2. Se llama Retículo a un conjunto R, entre cuyos elementos se han definido
dos operaciones, llamadas Unión el intersección, y representadas por los símbolos È y Ç
respectivamente, tales que si A y B son dos elementos arbitrarios de R, A È B y A Ç B
existen, son únicos y pertenecen a R
Retículo
3. Ejemplos:
• Si X es un conjunto totalmente ordenado, entonces X es un
retículo.• El conjunto ordenado (N,|) es un retículo. En este caso se
tiene que x˅y = mcm(x,y) mientras que x˄y = mcd(x,y).
• Si V es un K-espacio vectorial, el conjunto de los subespacios
vectoriales de V es un retículo, con el orden dado por la inclusión.
Aquí, dado dos subespacios vectoriales V1 y V2 se tiene que V1˅V2 =
V1+V2 mientras que V1˄V2 = V1∩V2.
• El conjunto representado por eldiagrama de Hasse de la figura 5,
es un retículo. Se tiene, por ejemplo: c˅d = f, c˄d = a, b˅c = f, b˄c =
0, c˅e = 1, c˄e = 0.
Retículo
4. Asociatividad. Para tres elementos cualesquiera, A, B, C, de R se cumple que:
A È (B È C) = (A È B) È C ý A Ç (B ÇC) = (A Ç B) Ç C
Conmutatividad. Para dos elementos cualesquiera A, B, de R se cumple que:
A È B = B È A ý A Ç B = B Ç A
Idempotencia. Para todo elemento A de R se verifica que: A È A = A ý A Ç A =
A
Ley de Simplificación. Si A y B son elementos arbitrarios de R se verifica que:
(A È B) Ç A = A ý (A Ç B) È A = A
De acuerdo con esta definición se puede comprobar que el conjunto de las partes de
un conjunto R(U) es un retículo.
Se cumple también la siguiente propiedad:
Si A y B son elementos de un retículo R, se verifica que: A B = B <=> A B = A
Propiedades de Retículo
5. Un diagrama de Hasse es un representación de un conjunto
parcialmente ordenado finito. La representación se hace mediante un
grafo, o sea un diagrama que consta de nodos y aristas. Supongamos
que tenemos una relación R en A que es relación de orden.
Primeramente sabemos que es reflexiva, anti simétrica y transitiva.
Formamos el grafo con los elementos de A, estos son los nodos, y las
aristas son conexiones entre nodos relacionados, en este caso es un
grafo dirigido. La primera condición es que si dos elementos están
relacionados, digamos (a,b) ∈ R entonces dibujamos b a un nivel
superior de a.
Un diagrama de Hasse elimina la necesidad de representar
lazos, puesto que se tiene que la relación parcialmente ordenada es
reflexiva.
Puesto que la transitividad también está implicada, se puede
prescindir de mostrar líneas entre elementos que tengan un elemento
intermedio relacionado, pues se sobrentienden.
Con estos diagramas las relaciones de orden son muy fácil de
representar y sobretodo de entender.
Diagrama de Hasse
6. Ejemplo A:
Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6,
10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores
de 60). Este conjunto está ordenado
parcialmente por la relación de
divisibilidad (D60,|). Su diagrama de
Hasse puede ser representado como
sigue:
Ejemplo Diagrama de Hasse
Ejemplo B:
Los diagramas de Hasse son útiles
para darse cuenta de si dos c.p.o.’s
son isomorfos o no. Por ejemplo el
c.p.o. Tiene el siguiente diagrama:
Lo que hace evidente el isomorfismo con
({1, 2, 3, 6}, |).
7. Definición : Sea X un conjunto, y ≤ una relación binaria en X. Se dice que ≤ es una relación de
orden si se verifican las siguientes propiedades:
Reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ X.
Antisimétrica: Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.
Transitiva: Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.
Si X es un conjunto en el que tenemos definida una relación de orden ≤, se dice que (X, ≤) es
un conjunto ordenado (o, si está claro cual es la relación ≤ se dice simplemente que X es un conjunto
ordenado).
Si ≤ es una relación de orden en X que satisface la propiedad adicional de que dados x, y ∈ X
entonces x ≤ y ó y ≤ x, se dice entonces que ≤ es una relación de orden total, y que (X, ≤) (o X) es un
conjunto totalmente ordenado (en ocasiones, para destacar que (X, ≤) es una relación de orden, pero que
no es total se dice que ≤ es una relación de orden parcial y que (X, ≤) es un conjunto parcialmente
ordenado).
Conjunto Ordenados
8. 1. El conjunto de los números naturales, con el orden natural (m ≤ n si existe k
∈ N tal que n = m+k)
es un conjunto totalmente ordenado. De la misma forma, también lo son (Z, ≤),
(Q, ≤) y (R, ≤).
2. Dado un conjunto X, entonces P(X), con el orden dado por la inclusión es un
conjunto ordenado.
Si X tiene más de un elemento, este orden no es total, pues dados x, y ∈ X
distintos se tiene que
{x} 6⊆ {y} y {y} 6⊆ {x}.
3. En el conjunto de los números naturales, la relación de divisibilidad es una
relación de orden que
no es total. Sin embargo, en el conjunto de los números enteros esta relación no
es de orden pues
no es antisimétrica, ya que 2| − 2, −2|2 y sin embargo 2 6= −2.
4. Para cualquier número natural n consideramos el conjunto
D(n) = {m ∈ N : m|n}
Entonces (D(n), |) es un conjunto (parcialmente) ordenado.
Ejemplo de Conjunto Ordenados
9. Es una función que preserva la estructura entre
dos estructuras matemáticas relevantes. La noción de
homomorfismo se estudia abstractamente en el álgebra
universal, y ése es el punto de vista tomado en este
artículo. Una noción más general de morfismo se estudia
abstractamente en la teoría de las categorías
Homomorfismo
10. Ejemplo de homomorfismo
Comprobamos si f es un homomorfismo:
∀x,y∈G:f(x∗y)a∗(x∗y)∗a−1(1)←→−a∗x∗y∗a−1(1)←→−a∗x∗e∗y∗a−1=
=a∗x∗a−1∗a∗y∗a−1=(a∗x∗a−1)∗(a∗y∗a−1)=f(x)∗f(y)
En (1) hemos aplicado la propiedad asociativa y en (2) la definición de
elemento neutro. Con todo ello hemos demostrado que la aplicación es
homomorfismo. Para que sea isomorfismo se ha de tener:
∀x∈Kerf:f(x)=e;a∗x∗a−1=e
Operando con a por la derecha:
a∗x∗a−1∗a→e∗a=a=a∗x
Operando con a−1 por la izquierda en el último resultado:
a−1∗a=a−1∗a∗x→e=e∗x→e=x
Y, por lo tanto, la aplicación dada si es isomorfismo.
