1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS POR
INTERVALO.
MEDIA ARITMÉTICA
Para evaluar la media aritmética de datos agrupados por intervalo se considera que
las observaciones de cada clase están representadas por el punto medio de cada
clase.
La media de un conjunto de datos agrupados por intervalos se calcula así:
ni X i NX i
X Muestral = Poblacional
n N
MEDIANA
Dado que los datos agrupados se han organizado por intervalo, parte de la
información ya no es identificable, como resultado, no es posible determinar la
mediana exacta. Sin embargo, puede estimarse: 1) Localizamos la clase en que se
encuentra la mediana. 2) Realizando interpolaciones dentro de esa clase para
obtener dicho valor, la razón de éste enfoque es que se supone que los datos están
espaciados uniformemente, en la clase mediana.
Formula:
En donde: Li = límite inferior de la clase modal
n
Ni 1 n
= nos sirve de referencia para ubicar la clase mediana
Me= Li + ( 2 )Ci 2
nj
Ni-1= Frecuencia acumulada anterior a la clase mediana
Ci = amplitud de la clase modal
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2. MODA
Para datos agrupados por intervalo es posible aproximar la moda utilizando el punto
medio de la clase que contiene el mayor número de frecuencias de clase.
Formula:
Mo= Li + ( 1
) ci En donde:
1 2
Li = limite inferior de la clase modal
1 = frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase anterior.
2 = frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase siguiente.
Ci = amplitud de la clase modal
Ejemplo 1:
Los siguientes datos son los rendimientos de una planta de hortaliza en libras
3.9 3.7 5.8 5.0 4.8 4.4 5.6
7.0 5.6 5.1 3.6 6.8 5.6 3.4
7.0 4.8 2.6 2.7 4.0 4.8
Solución
Número de intervalos de clase (m)
m= n = 4.47
Se escoge un número de intervalos de 5
2) Rango: 7.0 - 2.6 = 4.4
3) Amplitud= c= =0.90
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3. 4) Cálculo de los límites de los 2 intervalos de clase
a) Calculamos los limites de clase inferiores así: tomamos el menor valor del
conjunto de datos en este caso es 2.6 y le sumamos el valor de la
amplitud en forma reiterada así: 2.6+0.90 = 3.5, 3.5+0.90 = 4.4,…
Li –Ls b) Calculamos los límites superiores. Los limites
2.6 – 3.4 superiores serán los números que le anteceden a los
3.5 - 4.3 imites inferiores del siguiente intervalo. Veamos el
4.4 - 5.2 segundo límite inferior es 3.5 entonces el número
5.3 - 6.1
anterior es 3.4 por lo tanto el primer límite superior es
6.2 – 7.0
3.4 y así los hallamos sucesivamente.
En esta forma evitamos confusión en la asignación de un dato a un
intervalo cuando estamos calculando la frecuencia absoluta.
Tabla de distribución de frecuencias de los rendimientos de una
plantación de hortalizas
Rendimientos ni hi Ni Hi Yi
(Lb) (número Marcas de
Li - Ls de clase
plantas)
2.6 - 3.4 3 0.15 3 0.15 3
3.5 - 4.3 4 0.20 7 0.35 3.9
4.4 – 5.2 6 0.30 13 0.35 4.8
5.3 - 6.1 4 0.20 17 0.85 5.7
6.2 – 7.0 3 0.15 20 1.0 6.6
20 1.00
Para este ejercicio calcular:
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4. Media µ = Σ yi ni
N
µ = Σ yi ni
n
µ = Σ yi ni = 3 * 3 + 3.9 * 4 + 4.8 * 6 + 5.7 * 4 + 6.6 * 3
n
µ = 96 = 4.8 Lb
20
El promedio de la moda de las plantas mostradas es de 4.8 Lb
Mediana
Me = Li + (n/2 – Ni – 1) ci
ni
Lo primero que hacemos es encontrar la clase mediana
n/2 = 20/2 = 10
Me voy a la Columna Ni y busco 10, si no lo encuentro tomo el valor inmediato
superior en este caso seria el 13 y luego nos vamos al intervalo
correspondiente en este caso seria (4,4 – 5,2) este intercambio de clase Me
Me = 4.4 + (10 - 7) 0.90 = 4.85
6
MODA
Mo = Li + (Δ 1) Ci
Δ1 + Δ2
Mo = 4.4 + (6 – 4)__ 0.90 = 4.8
(6-4) + (6-4)
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5. MEDIDAS DE POSICION PORCENTUAL
Son aquellas que dividen el conjunto de datos en partes o proporciones
iguales.
Qa = cuartiles: dividen la información en cuatro partes iguales. Q2 es igual a la
Me.
Q1 Q2 Q3
Da = Deciles: dividen la información en diez partes iguales.
Q1 Q2 … Q9
Pa = Percentiles: dividen la información en cien partes iguales.
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6. Formulas Para Ubicarlos (Datos No Agrupados)
UQa = a(n+1)/4
UDa = a(n+1)/10
UPa = a(n+1)/100
Ejemplo: sean los siguientes datos ordenados de menor a mayor
3,5,15,30,35,45,50. Halle Q3, P32.
Solución:
n=7
Ubicamos la posición de la medida de interés
UQ3 = 3(7+1)/4 = 6
Q3=45
Como la posición es la 6 esta corresponde al número 45, esto quiere decir
que el 75% de los datos está por debajo de 45 o el 75% de los datos está
entre 3 y 45.
Ubicamos la posición de la medida de interés
UP32 = 32(7+1)/100 =2, 6
Tomamos el dato numero 2 y al siguiente le restamos el anterior es decir
(15-5) y lo multiplicamos por el decimal es decir 0.6.
P32= 5 (15-5)0.60= 9
El 32% de los datos está por debajo de 9.
Nota: Profundizar los conceptos, use la bibliografía anotada en el curso.
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