El documento presenta 12 problemas resueltos de matemáticas del examen ONEM 2012 Nivel I. Los problemas incluyen cálculos de tiempo, números de dígitos, conjuntos de números, y operaciones aritméticas. Se provee la solución detallada para cada problema.

1. 2012
ONEM 2012 – NIVEL I
CON MÉTODO SENCILLO DE
COMPRENDER
JBMP - CAÑETE
J. BORIS MENDOZA PORTOLATINO

2. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
1. Cuando viaje de Lima a Huancayo en bus me
informaron que servían la cena justo a la mitad del
viaje. Si salí de Lima a las 06:00 pm y llegue a
Huancayo a las 11:20 pm. ¿a qué hora sirvieron la
cena?
A. 08:00 pm
D. 08:40 pm
B. 08:50 pm
E. 08:45 pm
C. 08:20 pm
2. Tengo 11 naranjas y 13 manzanas. ¿Cuántas frutas
debo comer como mínimo para que el número de
manzanas sea el doble del número de naranjas?
A. 7
B. 6
C. 5
D. 3
E. 9
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
Primero hay que
saber cuánto tiempo
transcurrió desde que
partimos hasta que
llegamos
Es necesario comer
una cantidad IMPAR
de manzanas para que
pueda quedarme una
cantidad par.
Y eso es:
11:20 pm - 06:00 pm.
Nos da 5horas 20min
Y en la mitad del
camino sirvieron la
CENA,
es
decir
cuando pasó 2h y
40min.
También es necesario
comer
una
cierta
cantidad de Naranjas.
Sea “X” la cantidad de
Naranjas que comeré y
sea “Y” la cantidad de
Manzanas que comeré.
2(11-X) = 13 – Y
22 – 2X = 13 – Y
9 = 2X - Y
Ahora busquemos el
mínimo.
La CENA lo sirvieron a
las 6:00 + 2h y 40min.
08:40
Página
2
Para comer la mínima cantidad es necesario que tanto
“X” como “Y” sean los mínimos posibles.
Eso ocurre cuando X = 5 y Y = 1
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3. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
3. En el colegio Laura tiene cada mañana 6 clases de 1
hora pedagógica cada una. Además tiene dos recreos
de 20 minutos cada uno. Si se sabe que 1 hora
pedagógica equivale a 45 minutos y que las clases de
Laura empiezan a las 08:00a.m. ¿A qué hora terminan
las clases?
A. 01:20 pm
D. 02:10 pm
B. 12:30 pm
E. 01:10 pm
4. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de la suma
de sus dígitos?
A. 2012
D. 2015
B. 2013
E. 2016
C. 2014
RESOLUCIÓN:
C. 02:40 pm
Haber:
2012 tiene como suma de
cifras 5
RESOLUCIÓN:
o
Luego 2012  5
2013 tiene como suma de
cifras 6
El tiempo que dura mi
clase es: 6 clases de
una hora pedagógica
+ 2 recreos
o
Luego 2013  6
2014 tiene como suma de
cifras 7
o
Luego 2014  7
2015 tiene como suma de
cifras 8
Esto es:
6x45 + 2x20 = 270+40
= 310 min
o
Luego 2015  8
Por lo tanto la respuesta
es 2016 ya que tiene
como suma de cifras a 9
Además:
310 min es:
5 horas y 10min
Luego Salgo a
8:00 +5h y 10min
01: 10 pm
o
2016 = 9
CLAVE E
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4. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
5. Dos equipos de futbol, a modo de entrenamiento, pactan
a jugar 8 partidos durante el verano. En cada partido, el
equipo ganador recibe 3 puntos y el perdedor 0 punto.
En caso de empate cada equipo recibe 1 punto. Luego
de los 8 partidos los dos equipos suman 22 puntos,
¿Cuántos partidos terminaron en empate?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
6. En un salón de clase, el 70% aprobó matemáticas, el
80% aprobó comunicación y el 60% aprobó ambos
cursos. ¿Qué porcentaje no aprobó ninguno de los dos
cursos?
A. 10%
B. 20%
D. 40%
E. 50%
RESOLUCIÓN:
RESOLUCIÓN:
Consideremos al total
de alumnos como el
100%, y como son dos
cursos, eso nos da la
idea de usar conjuntos.
Llamemos a los equipos
A y B, Si el equipo A
gana
“X”
veces,
entonces el equipo B
pierde “X” veces
Si el equipo A pierde “Y”
veces,
entonces
el
equipo B gana “Y”
veces, entonces los
partidos
empatados
sera 8 –(X+Y)
C. 30%
Mat. 70%
10%
Com. 80%
60% 20%
Se puede hacer una tabla de
puntajes
Gana
Pierde
Empata
A
X
Y
8-(X+Y)
B
Y
X
8-(X+Y)
PTS
3(X+Y)
0
16-2(X+Y)
Del gráfico podemos
observar que en los
conjuntos hay un total
de 90%, entonces el
10% faltante está fuera
de ellos (NO APROBÓ
LOS CURSOS)
Sumando los puntos de ambos
equipos tenemos 16+(X+Y) y
esto por dato del problema es
22, entonces:
16+(X+Y) = 22
(X+Y) = 6 (Entre ganados y
perdidos) y como se han jugado
8 partidos, entonces empatan 2
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4
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5. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
7. Los números de tres dígitos a7b , b8a y 9ac tienen
suma 2012. Calcula el valor de b.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
RESOLUCIÓN:
Al sumar en forma
vertical tenemos:
a7b +
8. Considere todos los números naturales que usan
exclusivamente los dígitos 0, 1, y 2 estos números son
ordenados de menor a mayor para formar una lista
infinita:
1, 2, 10, 11, 12,…, 2010, 2011, 2012, a, b, c, d,…
Calcula el valor de d – a.
A. 81
b8a
9ac
B. 88
C. 80
D. 89
E. 82
RESOLUCIÓN:
2012
En
las
unidades
tenemos que:
a + b + c =…2
Ahora podemos pensar
que es 2 ,12 o 22
Después
del
continua 2020,
2022, 2100, ….
Ahora lo que puedo llevar
en la columna de las
decenas es 2 , 1 o bien
nada. Con esto se puede
deducir en la columna de
las decenas que “a” puede
ser … 4 , 5 ó 6
2012
2021,
Entonces a = 2020
d = 2100
d – a = 2100 -2020
d – a = 80
Si a + b + c=2
Entonces a= 6 (IMPOSIBLE)
Si a + b + c= 12
Entonces a= 5 y b + c=7
y llevaría 2 en las decenas
y tendría que a + b = 9
por lo que b = 4
CLAVE C
Página
5
Si a + b + c = 22, entonces a = 4 y b + c = 18 , por lo que
b= 9 y c= 9 ,además en la columna de las centenas
tendría que a + b = 9 y como a=4 entonces b= 5 (que
contradice lo anterior)
Por lo tanto b = 4
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6. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
9. Los números del 1 al 8 deben ser ubicados en los
círculos (uno numero en cada circulo) de tal forma que
la suma de los números de tres círculos alineados sea
siempre 14. ¿Cuál es el número que debe ser ubicado
en el círculo que está marcado con una X?
10. ¿Cuántos días martes, como máximo, puede haber en
60 días consecutivos?
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
E. 11
RESOLUCIÓN:
X
Podemos encontrar la
máxima cantidad de
martes, cuando dicho
mes empieza en este
día
7
A. 1
B. 4
C. 5
D. 6
E. 8
RESOLUCIÓN:
Como la suma en la cada línea de 3
círculos es 14 y al observar la figura nos
damos cuenta que el 7 está al centro de
tres líneas.
Entonces los extremos del 7, tienen que
sumar 7, por lo que en ningún extremo
se encontrará el 8
Y el único lugar para el 8 es donde se
encuentra la X.
D
L
6
13
20
27
3
10
17
24
7
14
21
28
4
11
18
25
M
1
8
15
22
29
5
12
19
26
X
2
9
16
23
30
6
13
20
27
J
3
10
17
24
31
7
14
21
28
V
4
11
18
25
1
8
15
22
29
S
5
12
19
26
2
9
16
23
30
8
1
Y en este año lo
podemos encontrar
en los meses de
MAYO y JUNIO
4
X=8
5
2
7
6
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6
3
Por lo tanto podemos encontrar
como máximo 9 martes en 60 días
consecutivos
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7. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
11. José debe comprar alfajores para 5 personas, dándole
a cada uno la misma cantidad de alfajores. En la
panadería solo venden alfajores en cajas de 2 ó 7
unidades. ¿Cuántas cajas debe comprar José como
mínimo?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. Halla el mayor entero positivo “ n ” para el cual se
n
cumple que 3 es un divisor del número 112266.
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
E. 5
RESOLUCIÓN:
Empezaremos a resolver
este problema
descomponiendo el
número 112266:
11x10000 + 22x100 +66
6
11(10206) = 11x2x3 x7
Se compra alfajores para 5
personas y a cada uno se
da por igual cantidad, esto
quiere decir que se
comprará una cantidad
múltiplo de 5
Se “X” la cantidad de cajas
de 2 alfajores y sea “Y” la
cantidad de cajas de 7
alfajores.
Luego tendremos:
Como podemos
apreciar el máximo
valor de “n” es 6
0
2X + 7Y = 5
Luego:
0
0
2X + (2+ 5 ) Y = 5
0
2X + 2Y = 5
0
2(X + Y) = 5
CLAVE D
0
X+Y= 5
El mínimo es: X + Y = 5
Página
7
Por ejemplo puedo comprar 3 cajas de 2 alfajores
cada uno y 2 cajas de 7 alfajores cada uno y tendría:
3x2 + 2x7 = 6 +14 = 20 alfajores
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8. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
13. Sea N un número de cuatro dígitos tal que sus cuatro
son distintos. Al multiplicar N por 9 se obtiene un
número de 4 dígitos, que tiene los mismos dígitos de
N pero en orden inverso. Calcula la suma de los
cuadrados de los dígitos de N .
A. 112
B. 130
C. 132
D. 146
2
3
14. Sean a, b, c dígitos tales que ba = cb . Calcula el
valor de a + b + c.
A. 11
B. 12
C. 15
D. 18
E. 19
RESOLUCIÓN:
E. 227
RESOLUCIÓN:
De
la
condición
del
problema se puede observar
que
ba 
3
cb , esto nos
quiere decir que cb es un
cuadrado perfecto
Sea abcd el número.
Luego según el problema:
9 x abcd =
abcd x
9
dcba
dcba
Se deduce que “a” debe
ser 1, ya que si fuera otro
valor el resultado ya no
sería de 4 cifras
cb
cb
16
25
36
49
64
81
4
5
6
7
8
9
cb
64
125
216
343
512
729
3
1bc9 x
Como a =1  d = 9 y
b= 0 ó 1, entonces:
9cb1 C .9 + 8 =…b
Además
Si b= 1
Se tendría que C=7
¡NO cumple con los datos!
9
Del cuadro anterior podemos ver que el único valor que
cumple las condiciones es cuando cb =16, por lo que
ba =64, luego:
a + b + c = 4 + 6 + 1 = 11
Si b=0, entonces:
Se tendría en C .9 + 8 =…b
que:
C=8
CLAVE A
¡Cumple con todos los datos!
Página
8
Luego el número N es: 1089 y la suma del cuadrado de
2
2
2
2
sus cifras será: 1 +0 +8 +9 = 146
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9. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
15. En un concurso de matemática están participando
algunos colegios con una delegación de 3 alumnos
por cada colegio. Todos los alumnos participantes
hicieron una cola para recoger sus credenciales.
Sandra, Raúl y Tomas son alumnos del mismo
colegio. Cuando todos los alumnos estaban en la
cola, Sandra se dio cuenta que adelante de ella había
la misma cantidad de alumnos que había detrás de
ella, además, Raúl y Tomas estaban algunos lugares
más atrás que ella: Raúl en el lugar 19 y Tomas en el
lugar 28. ¿En que lugar estaba Sandra?
A. 14
B. 17
C. 15
D. 18
“n” alumnos
…
19º
…
28º
A. S/.5, 00
D. S/. 6, 00
B. S/. 5, 40
E. S/. 7, 20
C. S/. 5, 80
RESOLUCIÓN:
Sea “X” la cantidad de
latas de COCOA.
Sea “m” el precio de cada
lata de COCOA.
E. 16
RESOLUCIÓN:
...
16. Una lata de café cuesta S/. 10 y se vende a S/. 14, es
decir, ganando el 40% (sobre el precio de costo). En
cambio, una lata de cocoa se vende ganando el 20%.
Si la cantidad de latas de café vendidas es el doble de
las de cocoa, y se sabe que la ganancia total fue del
36%, ¿a cuánto se vendió cada lata de cocoa?
…
“n” alumnos
Partimos de que la cantidad de alumnos en la fila
es múltiplo de 3. Si Sandra está más adelante que
Raúl (que esta en 19º puesto), entonces ella podría
estar en el puesto 18 y delante de ella habría 17
alumnos y detrás de ella también (cosa que es
imposible) ya que en la fija habría 35 alumnos
(que no es múltiplo de 3)
En CAFÉ:
El precio de compra es 20X
y se gana 4. (2X)
En COCOA:
El precio de compra es mX y
se gana 20%m.X
Luego:
8X +20% m X =36% (20X +m X )
8+20% m =36% (20+m )
800+20m =36(20+m )
Si Sandra estaría en el puesto 17, entonces la
cantidad de alumnos en la fila seria 33 (si es posible),
Si estaría en el puesto 16, entonces la cantidad de
alumnos en la fila seria 31 (NO es posible), Si estaría
en el puesto 15, entonces la cantidad de alumnos en
la fila seria 29 (NO es posible) y si estaría en el puesto
14, o antes No sería posible ya que se tendría una
cantidad de alumnos que es menor que 28 (que es el
CLAVE B
lugar que se encuentra TOMAS).
800+20m =720+36m
80=16m
S /.5 =m
Por lo tanto cada lata de lata de COCOA
Se vende en 5 + 20%5 = S/.6
Página
9
CLAVE D
Sandra esta el puesto 17
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10. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
17. En clase de matemática, el profesor a pedido a sus
alumnos que encuentran n números enteros cuya suma
es 0 y cuyo producto sea n. Después de varios
minutos algunos de sus alumnos dijeron lo siguiente:




Ana dice: Yo creo que no existe un número “n”
con esas propiedades.
Beatriz dice: Yo creo que si existe y que dicho
numero es par.
Carlos dice: Yo en cambio, creo que “n” debe ser
impar.
David dice: Yo creo que “n” puede ser par y que
también puede ser impar.
¿Cuál de ellos tiene razón?
A. Ana
D. David
B. Beatriz
C. Carlos
E. Ninguno tiene razón
RESOLUCIÓN:
Empecemos el análisis
diciendo que si tengo una
suma formada sólo por
1 y -1, estos se podrán
anular siempre y cuando la
cantidad de 1 sea igual a la
cantidad de -1
Echemos un vistazo que pasaría si el “n”
fuera una cantidad impar.
Para que el producto de los números sea
“n”, deben aparecer los factores de “n”
(que puede ser PAR o IMPAR) y los 1 y -1.
Si la cantidad de factores de “n”
es PAR tendría que aparecer
también una cantidad PAR de -1
para que lo anulen, pero como:
#PAR + #PAR = #PAR
Estarían faltando otra cantidad
IMPAR formada por 1 y -1, pero
estos no podrán anularse, ya que
estos se anulan solo para
cantidades pares.
Si la cantidad de factores de “n”
es IMPAR tendría que aparecer
también una cantidad IMPAR de 1 para que lo anulen, pero como:
#IMPAR + #IMPAR = #PAR
Estarían faltando una cantidad
IMPAR formada por 1 y -1, pero
estos no podrán anularse ya que
siempre se anulan de dos en dos
Ahora un número impar se
puede descomponer como el
producto de una cantidad
par de factores o una
cantidad impar de factores.
Ejemplo: 105 = 1 x 105
105 = 5 x 21
105 = 3 x 5 x 7
Con esto concluimos que “n” no puede
ser IMPAR, pero si puede ser PAR, como
por ejemplo.
n=4
-1+1+2-2 =4
CLAVE B
Página
10
Es decir la cantidad de 1 y
-1 como grupos de dos
elementos tiene que ser
PAR: (1-1) + (1-1) + (1-1)
+…. (1-1) =0
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11. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
18. Andrés le dice a Raquel que él ha escrito en su
cuaderno 5 enteros distintos y también le dice la
suma de esos 5 números. Con esa información
Raquel puede saber con seguridad que números
escribió Andrés. ¿Cuántos valores puede tomar la
suma de los números de Andrés?
A. 1
B. 5
C. 2
D. 4
E. 3
¿Y se podrá con 17?
1+2+3+4+7 = 17
1+2+3+5+6 =17
¡NO, tiene que ser sólo de
una forma, para que exista
certeza!
RESOLUCIÓN:
Del
problema
puedo
darme cuenta que cuando
Andrés le dice la suma de
los 5 números enteros,
Raquel ESTÁ SEGURA de
cuáles son los números.
Esto quiere decir que NO
existe otra posibilidad para
los números cuando se
conoce la suma.
Pensemos ahora en los
posibles números.
Una estrategia seria
empezar
en
los
NUMEROS menores:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
No hay otra forma de
expresar 15 como la
suma de cinco números
diferentes.
Si la suma toma valores mayores que 16 se incrementa
la cantidad de formas de expresarlo como la suma de
cinco números.
Ejemplo:
1+2+3+5+7 =18
1+2+3+4+8 =18
1+2+3+4+9 =19
1+2+3+5+8 =19
.
.
.
Por lo tanto, sólo existen 2 formas de expresar la suma
de estos cinco números y estar seguros de cuáles son
los números.
11
Vamos si es posible
expresar 16 como la
suma de cinco números
diferentes y que sea sólo
de una forma.
1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16
Página
CLAVE C
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12. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
19. Al sumar tres números de dos dígitos cada uno, se
obtuvo como resultado un número de 3 dígitos, como
se muestra a continuación:
+
Si los 9 dígitos empleados son diferentes y ninguno es
igual a cero, determine el mayor valor que puede tomar
el número de 3 dígitos y de cómo respuesta el producto
de esos 3 dígitos.
A. 12
B. 20
C. 24
D. 40
Hagamos algún intercambio de
uno de los números de las
decenas por uno de las unidades,
pero siempre tratando de
mantener el máximo valor del
número de 3 cifras
E. 50
RESOLUCIÓN:
Pensemos en un primer
intento que pasaría si las
cifras de las decenas de
los números de 2 cifras
fueran máximas
Es decir:
9
7
1
4
3
+
De esta manera hemos podido acomodar los números 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9
+
Y podemos decir que el resultado es el mayor, porque sólo
se intercambio el menor número de las decenas.
8
7
2
5
8
2
6
9
Es decir:
Bueno la suma es 243 y sólo puede ser 243, para que sea
máximo.
5
Por lo tanto el producto de los dígitos del número de tres
cifras es: 2 x 4 x 3 =24
En el caso anterior no
sería posible acomodar al
CLAVE C
1, 3, 4 y 6
Página
12
en las unidades
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13. SOLUCIONARIO ONEM 2012
PRIMERA FASE - NIVEL I
20. ¿De cuantas formas se pueden ordenar los números
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en una fila de tal forma que los
números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, aparezca en ese orden pero
en cambio, los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 no
aparezcan en ese orden?
Entonces la cantidad total formas de elegir
los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 de los 9 que hay
es:
36 x 2! = 72
Ejemplo: Una forma de ordenar los números 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 de tal forma que se cumplan las
condiciones requeridas es 129384567.
A. 63
B. 56
C. 64
D. 55
E. 72
RESOLUCIÓN:
Que los números
aparezcan en el orden 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, no quiere
decir que aparezcan en
forma consecutiva
Ahora a esta cantidad hay que
quitarle todos los que estarán
en este orden:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
ya que estos grupos estarán
incluidos en el grupo anterior
y de manera similar
procedemos hallarlo.
--------Primero escogeremos 7
casilleros de los 9 que hay
para los números 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7 de tal manera que
mantengan ese orden
Para ello utilizamos una
técnica de conteo “LA
COMBINACION”, esto nos
permitirá saber la cantidad
de GRUPOS de:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
9
C7 
9
C8 
9!
=9
8!.1!
Y por cada grupo formado el
que queda no tendrá opción
a cambiar de lugar.
Finalmente restamos
las dos cantidades
halladas:
72 – 9 = 63
9!
= 36
7!.2!
CLAVE A
Página
13
Y las otras dos casillas
restantes pueden cambiar
de lugar 2!
Prof.: J. Boris MENDOZA PORTOLATINO
Correo: uni451@msn.com
RPC: 993074361