O slideshow foi denunciado.

Mais Conteúdo rRelacionado

Audiolivros relacionados

Gratuito durante 14 dias do Scribd

Ver tudo

Phan tu bac cao

  1. 1. MỘT SỐ LOẠI PHẦN TỬ BẬC CAO - Kh¸i niÖm ? PhÇn tö bËc cao lµ phÇn tö cã hµm chuyÓn vÞ lµ mét ®a thøc bËc 2 hoÆc cao h¬n. Th«ng th−êng, bËc cña phÇn tö cµng cao th× sè nót cña phÇn tö cµng nhiÒu - ý nghÜa cña phÇn tö bËc cao: + N©ng cao ®é chÝnh x¸c trong tÝnh to¸n, nã ph¶n ¸nh tèt h¬n tr¹ng th¸i øng suÊt thùc tÕ cña phÇn tö. + Gi¶m bít sè l−îng phÇn tö khi rêi r¹c ho¸ kÕt cÊu. + ThÝch hîp víi tr−êng hîp tèc ®é biÕn ®æi cña tr−êng chuyÓn vÞ lµ lín, vÝ dô ®èi víi vËt liÖu ®µn dÎo. 1 2 3 x=0 x = l/2 x=l - C¸c lo¹i phÇn tö bËc cao: (0,1) (1/2,1/2) (0,1) + PhÇn tö mét chiÒu bËc cao §å thÞ hµm d¹ng • XÐt phÇn tö thanh chÞu biÕn d¹ng däc trôc bËc 2(h×nh 9-1). 1 N1(x) Hµm chuyÓn vÞ bËc 2 cã d¹ng: u(x) = α1 + α2x + α3x2. 1 N2(x) ⎧α 1 ⎫ hay u ( x) = [1 x ] ⎪ ⎪ x ⎨α 2 ⎬ = [C ]{α } 2 N3(x) 1 2 3 1 4 ⎪α ⎪ ⎩ 3⎭ x=0 x = l/3 x=l (1,0) H×nh x = 2l/3 9-1 (2/3,1/3 (1/3,2/3 (0,1) BiÓu diÔn qua chuyÓn vÞ nót: ) ) u(x) = [N].{δ} Trong ®ã: Hµm d¹ng N = [N1 N2 N3]. §å thÞ hµm d¹ng ⎛ x ⎞⎛ x⎞ Víi : N 1 = ⎜1 − 2 ⎟⎜1 − ⎟ , N1(x) 1 ⎝ l ⎠⎝ l⎠ x⎛ x⎞ x⎛ x⎞ N 2 = 4 ⎜1 − ⎟ , N 3 = − ⎜1 − 2 ⎟ 1 l⎝ l⎠ l⎝ l⎠ N2(x) 1 N3(x) 1 N4(x) H×nh 9 - 2
  2. 2. • XÐt phÇn tö thanh chÞu biÕn d¹ng däc trôc bËc ba(h×nh 9-2). Hµm chuyÓn vÞ bËc ba cã d¹ng: u(x) = α1 + α2x + α3x2 + α4x3 ⎧α 1 ⎫ ⎪α ⎪ hay u ( x) = [1 x x 2 ] 3 ⎪ 2⎪ x ⎨ ⎬ ⎪α 3 ⎪ ⎪α 4 ⎪ ⎩ ⎭ BiÓu diÔn qua chuyÓn vÞ nót: u(x) = [N].{δ} Trong ®ã: Hµm d¹ng N = [N1 N2 N3 N4] ⎛ x ⎞⎛ x ⎞⎛ x⎞ Víi: N1 = ⎜1 − 3 ⎟⎜1 − 3 ⎟⎜1 − ⎟ ⎝ l ⎠⎝ 2l ⎠⎝ l⎠ x ⎛ 3x ⎞⎛ x ⎞ N 2 = 9 ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ l⎝ 2l ⎠⎝ l⎠ 9 x ⎛ 3x ⎞⎛ x⎞ N3 = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ 2l ⎝ l ⎠⎝ l⎠ x ⎛ 3x ⎞⎛ 3x ⎞ N4 = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ l⎝ l ⎠⎝ 2l ⎠ + PhÇn tö 2 chiÒu bËc cao: • PhÇn tö tam gi¸c bËc hai 6 ®iÓm nót: (h×nh 9-3) Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng: y 3 u(x,y) = α1 + α2x + α3y + α4xy +α5x2 + α6y2 (0,0,1) v(x,y) = α7 + α8x + α9y + α10xy +α11x2 + α12y2 (1/2,0,1/2) 6 5 (0,1/2,1/2) 4 Quan hÖ gi÷a to¹ ®é vu«ng gãc vµ to¹ ®é diÖn 1 (1,0,0) (1/2,1/2,0 2 tÝch: (0,1,0) ⎧1 ⎫ ⎡ 1 1 1 ⎤ ⎧ L1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ x 3 ⎥ ⎨ L2 ⎬ ⇒ x ⎨ x ⎬ = ⎢ x1 x2 ⎥ H×nh 9 - 3 ⎪ y⎪ ⎢ y y 3 ⎥ ⎪ L3 ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ 1 y2 ⎦⎩ ⎭
  3. 3. ⎧u ⎫ f = ⎨ ⎬ = [N 1 N2 N3 N4 N5 N 6 ]{δ } ⎩v ⎭ Trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn hµm d¹ng ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc tæng qu¸t sau: N i = α 1i L1 + α 2 L2 + α 3 L3 + α 4 L2 + α 5 L3 + α 6 L1 , (i = 1 .. 4) i i i i i Sau khi x¸c ®Þnh ®−îc c¸c hÖ sè αi , c¸c hµm d¹ng sÏ ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau: N1 = L1(2L1 – 1) , N2 = L2(2L2 – 1) , N3 = L3(2L3 – 1) N4 = 4L1L2 , N5 = 4L2L3 , N6 = 4L3L1 §å thÞ c¸c hµm d¹ng nh− sau: 3 3 6 6 5 5 1 1 1 4 2 1 4 2 • PhÇn tö tam gi¸c bËc ba, 10 ®iÓm nót: (h×nh 9-4) Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng: u(x,y) = α1 + α2x + α3y + α4xy + α5x2 + α6y2 +α7x2y + α8xy2 + α9x3 + α10y3 . v(x,y) = α11 + α12x + α13y + α14xy + α15x2 + α16y2 +α17x2y + α18xy2 + α19x3 + α20y3 . PhÇn tö cã 20 bËc tù do, hµm d¹ng ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc tæng qu¸t sau: N i = α 1i L1 + α 2 L2 + α 3 L3 + α 4 L1 L2 + α 5 L2 L3 + α 6 L3 L1 i i i i i 3 + α 7 L1 L2 + α 8 L2 L3 + α 9 L3 L1 + α 10 L1 L2 L3 i i i i y Sau khi x¸c ®Þnh ®−îc c¸c hÖ sè αi , c¸c hµm d¹ng 8 7 ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau: 9 4 6 Víi i = 1..3, N i = Li (3Li − 1)(3Li − 2) 1 1 2 4 5 2 H×nh 9 - 4 x
  4. 4. L1 L2 (3L1 − 1) , N 5 = L1 L2 (3L2 − 1) , N 6 = L2 L3 (3L2 − 1) 9 9 9 N4 = 2 2 2 L2 L3 (3L3 − 1) , N 8 = L3 L1 (3L3 − 1) , N 9 = L1 L3 (3L1 − 1) , N 10 = 10 L1 L2 L3 9 9 9 N7 = 2 2 2 • PhÇn tö tam gi¸c bËc ba, 4 ®iÓm nót: (h×nh 9-5) Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng: u = N1u1 + N2u1,x + N3u1,y + N4u2 + N5u2,x + N6u2,y 3 y + N7u3 + N8u3,x + N9u3,y + N10u4 . v = N11u1 + N12u1,x + N13u1,y + N14u2 + N15u2,x + N16u2,y + N17u3 + N18u3,x + N19u3,y + N20u4 . 4 1 Trong ®ã: 2 N 1 = L1 (L1 + 3L2 + 3L3 ) − 7 L1 L2 L3 2 N 2 = L1 (c3 − c2 L3 ) + (c2 − c3 )L1 L2 L3 2 H×nh 9 - 5 x N 3 = L1 (b2 L3 − b3 L2 ) + (b3 − b2 )L1 L2 L3 2 ……………………………………… N 9 = L2 (b1 L1 − b2 L1 )L1 L2 L3 3 N10 = 27 L1 L2 L3 C¸c hÖ sè ai, bi, ci ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau: ai = x j y k − x k y j , bi = y j − y k , ci = x k − x j (i, j, k lÊy quay vßng theo gi¸ trÞ 1, 2, 3) • PhÇn tö tam gi¸c bËc ba, 15 ®iÓm nót (h×nh 9-6), trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn. ξ=0 ξ=1/4 ξ=1/2 ξ=3/4 ξ=1 Hµm chuyÓn vÞ cã d¹ng: ζ=0 3 N1 = ζ(4ζ - 1)(4ζ - 2)(4ζ - 3)/6 η=1 ζ=1/4 N2 = ξ(4ξ - 1)(4ξ - 2)(4ξ - 3)/6 10 η=3/4 11 N3 = η(4η - 1)(4η - 2)(4η - 3)/6 ζ=1/2 15 5 6 η=1/2 ζ=3/4 9 η=1/4 N4 = 4ζξ(4ζ - 1)(4ξ - 1) 12 13 14 ζ=1 η=0 1 7 4 8 2 H×nh 9 - 6
  5. 5. N5 = 4ξη (4ξ - 1)(4η - 1) N6 = 4ηζ(4η - 1)(4ζ - 1) N7 = ξζ(4ζ - 1)(4ζ - 2)*8/3 N10 = ξη(4η - 1)(4η - 2)*8/3 N8 = ζξ(4ξ - 1)(4ξ - 2)*8/3 N11 = ζη(4η - 1)(4η - 2)*8/3 N9 = ηξ(4ξ - 1)(4ξ - 2)*8/3 N12 = ζη(4ζ - 1)(4ζ - 2)*8/3 N13 = 32ηξζ(4ζ - 1) N14 = 32ηξζ(4ξ - 1) N15 = 32ηξζ(4η - 1) • PhÇn tö tø gi¸c bËc ba, 8 ®iÓm nót: (h×nh 9-7), trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn. 4 7 Hµm xÊp xØ chuyÓn vÞ: 8 3 u(r , s) = α1 + α2r + α3s + α4r2 + α5rs + α6s2 + α7r2s + α8rs2 1 6 Hµm d¹ng: 5 N i = (1 + rri )(1 + ssi )(rri + ssi − 1) , víi i = 1..4 1 2 4 H×nh 9 - 7 N5 = 1 2 (1 − r 2 )(1 + ss5 ) , N 6 = 1 (1 − rr6 )(1 − s 2 ) 2 N7 = 1 2 (1 − r 2 )(1 + ss7 ) , N 8 = 1 (1 − rr8 )(1 + s 2 ) 2 • PhÇn tö tø gi¸c bËc ba, 12 ®iÓm nót: (h×nh 9-8) , trong hÖ to¹ ®é tù nhiªn. Hµm xÊp xØ chuyÓn vÞ: u(r , s) = α1 + α2r + α3s + α4r2 + α5rs + α6s2 + α7r2s + s 4 10 α8rs2 + α9rs2 + α10s3 + α11r3s + α12rs3 . 11 9 3 Hµm d¹ng: 12 8 1 [N] = [N1 N2 N3 … N12] 7 r 5 6 2 H×nh 9 - 8
  6. 6. Ni = 1 (1 + rri )(1 + ssi )(9r 2 + 9s 2 − 10) , víi i = 1..4 32 Ni = 9 (1 + rri )(1 − s 2 )(1 + 9ssi ) , víi i = 7, 8, 11, 12 32 Ni = 9 (1 + ssi )(1 − r 2 )(1 + 9rri ) , víi i = 5, 6, 9, 10 32 + PhÇn tö 3 chiÒu bËc cao: • PhÇn tö tø diÖn bËc bèn, 20 ®iÓm nót: (h×nh 9-9) PhÇn tö cã 60 bËc tù do, hµm chuyÓn vÞ nh− sau: u(x,y,z) = α1 + α2x + α3y + α4z + α5x2 + α6xy +α7xz + H×nh 9 -9 α8y2 + α9yz + α10z2 + α11x2y + α12x2z + α13xy2 + α14xyz + α15xz2 + α16y2z + α17yz2 + α18x2yz + α19xy2z + α20xyz2. T−¬ng tù: v(x,y,z) = α21 + α22x +… + α40xyz2. w(x,y,z) = α41 + α42x +… + α60xyz2. • PhÇn tö lôc diÖn bËc ba, 8 ®iÓm nót: (h×nh 9-10) y 3 2 PhÇn tö cã 24 bËc tù do, hµm chuyÓn vÞ nh− sau: u(x,y,z) = α1 + α2x + α3y + α4z + α5xy + α6yz +α7zx 4 1 x 7 + α8xyz 6 v(x,y,z) = α9 + α10x + α11y + α12z + α13xy + α14yz z 8 5 +α15zx + α16xyz H×nh 9 - 10 w(x,y,z) = α17 + α18x + α19y + α20z + α21xy + α22yz +α23zx + α24xyz • PhÇn tö lôc diÖn bËc bèn, 20 ®iÓm nót: (h×nh 9-11, 9-12) PhÇn tö cã 60 bËc tù do , hµm chuyÓn vÞ nh− sau: y u(x,y,z) = α1 + α2x + α3y + α4z + α5xy + α6yz 7 20 8 11 +α7zx + α8xyz + α9x2 + α10y2 + α11z2+ α12x2y + 15 3 12 18 5 4 19 x 13 9 14 6 10 z 1 17 2 H×nh 9 - 11
  7. 7. α132z + α14y2x + α15y2z + α16z2x + α17z2y + α18x2yz + α19y2xz + α20z2xy = u(2) T−¬ng tù: v(x,y,z) = α21 + α22x +…+ α40z2xy w(x,y,z) = α41 + α42x +…+ α60z2xy 8 z 7 20 11 15 3 12 4 18 19 13 5 14 6 9 10 y 1 17 2 x H×nh 9 - 12 • PhÇn tö lôc diÖn bËc n¨m, 32 ®iÓm nót: (h×nh 9- 13) PhÇn tö cã 96 bËc tù do, hµm chuyÓn vÞ nh− sau: u = u(2) + α21x3 + α22y3 + α23z3 + α24x3y + α25x3z y + α26y3x + α27y3z + α28z3x + α29z3y + α30x3yz + α31y3xz + α32z3xy Trong ®ã: u(2): Hµm chuyÓn vÞ cña phÇn tö bËc bèn, 20 x ®iÓm nót ®· tr×nh bµy ë trªn. z T−¬ng tù, cã hµm chuyÓn vÞ v, w. H×nh 9 - 13 • PhÇn tö ngò diÖn bËc hai, 15 ®iÓm nót: ζ=1 (h×nh 9-14) 3 12 Hµm néi suy to¹ ®é vµ chuyÓn vÞ: n n n 1 11 x = ∑ N i xi , y = ∑ N i y i , z = ∑ N i z i ζ 10 2 i =1 i =1 i =1 9 n n n u = ∑ N i u i , v = ∑ N i vi , w = ∑ N i wi 7 i =1 i =1 i =1 8 ζ=-1 Trong ®ã, Ni lµ c¸c hµm d¹ng. 15 6 4 14 13 5 H×nh 9 - 14
  8. 8. NhËn xÐt: Qua mét sè c¸c phÇn tö tiªu biÒu tr×nh bµy ë trªn cho thÊy, khi ta thªm phÇn tö vµo c¸c c¹nh biªn cña mét phÇn tõ th× sÏ ®−îc mét phÇn tö bËc cao h¬n, sè bËc tù do t¨ng lªn, sè Èn chuyÓn vÞ còng t¨ng lªn vµ nh− vËy khèi l−îng tÝnh to¸n sÏ t¨ng lªn nhiÒu lÇn. Tuy nhiªn, khi bËc cña phÇn tö cµng cao (bËc cña hµm chuyÓn vÞ ®èi víi c¸c to¹ ®é) th× ®é x¸c thùc cña kÕt qu¶ tÝnh to¸n còng cµng lín. §Æc biÖt, sö dông phÇn tö bËc cao sÏ rÊt thÝch hîp víi nh÷ng tr−êng chuyÓn vÞ, øng suÊt cã gradien lín.

×