Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr Μέχρι την εξίσωση εφαπτομένης

1. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ' ΤΑΞΗΣ
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΑΛΑΜΑΡΙ
ΤΕΤΑΡΤΗ 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2019
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο 0x , τότε η
συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο 0x και ισχύει
       0 0 0f g x f x g x     .
Μονάδες 7
Α2. Θεωρήστε την παρακάτω πρόταση:
« Η συνάρτηση    f x x , x 0,   είναι παραγωγίσιμη στο  0, και
ισχύει   1
x
2 x

 .
α. Να χαρακτηρίσετε την παραπάνω πρόταση γράφοντας στο τετράδιό σας, το
γράμμα Α , αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ , αν είναι ψευδής.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα (α).
Μονάδες 4
Α3. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συναρτήσεων
στην πρώτη γραμμή και των αντίστροφών τους στην δεύτερη γραμμή. Να γράψετε
στο τετράδιό σας την αντιστοίχιση κάθε συνάρτησης με την αντίστροφή της
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
10.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5

2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
1. 2. 3.
i. ii. iii.
Μονάδες 3
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας,δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση,τη λέξη Σωστό ,αν η
πρόταση είναι σωστή,ή Λάθος ,αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Αν υπάρχουν τιμές της συνάρτησης f που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της
συνάρτησης g τότε ορίζεται η σύνθεση της f με την g.
β. Αν ισχύει    0f x f x για κάθε fx D τότε το  0f x είναι η ελάχιστη τιμή της f.
γ. Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν όριο στο 0x και ισχύει    f x g x κοντά στο 0x
τότε μπορεί    
0 0x x x x
lim f x = lim g x
 
.
δ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο  ,  και υπάρχει    0 0x , : f x 0   
τότε    f f 0    .
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
10.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5

3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ε. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] τότε δεν παίρνει
υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των  f  και  f  .
Moνάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f,g.
i. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f,g είναι ίσες. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Μονάδες 2
ii. Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι συναρτήσεις f,g δεν είναι συνεχείς στα πεδία
ορισμού τους. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Μονάδες 4
iii. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια.
α)
 x 1
1
lim
g x
β)   x 2
limg f x

γ)
 
 x 2
f x
lim
g x
Μονάδες 6
iv. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης     h x f g x  .
Μονάδες 3
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
10.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5

4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
v. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  0x 1,0  τέτοιο ώστε  0h x 1 .
Μονάδες 5
vi. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  3,0  τέτοιο ώστε
 
5 3 1
g 2g 3g
2 2 3
g
6
     
         
      
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις f :  και  g: 0,  με  g x xln x x  . Η f
είναι παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε  f ln x x ln x   για κάθε  x 0,  .
Επίσης δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση : y x e   .
Γ1. Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της
συνάρτησης g.
Μονάδες 5
Γ2. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f για κάθε x είναι   x
f x xe 
Μονάδες 5
Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον  0,1 τέτοιο ώστε η εφαπτομένη
της fC στο σημείο   ,f  να είναι παράλληλη στην ευθεία (ε).
Μονάδες 6
Γ4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο
0x 0
Μονάδες 4
Γ5. Εγγράφουμε το τραπέζιο ΑΒΓΔ μεταξύ της γραφικής παράστασης της g και του
άξονα x΄x όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι κορυφές του τραπεζίου έχουν
συντεταγμένες Α(1,0), Β(1,-1), Γ(x,g(x)), Δ(x,0). Να βρείτε τη συνάρτηση του
εμβαδού του τραπεζίου (ΑΒΓΔ)=Ε συναρτήσει του x και την παράγωγό του.
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕiΣ
10.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5

5. ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f :  για την οποία ισχύουν:
•
 
 
x
x
f x e x
0
x e f x

 

, x 0 και   x
f x e
•  f 0 1
Δ1. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f που ικανοποιούν τις παραπάνω σχέσεις
και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Μονάδες 8
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση g με  
 
 
f x , x 0
g x
-ln x 1 -2x , x>0
 
 
 
, όπου
  x
f x e x  για κάθε x
Δ2. Να αποδείξετε ότι κ=1
Μονάδες 3
Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση  g x 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες ετερόσημες.
Μονάδες 8
Δ4. Αν 1 2x ,x οι ρίζες της εξίσωσης  g x 0 του ερωτήματος Δ3 με 1 2x x , να
αποδείξετε ότι η εξίσωση  g x x x   έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα
 1 2x ,x .
Μονάδες 6
ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ
10.01.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5