Επιμέλεια: Τριαντάφυλλος Πλιάτσιος για το lisari.blogspot.gr

1. lisari.blogspot.gr
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Κεφ. 2 : Οι Πραγματικοί Αριθμοί
Σάββατο 18 Νοεμβρίου 2017
Επιμέλεια: ΠΛΙΑΤΣΙΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού
αριθμού α. (μονάδες 5)
Α2. Να αποδείξετε ότι      (μονάδες 10)
Α3. Να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις:
α)  
2 2 2
    
β) 2 2
0 0 και β=0      
γ) Αν α β και γ δ α-γ β-δ   
δ)
4
3 4 3
x x , για κάθε x 
ε) 3 3 2 2
( )( )      
(μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Β
Β1. Να αναπτύξετε τις παρακάτω ταυτότητες:
α) 2
(x 1)
β) 2
(y 2) (μονάδες 5)
Β2. Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό x,y ισχύει
2 2
x y 2x 4y 5 0     (μονάδες 10)
Β3. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x,y ώστε
2 2
x y 2x 4y 5 0     (μονάδες 10)
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει: y 3 1  .
(μονάδες 5)

2. lisari.blogspot.gr
Γ2. Αν x,y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου
παραλληλογράμμου με 1 x 3  και 2 y 4  , τότε
α) να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού
E του ορθογωνίου. (μονάδες 5 )
β) Nα αποδείξετε ότι 6 Π 14  , όπου Π είναι η περίμετρος του
ορθογωνίου. (μονάδες 7)
γ) Αν το x μειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια
μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή της περιμέτρου του νέου
ορθογωνίου παραλληλογράμμου (μονάδες 8)
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση
d(x,3) 4 .
Δ1. Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να
λύσετε την ανίσωση. (μονάδες 3)
Δ2. Αν 1 x 7   . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :
2 2
x 2x 1 x 14x 49
x 1 x 7
   
  
 
(μονάδες 5)
Δ3. Αν 2  .
i) Να λύσετε τις εξισώσεις:
α) x A 1 
β) x 2A 3  
(μονάδες 5)
ii) Να μετατρέψετε την παρακάτω παράσταση σε ισοδύναμη με
ρητό παρονομαστή
5
3
 
 
. (μονάδες 5)
iii) Να υπολογίσετε τους πραγματικούς x, y , z για τους οποίους
ισχύει: 2 3x Ax 1 x y A x y z A 2         
(μονάδες 7)
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

3. lisari.blogspot.gr
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β΄ ΤΑΞΗΣ
ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2017
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ(1.4 , 1.5)
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΛΙΑΤΣΙΟΣ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δυο μη μηδενικών διανυσμάτων
και  . Μονάδες 5
Α2. Δίνονται τα διανύσματα 1 1(x ,y )  και 2 2(x , y )  . Να αποδείξετε ότι
1 2 1        , όπου 1    και 2 
   , ( ,  / / y’y) .
Μονάδες 10
Α3. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στο φύλλο των απαντήσεων σας
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό , αν η πρόταση είναι
σωστή , ή Λάθος , αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν          .
β) Αν / / det( , ) 1       .
γ) Αν θεωρήσουμε δυο σημεία 1 1(x ,y ) και 2 2(x ,y ) και Μ(x, y) είναι οι
συντεταγμένες του μέσου του ΑΒ τότε ισχύει 1 2x x
x
2

 και 1 2y y
y
2


δ) Η απόσταση των σημείων 1 1(x ,y ) και 2 2(x ,y ) είναι ίση με
2 2
1 2 1 2( ) (x x ) (y y )    
ε) Για κάθε διάνυσμα , ,   ισχύει ότι:            
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται τα διανύσματα (2, 3)   και ( 1,2)  
Β1. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων 2 5     και    .
Μονάδες 5
Β2. Αν ( 1,4)   και (3, 5)   τότε:
α) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος  .
β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο   .

4. lisari.blogspot.gr
γ) Να γράψετε το διάνυσμα v (3,2) ως γραμμικό συνδυασμό των , .
Μονάδες 20 (5+5+10)
ΘΕΜΑ Γ
Για τα διανύσματα ,  δίνεται ότι 2  , 1  και
2
( , )
3

   . Έστω επιπλέον
τα διανύσματα u    και v 2    και w    . Να υπολογίσετε :
Γ1. Το εσωτερικό γινόμενο  . Μονάδες 3
Γ2. Τα μέτρα u , v των διανυσμάτων u,v . Μονάδες 6
Γ3. Το εσωτερικό γινόμενο u v . Μονάδες 5
Γ4. Τη γωνία των διανυσμάτων u,v . Μονάδες5
Γ5. Την τιμή του πραγματικού αριθμού κ ώστε να ισχύει v w . Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνονται τα σημεία Α(1,-1) , Β(5,-4) , Γ(-3,3) .
Δ1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι κορυφές τριγώνου . Μονάδες 6
Δ2. Αν Μ το μέσο του ΒΓ μα υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ.
Μονάδες 6
Δ3. Να βρείτε σημείο Ρ του x’x ώστε το τρίγωνο ΡΑΒ ναι είναι ισοσκελές με βάση την
ΑΒ. Μονάδες 6
Δ4. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε ώστε το τετράπλευρο ΒΓΔΕ ναι
είναι παραλληλόγραμμο με κέντρο το σημείο
2
1,
3
 
  
 
Μονάδες 7