Complementamos un ejercicio que puede servir de ayuda en la resolución de varios ejercicios similares

1. Ejemplo analizado 1:
Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)
a) Dominio: La función no está definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}
b) Simetría: La función es Impar pues f(-x) =-f(x), por lo que es simétrica respecto del
origen (0,0)
c) Cortes con los ejes:
 Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0
 Eje OY: f (0) =0 -> y=0
d) Regiones:
x (-¥,-1) (-1,0) (0,1) (1,+¥)
x3 - - + +
x+1 - + + +
x-1 - - - +
f(x) - + - +
e) Asíntotas:
 Verticales: x=-1, x=1
 Oblicuas:
=1; =0 «y=x
f) Puntos singulares:
 f'(x)=x2(x2-3) /(x2-1)2
 f'(x)=0 «x2(x2-3) =0 ® x=0; x=Ö3; x=-Ö3
 f (0) =0; f(-Ö3) =-3Ö3/2; f(Ö3) =3Ö3/2
 f''(x)=(2x3+6x) /(x2-1)3
 f''(-Ö3) <0; x=-Ö3 es un máximo relativo
 f''(Ö3)>0; x=Ö3 es un mínimo relativo
 f''(0) =0, x=0 es un posible punto de inflexión
g) Puntos de Inflexión

2.  f''(x)=(2x3+6x) /(x2-1)3
 f''(x)=0 «2x3+6x=0 «2x(x2+3) =0 «x=0. Este es único punto de inflexión posible,
para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir
a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo
al pasar por x=0:
En efecto f''(0-h) =f''(-h)>0 y f''(0+h) <0 con h>0 y arbitrariamente pequeño.
La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente
horizontal.