεωμετρ
α 28 και αν ο
ριθμοί που πρ
θμητικής προ
ίνεται η εξίσ
5α 5)x (α 1)
του α για τις
ατικές ρίζες α
ρόοδο
εξίσωσης που
μετρο α , βρε
αποτελούν αρ
τις τιμές της π
ώτηση η εξίσ
23
ίοι:
οόδου,
ντίστοιχα
οόδου.
κοί όροι
ότι οι
οχικούς
ία για την
γεωμετρική
υμε, για να
τικός μέσος
ος ή ίσος
, y, ω αν
ρικής
ο μεσαίος
ροκύπτουν
οόδου.
σωση
0 .
οποίες η
αυτές
υ δεν
είτε ε το α
ριθμητική
παραμέτρου
σωση έχει
3
24. 24
http://users.s
6 ΒΑ
Η έννοια
6.01 Απ
2
x
f x
τιμή της πα
6.02 Έσ
2
x ,
f(x)
2x ,
τα f( 1), f(0
6.03 Αν
, R ώσ
6.04 Γι
ισχύουν f 1
6.05 Έσ
βρεθεί το πε
βρεθούν τα
6.06 Αν
τιμή του
6.07 Αν
A) f
B) f
6.08 Αν
να υπολογίσ
f x 3 , f
sch.gr/mipap
ΑΣΙΚΕΣ ΕΝ
της Συνάρ
πλοποιείστε
2
4x 4
α
x 2
3 α
ράστασης: f
στω οι συναρ
x 1
x 1
, g(x
0), f( 3), f(3
ν f x 2x
στε να ισχύει:
ια την συνάρ
2 και f 2
στω ότι f(x)
εδίο ορισμού
, R ώστ
ν f(x)=
2x
5x
R ισχύει
ν f x 3x ,
1 f
ν f x 2x
σετε τις παρα
2
f 1 x , f
pagr
ΝΝΟΙΕΣ ΤΩ
ρτησης
τον τύπο τη
ν x 2
ν x 2
και
1 f 0 2
ρτήσεις f κα
-x 1
x)
x
3/4), g(0) .
6 , να βρεθο
f α 8 κα
ρτηση f x
2 20 . Βρεί
αx 4 , x
αx 2β ,x
ύ της συνάρτη
τε f(-1)=f(2).
x 3
1 x 5
βρ
2f 1 λf
να δείξετε ότ
2 f 3
f f
1 για κάθε
αστάσεις:
f 2x f(0) ,
ΩΝ ΣΥΝΑΡ
ης συνάρτηση
ι να βρείτε τη
2f 2
αι g με
x 0
x 0
Βρείτε
ούν οι
αι f 8 β .
3
αx 2βx
ίτε το f 3
1
x 1
. Να
ησης f και ν
ρείτε για ποια
10 157 .
τι:
3f 18
f .
x R ,
f x f(x)
ΡΤΗΣΕΩΝ
ης
ην
ε
να
α
8 .
.
6.
ισ
6.
α
6.
f
Π
6.
Α
Γ)
6.
f
m
6.
Α
Γ)
6.
f(
Ν
.09 Αν f
σχύει f x f
.10 Αν f
α,β R ισχύει
.11 Αν f
x 1 2f x
Πεδίο Ορισ
.12 Να β
Α)
2x
f x
9 x
) 2
x
h x
x
.13 Να β
3
x
x 2
m x x
.14 Να β
Α)
2
f x
x
) 3
4
f x
x
.15 Για π
x) = 2
3x - 1
x α
ο
2
2
1
f x x
x
1
0
x
.
2
f x x , x
ι f α f β
2
f x x x
x 3f 0 f
σμού
βρείτε τα πεδ
2
x
x
Β
2
x +4
4x 3
Δ
βρείτε τα πεδ
1
2
x 1|
βρείτε τα πεδ
1
Β) f x
x
x
Δ) f x
ποιες τιμές το
ορίζεται στο
2
1
τότε να δε
R ,δείξτε ότ
α β
2f
2
να λύσετε τη
1 .
δία ορισμού
Β)
x
f x
Δ) f x
x
δία ορισμού
1
g x
|x| x
k x 2 |
δία ορισμού
x 1 x
|x| 2
x 1
|x| 2
ου α R η σ
R;
Συναρτήσεις
είξετε ότι
ι για κάθε
ην εξίσωση
των:
x 1 4-x
x-3
2
2x
x 1
των:
2
x
x 3|
των:
x 4
x 4
2
υνάρτηση
ς
25. Α Λυκείου –
Γεωμετρικ
6.16 Ν
κορυφές τα
ορθογώνιο κ
6.17 Δί
βρεθεί η απ
1,f( 1) .
6.18 Ν
τέτοιο ώστε
ίσες πλευρές
6.19 Δί
Να βρείτε σ
τρίγωνο ΑΜ
τις ΜΑ και
Συμμετρικ
6.20 Δί
B 3, 2 , Γ
Ζ 2δ, 1 . Ν
α, β, γ, δ α
συμμετρικά
συμμετρικά
στον x x κα
6.21 Ν
Α) 2
Α λ , λ
συμμετρικά
Β) 2
A λ ,4λ
προς την ευ
Γ) A 4,3
προς τον άξ
–Άλγεβρα
κές–Απόστ
α αποδείξετε
σημεία A 1
και ισοσκελέ
ίνεται η συνά
όσταση των
α βρεθεί σημ
το τρίγωνο Α
ς τις ΑΓ, ΒΓ,
ίνονται τα ση
σημείο Μ της
ΜΒ να είναι ι
ΜΒ.
κά Σημεία
ίνονται τα ση
4,2β 6 , Δ
Να βρείτε το
αν γνωρίζετε
ά ως προς τον
ά ως προς το
αι το σημείο
α βρεθεί η τι
2
2 , B 3,
ά ως προς το σ
λ , 2
Β λ 3, λ
υθεία y x .
, 2
B 4, λ 1
ξονα x x .
ταση Σημε
ε ότι το τρίγω
,2 , B 0,1
ές.
άρτηση f(x)=
σημείων Α 1
μείο Γ του άξ
ΑΒΓ να είνα
όπου A 1,1
ημεία A 1,
ς ευθείας y=x
ισοσκελές με
ημεία Α 3,4
Δ 3γ 1,4 ,
ους πραγματ
ότι: Τα Α κα
ν x x , τα Ε κ
0,0 , το Γ
Δ βρίσκεται
ιμή του λ ώσ
4 5λ να εί
σημείο Ο 0,
λ να είναι σ
1 να είναι σ
ίων
ωνο με
, Γ 2,1 είνα
= 2x . Να
1,f(1) και Β
ονα xx
ι ισοσκελές μ
, B 4,2 .
1 , B 2,4 .
x ώστε το
ίσες πλευρές
4α 2 ,
Ε 1,1 , και
ικούς
αι Β είναι
και Ζ είναι
βρίσκεται
ι στον y y .
στε τα σημεία
ίναι
,0 .
συμμετρικά ω
συμμετρικά ω
αι
Β
με
ς
α:
ως
ως
Γρ
6.
βρ
ση
6.
βρ
τη
y
6.
f
το
απ
6.
γρ
Α
Β)
6.
τω
στ
υπ
πε
6.
συ
6.
γρ
ραφική Πα
.22 Δίνε
ρεθεί το α R
ημείο M 4,2
.23 Δίνε
ρείτε τα σημε
ης f με τους
y 1 .
.24 Δίνε
x 3μ 1
ο fC να τέμν
πέχουν απόσ
.25 Να β
ραφικών παρ
Α) f x x 1
) 3
f x x
.26 Να κ
ων συναρτήσ
το ίδιο σύστη
πολογίσετε τ
ερικλείεται α
.27 Nα κ
υνάρτησης f(
.28 Εξηγ
ραφική παρά
αράσταση
εται η συνάρτ
R ώστε η fC
2 .
εται η συνάρτ
εία τομής της
άξονες y y ,
εται η συνάρτ
x 2 με μ<0
νει τους άξον
σταση ίση με
βρείτε τα σημ
ραστάσεων τ
1 και g x
x και g x
κάνετε τις γρ
σεων: f(x)=x+
ημα συντεταγ
ο εμβαδόν τη
από αυτές.
κάνετε τη γρ
(x)=
x 4
0
x 3
γήστε γιατί ο
άσταση συνά
τηση f x α
f να διέρχετα
τηση f x
ς γραφικής π
x x και την
τηση:
0. Να βρεθεί
νες σε σημεία
ε 5 .
μεία τομής τω
των συναρτή
x 1 .
2
x 1 .
ραφικές παρα
+2 , g(x)=-x+3
γμένων και ν
ης περιοχής
ραφική παρά
,x 1
, 1 x 2
,x 2
.
ο κύκλος δεν
άρτησης.
25
α x 3 . Nα
αι από το
2x 1
x 2
. Να
παράστασης
ν ευθεία
το μ ώστε
α που
ων
σεων:
αστάσεις
3, h(x)=2x+1
να
που
σταση της
είναι
5
26. 26
http://users
Ευθεία
6.29 Ν
ευθεία y= 3
6.30 Δί
. Να προσδι
Α) πα
Β) πα
Γ) κά
Δ) να
6.31 Αν
2ε : y 2λx
ευθείες 3ε : y
είναι κάθετε
6.32 Γι
βρείτε:
Α) Τι
παράλληλη
Β) Τι
να ανήκει σ
ε.
Γ) Τι
παράλληλη
Δ) Τα
6.33 Έσ
όπου κ R .
Α) Ν
Β) Αν
Γ) Αν
εξίσωση y
s.sch.gr/mipap
α βρεθεί η γω
3 x+3 με τον
ίνεται η ευθε
ιοριστεί ο λ ώ
αράλληλη στ
αράλληλη στ
άθετη στην ευ
α διέρχεται α
ν οι ευθείες ε
είναι παράλ
2
λ 3
y x
4
ες.
ια την ευθεία
ις τιμές του λ
προς την ευ
ις τιμές του λ
στην γραφική
ις τιμές του λ
προς τον άξ
α σημεία τομ
στω τα σημεί
.
α αποδείξετε
ν AB 5
ν κ 0 να α
2x 2 διέρ
pagr
ωνία που σχη
άξονα xx΄.
εία
λ
ε : y
λ
ώστε η ε να ε
την ευθεία y=
την ευθεία x
υθεία 2y=-8x
από το σημείο
1ε : y λ 1
λληλες να δε
1, 4ε : y λ
α
λ 4
ε: y
λ-1
λ ώστε η ευθε
υθεία δ: y 6
λ ώστε το σημ
ή παράσταση
λ ώστε η ευθε
ξονα xx .
μής της με του
ία A κ,2 κ
ε ότι AB
να βρείτε τι
αποδείξετε ότ
ρχεται από τ
ηματίζει η
3 2 λ2
x
λ λ
είναι:
=-2 ,
y 5 ,
x+1,
ο (3,-1)
2
1 x λ και
ίξετε ότι οι
1 x 8
x 5 , να
ία ε να είναι
6x 1 .
μείο A(2, 3)
ης της ευθεία
ία ε να είναι
υς άξονες.
αι Β 1,2κ ,
5 κ 1 .
ις τιμές του κ
τι η ευθεία με
τα Α και Β.
λ
ι
ας
ι
κ .
ε
6.
Ν
Α
πα
Β)
σχ
το
Γ)
πα
6.
Α
Β)
απ
Γ)
Δ)
οπ
άξ
Ε)
συ
Στ
πε
συ
Θ
ισ
6.
ε
M
Α
Β)
ε
Γ)
ε.
Δ)
με
.34 Έστω
Να βρείτε:
Α) Τα σ
αράστασης μ
) Το ε
χηματίζεται
ους άξονες.
) Την
αραπάνω τρ
.35 Δίνε
Α) Να ε
) Να γ
πόλυτη τιμή.
) Να γ
) Να β
ποία η γραφ
ξονες.
) Να β
υνάρτησης μ
τ) Να β
ερικλείεται α
υνάρτησης κ
Θ) Να δ
σοσκελές.
.36 Δίνε
: αx y 4 η
M( 1, 6) .
Α) Να β
) Να β
με τους άξον
) Να β
) Να β
ε την παραβ
ω η συνάρτη
σημεία τομής
με τους άξονε
μβαδόν του
από τη γραφ
τιμή του λ ώ
ιγώνου να εί
εται η συνάρτ
εξετάσετε αν
γραφτεί ο τύ
.
γίνει η γραφ
βρείτε –αν υπ
ική παράστα
βρείτε τα σημ
με την ευθεία
βρείτε το εμβ
από την γραφ
και την ευθεία
δείξετε ότι το
εται η ευθεία
η οποία διέρχ
βρεθεί η τιμή
βρεθούν τα κ
νες.
βρεθεί ο συντ
βρείτε τα κοι
βολή 2
y x
ση f x λx
ς της γραφική
ες.
τριγώνου πο
φική παράστα
ώστε το εμβαδ
ίναι 2 τμ
τηση f x
ν είναι άρτια
ύπος της χωρί
φική της παρά
πάρχουν- τα
αση της f τέμν
μεία τομής τη
α y 3 .
βαδόν του τρ
φική παράστ
α y 3
ο τρίγωνο αυ
(ε) με εξίσωσ
χεται από το
ή του α.
κοινά σημεία
τελεστής διεύ
ινά σημεία τη
13 17
x
4 4
.
Συναρτήσεις
2, λ 0
ής της
ου
αση και
δόν του
x 2 1 .
ή περιττή.
ίς την
άσταση.
α σημεία στα
νει τους
ης
ριγώνου που
ταση της
υτό είναι
ση
ο σημείο
α της ευθείας
ύθυνσης της
ης ευθείας ε
ς
27. Α Λυκείου –
ΣΥΝΑΡΤΗ
6.37 Αν
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
[1,+)
Δ) Να
6.38 Να
2x 4 0 ,
6.39 Στ
παράσταση
το R .
A) Να
B) Να
Γ) Να
Δ) Να
6.40 Να
συνάρτηση f
τότε και η συ
παρουσιάζει
-15
-10
-5
0
5
10
-2
–Άλγεβρα
ΗΣΕΙΣ - ΘΕ
ν
2
x
f x
2x
α λυθεί η εξίσ
α εξετάσετε α
α μελετήσετε
α γίνει η γρα
α επιλυθούν
2x 4 0, x
ο παρακάτω
μιας συνάρτ
α βρείτε το f
α λύσετε την
α λύσετε την
α λύσετε την
α προσδιορισ
f(x)=(3κ 1)x
υνάρτηση g(x
ι για την ίδια
0
ΕΜΑΤΑ ΕΞ
2 x 1
1 x 1
τό
σωση f x 2
αν είναι άρτι
τη μονοτονί
αφική της πα
γραφικά οι α
x 2 και x
ω σχήμα δίνετ
τησης f με π
(0) και f(1) .
εξίσωση: f(x
ανίσωση: f(
ανίσωση: f(
στεί ο κ ώστε
2
x παρουσιά
x)=(3 |κ 2
α τιμή του x μ
2 4
ΞΕΤΑΣΕΩ
ότε:
2f 2 0 .
α ή περιττή.
ία της στο
ράσταση.
ανισώσεις:
2.
ται η γραφικ
εδίο ορισμού
x) 0 .
x) 0 .
x) 0 .
όταν η
άζει ελάχιστο
2
2|)x να
μέγιστο.
4 6
ΩΝ
κή
ύ
ο,
6.
x
x
το
6.
οπ
πα
πα
Α
Β)
τη
Γ)
πα
Δ)
Ε)
g
Στ
Ζ)
Η
6
.41 Δίνο
0
0
και g x
ομής των fC
.42 Έστω
ποίας η γραφ
αρακάτω σχή
αράσταση να
Α) Ποιό
) Να γ
ης g.
) Να β
αρουσιάζει α
) Να ε
) Να β
g(2) g( 2)
τ) Είνα
) Για π
Η) Για π
ονται οι συνα
x x 2 . Nα
, g C καθώς κ
ω μια συνάρτ
φική παράστ
ήμα. Παρατη
α απαντήσετ
ό είναι το πεδ
γράψετε τα δ
βρείτε για πο
ακρότατα, κα
ελέγξετε αν η
βρεθεί η τιμή
g( 3) .
αι σωστό ότι g
ποιες τιμές το
ποιες τιμές το
αρτήσεις: f(x
α βρεθούν τα
και η απόστα
τηση y g x
ταση φαίνετα
ηρώντας την
τε στα ερωτήμ
δίο ορισμού
διαστήματα μ
οιες τιμές του
αι ποια είναι
η g άρτια ή π
ή της παράστ
g(0)>g(3); (γ
ου x ισχύει ό
ου x ισχύει ό
27
)=
2
x
1 2x
,
,
α σημεία
ασή τους.
x της
αι στο
ν γραφική
ματα
της g;
μονοτονίας
υ x ,η g
ι αυτά.
περιττή.
τασης:
γιατί;)
ότι g(x)=1;
ότι g(x)>1;
7
28. 28
http://users.s
6.43 Δίν
Α) Να
Β) Να
Γ) Να
γραφικής π
Δ) Να
της f τέμνε
6.44 Έσ
f(x) κ x+1
A) Να
Α(3,8) να αν
Για την τιμή
Β.1) Να
Α(3 , 8) και Β
Β.2) Να
περιττή.
6.45 Αν
ανίσωση: x
6.46 Δίν
1ε : y λ
2ε : y 1
Α) Να
και 2ε να
Β) Για
α)
οι 1ε και
β)
η 1ε τέμν
αντίστοιχα,
sch.gr/mipap
νεται η συνά
α βρεθεί το π
α αποδειχτεί
α βρεθούν τα
αράστασης τ
α εξετάσετε α
ει τον άξονα
στω η συνάρτ
1 , x 1 ,
α βρεθεί η τιμ
νήκει στη γρα
ή του κ που β
α βρεθεί η απ
Β(8 , f(8)) .
α εξετάσετε α
ν
2x
f(x)
2x
f 2
3 f
4
νονται οι ευθ
λ 4 x 11 κ
11 2λ x 2
α βρείτε την τ
είναι παράλ
α λ 5 :
Να γράψετε
2ε .
Αν A και Β
νει τον x x κ
να βρείτε τη
pagr
άρτηση f(x)
πεδίο ορισμού
ότι είναι άρ
α σημεία τομή
της f με τον
αν η γραφική
α y y .
τηση f με
κ R .
μή του κ ώστ
αφική παράσ
βρήκατε στο Α
πόσταση των
αν η f είναι ά
2
3 , x 2
x ,x 2
, ν
f 1 .
θείες:
και
με λ R .
τιμή του λ ώ
λληλες.
ε τη μορφή π
Β είναι τα σημ
αι η 2ε τον
ην απόσταση
x 1 .
ύ της.
τια.
ής της
άξονα x x .
ή παράσταση
τε το σημείο
σταση της f.
Α ερώτημα:
ν σημείων
άρτια ή
α λυθεί η
ώστε οι 1ε
που παίρνουν
μείο στα οπο
ν y y
η AB .
η
ν
οία
6.
f(
Α
Β)
A
πα
6.
Α
Β.
τη
Γ.
f
6.
Α
απ
Β)
Γ)
6.
Α
Β)
πα
.47 Δίνε
1 x
(x)
x 6λ
Α) Να β
) Αν λ
α) Ν
A 3,f(3) και
β) Ν
αράστασης
.48 Έστω
Α. Να β
. Να ε
ης f τέμνει τ
. Να β
f 1 3f 7
.49 Δίνε
Α) Να β
πλοποιήσετε
) Να α
) Να λ
.50 Έστω
Α) Να β
) Να α
αράσταση έχ
εται η συνάρτ
2
x αν x
λ αν x
βρείτε το λ ώ
λ 3 τότε:
Να βρείτε την
ι B 5,f( 5)
Να υπολογίσ
2
f 1 4
ω η συνάρτη
βρεθεί το πεδ
εξετάσετε αν
τους άξονες κ
βρεθεί η τιμή
9
2f 12
8
εται η συνάρτ
βρείτε το πεδ
τον τύπο τη
αποδείξετε ότ
λύσετε την αν
ω η συνάρτη
βρείτε το πεδ
αποδείξετε ότ
χει κέντρο συ
Σ
τηση :
0
0
με λ R
ώστε f 0 f
ν απόσταση
.
σετε την τιμή
2
f 9
ση
|x
f(x)
δίο ορισμού
ν η γραφική π
και σε ποια σ
ή της παράστ
f 5
.
τηση f x
δίο ορισμού τ
ης.
ότι η f είναι
ανίσωση f x
ηση
1
f x
x
δίο ορισμού τ
ότι η γραφική
υμμετρίας το
Συναρτήσεις
R .
f 8 .
των σημείων
της
2
4 .
x 1| 2
x 4
.
της f .
παράσταση
σημεία ;
τασης
2
1
x
x
x 1
της και να
περιττή.
1 .
3
1 x
x x
.
της.
ή της
O 0,0 .
ν
29. Α Λυκείου –Ά
6.51 Έσ
Α) Να
Β) Να
παράστασης
6.52 Δίν
1
f(x)
x 6λ
Α) Να
Β) Αν
α)
παράστασης
β)
3,f 3
6.53 Έσ
Α) Να
Β) Να
fx Α
Γ) Να
6.54 Έσ
Α) Να
Β) Να
Γ) Υπ
f(2008) f(
Άλγεβρα
στω η συνάρτ
α αποδείξετε
α υπολογίσετ
ς f(2) 1
νεται η συνά
2
x αν x
λ λ αν x
α βρεθεί ο λ
ν λ 3 τότε:
Να υπολογί
ς 33 f 18
Να βρείτε τη
και 0,f 0
στω η συνάρτ
α βρείτε το π
α δείξετε ότι f
α λύσετε την
στω η συνάρτ
α βρεθεί το π
α αποδείξετε
πολογίστε την
2008) .
τηση f x
x
ότι είναι περ
τε την τιμή τη
2
f( 2)
άρτηση :
0
0
με λ R
ώστε f(0) f
ίσετε την τιμή
.
ην απόσταση
.
τηση
1
f x
εδίο ορισμού
f x |x| ,
εξίσωση
2x
x
τηση f(x)
πεδίο ορισμού
ότι η f είναι
ν τιμή της πα
1
x 4 x
ριττή.
ης
2
1 .
R
f 8
ή της
η των σημείω
2
10x 2 x
2 10 x
ύ fΑ της f ,
για κάθε
9
2
=f(x)
2
|x| 3
x 9
ύ της f .
άρτια.
αράστασης
ων
6.
ε
Α
η
Β)
ε
Γ)
η
6.
f(
Α
Β)
κά
Γ)
συ
f(
Δ)
.55 Για κ
1ε : 2
y λ
Α) Να β
1ε να διέ
) Να β
2ε να είναι
) Αν λ
2ε τέμνει
.56 Δίνε
2
2
x x
(x)
x 6
Α) Να β
) Να α
άθε πραγματ
) Να α
υνάρτησης f
x 1
(x)
x 4
, x
) Να λ
κάθε λ R ,
6 x 5 και
βρείτε –αν υπ
έρχεται από τ
βρείτε το λ ώ
παράλληλες
λ 3 να βρε
τους άξονες.
εται η συνάρτ
2 4
6x 8
.
βρείτε το πεδ
αποδείξετε ότ
τικό αριθμό
αποδείξετε ότ
απλοποιείτ
x A .
λύσετε την αν
δίνονται οι ε
ι 2ε : y 5λ
πάρχει- τιμή
το σημείο 2
ώστε οι ευθεί
ς.
είτε τα σημεία
.
τηση
δίο ορισμού A
ότι: 2
x x 2
x .
ότι ο τύπος τη
ται στη μορφ
ανίσωση x f(
29
ευθείες
λx 8 .
ή του λ ώστε
2,4 .
ίες 1ε και
α στα οποία
Af της f .
2 0 , για
ης
φή
f(5)
x)
2
ε