Επιμέλεια: Πρόδρομος Ελευθερίου και Ντίνα Ψαθά

1. lisari.blogspot.gr
1
Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής
στην υπηρεσία διάφορων επιστημών
Θεματική Ενότητα 3
Πρόδρομος Π. Ελευθερίου
Επίτιμος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Λέσβου
Τηλ. 6976733596. Email: makisel@sch.gr
Ντίνα Ψαθά
Μαθηματικός
Τηλ. 6974515183. Email: dinapsatha@hotmail.com
ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Η παρούσα εργασία απευθύνεται σε εκπαιδευτικούς που διδάσκουν στη
Β΄ Τάξη των Γενικών Λυκείων και αναφέρεται σε εφαρμογές της εκθετικής
συνάρτησης και ειδικότερα του Νόμου της Εκθετικής Μεταβολής. Στο πλαί-
σιο αυτό προτείνονται μια σειρά προβλημάτων που άπτονται διάφορων επι-
στημονικών χώρων, με την ελπίδα ότι αυτά αφενός θα προκαλέσουν το εν-
διαφέρον των μαθητών και αφετέρου θα τους βοηθήσουν να αντιληφθούν το
σημαντικό ρόλο που διαδραματίζουν τα μαθηματικά σε φαινομενικά άσχετες
επιστήμες.
Προτείνεται, επίσης, στους διδάσκοντες να χρησιμοποιήσουν στην
τάξη μια εφαρμογή που υπάρχει στη διεύθυνση https://phet.colo-
rado.edu/el/simulation/radioactive-dating-game, με την οποία οι μαθητές
μπορούν να επιλέγουν προβλήματα ραδιοχρονολόγησης και να τα επιλύουν,
συμμετέχοντας και με αυτόν τον τρόπο ενεργά στη διαδικασία της μάθησης.
ABSTRACT
The following is addressed to educators, who teach 2nd grade of Gen-
eral Lyceums and refers to applications of the exponential function and spe-
cifically, the Law of Exponential Change. In this context, a number of prob-
lems is proposed, which concern different scientific areas, in the hope that
these, not only will challenge the pupils, but also help them understand the
important role that Mathematics play, in apparently irrelevant sciences.
It is suggested also, to teachers, to use in class, an application that can
be found at web address https://phet.colorado.edu/el/simulation/radioactive-

2. lisari.blogspot.gr
2
dating-game,, with which pupils can chose problems of radio-dating, taking
part this way, also, actively in the learning process.
ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ
 Geogebra,
 Function Probe
 Χρονολόγηση
 Ραδιοάνθρακας
 Willard.F. Libby
 Ημιζωή
 Εκθετική απόσβεση
 Hans van Meegeren
 Vermeer
 Δείπνο στους Εμμαούς
 Σινδόνη του Τορίνο
 Γιασέρ Αραφάτ
 Νόμος ψύξεως Νεύτωνα
ΕΙΣΑΓΩΓΗ
Δε χρειάζεται να ανατρέξουμε σε ειδικές μελέτες, για να υποστηρίξουμε
ότι αρκετοί μαθητές δε συμπαθούν τα μαθηματικά και, μάλιστα, δε θα ήταν
υπερβολή αν λέγαμε ότι τρέφουν ισχυρή αντιπάθεια και νιώθουν δέος γι’
αυτά.
Συχνά, μάλιστα, ρωτούν: «Γιατί θα πρέπει να το μάθω κι αυτό; Πού θα
μου χρειαστεί;». Σε τέτοιου είδους ερωτήσεις τους που αφορούν στη χρησι-
μότητα των μαθηματικών θα μπορούσαμε να τους απαντήσουμε ότι είναι
χρήσιμα, γιατί μεταξύ των άλλων συμβάλλουν: ([7], σελ.9)
 Στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας των ανθρώπων, καθόσον τα
μαθηματικά αναπτύσσουν την παρατηρητικότητα, τη δύναμη αυτοσυ-
γκέντρωσης, την πρωτοβουλία, τη δημιουργική φαντασία, την πειθαρ-
χημένη σκέψη, καλλιεργούν το αίσθημα του ωραίου και διεγείρουν το
κριτικό πνεύμα.
 Στην ανάπτυξη της ικανότητας για την ακριβή σύλληψη των εννοιών,
των ιδιοτήτων και των μεταξύ τους σχέσεων, ιδιαιτέρως μάλιστα εκεί-
νων που είναι απαραίτητες για την κατανόηση και επίλυση προβλημά-
των της σύγχρονης ζωής.

3. lisari.blogspot.gr
3
 Στον εθισμό των ατόμων στη διατύπωση των διανοημάτων με σαφή-
νεια, ακρίβεια, αυστηρότητα, λιτότητα και κομψότητα.
Βέβαια, παρά τους παραπάνω ισχυρισμούς, ο μαθητής το πιθανότερο εί-
ναι να εμμένει στην αρχική του άποψη για τα μαθηματικά, ότι δηλαδή αυτά
είναι απωθητικά, ανυπόφορα βαρετά και έχουν ελάχιστη αξία, αν εξαιρέ-
σουμε κάποιες πρακτικές εφαρμογές μέτρησης ή επίλυσης εξισώσεων.
Μπορούμε να αλλάξουμε και με ποιο τρόπο την αρνητική θέση-στάση
των μαθητών απέναντι στα μαθηματικά;
Για να αγαπήσουν οι μαθητές μας τα μαθηματικά, δε φτάνει να τους
διαβεβαιώνουμε γενικώς και αορίστως ότι μια μέρα θα καταλάβουν την αξία
των μαθηματικών που τους ζητούμε να μάθουν σήμερα.
Αν τα μαθηματικά δεν τα ζωντανέψει ο αέρας της πραγματικότητας,
είναι φρούδα, μάταιη η ελπίδα μας ότι οι μαθητές μας θα τα αγαπήσουν και
ότι θα αντιληφθούν τον σημαντικό ρόλο που διαδραματίζουν στην εκπαί-
δευση και στη ζωή.
Αυτή, λοιπόν, η πολυπόθητη ζωντάνια και η ενεργοποίηση του μαθητή
στα μαθηματικά θεωρούμε ότι μπορεί να πραγματοποιηθεί:
 Αν αλλάξει ο τρόπος διδασκαλίας τους.
 Αν δοθεί έμφαση στις ικανότητες του μαθητή για την αντιμετώπιση
προβλημάτων που είναι γνήσια κι έχουν νόημα γι’ αυτόν.([3], σελ 183).
 Αν τον κάνουμε να αντιληφθεί ότι εξυπηρετούν προπάντων πρακτικούς
σκοπούς και ότι ικανοποιούν καθημερινές ανάγκες και επιδιώξεις.
 Αν του αποδείξουμε την αξία των μαθηματικών για τους περισσότε-
ρους επιστημονικούς κλάδους, όπως οι επιστήμες υγείας, οι οικονομι-
κές επιστήμες, η ναυσιπλοΐα κ.ά.
 Αν τον οδηγήσουμε να καταλάβει ότι ξεκινώντας να επιλύσουμε ένα
συγκεκριμένο πρόβλημα πολλές φορές οδηγούμαστε στη γένεση αφη-
ρημένων μαθηματικών θεωριών, οι οποίες εκ των υστέρων έρχονται να
«κουμπώσουν» με άλλες επιστήμες.
Για παράδειγμα:
 Η μελέτη των ιδιοτήτων των κωνικών τομών και ειδικότερα της ανα-
κλαστικής ιδιότητας της παραβολής, της έλλειψης και της υπερβολής
δεν έγινε για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Οι ιδιότητες ήταν
εκεί και περίμεναν μέχρι που οι μηχανικοί ανακάλυψαν ότι η ανακλα-
στική ιδιότητα της παραβολής βρίσκει εφαρμογή στον σχεδιασμό των
φαναριών των αυτοκινήτων, η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης
στην κατασκευή «στοών με ειδική ακουστική» και στη λιθοθρυψία
και, τέλος, η ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής βρίσκει εφαρμογή

4. lisari.blogspot.gr
4
στην κατασκευή ανακλαστικών τηλεσκοπίων καθώς και στη ναυσι-
πλοΐα για τον προσδιορισμό του στίγματος των πλοίων. ([1], σελ.
96,109,121).
 Η μελέτη της μεταβολής ενός πληθυσμού οδήγησε στον νόμο της εκ-
θετικής μεταβολής, τον οποίο στη συνέχεια χρησιμοποίησαν και χρη-
σιμοποιούν πολλές επιστήμες, όπως η αρχαιολογία, οι επιστήμες υ-
γείας, οι φυσικές επιστήμες, οι οικονομικές επιστήμες κ.ά.
Με αυτές τις σκέψεις θεωρούμε ότι οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να προ-
τείνουν στους μαθητές του μια σειρά προβλημάτων της καθημερινότητας,
από διάφορους επιστημονικούς χώρους, συμπληρωματικά με τα αντίστοιχα
προβλήματα των σχολικών βιβλίων, με την ελπίδα ότι η ενασχόληση των μα-
θητών με αυτά παράλληλα με την ταυτόχρονη χρήση κατάλληλων λογισμι-
κών, όπως excel, Geogebra, Function Probe κ.λ.π, όπου φυσικά ενδείκνυται,
θα συμβάλλει στην αλλαγή στάσης των μαθητών για τη χρησιμότητα των
μαθηματικών.
ΧΡΟΝΟΛΟΓΗΣΗ ΖΩΙΚΩΝ ΑΡΧΑΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙ-
ΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ
Το όνειρο Αρχαιολόγων και Παλαιοντολόγων ήταν να αποκτήσουν μια
μέθοδο για τη χρονολόγηση παλιών αντικειμένων. Το όνειρο αυτό έγινε
πραγματικότητα με τη λεγόμενη μέθοδο χρονολόγησης με ραδιενεργά υλικά,
όπως ραδιοάνθρακα 14
6 C, ο οποίος είναι ένα ραδιοενεργό ισότοπο του άν-
θρακα, ραδιενεργού ραδίου 226 ( 226
Ra ), ραδιενεργού πολώνιου ( 210
0  ), κ.ά.
Η τεχνική της χρονολόγησης με ραδιοάνθρακα ή άνθρακα-14
([6], σελ.65-66).
Η χρονολόγηση με ραδιοάνθρακα εφαρμόζεται σε οργα-
νικά υλικά (άνθρακες, ξύλα, οστά κ.ά.), τα οποία ανακαλύπτο-
νται σε αρχαιολογικές ανασκαφές, και έχει όριο εφαρμογής τα
50.000 χρόνια, καλύπτοντας έτσι τις πιο βασικές περιόδους της
εξέλιξης του πολιτισμού. Η τεχνική αυτή ανακαλύφθηκε το 1949
από τον Αμερικανό πυρηνικό χημικό Willard.F. Libby, 1908-
1980. Για την ολοκλήρωσή της εργάστηκε 10 χρόνια και, λόγω
της σπουδαιότητάς της, πήρε το Βραβείο Νόμπελ το 1960.
Ο W. Libby έκανε τις εξής διαπιστώσεις:
Φωτ. 1

5. lisari.blogspot.gr
5
1η
Το άζωτο, όταν βομβαρδίζεται με νετρόνια, μετατρέπεται σε ραδιοάνθρακα.
Τέτοιες διασπάσεις γίνονται συνεχώς στο άζωτο της ατμόσφαιρας, με αποτέλε-
σμα το διοξείδιο του άνθρακα της ατμόσφαιρας να περιέχει σε μικρό ποσοστό
και ραδιοάνθρακα. Όλα τα βιολογικά υλικά (φυτά, ζώα), παίρνοντας διοξείδιο
του άνθρακα από την ατμόσφαιρα, γίνονται και αυτά ραδιενεργά. Στη συνέχεια
όταν αυτά «πεθάνουν» (το φυτό ξεραθεί, το δέντρο υλοτομηθεί ή το ζώο πεθά-
νει) δεν παίρνουν πλέον ραδιοάνθρακα από την ατμόσφαιρα. Επειδή όμως ο
ραδιοάνθρακας που περιέχουν αρχίζει να διασπάται χωρίς να μπορεί να αντικα-
τασταθεί, λόγω του «θανάτου», η αρχική ποσότητά του συνεχώς μειώνεται και
μάλιστα το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο διασπάται η μισή ποσότητα, δη-
λαδή το 50% της αρχικής ποσότητας του 14
6 C, και το οποίο καλούμε ημιζωή
του 14
6 C, είναι 5568 χρόνια. (Ο ακριβής χρόνος ημιζωής έχει υπολογιστεί
τώρα με μεγαλύτερη ακρίβεια και είναι 5730 χρόνια ([5], σελ 5].
2η
Αν σε ένα αρχαιολογικό εύρημα, φυτικής ή ζωικής προέλευσης, υπάρχει
οσηδήποτε μικρή ποσότητα ραδιοάνθρακα, τότε, είναι δυνατόν, με κατάλλη-
λες εργαστηριακές μετρήσεις, να εκτιμηθεί με ακρίβεια η αναλογία της υπάρ-
χουσας ποσότητας προς αυτή της αρχικής ποσότητας ραδιοάνθρακα.
Αξίζει να σημειωθεί ότι: ([5], σελ. 4) και ([1], σελ. 169).
 Ο ραδιοάνθρακας 14
6 C, που υπάρχει σε όλα τα βιολογικά υλικά, από τη
στιγμή του «θανάτου» τους μειώνεται ακολουθώντας το νόμο της εκθετικής
απόσβεσης. Γενικότερα δε, έχει
διαπιστωθεί πειραματικά, ότι,
αν έχουμε μια ποσότητα Qo ενός
οποιουδήποτε ραδιενεργού
στοιχείου, τότε, με την πάροδο
του χρόνου, η ποσότητα αυτή, ε-
ξαιτίας της διάσπασης του,
μειώνεται ακολουθώντας το
νόμο της εκθετικής απόσβεσης.
Συγκεκριμένα, αν μετά από
χρόνο t η εναπομείνουσα ποσό-
τητα είναι Q(t), τότε θα ισχύει:
ct
oQ(t) Q e (1)
όπου ο αριθμός c είναι αρνητικός, αφού η ποσότητα του ραδιοάνθρακα μειώ-
νεται. Ο αριθμός c εξαρτάται μόνο από το ραδιενεργό στοιχείο και, όπως θα
δούμε παρακάτω, o c μπορεί να υπολογιστεί.
Φωτ. 2

6. lisari.blogspot.gr
6
 Θεωρητικά η «διάρκεια ζωής» κάθε ραδιενεργού υλικού είναι άπειρη,
δηλαδή δε μηδενίζεται ποτέ, αφού ect
>0 για κάθε τιμή του t.
Είναι επίσης σημαντικό να τονίσουμε ότι: ([7], σελ. 473).
 Η ημιζωή ενός ραδιενεργού στοιχείου αποτελεί σταθερό μέγεθος που
δεν εξαρτάται από τον αριθμό των αρχικών ραδιενεργών πυρήνων (δηλαδή
την αρχική ποσότητα), αλλά μόνο από τη φύση του ραδιενεργού υλικού και
παίζει καθοριστικό ρόλο στον προσδιορισμό της ηλικίας ενός ευρήματος.
Για να δείτε γιατί έτσι έχουν τα πράγματα, υποθέτουμε ότι η αρχική ποσότητα
είναι Qo. Η ποσότητα που θα έχει παραμείνει μετά από χρονικό διάστημα t,
σύμφωνα με τον τύπο (1), θα ισούται με:
ct
oQ(t) Q e
Αν tη είναι η χρονική στιγμή για την οποία ισχύει Q(tη) =
2
1
Qο, τότε θα ι-
σχύει:
o o
ct1
Q Q
2
e 
 
ct1
2
e 
 
1
ln
2
ct
 
  
 
 ln 2ct   
ln 2
t
c
   (2)
Η τιμή tη είναι η ημιζωή του στοιχείου η οποία, όπως προκύπτει από τον τύπο
(2), εξαρτάται μόνο από την τιμή του c, δηλαδή από το είδος του ραδιενεργού
στοιχείου.
και φυσικά η αρχική ποσότητα Qo δεν παίζει κανένα ρόλο για το
πόση είναι η ημιζωή του εν λόγω στοιχείου.
Από τον τύπο
ln 2
t
c
   προκύπτει ότι
ln 2
c
t
  , δηλαδή αν είναι γνωστή
η ημιζωή ενός ραδιενεργού στοιχείου, τότε μπορεί να υπολογιστεί η σταθερά
c, οπότε ο τύπος (1), βάση του οποίου γίνεται η ραδιοχρονολόγηση, γράφε-
ται:
ln2
t
t
oQ(t) Q e 

 (3)
Ειδικότερα, στην περίπτωση του άνθρακα-14 ο παραπάνω τύπος γράφεται:
ln 2
t
5730
oQ(t) Q e

 (4)
αφού η ημιζωή του είναι 5730 χρόνια.
 Και η 2η
διαπίστωση του W. Libby είναι επίσης κομβικής σημασίας για
την χρονολόγηση με άνθρακα -14. Πράγματι:

7. lisari.blogspot.gr
7
Αν υποθέσουμε ότι, t χρόνια μετά το θάνατο ενός οργανισμού, υπάρχει στον
οργανισμό αυτό ποσότητα Q(t) άνθρακα-14 η οποία είναι α% της αρχικής
ποσότητας Qo, τότε από τον τύπο (3) θα έχουμε:
ln2 ln2
t t
5730 5730
o o
ln 2
Q Q e e t ln
100 100 5730 100
   
     
Άρα:
5730
t ln
ln 2 100

  
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εφαρμογή 1η
. Πλαστό έργο τέχνης ([4] σελ. 328) και ([7], σελ 481).
Όπως αναφέρεται στην βιβλιογραφία ([4], σελ. 328)
και ([7], σελ. 481) ο Χαν βαν Μέεγκερεν (Hans van
Meegeren) (1889-1947), ένας μέτριος Ολλανδός ζω-
γράφος, έγινε θρύλος, παραμένοντας στην ιστορία ως
ο κορυφαίος πλαστογράφος του 20ού αιώνα, αφού
διέθετε την ικανότητα να εξαπατά τους «αλάθητους»
ειδικούς της τέχνης.
Το 1945 ειδικοί εκτιμητές έργων τέχνης εκλήθησαν να αποφανθούν αν ο
περίφημος πίνακας «Δείπνο στους Εμμαούς» του ονομαστού Ολλανδού ζω-
γράφου Βερμέερ (Vermeer) (1632-1675), που βρέθηκε στην συλλογή ενός
ναζιστή, αγορασμένου το 1942 από τον Meegeren, ήταν πλαστός ή όχι, δη-
λαδή ήταν δια χειρός του Vermeer ή του Meegeren. Η επιτροπή αποφάνθηκε
ότι ο πίνακας ήταν πλαστός.
Επειδή μέχρι το 1947 δεν υπήρχε επιστημονική μέθοδος χρονολόγη-
σης, πολλοί ειδικοί έργων τέχνης δεν πείσθηκαν για την πλαστότητα του πί-
νακα. Όμως, το 1967 έγινε ραδιοχρονολόγηση με τη μέθοδο του ραδιενεργού
ραδίου 226
Ra και δόθηκε οριστική επιστημονική και αδιαμφισβήτη απά-
ντηση για την γνησιότητα ή μη του πίνακα. Δόθηκε δηλαδή αμετάκλητη α-
πάντηση στο ερώτημα αν ο πίνακας «Δείπνο στους Εμμαούς» ήταν δια χειρός
Vermeer ή Meegeren και, άρα πλαστός ή όχι!
Με δεδομένο ότι το 1967, στον παραπάνω πίνακα, ανιχνεύτηκαν ίχνη
ραδιενεργού ραδίου 226 ( 226
Ra ), που ήταν περίπου το 98, 70% της αρχικής
ποσότητάς του, να αποφανθείτε τίνος δημιουργού έργο ήταν ο πίνακας, λαμ-
βάνοντας επιπλέον υπόψη ότι ο χρόνος ημιζωής του 226
Ra είναι 1600 χρόνια
Φωτ. 3

8. lisari.blogspot.gr
8
και ότι η ζωή t του 226
Ra ακολουθεί τον νόμο της εκθετικής μεταβολής με
τύπο ct
oQ(t) Q e , όπου Qo είναι η αρχική του ποσότητα.
Λύση
Σύμφωνα με τον τύπο (3) της σελίδας 6, για tη =1600 χρόνια, έχουμε:
ln 2
t
1600
oQ(t) Q e


Όμως o
98,70
Q(t) Q
100
 ή ισοδύναμα oQ(t) 0,9870 Q  , οπότε:
ln2
t
1600
o o
ln 2 1600
0,9870 Q Q e t ln0,9870 t ln0,9870 30,2
1600 ln 2

         
Άρα, ο συγκεκριμένος πίνακας είχε ζωγραφιστεί από τον Meegeren και όχι
από τον Vermeer, επομένως ήταν πλαστός.
Εφαρμογή 2η
. Η Σινδόνη του Τορίνο - Απάντηση σε μια διαμάχη [8]
Η Σινδόνη του Τορίνο είναι ένα κομμάτι ύφασμα πάνω στο ο-
ποίο είναι αποτυπωμένη η εικόνα ενός γενειοφόρου άνδρα. Η εν
λόγω Σινδόνη έχει αποτελέσει πηγή διαμάχης μεταξύ της θρη-
σκευτικής και της επιστημονικής κοινότητας για αιώνες, καθώς
από την θρησκευτική κοινότητα υποστηρίζεται ότι πρόκειται για
το σάβανο στο οποίο εναποτέθηκε το σώμα του Χριστού, μετά
την αποκαθήλωσή του από τον Σταυρό, ενώ, σύμφωνα με επι-
στημονικές μελέτες, αυτή αποτελεί μεταγενέστερο ανθρώπινο δημιούργημα.
Το 1988, τρεις ανεξάρτητες μελέτες που πραγματοποιήθηκαν σε εργα-
στήρια του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης, της Αριζόνας και του Ινστιτούτου
Τεχνολογίας της Ελβετίας αντίστοιχα, κατέληξαν στο συμπέρασμα πως πρό-
κειται για δημιούργημα που χρονολογείται την περίοδο 1290-1390.
Με δεδομένα ότι η χρονολόγηση της Σινδόνης με ραδιοάνθρακα έγινε
το 1988 και ότι, όπως εκτιμάται, πρόκειται για δημιούργημα που χρονολογεί-
ται την περίοδο 1290-1390, τότε:
α) Να βρείτε τι ποσοστό της αρχικής ποσότητας ήταν ο ραδιοάνθρακας που
βρέθηκε στη Σινδόνη.
β) Πόσο περίπου θα έπρεπε να ήταν το ποσοστό του ραδιοάνθρακα που βρέ-
θηκε στη Σινδόνη, ώστε αυτή να ήταν το σάβανο στο οποίο εναποτέθηκε το
σώμα του Χριστού;
Λύση
α) Αν υποθέσουμε ότι η Σινδόνη:
Φωτ. 4

9. lisari.blogspot.gr
9
 δημιουργήθηκε το 1390, τότε μέχρι το έτος χρονολόγησης μεσολάβησαν
1988-1390=598 χρόνια, οπότε, σύμφωνα με τους τύπους
ct
oQ(t) Q e και
ln 2
t
c
   και λαμβάνοντας υπόψη ότι η ημιζωή του ραδιοάν-
θρακα είναι 5730 χρόνια έχουμε:
ln2
598
5730
o o oQ(t) Q e Q(t) Q 0,9302 Q(t) 93,02%Q

     
 δημιουργήθηκε το 1290, τότε μέχρι το έτος χρονολόγησης μεσολάβησαν
1988-1290=698 χρόνια, οπότε, σύμφωνα με τον τύπο (4) της σελίδας 6, έχουμε:
ln2
698
5730
o o oQ(t) Q e Q(t) Q 0,9190 Q(t) 91,9%Q

     
Επομένως, η Σινδόνη για να ήταν δημιούργημα της περιόδου 1290-1390, θα έπρεπε
το ποσοστό του ραδιοάνθρακα που ανιχνεύθηκε σε αυτή το 1988 να ήταν περίπου
από 93,02% έως 91,9% της αρχικής ποσότητας.
β) Αν η Σινδόνη, ήταν το σάβανο στο οποίο εναποτέθηκε το σώμα του Χρι-
στού, τότε θα είχε δημιουργηθεί το 33 μ.Χ., οπότε μέχρι το έτος χρονολόγη-
σης θα είχαν μεσολαβήσει 1988-33=1955 χρόνια, επομένως:
ln2
1955
5730
o o oQ(t) Q e Q(t) Q 0,7893 Q(t) 78,93%Q

     
Δηλαδή το ανιχνευθέν ποσοστό του ραδιοάνθρακα το 1988 θα ήταν περίπου
το 78,93% της αρχικής ποσότητας.
Εφαρμογή 3η
. Υποβρύχια αλίευση στον κόλπο της Καλλονής Λέσβου
([7], σελ 479)
Η ένταση Ι(x) του ηλιακού φωτός σε βάθος x μέτρων κάτω από την
επιφάνεια
του κόλπου της Καλλονής Λέσβου, ο οποίος, εκτός από την ονομαστή σαρ-
δέλα, έχει και νοστιμότατα όστρακα, ελαττώνεται εκθετικά ως προς x, σύμ-
φωνα με τον τύπο:
cx
o(x) I e
 
όπου Ιο είναι η ένταση του ηλιακού φωτός στην επιφάνεια του κόλπου.
Οι δύτες από την εμπειρία τους γνωρίζουν ότι, αν βουτήξουν στον
κόλπο σε βάθος 5 m, τότε το φως υποδιπλασιάζεται και, επίσης, ότι είναι
αδύνατον να διακρίνουν τα αλιεύματα μόνο με το φυσικό φως, αν η ένταση
του πέσει κάτω από το ένα δέκατο της έντασης στην επιφάνεια. Μέχρι ποιο
βάθος λοιπόν αναμένεται ότι μπορεί ένας δύτης να αλιεύσει όστρακα χωρίς
τεχνητό φωτισμό;

10. lisari.blogspot.gr
10
Λύση
Επειδή
1
(5)
2
   έχουμε 5c
o
1 1 ln 2
I e 5c ln c
2 2 5

       .
Άρα:
ln 2
x
5
o(x) I e

  (1)
Η αλίευση οστράκων είναι δυνατή χωρίς τεχνητό φωτισμό όταν o
1
(x) I ,
10
 
οπότε, λόγω της (1), θα έχουμε:
ln2 ln2
x x
5 5
o o
1 1 ln 2 1 5
I e I e x ln x ln10
10 10 5 10 ln 2
 
        
Επομένως η αλίευση οστράκων χωρίς τεχνητό φωτισμό μπορεί να γίνει μέχρι
βάθος περίπου 16,6 μέτρων.
Εφαρμογή 4η
.Μέτρα προστασίας στη νεκροψία του Γιασέρ Αραφάτ.
Ο Παλαιστίνιος ηγέτης Γιασέρ Αραράτ πέ-
θανε στις 11 Νοεμβρίου 2004. Ο θάνατος του δη-
μιούργησε πολλά ερωτηματικά, καθώς διαπιστώ-
θηκε ότι η σορός του περιείχε ένα πολύ επικίνδυνο
ραδιενεργό στοιχείο, το πολώνιο ( 210
0  ), και μάλι-
στα 18 φορές περισσότερο από το επιτρεπτό όριο.
Με δεδομένο ότι η ζωή t του ραδιενεργού πολωνίου 210
0  ακολουθεί
τον νόμο της εκθετικής μεταβολής με τύπο ct
oQ(t) Q e και ότι ο χρόνος
ημιζωής του είναι 138 ημέρες, να εξετάσετε, αν εκείνοι που θα διενεργούσαν
νεκροψία ήταν απαραίτητο να έπαιρναν μέτρα προστασίας η όχι.
Λύση
Σύμφωνα με τον τύπο (3) της σελίδας 6, για tη =138 ημέρες, έχουμε:
ln2
t
138
oQ(t) Q e

 , t σε ημέρες.
Επειδή στο σώμα του Αραφάτ υπήρχε πολώνιο 18 φορές περισσότερο από το
επιτρεπτό όριο δε θα ήταν απαραίτητο να παρθούν μέτρα προστασίας όταν
o
1
Q(t) Q
18
 . Είναι:
Φωτ. 5

11. lisari.blogspot.gr
11
ln2 ln2
t t
138 138
o o
1 1 ln 2 1 138 1
Q e Q e t ln t ln t 575,5
18 18 138 18 ln 2 18
 
          
Επομένως, δε χρειάζονταν μέτρα προστασίας, αν η νεκροψία γινόταν το νω-
ρίτερο σε 575,5 ημέρες από την ημέρα του θανάτου.
Εφαρμογή 5η. Η συνεισφορά των μαθηματικών στην αρχαιολογία
([10], σελ. 53) - Χρονολόγηση ευρήματος ανασκαφής
Σε αρχαιολογική ανασκαφή βρέθηκαν ίχνη καμένου δέντρου μαζί με
οστά. Τα ίχνη ξύλου περιείχαν κατά προσέγγιση 1,67% της αρχικής ποσότη-
τας άνθρακα -14. Με δεδομένο ότι ο χρόνος ημιζωής του άνθρακα-14 είναι
5730 χρόνια να υπολογίσετε πότε το δέντρο κόπηκε και κάηκε, λαμβάνοντας
υπόψη ότι η ζωή t του άνθρακα-14 ακολουθεί τον νόμο της εκθετικής μετα-
βολής με τύπο ct
oQ(t) Q e , όπου Qo είναι η αρχική του ποσότητα
Εφαρμογή 6η
. Η συνεισφορά των μαθηματικών στην εγκληματολογία
([7], σελ. 474)
Κατά την ιατροδικαστική έρευνα μιας ανθρωποκτονίας είναι σημα-
ντικό να γνωρίζουμε πότε επήλθε ο θάνατος του θύματος.
Αυτό μπορεί να γίνει με τη βοήθεια του νόμου ψύξεως του Νεύτωνα,
σύμφωνα με τον οποίο, αν Θο είναι η θερμοκρασία ενός σώματος τη χρονική
στιγμή t=0, Θπ η σταθερή θερμοκρασία του περιβάλλοντος, τότε η θερμο-
κρασία Θ(t) του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t ικανοποιεί τη σχέση:
  ct
(t) (0) e
     
όπου η σταθερά k μπορεί να υπολογιστεί, αν γνωρίζουμε την θερμοκρασία
του σώματος για μια δεδομένη στιγμή t1≠0.
Πρόβλημα: Προσδιορισμός του χρόνου δολοφονίας. ([6], σελ. 67)
Σε ένα διαμέρισμα βρέθηκε ένα πτώμα και ο ιατροδικαστής που το ε-
ξέτασε αποφάνθηκε ότι επρόκειτο για δολοφονία. Μέτρησε τη θερμοκρασία
του πτώματος και βρήκε ότι είναι 23 ο
C, την ξαναμέτρησε μετά από 1 ώρα
και την βρήκε 21 ο
C. Υποθέτουμε, επιπλέον, ότι την ώρα του θανάτου η θερ-
μοκρασία του πτώματος ήταν φυσιολογική, δηλαδή γύρω στους 36,7 ο
C και
η θερμοκρασία του περιβάλλοντος γύρω στους 18,7ο
C. Να υπολογίσετε πότε
πέθανε το θύμα.

12. lisari.blogspot.gr
12
Βιβλιογραφία
[1] Αδαμόπουλος, Λ. κ.ά.ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ο-
μάδα Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών. Αθήνα: ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕ-
ΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ».
[2] Ανδρεαδάκης, Σ. κ.ά. (2016). Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β΄τάξης Γενικού
Λυκείου. Αθήνα: Ο.Ε.Δ.Β.
[3] Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του
ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2007 – 2008. ΑΘΗΝΑ: ΟΕΔΒ.
[4] Αραχωβίτης Ι. (1998). Εφαρμογές των Θεωρητικών Μαθηματικών τεκμη-
ρίωση της διδασκαλίας. Αθήνα: Συμμετρία.
[5] Μανιάτης, Γ. 2013 «Η μέθοδος ραδιοάνθρακα για την χρονολόγηση αρ-
χαιολογικών και περιβαλλοντικών υλικών»
[6] Παναγιώτου, Ε. (2004). "Η Διδασκαλία των Εκθετικών και Λογαριθμικών
Συναρτήσεων στη Μέση Εκπαίδευση: Μια Διδακτική Πρόταση". Διπλω-
ματική Εργασία, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών.
[7] Thomas, G. κ.α. (2004). Απειροστικός λογισμός Τόμος Ι. (μτφ Αντωγιαν-
νάκης, Μ.), Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
https://proistoria.wordpress.com/παράρτημα/
[8] https://el.wikipedia.org/wiki/Ιερά_Σινδόνη
[9] ∆ιεθνές Πρόγραμμα για την Αξιολόγηση των Μαθητών PISA
ΑΘΗΝΑ: ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 2007
http://www.kee.gr/attachments/file/PISA/vivlio%20PISA.pdf
[10] Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου. Ενότητα 8. Εκθετική και Λογαριθ-
μική Συνάρτηση. Κύπρος: Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου 2017.
http://archeia.moec.gov.cy/sm/270/maths_b_lyk_kat_en08_ekthetikilo
garithmiki.pdf
Φωτογραφίες
Φωτ. 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Libby
Φωτ. 2. Μανιάτης, Γ. 2013 «Η μέθοδος ραδιοάνθρακα για την χρονολόγηση
αρχαιολογικών και περιβαλλοντικών υλικών» σελ.4.
Φωτ. 3.http://mopoiondaskalo.blogspot.gr/2017/04/vermeer.html
Φωτ. 4. https://el.wikipedia.org/wiki/Ιερά_Σινδόνη
Φωτ. 5. http://www.newsbeast.gr/portraita/arthro/656510/o-palaistinios-
igetis-giaser-arafat