Αποκλειστικά από το lisari.blogspot.gr

1. lisari.blogspot.gr
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΕΥΤΕΡΑ 22 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2018
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ :ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟΣΕΛΙΔΩΝ :ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν  f x 0  για κάθε
σημείο x του Δ να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
Μονάδες 7
Α2. Δίνεται ο ισχυρισμός «κάθε συνάρτηση που είναι συνεχής σε σημείο 0x είναι και
παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό».
Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό ως αληθή ή ψευδή (1 μονάδα) και να αιτιολογήσετε την
επιλογή σας (3 μονάδες).
Μονάδες 4
Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να εξηγήσετε τι σημαίνει γεωμετρικά.
Μονάδες 4
Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό
σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση.
α) Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R είναι γνησίως αύξουσα στο R τότε
 f x 0  για κάθε x R .
β) Ανάμεσα σε δύο ρίζες μιας πολυωνυμικής συνάρτησης, υπάρχει πάντα
τουλάχιστον μία ρίζα της παραγώγου της.
γ) Αν για μία συνάρτηση f ισχύει  f x 0  για κάθε x 
R ,τότε η f είναι
σταθερή στο 
R .
δ) Αν μία συνάρτηση f : R Rέχει συνεχή πρώτη παράγωγο και  f x 0  για
κάθε x R ,τότε η f είναι 1-1.
ε) Αν για μία συνάρτηση f και ένα 0 fx D ισχύει :
0 0
0 0
x x x x
0 0
f(x) f(x ) f(x) f(x )
lim lim
x x x x 
 
    
   
    
,τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x .
Μονάδες 10

2. lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με
x
x ,x 0
f(x)
α,x 0
 
 

Β1. Να αποδείξετε ότι α 1 .
Μονάδες 8
Β2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 9
Β3. Να βρείτε το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης
1
x
x λ για τις διάφορες τιμές του
 λ 0,  .
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R Rγια την οποία ισχύει ότι f (0) 1 και
    3 3
f (x) 1 f (x) 1 x 2f (x) x    για κάθε x R.
Γ1. Να αποδείξετε ότι 3
f(x) 1 x  , x R.
Μονάδες 5
Γ2. Να δείξετε ότι η ευθεία (ε): y 3x 1  έχει δύο σημεία τομής Κ, Λ με τη γραφική
παράσταση της f και ότι εφάπτεται αυτής σε ένα από τα σημεία αυτά.
Μονάδες 4
Γ3. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την 1
f 
Μονάδες 4
Γ4. Αν
3
1
3
x 1,x 1
f (x)
1 x,x 1

  
 
  
, να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της .
Μονάδες 5
Γ5. Ένα σημείο Α κινείται κατά μήκος της γραφικής παράστασης της f , με τετμημένη
α(t) 0 .Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α τέμνει τον άξονα y΄y σε
σημείο Β. Αν ισχύει ότι
α(t)
α (t)
4
  ,για κάθε t 0 , να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της
τεταγμένης του Β τη χρονική στιγμή όπου η εφαπτομένη στο Α ταυτίζεται με την ευθεία (ε)
του ερωτήματος Γ2.
Μονάδες 7

3. lisari.blogspot.gr
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση f : R Rμε
f (0) 1 και     2
2xf (x) x 1 f (x) f x   για κάθε x R .
Δ1. Να δείξετε ότι
x
2
e
f(x) ,x
x 1
 

R .
Μονάδες 5
Δ2. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να δείξετε ότι  f( ) 0, R .
Μονάδες 6
β) Να δείξετε ότι η εξίσωση   
3
1 x 2 e
f e x 1
10

  έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα.
Μονάδες 4
Δ3. Να δείξετε ότι η εξίσωση  
1
2 x
2
x e
f ln x
x 1


έχει ακριβώς μία ρίζα στο  1,e .
Μονάδες 6
Δ4. Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η fείναι γνησίως φθίνουσα στο  0,1 ,να δείξετε ότι :
 2
f(x ) 1 x f(x) 1   για κάθε  x 0,1 .
Μονάδες 4
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)
1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία,
κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα).Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο
τετράδιο.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των
φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν.
Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.
Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα
φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της
εξέτασης.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.
4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των
φωτοαντιγράφων.
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ