movimiento armónico simple

1. Autor: Freeddy Mendoza
Fecha19/07/2015

2. INTRODUCCIÓN
En la naturaleza hay muchos movimientos que se repiten a intervalos iguales de tiempo,
estos son llamados movimientos periódicos. En Física se ha idealizado un tipo
de movimiento oscilatorio, en el que se considera que sobre el sistema no existe
la acción de las fuerzas de rozamiento, es decir, no existe disipación de energía y el
movimiento se mantiene invariable, sin necesidad de comunicarle energía exterior a este.
Este movimiento se llama MOVIMIENTO ARMÖNICO SIMPLE (MAS)
El movimiento Armónico Simple, un movimiento que se explica en el movimiento armónico
de una partícula tiene como aplicaciones a los péndulos, es así que podemos estudiar el
movimiento de este tipo de sistemas tan especiales, además de estudiar las expresiones de
la Energía dentro del Movimiento Armónico Simple.
EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Definición: es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora
elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa gráficamente
por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento
armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo
vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto
cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su
proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de movimiento
armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la
circunferencia, se trazará una perpendicular desde el punto a un diámetro fijo de la
circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto
proyectado en el diámetro, realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico simple de un
punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del período (T/12,

3. T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la
circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante
es una sinusoide, ya que la variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x,
donde x es el ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es
proporcional al tiempo).
Elementos:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier posición hasta
regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la posición
de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a partir de la
posición de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración completa. Se
designa con la letra "t".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la
partícula oscilante.
Péndulo simple

4. Definición: es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo
largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:
 el hilo es inextensible
 su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo
 el ángulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeño
Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa
del cuerpo el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño.
Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo
Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El péndulo simple, es
decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio
constante, es uno de ellos.
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se
produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es necesario proyectar las
fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan
y cuáles no. Esto se puede observar en la figura
Vemos pues que, considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es
decir, el arco que se está recorriendo, podemos poner

5. 𝑚𝑙
𝑑2
∝
𝑑𝑡2
+ 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛(∝) = 0
Donde no hemos hecho sino aplicar la segunda ley de newton. Esto se puede ver
considerando que el arco 𝑙 ∝ 𝑦 , como 𝑙 es longitud del hilo 𝑦 es constante, la aceleración
será 𝑙
𝑑2
∝
𝑑𝑡2 . Por otra parte aplicando ∑ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ , en este caso la fuerza es solo la de la
gravedad, 𝑚𝑔 que se descompone en una componente, que se contrarresta con la tensión,
más otra, que es la que exista el movimiento en la trayectoria marcada por el arco.
Esta ecuación diferencial no es nada fácil de resolver y por ello recurrimos a la
aproximación siguiente: suponiendo que el ángulo que desplazamos es pequeño, tomamos
que 𝑠𝑒𝑛(∝) ≈∝ y asi tenemos que
𝑑2
∝
𝑑𝑡2
+
𝑔
𝑙
𝛼 = 0
Que a veces también se expresa como.
∝ +
𝑔
𝑙
𝛼 = 0
Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico simple, y por
tanto su solución también será teniendo, únicamente, la precaución de sustituir el valor
de antiguo por el que tiene ahora para un péndulo
𝜔 = √
𝑔
𝑙
A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo simple, el
periodo, frecuencia, etc.
Período de un Péndulo
Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación completa.
Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión 𝑇/ 𝑁° de Osc. (Tiempo
empleado dividido por el número de oscilaciones).
 El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se
tienen 2 péndulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud

6. de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de
estos péndulos es el mismo.
 El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su
longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir
de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.
Aplicaciones
Algunas aplicaciones del péndulo son la medición del tiempo, el metrónomo y la plomada.
Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la
rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés León Foucault y está
formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.
También sirve, puesto que un péndulo oscila en un plano fijo, como prueba efectiva de la
rotación de la Tierra, aunque estuviera siempre cubierta de nubes: En 1851 Jean León
Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris
(𝑙𝑎𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑 ≅ 49º) Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre; el hilo
de arena que caía del cubo mientras oscilaba el Péndulo señalaba la trayectoria: demostró
experimentalmente que el plano de oscilación del péndulo giraba 11º 15’ cada hora y por
tanto que la Tierra rotaba.
ARQUÍMEDES
Matemático, físico e ingeniero griego (c. 287–212 a. C.)
Arquímedes fue quizá el más grande científico de la antigüedad.
Fue el primero en calcular con precisión la proporción de la
circunferencia de un círculo a su diámetro, y también demostró
cómo calcular el volumen y el área superficial de las esferas,
cilindros y otras formas geométricas. Es bien conocido por
descubrir la naturaleza de la fuerza de flotación y también fue un
inventor genial.
Una de sus invenciones prácticas, todavía en uso actual, es el

7. tornillo de Arquímedes, un tubo anillado rotatorio e inclinado que se usó originalmente
para levantar agua de las galeras de los barcos. También inventó la catapulta y vislumbró
sistemas de palancas, poleas y pesos para levantar cargas pesadas. Tales invenciones
tuvieron una aplicación afortunada en la defensa de su ciudad natal, Siracusa, durante un
acoso de dos años por los romanos.
Fuerzas de flotación y principio de Arquímedes
¿Alguna vez ha intentado empujar una pelota de playa hacia abajo del agua? Es
extremadamente difícil hacerlo debido a la gran fuerza hacia arriba que ejerce el agua
sobre la pelota. La fuerza hacia arriba que un fluido ejerce sobre cualquier objeto
sumergido se llama fuerza de flotación (boyante). Se puede determinar la magnitud de una
fuerza de flotación al aplicar algo de lógica. Imagine una porción de agua del tamaño de
una pelota de playa bajo la superficie del agua, como en la figura.
Ya que esta parte está en equilibrio, debe haber una fuerza hacia arriba que equilibre la
fuerza gravitacional hacia abajo sobre la porción. Esta fuerza hacia arriba es la fuerza de
flotación y su magnitud es igual al peso del agua en la porción. La fuerza de flotación es la
fuerza que resulta sobre la porción debido a todas las fuerzas aplicadas por el fluido que
rodean la porción.
Ahora imagine sustituir la porción de agua del tamaño de una pelota de playa con una
pelota de playa del mismo tamaño. La fuerza neta aplicada por el fluido que rodea la
pelota es la misma, sin importar si se aplica a una pelota de playa o a una porción de
agua.
En consecuencia, la magnitud de la fuerza de flotación sobre un objeto siempre es igual
al peso del fluido desplazado por el objeto. Este enunciado se conoce como principio de
Arquímedes.

8. Con la pelota de playa bajo el agua, la fuerza de flotación, igual al peso de una porción de
agua del tamaño de la pelota de playa, es mucho mayor que el peso de la pelota de playa.
Por lo tanto, existe una gran fuerza neta hacia arriba, que explica por qué es tan difícil
sostener la pelota de playa bajo el agua. Note que el principio de Arquímedes no se refiere
a la configuración del objeto que experimenta la fuerza de flotación. La composición del
objeto no es un factor en la fuerza de flotación porque la fuerza de flotación la ejerce el
fluido.
Para comprender mejor el origen de la
fuerza de flotación, considere un cubo
sumergido en un líquido, como en la figura.
De acuerdo con la ecuación, la presión
𝑃𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 en el fondo del cubo es mayor que la
presión 𝑃𝑠𝑢𝑏 en la parte superior por una
cantidad 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔ℎ donde h es la altura del
cubo y 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 es la densidad del fluido. La
presión en el fondo del cubo causa una
fuerza hacia arriba igual a 𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 A, donde
A es el área de la cara inferior. La presión
en la parte superior del cubo causa una
fuerza hacia abajo igual a 𝑃𝑠𝑢𝑏A.

9. La resultante de estas dos fuerzas es la fuerza de flotación 𝑩⃗⃗⃗ con magnitud
𝐵 = (𝑃𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 − 𝑃𝑠𝑢𝑏)𝐴 = (𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔ℎ )A
Fuerza de flotación
𝐵 = (𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑉 )
Donde 𝑉 = 𝐴ℎ es el volumen del fluido desplazado por el cubo. Ya que el 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑉 es
igual a la masa de fluido desplazado por el objeto
𝐵 = 𝑀𝑔
Donde 𝑀𝑔 es el peso del fluido desplazado por el cubo. Este resultado es consistente con
el enunciado anterior acerca del principio de Arquímedes, en función de la discusión de la
pelota de la playa.
Bajo condiciones normales, el peso de un pez es ligeramente mayor que la fuerza de
flotación sobre el pez. Por ende, el pez se hundiría si no tuviese algún mecanismo para
ajustar la fuerza de flotación. El pez logra esto mediante la regulación interna del tamaño
de su vejiga natatoria llena de aire para aumentar su volumen y la magnitud de la fuerza
de flotación que actúa sobre él, de acuerdo con la ecuación. De esta forma, el pez es capaz
de nadar a diversas profundidades.
Caso 1: Objeto totalmente sumergido. Cuando un objeto está totalmente sumergido en un
fluido de densidad 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜, la magnitud de la fuerza de flotación hacia arriba es 𝐵 =
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑉 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑉𝑜𝑏𝑗 , donde 𝑉𝑜𝑏𝑗 es el volumen del objeto. Si el objeto tiene una
masa 𝑀 y densidad 𝜌 𝑜𝑏𝑗, su peso es igual a 𝐹𝑔 = 𝑀𝑔 = 𝜌 𝑏𝑗 𝑔𝑉𝑜𝑏𝑗 y la fuerza neta sobre el
objeto es 𝐵 − 𝐹𝑔 = (𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 − 𝜌 𝑜𝑏𝑗) 𝑔𝑉𝑜𝑏𝑗 . En consecuencia, si la densidad del objeto es
menor que la densidad del fluido, la fuerza gravitacional hacia abajo es menor que la
fuerza de flotación y el objeto sin apoyo acelera hacia arriba. Si la densidad del objeto es
mayor que la densidad del fluido, la fuerza de f flotación hacia arriba es menor que la
fuerza gravitacional hacia abajo y el objeto sin apoyo se hunde (figura). Si la densidad del
objeto sumergido es igual a la densidad del fluido, la fuerza neta sobre el objeto es cero y

10. el objeto permanece en equilibrio. Por lo tanto, la dirección de movimiento de un objeto
sumergido en un fluido está determinada por las densidades del objeto y el fluido.
Caso 2: Objeto que flota. Ahora considere un objeto de volumen 𝑉𝑜𝑏𝑗 y densidad 𝜌 𝑜𝑏𝑗 <
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 en equilibrio estático que flota en la superficie de un fluido, es decir, un objeto que
solo está parcialmente sumergido. En este caso, la fuerza de flotación hacia arriba se
equilibra mediante la fuerza gravitacional hacia abajo que actúa en el objeto. Si 𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 es
el volumen del fluido desplazado por el objeto (este volumen es el mismo que el volumen de
dicha parte del objeto bajo la superficie del fluido), la fuerza de flotación tiene una
magnitud
𝐵 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
Ya que el peso del objeto es 𝐹𝑔 = 𝑀𝑔 = 𝜌 𝑜𝑏𝑗 𝑔𝑉𝑜𝑏𝑗 , y ya que 𝐹𝑔 = 𝐵, se ve que
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑔𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝜌 𝑜𝑏𝑗 𝑔𝑉𝑜𝑏𝑗 , o
𝑉𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑉𝑜𝑏𝑗
=
𝜌 𝑜𝑏𝑗
𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
Esta ecuación demuestra que la fracción del volumen de un objeto en flotación que está
debajo de la superficie del fluido es igual a la relación de la densidad del objeto a la del
fluido.
Principio de Pascal
En física, el principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés
Blaise Pascal (1623-1662) que se resume en la frase: «el incremento de la presión
aplicada a una superficie de un fluido incompresible, contenido en un recipiente
indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo». Es
decir, que si se aplica presión a un líquido no comprimible en un recipiente cerrado, ésta

11. se transmite con igual intensidad en todas direcciones y sentidos. Este tipo de fenómeno se
puede apreciar, por ejemplo en la prensa hidráulica la cual funciona aplicando este
principio.
Aplicaciones
Prensa Hidráulica ó Prensa hidrostática:
Para Multiplicar una fuerza de acuerdo a la relación de áreas de los pistones.
Frenos hidráulicos: Los frenos hidráulicos de los automóviles son una aplicación
importante del principio de Pascal. La presión que se ejerce sobre el pedal del freno se
transmite a través de todo el líquido a los pistones los cuales actúan sobre los discos de
frenado en cada rueda multiplicando la fuerza que ejercemos con los pies.
Refrigeración: La refrigeración se basa en la aplicación alternativa de presión elevada y
baja, haciendo circular un fluido en los momentos de presión por una tubería. Cuando el
fluido pasa de presión elevada a baja en el evaporador, el fluido se enfría y retira el calor
de dentro del refrigerador. Como el fluido se encuentra en un ciclo cerrado, al ser
comprimido por un compresor para elevar su temperatura en el condensador, que también
cambia de estado a líquido a alta presión, nuevamente esta listo para volverse a expandir y
a retirar calor (recordemos que el frío no existe es solo una ausencia de calor).
Principio de Arquímedes
Es un principio físico que afirma que un cuerpo total o
parcialmente sumergido en un fluido estático, será empujado con
una fuerza vertical ascendente igual al peso del volumen de fluido
desplazado por dicho cuerpo. Esta fuerza recibe el nombre de
empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newtons (en el
SI).
El principio de Arquímedes se formula así:

12. donde ρf es la densidad del fluido, V el volumen del cuerpo sumergido y g la aceleración de
la gravedad, de este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del
cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje actúa siempre verticalmente
hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo;
este punto recibe el nombre de centro de carena.
Historia
La anécdota más conocida sobre Arquímedes, matemático griego, cuenta cómo inventó un
método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. Según cuentan,
una corona con forma de corona triunfal había sido fabricada para Hierón II, tirano
gobernador de Siracusa, el cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba
hecha de oro sólido o si un orfebre deshonesto le había agregado plata. Arquímedes tenía
que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un
cuerpo regular para calcular su densidad.
Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la tina cuando entraba, y así
se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona.
Debido a que la compresión del agua sería despreciable, la corona, al ser sumergida,
desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la
corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La
densidad de la corona sería menor si otros metales más baratos y menos densos le
hubieran sido añadidos. Entonces, Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles, tan
emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse, gritando "¡Eureka!" (en
griego antiguo: "εὕρηκα!," que significa "¡Lo he encontrado!)"
La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes, pero
en su tratado Sobre los cuerpos flotantes él da el principio de hidrostática conocido como
el principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido
experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido
desalojado es decir dos cuerpos que se sumergen en una superficie (ej:agua), y el más

13. denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más rápido, es decir, tarda
menos tiempo, aunque es igual la distancia por la cantidad de volumen que tenga cada
cuerpo sumergido.