ejercicios

1. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
1
CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCION REAL DE VARIABLE REAL
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando tratamos de
funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de variación de la función en un
tiempo determinado o para un valor determinado de la variable, se puede entender como una
variación media cuando el intervalo usado para la obtención de dicha media tiende a cero. Así la
derivada es el límite de la tasa de variación media alrededor de un valor de la variable cuando el
intervalo de medición tiene a cero.
Saber calcular la derivada de una función en un punto, para determinar cómo va cambiando el
valor de la función en el punto considerado. En esta guía se presentan ejercicios para que el
alumno aprenda como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a efectuar
diversas derivaciones sobre una misma función. Y como abordar los problemas de aplicación
utilizando el concepto de variación o taza con respecto al tiempo.
DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO DESDE EL CONCEPTO DE LIMITE
Decimos que una función f(x) es derivable en un punto a si existe el siguiente límite
lim
ℎ→0
𝑓( 𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
La derivada de una función f(x) en un punto es un número real que mide cómo está creciendo la
función f(x) en relación con la variable independiente, en dicho punto de la variable. Es importante
destacar que si una función f(x) presenta una discontinuidad en un punto, no existe la derivada de
la función f(x) en ese punto. Dicho de otra manera, si una función f(x) es derivable en un punto,
tiene que ser continua en este punto, y si la función f(x) es continua, entonces la función f(x) tiene
derivada en cualquier punto de su dominio.
Interpretación geométrica de la derivada

2. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
2
La derivada de una función f(x) en un punto a se puede representar como la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto ( 𝑎,f(a)).
La derivada es esta tasa media de variación cuando el incremento de la variable tiende a cero
alrededor de un punto 𝑥 = 𝑎 o tasa instantánea de variación de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto
𝑥 = 𝑎 , la derivada de una función se nota de varias maneras:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=𝑎
𝑦′
𝑓′
(𝑥)| 𝑥=𝑎
Con la idea es bastante clara de lo que es la derivada y cuál es su utilidad, presentamos algunas
derivadas inmediatas que se tomaran como herramienta que nos permitirán calcularlas sin tener
que aplicar la definición de limite.
1. La derivada de una función constante es cero
𝑓( 𝑥) = 𝑘 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′ ( 𝑥) = 0
2. La derivada de una variable con respecto a dicha variable es uno(1)
𝑓( 𝑥) = 𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓( 𝑥) 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′ ( 𝑥) = 1
3. Derivada de una constante por una variable es la constante por la derivada de la variable
𝑓( 𝑥) = 𝑘𝑥 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′ ( 𝑥) = 𝑘(1)
4. La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de las funciones
𝑓( 𝑥) = 𝑔1
( 𝑥) + 𝑔2
( 𝑥), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′( 𝑥) = 𝑔1
′( 𝑥) + 𝑔2
′( 𝑥)
5. La derivada de una resta de funciones es la resta de las derivadas de las funciones
𝑓( 𝑥) = 𝑔1
( 𝑥) − 𝑔2
( 𝑥), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′( 𝑥) = 𝑔1
′( 𝑥) − 𝑔2
′( 𝑥)
6. Derivada de una función potencia
𝑓( 𝑥) = 𝑥 𝑛
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓′ ( 𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1
7. Derivada del producto de dos funciones ℎ( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) × 𝑔( 𝑥)
ℎ( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) × 𝑔( 𝑥), 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 ℎ′ ( 𝑥) = ( 𝑓′ ( 𝑥) × 𝑔( 𝑥)) + ( 𝑓( 𝑥) × 𝑔′( 𝑥))
8. Derivada del cociente de dos funciones ℎ( 𝑥) =
𝑓 (𝑥)
𝑔(𝑥)
ℎ( 𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, 𝑐𝑜𝑛 𝑔( 𝑥) ≠ 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ℎ′( 𝑥) =
( 𝑔( 𝑥) × 𝑓′ ( 𝑥)) − ( 𝑓( 𝑥) × 𝑔′ ( 𝑥))
[ 𝑔(𝑥)]2

3. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
3
9. Derivada de la función raíz 𝑓( 𝑥) = √𝑥 𝑚𝑛
= 𝑥
𝑚
𝑛
𝑓( 𝑥) = √𝑥 𝑚𝑛
= 𝑥
𝑚
𝑛 , 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑓′ ( 𝑥) =
𝑚
𝑛
𝑥
𝑚
𝑛
−1
10. Derivada de la función logaritmo natural
𝑓( 𝑥) = ln( 𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
𝑓( 𝑥) = ln( 𝑥) , 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑓′ ( 𝑥) =
( 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
( 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)
=
1
𝑥
11. Derivada de la función exponencial 𝑓( 𝑥) = ex
𝑦 𝑓( 𝑥) = ax
𝑓( 𝑥) = ex
, 𝑓′ ( 𝑥) = ex
× ( 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒) × ln( 𝑒)
𝑓( 𝑥) = ax
𝑓′ ( 𝑥) = ax
× ( 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒) × ln( 𝑎) 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0

4. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
4
Ejercicios
Utilice las propiedades anteriores para calcular las derivadas de las siguientes funciones
𝑎). 𝑓(𝑥) = 5
𝑏). 𝑓(𝑥) = 7𝑥
𝑐). 𝑓(𝑥) = ( 𝑥2
− 4𝑥 + 4)
d). f(x) =( 𝑥3) ( 𝑥5)
𝑒). 𝑓( 𝑥) = (
𝑥 + 1
𝑥 − 1
)
𝑓). 𝑓( 𝑥) = 𝑙𝑛 (
𝑥3
− 𝑥
𝑥2 − 2𝑥
)

5. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
5
𝑔). 𝑓( 𝑥) = (√2𝑥 − 4)
ℎ). 𝑓( 𝑥) = (
√𝑥 + 2
𝑥
)
𝑖). 𝑓( 𝑥) = ( 𝑒 𝑥5
)
𝑗). 𝑓( 𝑥) = (
4
2𝑥 + 3
) ( 𝑒 𝑥5
)

6. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
6
𝑘). 𝑓( 𝑥) = √ 𝑥3 − 4𝑥
𝑙). 𝑓( 𝑥) =( 𝑥3
+ 4𝑥2
− 6𝑥)
𝑚) . 𝑓( 𝑥) = [
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥
] =

7. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
7
𝑛). 𝑓( 𝑥) = [
2𝑥2
− 𝑥 − 3
𝑥 + 1
] =
𝑜). 𝑓( 𝑥) = [
𝑥2
− 5𝑥 + 4
𝑥2 − 2𝑥 − 8
] =
𝑝). 𝑓( 𝑥) = [√3𝑥2 + 2𝑥 + 4] =
𝑞). 𝑓( 𝑥) = [
1 + 2𝑥
√𝑥 + 4
] =

8. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
8
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS CON ANGULO UNA VARIABLE
Función Derivada
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒄𝒐𝒔(𝒙) −𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒔𝒆𝒄 𝟐
(𝒙)
𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙) −𝒄𝒔𝒄 𝟐
(𝒙)
𝒔𝒆𝒄(𝒙) 𝒔𝒆𝒄(𝒙)𝒕𝒂𝒏(𝒙)
𝒄𝒔𝒄(𝒙) −𝒄𝒔𝒄(𝒙)𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒙)
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS CON ANGULO UNA FUNCION u(x)
Función Derivada
𝒔𝒆𝒏(𝒖) 𝒄𝒐𝒔(𝒖)𝒖′
𝒄𝒐𝒔(𝒖) −𝒔𝒆𝒏(𝒖)𝒖′
𝒕𝒂𝒏(𝒖) 𝒔𝒆𝒄 𝟐
(𝒖)𝒖′
𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒖) −𝒄𝒔𝒄 𝟐
(𝒖)𝒖′
𝒔𝒆𝒄(𝒖) 𝒔𝒆𝒄(𝒖)𝒕𝒂𝒏(𝒖)𝒖′
𝒄𝒔𝒄(𝒖) −𝒄𝒔𝒄(𝒖)𝒄𝒐𝒕𝒂𝒏(𝒖)𝒖′
Ejemplos
Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonométricas
a.) 𝒇(x) = 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)
𝒖 = 𝟐𝒙
𝒇( 𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒖)
𝒇′( 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒖)𝒅𝒖
𝒅𝒖 = 𝟐
𝒇′ ( 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒖)𝟐
𝒇′( 𝒙) = 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)
b.) 𝒉(x) = 𝒙 𝟐
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟐
𝒈( 𝒙) = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒉′( 𝒙) = 𝒇′( 𝒙) 𝒈( 𝒙) + 𝒇(𝒙)𝒈′
(𝒙)
𝒉′( 𝒙) = 𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏( 𝒙) + 𝒙 𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝒙)
c.) 𝒇(x) = 𝒔𝒆𝒏 𝟐
(𝒙)
𝒇(x) = ( 𝒔𝒆𝒏(𝒙)) 𝟐
𝒖 = 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝒇′( 𝒙) = 𝒇′( 𝒖) 𝒖′
𝒇′ ( 𝒙) = 𝟐𝒔𝒆𝒏( 𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)

9. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
9
REGLA DE LA CADENA PARA LA DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA
La composición de funciones no es otra cosa que el resultado de aplicar primero una y después la
otra. Es una operación básica que refleja algo habitual en cualquier proceso de transformación: lo
que se obtiene como resultado de una etapa pasa a ser insumo para la siguiente. Esto mismo es la
composición de funciones.
Función Compuesta

10. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
10
Dadas dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥), se llama función compuesta de 𝑓 y 𝑔, y escribimos 𝑔 𝑜 𝑓, a
aquella función en la que la imagen de un número real 𝑥 es el resultado de actuar sucesivamente
sobre 𝑥 primero la función 𝑓 y después la función 𝑔.
( 𝑔 𝑜 𝑓)( 𝑥) = 𝑔[ 𝑓(𝑥)] 𝑦 ( 𝑓 𝑜 𝑔) = 𝑓[ 𝑔(𝑥)]
Ejemplo
Sean las funciones 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑦 𝑔( 𝑥) = 3𝑥 + 2
La función compuesta ( 𝑓 𝑜 𝑔)( 𝑥) = 𝑓(3𝑥 + 2) = 2(3𝑥 + 2) − 3 = 6𝑥 + 1
La función compuesta ( 𝑔 𝑜 𝑓)( 𝑥) = 𝑔(2𝑥 − 3) = 3(2𝑥 − 3) + 2 = 6𝑥 − 7
La regla de la cadena se usa para derivar funciones compuestas, una función compuesta se
denota por 𝑔(𝑡( 𝑥)) , es decir, suponiendo tres conjuntos de números reales, X, Y, Z. Para cada
xque pertenece a X, el numero 𝑡(𝑥) está en Y. Como Y es el dominio de 𝑔 se puede encontrar la
imagen de 𝑡(𝑥) bajo 𝑔 . Este elemento en Z se denota por 𝑔(𝑡(𝑥)). Al asociar ( (𝑔(𝑡(𝑥) con 𝑥 se
obtiene una función de X a Z que se llama función compuesta.
En 𝑓( 𝑥) = 𝑔(𝑡( 𝑥)) donde 𝑢 = 𝑡(𝑥) , si 𝑔(𝑢) y 𝑡(𝑥) son derivables, entonces la derivada de esta
función compuesta está dada por 𝑓′ ( 𝑥) = 𝑔′
(𝑢)𝑡′
(𝑥), pero ya que 𝑢 = 𝑡(𝑥) , entonces la derivada
está dada por: 𝑓′ ( 𝑥) = 𝑔′
(𝑡(𝑥))𝑡′
(𝑥)
Ejemplo
Hallar la derivada de 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥2
+ 1)4
𝑢 = ( 𝑥2
+ 1) = 𝑡(𝑥)
𝑔( 𝑢) = ( 𝑢)4
𝑔′( 𝑢) = 4𝑢3
𝑡′( 𝑥) = 2𝑥
𝑓′ ( 𝑥) = 𝑔′( 𝑢) 𝑡′( 𝑥) = (4𝑢3)(2𝑥) = 4( 𝑥2
+ 1)(2𝑥) = 8𝑥3
+ 8𝑥
Ejercicios Hallar la derivada definiendo 𝑔( 𝑢) 𝑦 𝑡(𝑥) previamente
1. 𝑓( 𝑥) = (5𝑥3
+ 3)4
2. 𝑓( 𝑥) = √7 − 𝑥3
3. 𝑓( 𝑥) = 𝑒3𝑥2
4. 𝑓( 𝑥) =
3𝑥3
− 1
𝑥2 + 2

11. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
11
5. 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 + 4
𝑥 − 1
)
6. 𝑓( 𝑥) = √ln(𝑥2 + 1)
3
7. 𝑓( 𝑥) = 𝑙𝑛(3𝑥3
− 𝑥2)
8. 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2
− 1)
9. 𝑓( 𝑥) = cos(𝑒 𝑥2
+ 2𝑥)
10. 𝑓( 𝑥) = tan(𝑥2+3𝑥−2
)
11. 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥 + 4
𝑥 − 1
)
12. 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥 +
1
𝑥
)
4
Aplicación de la derivada para hallar la ecuación general de la recta tangente 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, a una
función real 𝑓(𝑥) en un punto dado 𝑥0 = 𝑎.
La ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥0 = 𝑎 viene dada por
𝑦 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′
(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
Ejemplo
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación 𝑦 = 𝑥2
+ 3𝑥 − 1 en el punto 𝑥 = 2
𝑓(𝑥) = 𝑥2
+ 3𝑥 − 1
𝑓(2) = 22
+ 3(2) − 1 = 9
𝑓′
(𝑥) = 2𝑥 + 3
𝑓′ (2) = 2(2) + 3 = 7
La ecuación de la recta tangente en el punto 𝑥 = 2
𝑦 = 𝑓( 𝑎) + 𝑓′ ( 𝑎)( 𝑥 − 𝑎)
𝑦 = 𝑓(2) + 𝑓′
(2)(𝑥 − 2)
𝑦 = 9 + 7(𝑥 − 2)
𝑦 = 9 + 7𝑥 − 14
𝑦 = 7𝑥 − 5
Ejercicios
Hallar la ecuacion general de la recta que es tangente a la funcion en el punto dado.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥2
+ 3) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1
2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔 (
1
𝑥
) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1
3. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥2
+ 3) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1
4. 𝑓( 𝑥) = (5𝑥3
+ 3)4
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 2

12. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
12
5. 𝑓( 𝑥) = √7 − 𝑥3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 0
6. 𝑓( 𝑥) = 𝑒3𝑥2
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 0
7. 𝑓( 𝑥) =
3𝑥3
− 1
𝑥2 + 2
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −1
8. 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥 − 1
) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 5
9. 𝑓( 𝑥) = √ln(𝑥2 + 1)
3
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1
10. 𝑓( 𝑥) = 𝑙𝑛(3𝑥3
− 𝑥2) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 1
11. 𝑓( 𝑥) = ( 𝑥2
− 1)3
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = −1
12. 𝑓(𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑦
𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑥 = 0
Derivación implícita
En ocasiones la relación entre dos variables no viene expresada explícitamente, es decir, con una
de ellas “despejada”, como en 𝑦 = 𝑥𝑙𝑛(𝑥2
+ 1), sino que viene dada mediante una relación entre
ambas (una ecuación), como en 𝑥2
𝑦 + 𝑦3
= 1. Se dice en estos casos que 𝑦 viene implícitamente
definida por dicha ecuación. Sin embargo, es posible, utilizando la Regla de la Cadena, derivar con
respecto de 𝑥 directamente en la ecuación. Para ello se deriva con respecto de 𝑥 en ambos
miembros de la ecuación, teniendo en cuenta que 𝑦 es una función de 𝑥: 𝑦 = 𝑦(𝑥). Por ejemplo,
en la ecuación anterior 𝑥2
𝑦 + 𝑦3
= 1 se tendría
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥2
𝑦 + 𝑦3) =
𝑑
𝑑𝑥
(1)
2𝑥𝑦 + 𝑥2
𝑦′
+ 3𝑦2
𝑦′
= 0
𝑦′( 𝑥2
+ 3𝑦2) + 2𝑥𝑦 = 0
𝑦′( 𝑥2
+ 3𝑦2) = −2𝑥𝑦
𝑦′
=
−2𝑥𝑦
( 𝑥2 + 3𝑦2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2𝑥𝑦
( 𝑥2 + 3𝑦2 )
Ejercicios
Hallar la derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑜 𝑦′
𝑜 𝑓′
(𝑥) de forma implícita a las siguientes ecuaciones
1. 𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
= 3
2. 𝑥2
+ 𝑦2
= 1
3. 6𝑥2
𝑦 + 5𝑦3
+ 3𝑥2
= 12 − 𝑥2
𝑦2
4. 𝑥3
− 𝑦3
= 𝑥𝑦 − 8
5. 𝑡𝑎𝑛( 𝑥 − 4𝑦) = 3𝑥 + 𝑦4

13. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
13
6. 5𝑥𝑦7
− 𝑦3
= 9𝑥 + 4𝑦
7. 5𝑥𝑦7
− 𝑦3
= 9𝑥 + 4𝑦
8. 𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛( 𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
9. 3𝑥2
+ 5𝑦3
− 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
10. 4𝑦8
𝑥 = 5𝑥2
− 7𝑦
11. 9 − 4𝑥2
𝑦3
= 6𝑦 + 3𝑥
12. 𝑦2
− 𝑦 = 𝑥2
− 𝑥
13. 11𝑥6
𝑦 − 11𝑥 𝑦6
= 3𝑥 − 12
14. 2𝑥𝑦 − 7𝑥 + 6𝑦 = 𝑦3
− 8𝑥5
15. 𝑥3
− 𝑦4
= 4𝑥6
𝑦2
16. 𝑦 = 2𝑥3
+ 7𝑦6
17. 𝑦 = 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑦
18. ln( 𝑦) + ln( 𝑥) = 𝑦 − 𝑥
Doctor:
David Luna Sanchez
Ministro de Tecnologías de la Información y las Comunicaciones

14. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
14
Respetado doctor Luna
Mi nombre es Luis maría hincapié Navarrete Docente de matemáticas de la UPN
de la 72 con 11 cerca del colegio de donde es egresado cc N19354953 talvez
por el año de 1993 0 1994 realice una licencia al profesor Oscar Zarate en el
gimnasio moderno a lo mejor no recuerda creo que fue en grado 6 o 7 y ahora
lo veo con gran orgullo como ministro de este tan importante ministerio.
Doctor Luna ahora soy profesor de la Universidad de la Guajira en Riohacha y
quería solicitarle de manera muy personal nos ayude con un proyecto de
comunicación para dotar un bloque académico que esta por terminar su
construcción de la infraestructura tecnológica de hardaware y software, somos
una universidad que dependemos de los recursos que el departamento entrega
de acuerdo a las regalías pactadas en acuerdos y ordenanzas, pero la verdad no
tenemos los recursos para terminar esta obra tan importante para nuestra
comunidad educativa.
Tenemos un proyecto ya escrito pero quisiera saber si dentro de su gestión aplica
para que nos puedan hacer una visita y explicarles detalladamente nuestras
necesidades tecnológicas.
Atención telefónica: PBX +57(1) 344 34 60 - Línea Gratuita: 01-800-0914014

15. GUIAS – DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE
REAL Y SUS APLICACIONES
15
Respetado doctor Luna
Mi nombre es Luis maría hincapié Navarrete Docente de matemáticas de la UPN
de la 72 con 11 cerca del colegio de donde es egresado cc N19354953 talvez
por el año de 1993 0 1994 realice una licencia al profesor Oscar Zarate en el
gimnasio moderno a lo mejor no recuerda creo que fue en grado 6 o 7 y ahora
lo veo con gran orgullo como ministro de este tan importante ministerio.
Doctor Luna ahora soy docente de matemáticas de la facultad de ingeniería de la
Universidad de la Guajira en Riohacha y quería solicitarle de manera muy
personal nos ayude con un proyecto de comunicación para dotar de la red WI-Fii,
actualmente dirijo un semillero de investigación que esta categorizado por
Colciencias y hemos desarrollado un aplicativo App para toda la comunidad
universitaria y el exterior y nos hace falta la red para poner en marcha este
aplicativo tan necesario para nuestra comunidad educativa.
Quisiéramos que desde su gestión se estudiara la posibilidad de dar solución a
este faltante en nuestra universidad
Anexo proyecto
Agradeciendo sus buenos oficios
Cordialmente
Luis Maria Hincapie N
Señor(a) Luis Maria Hincapie Navarrete, su solicitud ha sido radicada con el No. 846179,
tenga en cuenta este número para hacerle seguimiento a su solicitud