1. Capítulo 10
Rotación de un Cuerpo Rígido

2. Contenido
• Velocidad angular y aceleración angular
• Cinemática rotacional
• Relaciones angulares y lineales
• Energía rotacional
• Cálculo de los momentos de inercia
• Teorema de los ejes paralelos
• Ejemplos de momento de inercia
• Torque
• Torque y aceleración angular
• Trabajo, potencia y energía

3. Velocidad Angular y Aceleración Angular
Rotación de un cuerpo rígido El punto P se mueve a lo largo
alrededor de un eje fijo que de una circunfrerencia de
pasa por O. radio r. El arco s que describe
y está dado por:
s = rθ
longitud de arco
s
P θ =
r radio
r
)θ s x Donde θ está medido
o en radianes.
360°
1rad = = 57,3°
2π

4. La velocidad angular promedio se define como:
θ2 − θ1 Δθ
ω= =
t 2 − t1 Δt
– La unidad de medida de la velocidad angular
es el:
– radián/segundo = rad/s
– La velocidad angular será:
• positiva si θ aumenta (antihorario)
• negativa si θ disminuye (horario)

5. Δ θ dθ
La velocidad angular instantánea ω = lim =
se define como: Δt → 0 Δt dt
ω 2 − ω1 Δ ω
La aceleración angular promedio α = =
t 2 − t1 Δt
se define como:
Δ ω dω d 2 θ
La aceleración angular instantánea α = lim = =
Δt → 0 Δ t dt dt 2
se define como:
Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula
del cuerpo rígido tiene la misma velocidad
angular y la misma aceleración angular.

6. Ejemplo:
ti ωi tf ωf
1. Una rueda de bicicleta gira a 240 rev/min. ¿Cuál es la
velocidad angular en rad/s?
rev 1 min 2π rad rad rad
ω = 240 × × = 8π = 25,1
min 60 s 1 rev s s
2. Si la rueda frena uniformemente hasta el reposo en 5 s,
¿cuál es la aceleración angular?
ω f − ωi 0 − 25 rad ⋅ s − 1 rad
α= = =−5 2
t f − ti 5s s

7. Cinemática Rotacional
Las ecuaciones de la cinemática lineal, con
aceleración constante, se cumplen para el
movimiento rotacional, sustituyendo x por θ,
v por ω y a por α.
De esta forma se tiene, si α = cte.:
ω = ω 0 + αt
1 2
θ = θ0 + ω 0t + αt
2
ω 2 = ω 0 + 2α ( θ − θ 0 )
2

8. Ejemplo:
● La rueda de la bicicleta gira
inicalmente con una
velocidad angular de 25
rad/s. ¿Cuántas revoluciones ti ωi tf ωf
efectuará hasta frenar
completamente 5 segundos
después?
1
Recuerde que para un movimiento lineal teníamos: Δ x = v0t + at 2
2
Aquí podemos usar la relación análoga:
1 2
Δθ = ω 0 t + αt
2
rad 1⎛ rad ⎞
i( 5 s ) + − 5 2 ⎟ i ( 5 s ) = 62,5 rad
2
Δθ = 25
s 2⎜
⎝ s ⎠
1 rev
Δθ = 62,5 rad × = 10 rev
2π rad

9. Relaciones angulares y lineales
La velocidad tangencial se relaciona con la velocidad
angular de la siguiente manera:
ds d ( rθ ) dθ
v= = =r → v = ωr
dt dt dt
Similarmente para la aceleración:
dv d ( rω ) dω
a= = =r → a=α r
dt dt dt

10. La velocidad v es siempre La aceleración lineal en un
tangente a la trayectoria punto es: a = at + ar
y
y at
a P
v
P
ar
r r
θ x θ x
O O

11. Energía Cinética Rotacional
y
Un objeto rígido gira alrededor del eje z
vi con velocidad angular ω.
r i mi La energía cinética para la i-ésima
)θ x
partícula de masa mi está dada por:
O
1
K i = mi vi2
2
Pero queremos determinar la energía cinética total de
rotación del cuerpo.
Para lo cual hacemos lo siguiente:

12. Energía Cinética Rotacional
y
KR = ∑K i
vi ⎛1 ⎞
ri mi KR = ∑ ⎜2
⎝
m i v i2 ⎟
⎠
)θ x
O
1
K R =
2
∑ ( m i ri 2 ω 2 )
1
KR =
2
(∑ m r ) ω i i
2 2

13. Momento de Inercia
La cantidad entre paréntesis de la ecuación anterior recibe el
nombre de: Momento de Inercia, I:
I = ∑ mi ri2
• I es una MF Escalar.
• Las dimensiones de I son: L2M1T0, por lo que en el SI sus
unidades de medidas son kgm2
• I depende de la distribución de masa del C.R.
• I depende de la elección del eje.

14. Energía Cinética Rotacional
La expresión de la energía cinética de rotación que
habíamos obtenido era:
1
KR =
2
(∑ m i ri 2 ) ω 2
Con la definición dada de momento de inercia,
la energía cinética de rotación se define como:
1
KR = Iω2
2

15. Cálculo de los Momentos de Inercia
En estricto rigor, la definición dada anteriormente para calcular
el momento de inercia I, corresponde al cálculo para una
distribución discreta de partículas.
Ahora, veremos que para una distribución continua de
partículas, como lo es un sólido rígido, debemos considerar el
caso límite.
y
ri Δm i
x
o

16. Cálculo de los Momentos de Inercia
y
ri Δm i
x
o
De la definición dada se tiene: I = ∑ ri2 Δm i
En el límite cuando: Δ m → 0
I = lim
Δm → 0
∑ ri 2 Δ m i ⇒ I = ∫ r 2 dm
Como: dm = ρdV ⇒ I = ∫ r 2 ρdV

17. Ejemplo: Momento de Inercia de un Anillo Uniforme,
respecto de su eje de simetría.
• Imagine que el anillo
está dividido en un
sinnúmero de pequeños
segmentos: m1, m2, …
– Estos segmentos están
equidistantes del eje
– ri = R = cte.
I CM = Σm i ri2 → I CM = MR 2

18. Teorema de los ejes paralelos
El teorema de los ejes paralelos o teorema de
Steiner establece que el momento de inercia
alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se
encuentra a una distancia D del eje que pasa por el
centro de masa es:
D
I = I CM + MD 2
CM

19. Ejemplos de momento de inercia
Barra delgada larga
Aro o cascarón Cilindro sólido con eje de rotación
cilíndrico I CM = MR 2 o disco Cilindro hueco que pasa por el
1
I CM
1
= MR2 I CM =
2
M (R 1
2
+ R 22 ) centro. I = 1 M L2
CM
2 12
Barra delgada larga Placa rectangular
con eje de rotación
que pasa por un I CM =
1
M (a 2 + b2 )
Esfera sólida Cascarón esférico
extremo. I = 1 M L 2 12
I CM =
2
MR2 2
3 5 I CM = MR2
3

20. Torque
• Considere la fuerza requerida cerca de la
para abrir una puerta. bisagra
• ¿Es más fácil de abrir la
puerta empujando/tirando lejos de la
lejos de la bisagra o cerca de la bisagra
bisagra?
Mientras más lejos de
la bisagra, mayor es
el efecto rotacional !!
Concepto Físico: Torque

21. Torque
Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que
puede girar alrededor de un eje, el cuerpo tiende a rotar
en torno a ese eje.
Bisagra d
r
d F
F F perp
φ
F paralelo
Torque (o momento de torsión) τ mide el efecto rotación
de una fuerza sobre un cuerpo.
El módulo del torque de una fuerza F se define como:
τ = rFsinφ = Fd

22. Brazo de una Fuerza:
Es la distancia perpendicular, d,
entre el eje de rotación y la línea
de acción de la fuerza

23. Una Mirada Alternativa al Torque
• La fuerza, también, puede
ser descompuesta en sus
componentes x -e- y
• La componente x, F cos Φ,
produce un torque 0 Nm
• La componente y, F sen Φ,
produce un torque no-cero

24. Una Mirada Alternativa al Torque
• El módulo de éste torque es:
τ = F r sen φ
F es el módulo de la fuerza que produce el torque.
r es el módulo del vector de posición del punto
de aplicación de la fuerza con respecto al eje de
rotación.
φ es el ángulo formado por el vector fuerza y
el vector posición, definidos arriba.

25. Concepto Vectorial de Torque.
z
τ
F
r
.
P
τ = r×F

26. Concepto Vectorial de Torque.
z
τ
F
r
. θ
P
Módulo: τ = r F senθ
τ = r×F
Dirección: τ ⊥ Plano (r , F)
Y se puede obtener por la “Regla de la Mano Derecha”.

27. Observaciones respecto del vector Torque:
La fuerza F es aplicada en el punto P, punto del
cuerpo que posee vector posición r , respecto del
origen del eje de rotación.
De la definición dada se deduce que el torque τ :
Es una magnitud física vectorial.
Tiene dimensiones de: L2M1T-2, por lo que en el SI
sus unidades de medidas son kgm2/s2 = Nm
Y depende en forma directamente proporcional: del
módulo de la fuerza, del módulo del vector posición del
punto de aplicación de la fuerza y del seno del ángulo
formado por ambos vectores.

28. Observaciones respecto del vector Torque:
La dirección del vector torque es perpendicular
al plano formado por el vector posición del punto
de aplicación de la fuerza y la fuerza misma.
Y una de las formas de obtener esta dirección es
mediante la “Regla de la Mano derecha”
La dirección del vector torque, en la figura, es
hacia la parte positiva del eje z; la rotación es en
el sentido antihorario.
Si la fuerza tuviese la dirección opuesta, el vector
torque apuntaría hacia la parte negativa del eje z,
rotación en sentido horario.

29. Torque neto o resultante.
El torque neto, por definición, es:
F1
τ neto = ∑τ
i
ext , i
d1
o
Para el caso de la figura: d2
La fuerza F 1 tiende a hacer girar F2
el cuerpo en sentido anti-horario
y F 2 en sentido horario, luego:
τ neto = τ 1 + τ 2 → τ neto = + F1d 1 − F2 d 2

30. Ejemplo 1: Balancín
1. Dibuje las fuerzas aplicadas sobre el balancín.
N
Dados:
d1 d2
pesos: P1 = 500 N
P2 = 800 N
brazos: d1 = 4 m
d2 = 2 m FB1 FB2
2. Considere la rotación horaria como positiva (???)
Por definición:
Encuentre:
∑τ = τ1 + τ 2
Στ=?
∑τ = − ( 500 N)( 4 m) + (+)( 800 N)( 2 m)
∑τ = − 2000 N ⋅ m + 1600 N ⋅ m
∑τ = − 400 N ⋅ m
Rotación será anti-horaria

31. Segunda Condición de Equlibrio.
Si el torque neto sobre un cuerpo es igual a cero, entonces
el cuerpo está en reposo de rotación o rota con velocidad
angular constante.
Esta ley es la que se conoce como la Segunda Condición de
Equilibrio. Es la ley que asegura el equilibrio de rotación de
un cuerpo rígido.
Su expresión matemática es:
⎧ rad ⎫
⎪ω = 0 s ⎪
⎪ ⎪
Si: τn = 0 → ⎨ ó ⎬
⎪ ω = c te. ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭

32. Torque y Aceleración Angular
a) Una partícula de masa m gira Ft
alrededor de una circunferencia m
de radio r, el torque neto alrededor
del centro de la circunferencia, por Fr
definición, es:
τ neto = Ft r r
Y aplicando la Seguna Ley de Newton:
τ neto = ( mat ) r = m ( rα ) r = ( mr 2 ) α
τ n e to = Iα
El torque neto que actúa sobre la partícula es
directamente proporcional a su aceleración angular.

33. b) Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una
aceleración tangencial at . Entonces, por Segunda
Ley de Newton: y
dFt = ( dm ) a t
Como: at = r α , la expresión para el dFt
torque dτ , por definición, queda: dm
ri
x
dτ = rdFt = r ( a t dm ) = r α dm 2
O
El torque total es la integral de esta diferencial:
τ neto = ∫( r 2α dm ) = α ∫ r 2 dm
ˆ
τ neto = Iα k
τ n e to = Iα

34. Ejemplo:
Considere una ruedavolante (polea cilíndrica) de masa
M = 5,0 kg y un radio R = 0,20 m, con un bloque de
peso P = 9,8 N colgando de una cuerda arrollada
alrededor de la ruedavolante.
Encuentre la magnitud de la aceleración del bloque.
M
m

35. 1. Dibuje todas las fuerzas aplicadas
Ejemplo:
N Por definición de peso se tiene:
P
0 P = mg → m=
Dados: g
T
9,8 N
M = 5,0 kg Mg T' m= → m = 1,0 kg
9,8 ms − 2
R = 0,20 m a
P = 9,8 N
y mg
Encuentre:
a=? Aplicando la S.L.N. para la traslación y la ley de
la rotación, se tiene:
Fuerzas: Torques:
ΣFy = m g − T = m a Στ z = −T ⋅ R = − I ⋅ α
se necesita T ! I⋅α
T =
R

36. Ejemplo:
Momento de inercia de un cilindro respecto de su CM:
1
I= MR2 → I = 0 ,1 0 k g ⋅ m 2
2
La aceleración tangencial al borde de la ruedavolante es:
at
at = αR → α =
R
Reemplazando, las expresiones de I y α en la ecuación de T,
se tiene:
⎛1 ⎞⎛ a ⎞1 1
T = ⎜ MR 2 ⎟ ⎜ t ⎟R → T = M at
⎝2 ⎠⎝ R ⎠ 2

37. Ejemplo:
Reemplazando la última expresión de T en la ecuación
de fuerzas, con at = a, se tiene:
1
mg − T = m a → mg − Ma = ma
2
2 mg − Ma = 2 ma → (M + 2m) a = 2 mg
2m 2 ⋅ 1, 0 kg m
a = g → a = × 9, 8 2
M + 2m 5, 0 kg + 2 ⋅ 1, 0 kg s
m
∴ a = 2, 8 2
s

38. Trabajo y Potencia.
El trabajo hecho por una fuerza F al girar un cuerpo rígido es:
dW = F i ds = F ( rdθ ) cos(90° − φ)
dW = (F r sin φ ) dθ → dW = τ dθ
F
La rapidez a la cual se hace trabajo
o potencia es:
ds φ
dW τ dθ
P = = →
dt dt
P
dθ r
P = τ iω
O

39. Trabajo y Energía Cinética.
Es fácil mostrar que el trabajo del torque neto es:
W (τ n ) = ∫τ n dθ = ∫ Iα dθ
dω f
W (τ n ) = ∫ I
dt
ω dt = I ∫ ω d ω
i
1 1
W (τ n ) = Iω f −
2
I ω i2 W (τ n ) = Δ K R
2 2
Es decir, el trabajo del torque neto, sobre un cuerpo
rígido, es igual al cambio de energía cinética de rotación,
del mismo.

40. Comparación de las ecuaciones del movimiento de rotación y de traslación
Movimiento Rotacional alrededor de un eje fijo Movimiento lineal
dθ dx
Velocidad angular : ω = Velocidad lineal: v =
dt dt
dω dv
Aceleración angular: α = Aceleración lineal: a =
dt dt
Torque resultante: Σ τ = Iα Fuerza resultante: ΣF = M a
Leyes cinemática: α = c o n s ta n te Leyes cinemática: a = c o n s ta n te
ω = ω 0 + α t v = v0 + at
1 1
θ − θ 0 = ω 0t + α t 2
x − x0 = v0t + at 2
2 2
ω 2
= ω 0
2
+ 2α (θ − θ 0 ) v 2 = v02 + 2a (x − x0 )
Trabajo: W = ∫ τ dθ Trabajo: W = ∫F x dx
1 1
Energía rotacional: K = Iω 2
Energía traslacional: K = mv2
2 2
Potencia: P = τω Potencia: P = Fv
Momento angular: L = Iω Momentum lineal: p = mv
dL dp
Torque resultante: τ = Fuerza resultante: F =
dt dt

41. Velocidad Angular y Velocidad Lineal son vectores:
ω
v
r
m
v =ω × r

42. Las aceleraciones son vectores.
ω
α v
r aR aT
aT = α × r aR = ω × v