Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΣΜΗΜΑ ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ
ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : 
ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :
ΘΕΜΑ Α
Να ςχεδιάςετε ςε διαφορετικό ςφςτημα αξόνων τη γραφική παράςταςη των ςυναρτήςεων:
α.   x
f x e 1
 
β.  g x x 
γ.  
1
h x
x 2


δ.  x ln | x 1|  
ε.   2
x 2 , x 0
k x
x , x<0
  
 

Μονάδες 20
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι ςυναρτήςεισ  
2
2
x 9
f x
x 3| x |



και  
3
g x 1
| x |
  .
Β1. Να αποδείξετε ότι οι ςυναρτήςεισ f και g είναι ίςεσ.
Μονάδες 15
Β2. Να βρείτε τισ τιμζσ του x για τισ οποίεσ η fC βρίςκεται πάνω από τον άξονα x΄x.
Μονάδες 10
Β3. Να αποδείξετε ότι η εξίςωςη    2
f x 2f x 0  είναι αδφνατη για x 3 ή x>3 
Μονάδες 15
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 6

2. ΘΕΜΑ Γ
Στο παρακάτω ςχήμα φαίνεται η γραφική παράςταςη δφο ςυναρτήςεων f,g.(Διακόπτεται μόνο η
γραφική παράςταςη τησ f)
Γ1. Να βρείτε τα πεδία οριςμοφ των f,g.
Γ2. Να βρείτε το ςφνολο τιμών των f,g.
Γ3. Να βρείτε για ποιεσ τιμζσ του x οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και g είναι ίςεσ.
Γ4. Να βρείτε για ποιεσ τιμζσ του x η γραφική παράςταςη τησ g είναι πάνω από την γραφική παράςταςη
τησ f.
Γ5. Να βρείτε το πλήθοσ των λφςεων τησ εξίςωςησ  f x   , για τισ διάφορεσ τιμζσ τησ παραμζτρου,
.
Γ6. Να βρείτε το πλήθοσ των λφςεων τησ εξίςωςησ  g x 1  .
Μονάδες 40
(4+4+7+7+15+3)
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 6

3. ΘΕΜΑ Α
α.   x
f x e 1
 
β.  g x x 
γ.  
1
h x
x 2


24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 6

4. δ.  x ln | x 1|  
ε.   2
x 2 , x 0
k x
x , x<0
  
 

24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 6

5. ΘΕΜΑ Β
Β1.
Έχουμε  f gD D 0  
 
  
 
 
2 2
2 2
| x | 3 | x | 3x 9 | x | 9 3
f x 1 g x
x 3| x | | x | 3| x | | x | | x | 3 | x |
  
     
  
Άρα f=g
B2.
Για να είναι η fC πάνω από τον άξονα x΄x θα πρζπει  f x 0 για x 0 .
Από το ερώτημα Β1 ζχουμε f=g οπότε αρκεί  g x 0 για x 0 .
 
3
g x 0 1 0 | x | 3 δηλαδή x<-3 ή x>3
| x |
     
Β3.
Στο ερώτημα Β2 αποδείξαμε ότι    g x f x 0  για x<-3 ή x>3.
Άρα  f x 0 οπότε  2
f x 0 και  2f x 0 .
Για κάθε x<-3 ή x>3    2
f x 2f x 0  οπότε η εξίςωςη    2
f x 2f x 0  είναι αδφνατη
για κάθε x<-3 ή x>3.
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 6

6. ΘΕΜΑ Γ
Γ1.
   fD 4, 1 0,4    και gD  
Γ2.
   ff D 2,4  και    gg D 3,  
Γ3.
Οι ςυναρτήςεισ είναι ίςεσ για      x 2, 1 1 3,4    
Γ4.
Η γραφική παράςταςη τησ g είναι πάνω από τη γραφική παράςταςη τησ f αν ιςχφει
   g x f x ,για    x 4, 1 0,4    .
Άρα    x 4, 2 1,3   
Γ5.
Αν α<-2 ή α>4 η εξίςωςη δεν ζχει λφςη
Αν α=-2 ή 3<α≤4 η εξίςωςη ζχει 1 λφςη
Αν -2<α≤-1 ή 2<α≤3 η εξίςωςη ζχει 2 λφςεισ
Αν -1<α≤2 η εξίςωςη ζχει 3 λφςεισ
Γ6.
Η εξίςωςη ζχει 3 λφςεισ
24.09.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 6