Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το lisari.blogspot.com

1. 1ο
ΓΕΛ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο
: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:………………………………………………………………
ΤΜΗΜΑ: ……… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …………………..
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΜΑΚΗΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ
Α1 /
Β1 / Β2 / B3 / Β4 /
Γ1 / Γ2 / Γ3 / Γ4 /
ΣΥΝΟΛΟ /
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 55 ΛΕΠΤΑ
ΘΕΜΑ Α [25 + 5 = 30 ΜΟΝΑΔΕΣ]
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Fermat.
ΘΕΜΑ Β [5 + 8 + 10 + 12 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ]
Δίνεται συνάρτηση f : R R με   2
x
f x
1 x
 

για κάθε xR .
B1. Αν  f 0 2019 τότε να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f.
B2. Να αποδείξετε ότι η fC τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας xOy το πολύ μία φορά.
(Σημείωση: Για εργασία μπορείτε να δείξετε και την μοναδικότητα)
Β3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει τρία σημεία
καμπής από τα οποία το ένα από αυτά είναι μέσο των άλλων δύο.
B4. Να αποδείξετε ότι
2
2
1 β
ln β α
1 α
 
  
 
για όλα τα α,βR .
ΘΕΜΑ Γ [8 + 7 + 10 + 10 = 35 ΜΟΝΑΔΕΣ]
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε:
   f x
f x e x 1
   για κάθε xR
Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, ακρότατα, κυρτή, κοίλη, σημεία
καμπής και κρίσιμα σημεία.
Γ2. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από την
αρχή των αξόνων.
Γ3. Να αποδείξετε ότι:    
x
f x xf x
2
  για κάθε x 0 .
Γ4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
30.03.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 1