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Ejemplo funcion racional

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  1. 1. Ejemplo analizado 1: Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1) a) Dominio: La función no está definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1} b) Simetría: La función es Impar pues f(-x) =-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0) c) Cortes con los ejes:  Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0  Eje OY: f (0) =0 -> y=0 d) Regiones: x (-¥,-1) (-1,0) (0,1) (1,+¥) x3 - - + + x+1 - + + + x-1 - - - + f(x) - + - + e) Asíntotas:  Verticales: x=-1, x=1  Oblicuas: =1; =0 «y=x f) Puntos singulares:  f'(x)=x2(x2-3) /(x2-1)2  f'(x)=0 «x2(x2-3) =0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3  f (0) =0; f(-Ö3) =-3Ö3/2; f(Ö3) =3Ö3/2  f''(x)=(2x3+6x) /(x2-1)3  f''(-Ö3) <0; x=-Ö3 es un máximo relativo  f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo  f''(0) =0, x=0 es un posible punto de inflexión g) Puntos de Inflexión
  2. 2.  f''(x)=(2x3+6x) /(x2-1)3  f''(x)=0 «2x3+6x=0 «2x(x2+3) =0 «x=0. Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0: En efecto f''(0-h) =f''(-h)>0 y f''(0+h) <0 con h>0 y arbitrariamente pequeño. La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.

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