Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Define una progresión aritmética como una sucesión de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior. Proporciona la fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética y explica cómo calcular la suma de los primeros términos. También define una progresión geométrica como una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando al anterior por un número fijo, y presenta fórmulas para calcular
1. UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO MONAGAS
UNIDAD DE CURSOS BÁSICO
SECCIÓN DE MATEMÁTICAS
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Y
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Profesora: Milagros Coraspe Bachilleres:
José Márquez CI:16176155
Nelson Rodríguez CI:26061981
Maturín, noviembre 2017
2. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al
anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la
progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los
términos, a1.
an = a1 + (n - 1) d.
3. FORMULAS:
Término general.
an = a1 + ( n - 1 ) · d
.an=numero de términos
.a1:primer termino
n:numero de elementos.
d:Razon
.a1=an-d(n-1)
Diferencia
En una progresión aritmética se cumple que:
a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ... = d
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
Suma de los n primeros términos de una
progresión aritmética
interpolación de términos aritméticos.
Razón de progresión.
4. Si a t pertenece a la progresión aritmética: a 1 , a 2 , . . . . . . . , a n ,
entonces:
a t = a 1 + ( t – 1 ) d
Ejemplo: Si los números: 7 , 15 , 23 , . . . . . . . , 55 forman una
progresión aritmética. Calcule el quinto término de ella.
PROPIEDADES
Respuesta:
d = 15 – 7 = 8
a 5 = 7 + ( 5 – 1 ) × 8 = 39
2 ) Si a t y a r pertenecen a la progresión
aritmética: a 1 , a 2 , . . . . . . . , a n , entonces:
a t – a r = ( t – r ) d
5. Ejemplo: Si la diferencia ( d ) de una progresión aritmética es 4 y su séptimo término es 10 .
Calcule su tercer término.
Respuesta:
a 3 – a 7 = ( 3 – 7 ) × 4
a 3 – 10 = – 16
a 3 = 10 – 16 = – 6
SUMA DE N TÉRMINOS
La suma de los n términos ( S n ) de la progresión aritmética: a 1 , a 2 , . . . . . . . , a n ,
está dada por:
Ejemplo: Calcula la suma de los términos de la siguiente progresión
aritmética: 2 , 9 , 16 , 23 , 30 , 37 , 44 , 51 , 58 .
6. P.A. APLICADAA LAADMINISTRACIÓN EJERCICIOS
Un hombre compro una casa a comienzos de 1945 en bs
10000 si aumenta de valor bs 500 por año cuanto costara al
final de 1959.
a1=1000 an=a1+d(n-1)
d=500 a14 =a1+d(14-1)
a14=? a14 =1000+500(14-1)
n=14 a14 =16500
7. EN EL PRIMER AÑO DE NEGOCIOS UN HOMBRE GANO 500BS Y EN
EL ÚLTIMO GANO 1900BS, SI EN CADA AÑO GANO 200 MÁS QUE
EL AÑO ANTERIOR ¡CUANTOS AÑOS ESTUVO EN EL NEGOCIO?
a1=500 an=a1+d(n-1)
an=900 an-a1=dn-d
d=200
n=? n= an-a1+d n=900-500+200 =8 n=8
d 200
8. En los últimos 8 meses, la cantidad de clientes de una empresa se han
incrementado en progresión aritmética desde 2 hasta 5 actualmente.
¿cual es la tasa de incremento?¿cuantos clientes hay en el periodo
intermedio?
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
a_n 2 2,375 2,75 3,125 3,5 3,875 4,25 4,625 5
10. FORMULAS
Término general de una progresión geométrica
1. Si conocemos el 1er término.
an = a1 · rn-1
Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
an = ak · rn-k
a4= 24, k=4 y r=2.
an = a4 · rn-4
an = 24· 2n-4= (24/16)· 2n = (3/2) · 2n
11. INTERPOLACIÓN DE TÉRMINOS EN UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión
geométrica que tenga por extremos los números dados.
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Ejemplo:
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48
12. Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica
Producto de dos términos equidistantes
Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto
de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.
ai . aj = a1 . an
13. P.G. APLICADAA LAADMINISTRACIÓN
Un padre proyecta depositar en el banco 1 dólar el día en que su hijo
cumple un año y duplicar la cantidad en cada uno de los cumpleaños de
su hijo. ¿Cuánto tendría que depositar al cumplir su hijo 20 años?
a1=1
r=2
luego la sucesión comenzaría por.1,2,4,8…
a20=a1.rn-1
a20= 1.220-1 a20= .219 =524288
14. La población de un cierto país ha aumentado durante 5 años, en
progresión geométrica ,de 200 000 habitantes a 322 102 ¿Cuál ha
sido la razón del aumento?
n= 6
a1=200 000 a6=a1rn-1
a6= 322 102
a6=a1r6-1 a6=a1r5
r=
𝟓
𝒂𝟔/ 𝒂𝟏
a6=
5 322102
200000
=
5
161051
