Quines característiques té un bon problema? I, quins beneficis té per als nostres estudiants el treball en resolució de problemes?

1. Resolució de problemes
Procés matemàtic
● Numeració i càlcul (Mesura)
● Geometria (Espai i forma, mesura)
● Àlgebra ( Relació i canvi, Pre-àlgebra
● Estadística i probabilitat (Dades i atzar)
Font: Martino F. via Flickr

2. Objectius:
Quines característiques té un bon problema?
Quins beneficis té pels nostres estudiants el
treball en resolució de problemes?

3. La resolució de problemes ha de ser
l'element fonamental de l'aprenentatge de les
matemàtiques,
i
no ha d'estar subordinada als continguts que es
treballen.

4. Repte: Ensenyar continguts matemàtics a través de la resolució de problemes
Treball previ
Activitats d’aplicació
Problemes
Problemes Treball en continguts
Més problemes
Nou treball en continguts
Ampliació Relacionats
Instrucció Matemàtica
Educació
Matemàtica

5. Metodologia d'aula-taller o de laboratori: Puig Adam (1958) i Polya (1967)
a) Una introducció al tema, els objectius
b) Presentar els problemes.
c) Treball en petit grup
d) Discussió i contrast en gran grup
e) Si s'escau, realització d'altres activitats relacionade
Alsina C., Burgués C, Fortuny JM (1988)

6. Anem a experimentar amb els problemes
Piràmides numèriques
Les piràmides numèriques es construeixin seguint la següent regla:
o Cada número de la piràmide, excepte els de la primera fila, es forma
sumant els números que hi ha a les caixes que té per sota d'ell.
Per exemple: el número 10 s'obté sumant el 4 i el 6.
L'objectiu es completar tota la piràmide a partir d'uns números que ens venen donats a la
sortida.
Activitat: Piràmides

7. Piràmides numèriques
● Activitat aplicable a diferents nivells amb adaptacions
● Experimentar nous usos
● Vida pròpia
Exemple:
Escola Marià Cubí
Preguntes davant un material Per quin ús va ser dissenyat?
Com l’utilitzen altres? Quin ús puc donar-li ?
MMACA: Un exemple de disseny de materials (1,2,3,4) pel treball matemàtic

8. Què hem treballat amb aquesta activitat?
1.- Resolució de problemes
A la butxaca tinc monedes d’1 , de 2 i de 5
cèntims. Si trec tres monedes quants diners puc
tenir?
Quant temps trigaríem en comptar fins a un milió?
Col·lecció permanent vídeoMAT
2.- Raonament i prova
3.- Comunicació
Mentre anava a Sant Ives, vaig trobar un home
amb 7 esposes. Cada esposa portava 7 sacs. A
cada sac hi havia 7 gats. Cada gat tenia set
gatets.
Gatets, gats, sacs i esposes.
Quants eren els que anaven cap a Sant Ives?
4.- Connexions
5.- Representació Manera de representar les idees matemàtiques
Referència: Competències bàsiques de l'àmbit matemàtic

9. - repte
+ repte
- obert
+ obert
Exercici
Problema
Petita investigació
Exploració
Apartat 3 i 4 Piràmides
Apartat 1 i 2 Piràmides
Apartat 4,5 i 6 Piràmides
No hi ha un objectiu
previ a assolir

10. Estratègies Heurístiques
1. Assaig i error (Assaig i Millora)
3. Raonar a partir de la incògnita
4. Construir una taula i trobar pautes o regularitats
2. Raonar sobre un model concret
5. Resoldre un problema relacionat, més senzill
6. Raonar cap enrere
He comprat pastissos, alguns de nata i alguns de
xocolata, 4 en total. Els de nata valen 2€, els de
xocolata 3€. M’he gastat 11 € en total. A veure si
saps quants he comprat de cada classe.
Un paquet de 10 quaderns val 25 euros, i vull
comprar 3 quaderns, quants diners m’hauré de
gastar?
És veritat que en un
tauler d’escacs hi ha
204 quadrats?
Hi ha un grapat de caramels a sobre de la taula.
L’oncle en pren la meitat, la mare 1/3 dels que
queden, l’avi en pren un, i jo els 3 últims que
quedaven. Quants hi havia al principi?

11. Fem una Petita investigació
Triangles
Amb un grup d'escuradents haig de fer triangles. Amb 3 he aconseguit fer un triangle (fig 1).
He aconseguit fer quatre triangles afegint 6 escuradents
Finalment he afegit una altra fila de triangles.
He fet una taula per presentar els meus resultats, i he continuat afegint
files. He trobat moltes pautes. Em pots ajudar a trobar-ne més?
Quants triangles hi haurà quan hagi fet 3 files més?
Una pàgina molt interessant de problemes: NRICH

12. Fem una Petita investigació
Els números poligonals són aquells que es poden ordenar seguint determinades
formes. Sempre comencen amb 1. En la imatge següent en podeu veure alguns
exemples.
Explora els nombres poligonals i troba
relacions entre ells

13. Anem a replantejar els problemes dels llibres de text
Quantes vegades ha bategat el cor d’una persona de 80 anys en tota la
seva vida, si suposem una mitjana de 72 batecs per minut?
Xavier Vilella i Pili Royo
On trobar propostes: ARC

14. Replantegem activitats(1)
Font: CREAMAT

15. Replantegem activitats(2)
Font: CREAMAT

16. Més petites investigacions: Jocs
Joc del 31, per a dos jugadors
El primer jugador diu un nombre de l'1 al 5. El segon suma, al
nombre que ha dit el primer, un nombre de l'1 al 5 i diu el resultat.
Així van jugant alternativament. Guanya el primer que digui 31.
Té avantatges algun dels jugadors? Si és així, com ha de jugar per a
guanyar sempre?
Què puc fer després?

17. RECURSOS

18. http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/

19. http://apliense.xtec.cat/arc/

20. http://www.mmaca.cat/

21. http://www.videomat.cat/

22. Espai Jordi Esteve

23. PuntMat

24. http://illuminations.nctm.org/

25. https://activitat-matematica.wikispaces.com/

26. http://recursosmatematics.wikispaces.com/

27. Un professor de matemàtiques té una gran oportunitat. Si dedica el temps a
exercitar els alumnes amb operacions rutinàries, matarà en ells l’interès,
impedirà el seu desenvolupament intel·lectual i acabarà desaprofitant la seva
oportunitat. Però, si posa a prova la curiositat dels seus alumnes plantejant-los
problemes adequats i els ajuda a resoldre’ls amb preguntes estimulants,
podrà despertar-los el gust pel pensament independent i proporcionar-los
certs recursos.
George Polya, 1945
I per acabar …